DOCUMENTO

1. POLIGONOS
DEMETRIO CCESA RAYME

2. Halla la suma de todos los ángulos internos
del polígono cóncavo
Del enunciado:
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
180 ( 6 ) 1080º
180°( n - 2 ) 180°( 8 – 2 )

3. Que polígono tiene 9 diagonales
Del enunciado:
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
n = 6
2
)3n(n
ND


2
)3n(n
9


18 = n2 – 3n n2 – 3n – 18 = 0
(n – 6 ) ( n + 3 ) = 0
Hexágono

4. Halla el ángulo interno del polígono regular
cuyo ángulo central es 45º
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
n
º360
central 8n n
º360
º45 
n
)2n(180
int


8
)28(180
int


8
)6(180
int  º135int 

5. Como se llama el polígono en el que la suma
de sus ángulos internos y externos es 1800º
360° + 180°( n - 2 ) = 1800°
Se + Si = 1800°
Resolviendo:
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
360° + 180°n – 360º = 1800°
180°n =1800º n =10 DECÁGONO

6. Cuanto suman los ángulos del polígono
que tiene catorce diagonales
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
n = 7
2
)3n(n
ND


2
)3n(n
14

 28 = n2 – 3n
n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7 ) ( n + 4 ) = 0
Hallando la suma de los ángulos internos
Si = 180º( n – 2) Si = 180º( 7 – 2) Si = 180º( 5 )
Si = 900º

7. En que polígono la suma de los ángulos
internos es 540º
540º = 180°( n - 2 )
540º = 180n – 360º
Si = 180º ( n – 2 )
Problema Nº 06
RESOLUCIÓN
n = 5
900º = 180n
PENTÁGONO

8. Halla el número de lados de un polígono,
sabiendo que en el se pueden trazar 104
diagonales
208 = n2 -3n
Problema Nº 7
RESOLUCIÓN
n = 16
n2 -3n – 208 = 0
2
)3n(n
ND


2
)3n(n
104


( n – 16 ) ( n +13 ) = 0

9. Halla el número de diagonales del polígono
cuya suma de ángulos internos es 1260º
Problema Nº 08
RESOLUCIÓN
n = 9
1620º = 180ºn
2
)3n(n
ND


Si = 180º ( n – 2 ) 1260 = 180º ( n – 2 )
1260º = 180ºn – 360
2
)39(9
ND


2
)6(9
ND  27ND 

10. Cuantos lados tiene un polígono si desde uno
de sus vértices se pueden trazar 6 diagonales
Problema Nº 09
RESOLUCIÓN
n = 9
n
)2n(º180
m int


ND = n – 3 6 = n – 3
Uno de los ángulos internos de un polígono
regular mide 150º, como se llama el polígono
Problema Nº 10
n
)2n(º180
º150


150n = 180n – 360 360 = 30n n = 12
DODECÁGONO

11. Cinco ángulos de un hexágono miden 120º ,
130º, º140º, 150º, 160º ; cuanto mide el sexto
ángulo
Problema Nº 11
RESOLUCIÓN
Sint = 180º ( n – 2 )
700º
Sint = 180º ( 6 – 2 )
Sint = 180º ( 4 ) Sint = 720º
La suma de los ángulos: 120º , 130º, º140º, 150º,
160º es
Entonces el sexto ángulo mide 20º

12. Cuantos vértices tienen un polígono
regular cuyo ángulo interno es 8 veces su
ángulo externo
mi = 8(me )
n = 18 lados
)
n
360
(8
n
)2n(180 


Problema Nº 12
Reemplazando por las propiedades:
Luego el polígono tiene 18 vértices
RESOLUCIÓN
= 180n – 360 = 2880
180n = 3240

13. Se tiene un decágono regular ABCDE…
hallar la medida del menor ángulo que
forman las prolongaciones de AB y ED
Problema Nº 13
Luego el  exterior del polígono
mide
RESOLUCIÓN
10
)210(801
m int


n
)2n(801
m int


)8(18m int  º144m int 
P
B D
36º
216
72º
36º
36º
Luego el  del polígono mide
72º
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
P
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º
144º

14. Si el número de lados de un polígono
disminuye en 3, el número de diagonales
disminuye en 12 ¿ cuantos lados tienen el
polígono?
Problema Nº 14
RESOLUCIÓN
heptágono
2
)3n(n
ND


