1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης, Εμπειρικοί Κανόνες 3.1) Κανονικές Εκφράσεις 3.2) Κανονική Έκφραση σε ΜΠΑε 3.3) 10*11*: Κανονική Έκφραση, ΜΠΑ, ΝΠΑ 3.4) Αλγόριθμος Κλειστότητας της Τομής σε Κανονικές Γλώσσες

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ13
ΘΕΜΑ 1: ANAΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
2 4
2
log)(
)(
2
log log
1
n n n
n n nn
nnf
nnf
=
=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό αύξησης) µε την g (f
≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους (µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f <
g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
n
n
T
n
TnT +





+





=
52
)()1(
( ) 2
31)()2( nnTnT +−=
n
n
TnT +





=
16
4)()3(
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 3
ΘΕΜΑ 3: ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΓΛΩΣΣΕΣ
Άσκηση 1:
Κατασκευάστε Κανονικές Εκφράσεις για τις Γλώσσες του αλφαβήτου {0,1}:
L1={ w | w τελειώνει µε 0 }
L2={ w | w αρχίζει µε 01 }
L3={ w | w περιέχει το 100 }
L4={ w | w έχει µήκος 3 }
L5={ w | w έχει µήκος τουλάχιστον 2 }
L6={ w | w έχει µήκος το πολύ 1 }
L7={ w | w έχει άρτιο µήκος ή αρχίζει µε 00}
L8={ w | w δεν αρχίζει µε 00}
L9={ w | w δεν περιέχει το 10}

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 4
Άσκηση 2: Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
L1 = 0(0+1)*11*
L2 = (100+1+11)*
L3 = 00*1* + 11*0*
L4 = 0*1*1(0+1)*
L5 = (1*01)*

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 5
Άσκηση 3:
∆ίδεται η κανονική έκφραση: 1*0*11*
(A) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Αυτόµατο (ΜΠΑ) µε ακριβως µία ε-κίνηση που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές
που παράγονται από την παραπάνω κανονική έκφραση.
(Β) ∆ώστε το ισοδύναµο ΜΠΑ χωρίς ε-κινήσεις
(Γ) ∆ώστε το ισοδύναµο ΝΠΑ

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 13 6
Άσκηση 4:
∆ιαδοχικά στο αλφάβητο {0,1}:
1) ∆ώστε Κ.Ε. για τη L1={w|w τελειώνει µε 1}
2) ∆ώστε Κ.Ε. για τη L2={w|w περιέχει το 0}
3) ∆ώστε ΜΠΑ για την L1
4) ∆ώστε ΜΠΑ για την L2
5) ∆ώστε το ισοδύναµο ΝΠΑ της L1
6) ∆ώστε το ισοδύναµο ΝΠΑ της L2
7) ∆ώστε το ΝΠΑ της L1⋂L2 (χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο κλειστότητας της τοµής)