espacios y subespacios vectoriales

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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
ÁLGEBRA LINEAL
PARCIAL 1
TALLER Nro. 2
TEMA: Aplicaciones de espacios y subespacios
vectoriales en la carrera de Tecnologías de la
información.
Nombres:
1. Gudiño SantanderErika María
2. Pante Lema Mayerli de los Ángeles
3. QuitiaquezPeralta Rodrigo Washington
4. SánchezJetacama Túpac Chasqui
NRC:3242
Fecha de entrega: Lunes 26 de julio 2021
Periodo:Mayo- Septiembre 2021

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Índice
Tabla de contenido
Introducción.....................................................................................................3
Objetivos..........................................................................................................3
Fundamentación Teórica.................................................................................4
Desarrollo.........................................................................................................5
Conclusiones ..................................................................................................6
Bibliografías ....................................................................................................7

3. 3
Introducción
Este trabajo presenta la investigación sobre la aplicación de espacios y subespecios
vectoriales en la carrera de tecnología de la información, logrando establecer algunos
ejercicios identificando diferentes métodos para su solución poniendo en práctica varias
teorías algebraicas obteniendo un resultado eficaz con un procedimiento referente a los
ejercicios planteados, desglosando información respecto al tema tomando en cuenta
cada uno de los pasos para llegar a una solución además nos estaremos ayudando con
las tecnologías de la información y comunicación ya que la misma es de gran ayuda en
diferentes cuestiones siendo utilizada la tecnología dentro (MarcadorDePosición1)del
aula, utilizando diferentes términos o páginas web de tipo educativo logrando
desarrollar una educación colaborativa por lo que dicha metodología permite a los
docentes con escaso conocimiento en tecnologías de la información y comunicación
puedan diseñar materiales para su clase los cuales ayudarían a un mejor entendimiento
en los estudiantes permitiendo una calidad de enseñanza clara y eficaz resolviendo
ejercicios puestos acerca de la aplicación de espacios y subespacios vectoriales consigo
logrando una solución paso a paso de cada uno de ellos determinando sus características
ya se en la aplicación de espacios vectoriales como en la aplicación de subespacios
vectoriales. (Ciancio, Oliva, & Agüero, 2021)
Respecto del uso de herramientas computacionales y de las nuevas tecnologías de la
información y de la comunicación (TIC) para dinamizar los procesos de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas y en particular del algebra lineal, se han llevado a cabo
algunos estudios recientes; a nivel Internacional encontramos el trabajo de, titulado
utilización de las nuevas Tecnologías de la comunicación y de la información en la
enseñanza de las matemáticas. (Vergara, 2021)
Objetivo General
Proporcionar los conceptos teóricos prácticos de los espacios y sub-espacios vectoriales
para aplicarlos en la resolución de problemas específicos de la carrera de ingeniería en
tecnología de la información y la comunicación.
Fundamentación teórica
Espacios y sub-espacios vectoriales
Utilizar técnicas de atracción para la construcción y simulación de modelos en la
solución de problemas de ingeniería en Tecnologías de la Información, teniendo como

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fundamento los conceptos y teorías construidos en el campo de las ciencias básicas.
(Gomez, 2020)
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vector, en el que se
han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar, sujeta a los diez
axiomas. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todo los
escalaras α y β reales.
1. u + v ∈ V.
2. u + v = v + u
3. (u + v) + w = u + (v + w)
4. Existe un vector nulo 0v ∈ V tal que v + 0v = v
5. Para cada v en V, existe un opuesto (-v) ∈ V tal que v + (-v) = 0v
6. αv ∈ V
7. α (u + v) = αu + αv
8. (α + β) v = αv + βv
9. α (βv) = (αβ) v
10. 1v = v
En un sub-espacio vectorial sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de
V. W es un espacio vectorial de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las
mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V). W es sub-espacio vectorial de
V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
a. 0v está en W.
b. Si u y v están en W, entonces u + v está en W.
c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W.
Desarrollo
El Wronskiano es el determinante de la matriz construida al colocar las funciones en el
segundo reglón (o fila), la primera derivada de cada función es el segundo reglón, y así
hasta la derivada n-1, formando una matriz cuadrado, algunas veces llamada matriz
fundamental. (Medina, 2020)
Se utiliza en el estudio para mostrar que el conjunto de soluciones es linealmente
independiendo según el caso del problema, en una ecuación diferencial lineal de
segundo orden, el Wronskiano puede ser calculado por computadora más fácilmente.
(Rivera, 2019)

