2. Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i
=1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición
del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y
el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 será
el elemento de la fila 2 y columna 5.
3. Tipos de matrices:
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es
de orden 1 x n.
naaaa 1131211
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es
decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.
1
31
21
11
ma
a
a
a
4. Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de
columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de
orden n, y no n x n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la
matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
5. Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A =
At, es decir, si aij = aji
Matriz anti simétrica: Una matriz cuadrada es anti simétrica si
A = –At, es decir, si aij = –aji
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa
por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de
A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se
representa por 0
La matriz
La matriz
es una matriz nula de orden 3
es una matriz nula de orden 2 x 4
6. Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la
diagonal iguales
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los
elementos de la diagonal principal iguales a 1.
7. Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los
elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal.
Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la
diagonal principal son todos nulos.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la
diagonal principal son todos nulos.
matriz triangular inferior
matriz triangular superior
8. Operaciones con matrices
Trasposición de matrices
Suma y diferencia de matrices
Producto de una matriz por un número
Propiedades simplificativas
Producto de matrices
Matrices inversibles
9. Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se
representa por
At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la
matriz A.
Es decir:
Propiedades de la trasposición de matrices:
1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es
única.
2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A. a (At)t = A.
10. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma
dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión
que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por
tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener
la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define
como: A–B = A + (–B)
Suma y diferencia de matrices
11. 4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A,
recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
Propiedades de la suma de matrices
1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa
2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa
Matriz Nula3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
12. Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B =
(bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se
obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A.
Al número real k se le llama también escalar, y a este producto,
producto de escalares por matrices
13. Producto de una matriz por un número
Propiedades del producto de una matriz por un
escalar
1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª
2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª
Propiedad asociativa mixta3ª. k [h A] = (k h) A
14. Producto de matrices
Propiedades del producto de matrices
A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa)
El producto de matrices en general no es conmutativo.
El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de
matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C
15. Consecuencias de las Propiedades
Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0
Si A · B = A · C no implica que B = C
En general (A+B)2 A2 + B2 +2AB, ya que A · B B · A
En general (A+B) · (A–B) A2 – B2, ya que A · B B · A
16. Pivote de una fila
Definición:
Pivote de la fila i, es el 1er elemento
distinto de cero que se encuentra en la
fila i de la matriz.
niki aa ,,00
ai,k≠0 pivot de la fila i
17. Matriz escalonada por filas
Definición:
Una matriz se llama escalonada por filas si:
1. Todas las componentes que se encuentran
debajo del pivote de una fila son ceros.
2. Todas las filas nulas se encuentran al final
de la matriz.
Matriz escalonada reducida por filas
Definición:
Una matriz se llama escalonada reducida por filas si,
además de ser escalonada por filas se cumple que:
1. Todos los pivotes son iguales a 1.
2. En cada columna donde el pivote es 1 los
otros elementos son iguales a cero.
18. Rango de una matriz
Llamaremos rango de la matriz A, al número de
filas no nulas de la matriz escalonada que se
obtenga de la matriz A.
982
663
325
A Al escalonar se
obtiene:
000
**0
***
* Indica valor diferente de cero, luego su rango es 2
Dos matrices equivalentes tiene el mismo rango.
19. Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que
es inversible o regular; en caso contrario recibe el
nombre de singular.
Matrices inversibles
(At) –1 = (A-1) t
La matriz inversa, si existe, es única
A-1·A = A·A-1= I
(A·B)-1 = B-1·A-1
(A-1)-1 = A
(kA)-1 = (1/k) · A-1
20. La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la
"derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 · A = I,
con lo cual es realmente la inversa de A.
Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir
Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:
Cálculo Directo de la Matriz Inversa
21. Hace aproximadamente 2000 años que los
matemáticos chinos conocían bien el
concepto de determinante. Habían
encontrado una relación entre los coeficientes
de sistemas de ecuaciones lineales y la
solución de dichos sistemas. En el mundo
occidental, los determinantes fueron
empleados primeramente por Gottfried
Wilhen Leibniz en 1693.
DETERMINANTES:
22. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden n , si n=1
se tiene: A=[a], det A= a
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2
Se llama determinante de la matriz A de orden
2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:
23. Determinante de una matriz de orden 3
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,
también podemos calcular el determinante de
la siguiente manera:
Copie la primera y segunda columna de la
matriz a su derecha:
312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
+
-
25. 1. Determinante de la transpuesta
Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces:
det(A)= det(A )
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A,
entonces el determinante cambia de signo:
det B = - det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 1)
3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A
por el escalar c, entonces el determinante queda
multiplicado por c.
det B = c (det A)
(OPERACIÓN ELEMENTAL 2)
26. 4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un
múltiplo de
otra fila de A, entonces el determinante no
se altera
det B = det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 3)
5. Determinante de una matriz
triangular
El determinante de una matriz
triangular está dado por el
producto de los elementos de su
diagonal.
27. Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene
inversa.
6. Determinante de la inversa
Si A es no singular, entonces
det(A) 0, y :
=
Es decir una matriz tiene inversa
si su determinante es diferente de
cero.
)det(
1
A)det( 1
A
