1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Εμπειρικοί Κανόνες, Δένδρο Αναδρομής) 3.1) 0*+1* : ΜΠΑε, ΜΠΑ, ΝΠΑ 3.2) Κανονικές Εκφράσεις σε ΜΠΑε 3.3) L=a^nb^{m+1}a^mb^n: Λήμμα Άντλησης, Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 15 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ15
ΘΕΜΑ 1: ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
22
3
2
log loglog log
1
loglog2log)(
)(loglog)(
)(
3 52
nnnf
nnnf
nnnf
nnnn
nn
n nn n
++=
+=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 15 2
(Β) (Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
nn
n
T
n
TnT log
4
3
4
)()1( +





+





=
n
n
T
n
TnT loglog
12
5
11
4
)()2( +





+





=
n
n
T
n
TnT +





+





=
7
4
5
3
)()3(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 15 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
∆ίδεται η κανονική έκφραση: 0*+1*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L
(Γ) Απλοποιήστε το παραπάνω ΝΠΑ

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 15 4
Άσκηση 2: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = (0+1)*0110*10(0+1)*011*
L2 = (011+101+11)*
L3 = 0(0+1)*0+ 1(0+1)*11
L4 = 1*0*1*1(11)*
L5 = (100*1*01)*

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 15 5
ΘΕΜΑ 4: ΓΛΩΣΣΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΣΥΜΦΡΑΖΟΜΕΝΩΝ
∆ίδεται η γλώσσα
(A) ∆είξτε ότι η L δεν είναι κανονική
(Β) ∆ώστε Γραµµατική χωρίς συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της L
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | ≥ να
µπορεί να γραφεί στην µορφή = όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| | ≤
≠
∈ για κάθε φυσικό ≥
}0,|{ 1
≥= +
mnbabaL nmmn