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Funciones 1: Tres polinómicas y determinar si son linealmente independiente o
linealmente dependiente con el teorema del Wronskiano.
1.-Verificar que: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑
− 𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐
− 𝟏 son linealmente
independiente o linealmente dependiente.
Entonces 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2
− 1 y 𝑔´(𝑥) = 2𝑥, son las derivadas correspondientes.
El Wronskiano 𝑊(𝑓, 𝑔) = | 𝑥3
− 𝑥 𝑥2
− 1
3𝑥2
− 1 2𝑥
| = 2𝑥(𝑥3
− 𝑥) − (𝑥2
−
1)(3𝑥3
− 1)
= 2𝑥4
− 2𝑥2
− 3𝑥4
+ 𝑥2
+ 3𝑥3
− 1
2𝑥4
− 3𝑥4
− 2𝑥2
+ 𝑥4
+ 3𝑥2
− 1 = 0
−𝑥4
− 3𝑥3
− 𝑥2
− 1
−1 − 3 − 1 − 1
1 2 1 *-1 x=-1
1 -2 1 0
Si 𝑥 = 0 ,-1 entonces 𝑊 = −1 , por lo tanto 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) son linealmente
independientes R.?
2.- Determinar si el conjunto: 𝒚𝟏 = 𝟑𝒙 𝒚𝟐 = 𝟏 − 𝒙 y mencione si son
linealmente dependiente o independiente.
𝑦1´ = 3, 𝑦2´ = −1, entonces 𝑊 = |
3𝑥 1 − 𝑥
3 −1
| = −3𝑥 − 3(1 − 𝑥) = −3,
= −3 por lo que es linealmente independientes. R.
3.- Determinar si es linealmente dependiente o independiente la siguiente
ecuación: 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 + 𝟓 ; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐
Entonces 𝑓´(𝑥) = 4 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 son derivadas correspondientes.
El Wronskiano 𝑊(𝑓, 𝑔) = |4𝑥 + 5 𝑥2
4 2𝑥
| = 2𝑥(4𝑥 + 5) − (𝑥2
)(4)
= 8𝑥2
+ 10𝑥 − 4𝑥2
= 4𝑥2
+ 10𝑥
2𝑥(2𝑥 + 5)
Si = 𝑥 = 2 entonces 𝑓(𝑥) ,𝑔(𝑥) son linealmente independientes. R
Funciones 2: Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas,
exponenciales, hiperbólica, polinómicas y determinar si son linealmente
independiente o linealmente dependiente con el teorema del Wronskiano.
1.-Determinar si el conjunto de funciones es linealmente dependiente o
independiente de la siguiente ecuación: 𝒇(𝒙) = (𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒙); 𝒙𝟐
𝒔𝒆𝒏(𝒙))
Entonces 𝑓´(𝑥) = −𝒙𝟐
𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒙); 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒙𝟐
𝒄𝒐𝒔(𝒙)

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𝑤(𝑓, 𝑔) = |
𝑥2
𝑐𝑜𝑠(𝑥) 𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
−𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) 2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
|
= [𝑥2
𝑐𝑜𝑠(𝑥) ∗ (2𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥2
𝑐𝑜𝑠(𝑥)]− [𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+ (−𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥))]
= 𝑥 ∗ 𝑥2
𝑐𝑜𝑠(𝑥)[2𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥 ∗ 𝑥2
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥)]
= 2𝑥3
𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)+ 𝑥4
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 2𝑥3
𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥4
𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
= 𝑥4
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑥4
𝑠𝑒𝑛2
(𝑥)
= 𝑥4
(𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)) = 𝑥4
Si el 𝒙𝟒
es ≠ 0 es linealmente independiente. R
2.-Determinar si el conjunto de funciones es linealmente dependientes o
independientes de la siguiente ecuación: 𝒇𝟏 = 𝟏; 𝒈𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝟐
; 𝒉𝟑 = 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝒙
= −2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 2𝑐𝑜𝑠2
𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ) = cos(𝑥)[2𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ cos(𝑥)] − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ) = 2𝑠𝑒𝑛(𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛3(𝑥)− 2𝑠𝑒𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠2
(𝑥)
𝑊(𝑓, 𝑔, ℎ) = 2𝑠𝑒𝑛3
(𝑥)
Las funciones son linealmente independientes. R
Conclusiones
 Al realizar esta investigación concluimos que el uso de aplicaciones multimedia en
cuestión pretende, con su uso recomendado, facilitar la asimilación del tema
Espacio Vectorial apoyado en la visión geométrica ilustrada en dimensiones 2 y 3,
y así contribuye a la comprensión de los conceptos asociados al tema en la
asignatura Álgebra Lineal de las especialidades de ingeniería. Construido con
esquema de trabajo semipresencial que complementa y completa al lector los
conocimientos del Álgebra Lineal adquiridos por textos clásicos de la asignatura y
materiales confeccionados con fines docentes.
 Hoy por hoy su importancia y su implicación en varias ramas de estudio y de
Ingenierías, día a día abren a la Física, campos, electricidad Geografía, Cinematica,
economía (Macro y micro), aeronáutica, navegación etc., etc. confirman con una
respuesta contundente a la necesidad de su uso y aplicación.

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Bibliografía
(s.f.).
Ciancio,M.,Oliva,E.,& Agüero,A.M. (26 de 07 de 2021). Reposito Dijital De Documentos
Matematica.Obtenidode http://funes.uniandes.edu.co/23041/
Gomez,I. (23 de 04 de 2020). Academia EspaciosVectoriales.Obtenidode
https://www.academia.edu/18760566/Espacios_Vectoriales_
Medina,P.(2020 de 11 de 2020). Wikipedia.Obtenidode
https://es.wikipedia.org/wiki/Wronskiano
Rivera,A.(24 de 04 de 2019). SobreDependencia Lineal y Wronskiano.Obtenidode
https://miscelaneamatematica.org/download/tbl_articulos.pdf2.9dd6bf63fbf421e7.41
5f5269766572612e706466.pdf
Vergara,G. (26 de 07 de 2021). Universidad DelAtlantico.Obtenidode
https://core.ac.uk/download/pdf/229959997.pdf