Συνδυαστική Προτασιακή Λογική Κατηγορηματική Λογική Θεωρία Γράφων

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 1
ΠΛΗ20 – ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ5
ΣΩΣΤΑ / ΛΑΘΟΣ (30% του βαθµού)
(1) Σε µια τράπουλα υπάρχουν 52 φύλλα (4 χρώµατα µε 13 χαρτιά το κάθε ένα). Στην επιλογή µας δεν
ενδιαφέρει η σειρά.
1. Ο αριθµός των επιλογών τριών φύλλων έτσι ώστε και τα τρία να είναι σπαθιά είναι
52
3
.
2. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν και οι 4 ντάµες της
τράπουλας είναι ( )52
4
.
3. Ο αριθµός των επιλογών 5 φύλλων της τράπουλας ώστε σε αυτά να υπάρχουν οι 4 ντάµες της τράπουλας
και ένας άσσος είναι 4.
4. Η πιθανότητα να υπάρχουν οι 4 ντάµες της τράπουλας και ένας άσσος όταν επιλέξουµε 5 φύλλα από την
τράπουλα είναι ( )
1
52
5
4
−
×
(2) ‘Εχουµε στην διάθεση µας βόλους 6 διαφορετικών χρωµάτων (10 από το κάθε χρώµα) και επιλέγουµε 10
βόλους.
1. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά επιλογής δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 10
x
στην ( )
102 6
....x x x+ + +
2. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά επιλογής δεν έχει σηµασία είναι C(15, 10).
3. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα είναι 106
όταν η σειρά επιλογής έχει σηµασία.
4. Τα διαφορετικά αποτελέσµατα όταν η σειρά επιλογής δεν έχει σηµασία, είναι όσα ο συντελεστής του 10
x
στην ( )
62 10
1 ....x x x+ + + + .
(3) Οι nxn πίνακες που κάθε στοιχείο είναι 0 ή 1 και περιέχουν ακριβώς m άσσους είναι ίσοι µε:
1. Με τις δυαδικές συµβολοσειρές µήκους n που περιέχουν m άσσους.
2. Με τις δυαδικές συµβολοσειρες µήκους n2
που περιέχουν m άσσους
3. Με το συντελεστή του xm
στο ανάπτυγµα του πολυωνύµου (1+x)n
(1+x)n
4. Mε τις δυαδικές συµβολοσειρές µήκους n2
που περιέχουν n2
-m άσσους.

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 2
(4) Στις παρακάτω προτάσεις το Τ είναι σύνολο προτασιακών τύπων, φ είναι προτασιακός τύπος που ανήκει στο
Τ και ψ είναι προτασιακός τύπος που δεν ανήκει στο Τ.
1. Αν το Τ είναι συνεπές, τότε είναι συνεπές και το Τ {φ}
2. Αν το Τ είναι συνεπές, τότε είναι συνεπές και το Τ ∪ {ψ}
3. Αν το Τ είναι αντιφατικό, τότε είναι αντιφατικό και το Τ {φ}
4. Αν το Τ είναι αντιφατικό, τότε είναι αντιφατικό και το Τ ∪ {ψ}
(5) Ποιοι από τους παρακάτω τύπους είναι ισοδύναµοι µε τον τύπο: ∀ ∀ →
1. ∀ ∀ →
2. ∀ ∃ →
3. ∃ ∃ ∧
4. ∀ ∨ ∃
(6) Οι παρακάτω προτάσεις είναι τύποι κατηγορηµατικής λογικής ( P,Q διθέσια κατηγορηµατικά σύµβολα, f,g
µονοθέσια συναρτησιακά σύµβολα, c σταθερα, x,y είναι µεταβλητές).
1. , , ,
2. ∀
3.
4. ∀ → ,

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 3
(7) Ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε 9 ακµές
1. Μπορεί να είναι πλήρες
2. Μπορεί να είναι πλήρες διµερές
3. Μπορεί να είναι 4-κανονικό.
4. Μπορεί να µην είναι επίπεδο.
(8) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Υπάρχει γράφηµα 5 κορυφών στο οποίο όλες οι κορυφές έχουν βαθµό 2, το οποίο δεν είναι ισοµορφικό
του C5
2. ∆ύο γραφήµατα είναι ισοµορφικά αν και µόνο αν τα συµπληρωµατικά τους γραφήµατα είναι ισοµορφικά.
3. Ο αριθµός των υπογραφηµάτων του Κ4 (του οποίου οι κορυφές θεωρούνται διακεκριµένες) τα οποία
είναι ισοµορφικά µε το Κ2,2 είναι περιττός.
4. Ο αριθµός των υπογραφηµάτων του Κ5 (του οποίου οι κορυφές θεωρούνται διακεκριµένες) τα οποία
είναι ισοµορφικά µε το Κ3,2 είναι περιττός.
(9) Στο διπλανό σχήµα εικονίζονται οι ετικέτες των κορυφών (οι αριθµοί στους αντίστοιχους κύκλους) µετά τα
πρώτα βήµατα της εκτέλεσης του αλγορίθµου του Dijkstra για τον υπολογισµό του συντοµότερου µονοπατιού
από την κορυφή s στην κορυφή t. Σε αυτή τη φάση οι κορυφές s και v1 (και µόνον αυτές) έχουν αποκτήσει
µόνιµη ετικέτα και οι ετικέτες των γειτόνων τους έχουν ενηµερωθεί. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις σχετικά
µε την εξέλιξη του αλγορίθµου είναι αληθείς και ποιες όχι;
1. Η επόµενη κορυφή που θα αποκτήσει µόνιµη ετικέτα είναι η v4.
2. Όταν η t αποκτάει µόνιµη ετικέτα, η ετικέτα της v3 είναι 6
3. Η v5 αποκτά µόνιµη ετικέτα πριν η v2 αποκτήσει µόνιµη ετικέτα.
4. Κάθε κορυφή αλλάζει ετικέττα τουλάχιστον µία φορά κατά την
εκτέλεση του αλγορίθµου
(10) Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν;
1. Στον αλγόριθµο του Prim αν σε κάποιο βήµα µία ακµή µπει στο ελάχιστο συνδετικό δένδρο, τότε
παραµένει µέχρι τέλους του αλγορίθµου.
2. Στον αλγόριθµο του Dijkstra αν η ετικέτα µίας κορυφής ελαττωθεί σε κάποιο βήµα, τότε διατηρεί αυτή τη
τιµή µέχρι τέλους του αλγορίθµου.
3. Ο αλγόριθµος του Prim πάντα θα συµπεριλάβει τουλάχιστον µία ακµή ελάχιστου βάρους στο ελάχιστο
συνδετικό δένδρο.
4. Ο αλγόριθµος του Dijkstra πάντα θα συµπεριλάβει µία ακµή ελάχιστου βάρους στο ελάχιστο µονοπάτι.

