NP-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 1
ΠΛΗ30 – ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 8
NP-ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Επαναλάβετε τα µαθήµατα:
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.1: Θεωρία Υπολογισµού
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.2: Αναγωγές Προτασιακής Λογικής
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.3: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 1ο
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.4: Αναγωγές Θεωρίας Γράφων – Μέρος 2ο
• Ενότητα 6 – Μάθηµα 6.5: Αναγωγές Θεωρίας Αριθµών και Θεωρίας Συνόλων
Ευκολότερη είναι η απόδειξη ότι ένα πρόβληµα ανήκει στο NP. Μελετήστε προσεχτικά τις αποδείξεις
ότι το πρόβληµα ανήκει στο NP, από τις ασκήσεις των µαθηµάτων 6.1-6.5 που είναι ένα εύκολο
µισοµόναδο. Η αναγωγή είναι πιο δύσκολη και απαιτεί την συστηµατική µελέτη πολλών
παραδειγµάτων. Ενδείκνυται η συστηµατική µελέτη των παραδειγµάτων των ενοτήτων 6.2-6.5
Ο∆ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ:
Έπειτα προχωρήστε στην επίλυση των ασκήσεων.Κάθε άσκηση πρέπει να βγαίνει ολόσωστα σε 15’-
20’ η κάθε µία. Έπειτα συµβουλευτείτε τις αντίστοιχες ηχογραφήσεις για να δείτε ολοκλήρωµένα τις
λύσεις των ασκήσεων.
Συνιστώµενοι Χρόνοι για την επανάληψη:
Χρόνος Επανάληψης: 2.00’
Χρόνος Απάντησης Ασκήσεων: 1.40’
Ηχογραφήσεις Ασκήσεων: 2.00’

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 2
Ασκήσεις
Άσκηση 1
Το πρόβληµα ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΣΥΝΕΚΤΙΚΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ ορίζεται ως εξής:
• Στιγµιότυπο: ∆ίδεται ένα γράφηµα G=(V,E) και ένας ακέραιος Κ
• Ερώτηµα: Υπάρχει υποσύνολο Α των ακµών του G τέτοιο ώστε το υπογράφηµα που ορίζεται από τους
κόµβους του G και τις ακµές του Α να είναι συνεκτικό και κάθε κόµβος του να έχει βαθµό ακριβώς Κ;
∆είξτε ότι το πρόβληµα είναι NP-πλήρες.
Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε περιορισµό στο γνωστό NP-πλήρες πρόβληµα HAMILTON-CYCLE.
Άσκηση 2
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι (Α) Σωστές, (β) Λάθος, (Γ) Αληθές αν P=NP (∆) Αληθές αν P≠NP
∆ίδεται ότι το πρόβληµα Π είναι NP-Complete:
1. To Π δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο
2. Το Π επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
3. Το Π επιλύεται σε εκθετικό χρόνο.
4. Το Π λύνεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο.
5. Το Π ανάγεται στο 3SAT και αντίστροφα
6. Υπάρχει αναγωγή από το Π στο πρόβληµα PATH
7. Υπάρχει αναγωγή από το PATH στο πρόβληµα Π
Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω προβλήµατα είναι ΝΡ-πλήρη:
Άσκηση 3
Χαρακτηρίστε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω δηλώσεις και δώστε σύντοµη αιτιολόγηση. Για τις απαντήσεις
σας θεωρήστε ότι P≠NP.
(1) Το πρόβληµα PATH ανήκει στην κλάση ΝΡ
(2) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος PATH στο 3SAT
(3) Υπάρχει αναγωγή του προβλήµατος HAMILTON PATH στο PATH
(4) Το πρόβληµα απόφασης µιας κανονικής γλώσσας ανήκει στην κλάση Ρ
(5) Το πρόβληµα αποδοχής συµβολοσειράς w από ντετερµινιστικό αυτόµατο Α ανήκει στην κλάση Ρ
Άσκηση 4
Για κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις υπάρχουν 4 δυνατές απαντήσεις: σωστή, λάθος, σωστή αν NPP ≠ ,
σωστή αν NPP = . Να επιλέξετε µια απάντηση και να αιτιολογήσετε συνοπτικά την απάντησή σας (αρκεί µια
πρόταση για αιτιολογία).
(1) Αν το πρόβληµα Α ανάγεται στο πρόβληµα Β και το B είναι ΝP-πλήρες πρόβληµα, τότε και το Α είναι NP-
πλήρες πρόβληµα.
(2) Το πρόβληµα του Ελάχιστου Επικαλυπτικού ∆ένδρου ανάγεται στο 3-SAT
(3) Αν βρεθεί πολυωνυµικός αλγόριθµος για ένα πρόβληµα της κλάσης ΝP, κάθε πρόβληµα της κλάσης αυτής
λύνεται µε πολυωνυµικό αλγόριθµο.
(4) ∆εν υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος που να λύνει το πρόβληµα 3SAT.
(5) ∆εν υπάρχει κανένα πρόβληµα στην κλάση NP, για το οποίο απαιτείται εκθετικός χρόνος.

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Επανάληψη 8 3
Άσκηση 5
Α) Μέγιστο κάλυµµα ακµών αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΚΑ): ∆οθέντος ενός γραφήµατος
G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L, υπάρχει υποσύνολο
κόµβων µεγέθους το πολύ Κ που καλύπτει τουλάχιστον L ακµές του G;
Β) Μέγιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από το πολύ Κ κόµβους (Κ-ΜΥ): ∆οθέντος ενός
γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L,
υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους το πολύ Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει τουλάχιστον L
ακµές;
Γ) Ελάχιστο επαγόµενο υπογράφηµα αποτελούµενο από τουλάχιστον Κ κόµβους (Κ-ΕΥ): ∆οθέντος ενός
γραφήµατος G(V,E) µε σύνολο κόµβων V και σύνολο ακµών E, και δύο µη αρνητικών ακεραίων K και L,
υπάρχει υποσύνολο κόµβων µεγέθους τουλάχιστον Κ του οποίου το επαγόµενο υπογράφηµα έχει το πολύ L
ακµές;
Υπόδειξη: Για την απόδειξη της ΝΡ-πληρότητας, µπορείτε να χρησιµοποιήσετε τα γνωστά ΝΡ-πλήρη
προβλήµατα ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΛΙΚΑ και ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΑΛΥΜΜΑ ΚΟΡΥΦΩΝ.