Metodo Bairstow Polinomio

1. Al tener un polinomio de orden n, donde a son sus coeficientes constantes; sabemos que
podrá tener raíces reales como complejas.
Debemos tener en cuenta que:
1. Para el polinomio de orden n, habrá n raíces reales o complejas; donde no
necesariamente son distintas
2. Si n es impar habrá al menos una raíz real.
3. Si hay raíces complejas, existirá un par conjugado , donde
Método de Bairstow
Este método es un proceso iterativo relacionando aproximadamente con el método de Muller
y Newton-Raphson.
El método de bairstow se basa en la división del polinomio entre un factor.
Si al polinomio lo dividimos entre un factor x-r se producirá un segundo polinomio que de un
orden más bajo
Con un residuo R= , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.
Para permitir la evaluación de las raíces complejas, el método divide el polinomio entre un
factor cuadrático , esto nos dará un polinomio de 2 grados menos
Con un residuo R=b1(x-r)+
La relación de recurrencia puede usarse para realizar la división entre un factor cuadrático:
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2. Las raíces complejas se presentan en pares conjugados, estas raíces pueden determinarse con
la formula cuadrática. Entonces el método se reduce a buscar los valores r y s que hacen que el
residuo sea 0.
Para que la raíz será 0 deberían los valores de b0 y b1 ser 0, esto es improbable ya que los
valores iníciales r y s no van a conducir a esto, por eso se determina una camino sistemático
que modifica los valores iníciales, para q hace b0 y b1 tiendan a cero. Para esto se usa una
estrategia similar a la aproximación de Newton y expandiéndola con usando la serie de Taylor.
Y deduciéndola nos queda:
Determinando estas derivadas parciales tendremos un sistema de 2 ecuaciones con 2
incógnitas, y son los cambios q mejoraran nuestros valores iníciales.
Las derivadas se pueden obtener por división sintética de las b:
Sustituyendo las derivadas parciales en las ecuaciones, de esta forma:
Estos y encontrados son usados para mejorar los valores iníciales r y s
El error se calculara ,
Cuando los errores fallen bajo un criterio establecido, las raíces se podrán encontrar mediante:
Aquí, existen 3 posibilidades:
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3. 1. El cociente es un polinomio de 3er o mayor orden, en este caso se sigue aplicando el
método para evaluar un nuevo r y s.
2. El cociente es cuadrático, en este caso las raíces se pueden evaluar con la formula
cuadrática
3. El cociente es un polinomio de 1er orden, en este caso el residuo es una sola raíz y se
evalúa
Depuración de Raíces
La depuración de raíces consiste en hacer que una raíz real llegue ser más exacta, para esto la
raíz real es sometida al método usándola como valor inicial z
.
.
Con esto hallaremos una raíz mas real usando:
Y así procedemos hasta q el error falle en la forma establecida:
Error=
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