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 4
ΑΣΚΗΣΕΙΣ (70% του βαθµού)
Άσκηση 1 (Μονάδες 25)
(Ερώτηµα 1)
1. Στο µανάβικο της γειτονιάς βρίσκονται 8 µήλα, 12 πορτοκάλια και 10 αχλάδια. Όλα τα φρούτα αγοράστηκαν
από δύο πελάτες έτσι ώστε κάθε ένας πήρε 2 τουλάχιστον από κάθε είδος και 15 φρούτα συντολικά. ∆ώστε
γεννήτρια συνάρτηση και επισηµάνατε την δύναµη της οποίας ο συντελεστής δίνει τον αριθµό των τρόπων
που µπορεί να γίνει η αγορά.
2. Υπολογίστε χωρίς τη χρήση γεννήτριας συνάρτησης τον αριθµό των τρόπων που µπορούν να αγοραστούν
όλα τα φρούτα αν οι πελάτες είναι τώρα τρεις και κάθε ένας αγόρασε 2 τουλάχιστον από κάθε είδος χωρίς
συνολικό περιορισµό.
(Ερώτηµα 2)
(α) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το Κ3,3 έχει το Κ100;
(β) Πόσα υπογραφήµατα ισόµορφα µε το ακόλουθο έχει το Κ100;

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 5
Άσκηση 2 (Μονάδες 35)
(Ερώτηµα 1)
1. ∆είξετε ότι ⊢ →
2. ∆είξετε ότι ⊢ →
3. ∆είξετε ότι , ! ⊢
∆εν επιτρέπεται η χρήση των θεωρηµάτων του προτασιακού λογισµού
(Ερώτηµα 2)
Να εξετάσετε αν ο τύπος: ∃ ∧ ∀ → ∧ ∀ → ∃ ∧ είναι λογικά έγκυρος
(Ερώτηµα 3)
Θεωρούµε πρωτοβάθµια γλώσσα µε ένα διµελές κατηγόρηµα P. Ερµηνεύουµε την γλώσσα αυτή σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα όπου το P(x,y) αληθεύει αν υπάρχει η µη κατευθυνόµενη ακµή που συνδέει τις
κορυφές x,y
1. Γράψτε έναν τύπο φ που αληθεύει σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα που περιέχουν σαν υπογράφηµα
το P4.
2. Γράψτε έναν τύπο ψ που αληθεύει σε απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα που περιέχουν σαν επαγόµενο
υπογράφηµα το P4.

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 6
Άσκηση 3 (Μονάδες 20)
Σε ένα κατευθυντικό γράφηµα, ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton είναι ένα µονοπάτι που ξεκινά από µια
κορυφή και ακολουθώντας την φορά των ακµών που χρησιµοποιεί, καταλήγει σε κάποια άλλη αφού επισκεφτεί
όλες τις κορυφές του γραφήµατος.
α) ∆ώστε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του 5K και βρείτε ένα κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton
στο προκύπτον γράφηµα.
β) ∆είξτε µε επαγωγή στο n ότι αν στο nK ( 2)n ≥ δώσουµε έναν αυθαίρετο προσανατολισµό στις ακµές του,
τότε στο κατευθυντικό γράφηµα που προκύπτει υπάρχει κατευθυντικό µονοπάτι Hamilton.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ20, ∆ιαγώνισµα 5 7
Άσκηση 4 (Μονάδες 20)
Έστω ένα συνδεόµενο γράφηµα G=(V,E) και s µια οποιαδήποτε κορυφή του.
∆είξτε ότι αν p είναι ένα συντοµότερο µονοπάτι από την s σε µια οποιαδήποτε κορυφή u, το οποίο διέρχεται από
µία άλλη κορυφή v, τότε το s-v τµήµα του είναι ένα συντοµότερο s-v µονοπάτι.