..

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
( )
( )
( )nnf
nnf
nenf
nnf
nn
nn
nn
4
4
3
loglog
2
log3)(log
1
log)(
log2)(
)(
)(log2)(
2
=
+=
+=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τέσσερις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά τέσσερα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/9 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο /
.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά σαραντα εννέα υποπροβλήµατα
µεγέθους n/7 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n2
.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n-1 και βρίσκει την λύση του αρχικού προβλήµατος σε
χρόνο Ω(n).
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20)
(1) Εξετάστε αν:
)(O2.
)(log.Α
log2log
log
nnn
nn
n
nOn
=Β
=
(2) ∆ίνεται το πρόβληµα Π και ένας αλγόριθµος Α που το λύνει, ο οποίος λύνει ένα πρόβληµα µεγέθους n,
επιλύοντας ένα πρόβληµα µεγέθους 4n/5 και ένα πρόβληµα µεγέθους 5n/2 και συνδυάζει τις λύσεις σε χρόνο
n3
. Να υπολογίσετε τον ασυµπτωτικό χρόνο εκτέλεσης του προβλήµατος.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
∆ίδεται η κανονική έκφραση:: 1∗
0∗
10∗
0
(Α) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό ΠΑ που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της γλώσσας.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο Ντετερµινιστικό ΠΑ
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = { | ∈ 0,1 ∗
}
Β = { 0 1 | ∈ , 1 4
Γ = { 0 1 | 1, 1 4
∆ = {0n
1m
0k
| k<1,n<1,m<1}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ∈ µε | | να
µπορεί να γραφεί στην µορφή όπου για τις συµβολοσειρές , και ισχύει:
| |
!
"
∈ για κάθε φυσικό " #

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {am
bn
ck
| m-k>n}
L2 = {cj
aj+2
bj
| j≥0 }
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω $ µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ $ µε |s| να µπορεί να γραφεί στην µορφή & '( )* όπου για τις συµβολοσειρές
', (, , ) και * ισχύει:
|( )|
|()| + 0
'( ) * ∈ $ για κάθε φυσικό 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={b,c} και η γλώσσα: $ ,- ,- ,| 0 . Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε
αλφάβητο Σ0={b,c,#,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο
∈ .∗
.
(1) ∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και
σην συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
(2) ∆ώστε αναλυτικά τα βήµατα της εκτέλεσης για τη συµβολοσειρά #bcbcb#
Β: ∆ίνεται η γλώσσα L={M | η µηχανή Turing Μ δεν τερµατίζει µε καµία είσοδο}. ∆είξτε ότι η L δεν είναι
επιλύσιµη δεδοµένου ότι η γλώσσα L’={M,w | H M µε είσοδο w τερµατίζει} δεν είναι επιλύσιµη.

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 7 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Χαρακτηρίστε ως (α) Αληθείς (β) Ψευδείς (γ) Αληθές αν P≠NP (δ) Αληθές αν P=NP.
(1) Το πρόβληµα VERTEX COVER λύνεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
(2) Το πρόβληµα INDEPENDEND SET δεν επιλύεται σε πολυωνυµικό χρόνο.
(3) Το πρόβληµα CLIQUE επιλύεται σε µη ντετερµινιστικό πολυωνυµικό χρόνο
(4) Το πρόβληµα 3SAT δεν επιλύεται σε εκθετικό χρόνο.
(5) Υπάρχει αναγωγή του NOT-ALL-ZERO-SAT στο πρόβληµα 3SAT.
(6) Υπάρχει αναγωγή του 3SAT στο πρόβληµα MINIMUM-SPANNING-TREE.
(7) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα TSP
(8) Υπάρχει αναγωγή του MINIMUM-SPANNING-TREE στο πρόβληµα PATH