2
)33n)(3n(
12ND


2
)6n)(3n(
2
24
2
)3n(n 


18n9n24n3n 22
 18n924n3 
42n6  7n 

15. Como se llama el polígono cuyo número
de diagonales aumenta en 5 al aumentar
el número de lados
Problema Nº 15
RESOLUCIÓN
2
)3n(n
ND


El polígono es un
hexágono
  
2
13n1n
5ND


  
2
13n1n
2
10
2
)3n(n 

   13n1n10n3n2

  2n1n10n3n2
 2nn10n3n 22

2n10n3  10 + 2 = -n + 3n
12 = 2n n = 6

16. Si se quintuplica el número de lados de
un polígono, las una de sus ángulos
internos se sextuplica. Cual es ese
polígono
Problema Nº 16
RESOLUCIÓN
El polígono es un
Decágono
Si = 180º( n – 2 ) 6(Si ) = 180º( 5n – 2 )
6[180( n – 2 )] =180( 5n – 2 )
6[180n – 360] = 900n – 360
1080n – 2160 = 900n – 360
180n = 1800 n = 10

17. Al disminuir en 2 el numero de lados de
un polígono, el numero de diagonales
disminuye en 19. ¿Cual es la suma de
los ángulos internos?
Problema Nº 17
RESOLUCIÓN
2
)3n(n
ND


  
2
23n2n
19ND


  
2
5n2n
2
38
2
)3n(n 


  5n2n38n3n2
   2n1n38n3n2

10n7n38n3n 22
 10n738n3 
4n= 48 n= 12 Si = 180º( n – 2 )
Si = 180º( 12-2) Si = 180º(10) Si = 1800º

18. Calcula la suma de los números de dos
polígonos equiángulos, sabiendo que las
medidas de sus ángulos internos difieren
en 4º y la suma de sus ángulos externos
es 76º
Problema Nº 18
RESOLUCIÓN
n
)2n(180
int

 4
y
)2y(180
x
)2x(180




4
y
)2y(
x
)2x(
180 




 


1
y
)2y(
x
)2x(
45 




 


1
xy
)2y(x)2x(y
45 




 
45
1
xy
x2xyy2yx


45
1
xy
x2y2

  
45
1
xy
yx2



19. Continúa el problema
xy)yx(90  
45
1
xy
yx2

 …….1
Hallando la suma de los ángulos externos
n
º360
m ext  76
y
º360
x
º360

76
xy
)yx(º360


76
xy
)x(360)y(º360


19
xy
)yx(90


90
19
xy
yx


)xy(19)yx(90   )yx(9019)yx(90   yx19yx 
y19x19yx  y10x9 
9
y10
x  Remplazando en 1
9
)y(y10
)y
9
y10
(90 
9
)y(y10
)
9
y9
9
y10
(90 

20. Continúa el problema
Hallando x
9
)y(y10
)
9
y9
9
y10
(90 
9
y10
)
9
y
(90
2

9
y
)
9
y
(9
2

2
yy9  9y 
x9)9x(90  x9)9x(90  x)9x(10 
x90x10  90x9  10x 
Entonces : x + y es 19

21. Cual es el polígono convexo en el cual la suma
del número de ángulos rectos a que equivale la
suma de sus ángulos internos, más el número de
vértices y más el número de diagonales, es igual
a 23
Del enunciado:
Problema Nº 19
RESOLUCIÓN
23
2
)3n(n
n
º90
S int 


n = 6
º90
)2n(º180
S interioresrectos


23
2
)3n(n
n
º90
)2n(º180




23
2
n3n
n)2n(2
2



054n3n2

 
2
46
2
n3n
2
n2
2
)2n(22 2




46nn8n4 2

0)6n)(9n( 

22. Cuantos lados tiene el polígono regular cuyo
ángulo interno es (x + 11) veces el ángulo
externo y además se sabe que el numero de
diagonales es 110x
Del enunciado:
Problema Nº 20
n
360
)11x(
n
)2n(º180


2
)3n(n
ND


0252x65x2 2

)2)(11x(2n 
24x2n  Luego remplazamos en
2
)324x2)(24x2(
x110


0)19x2)(28x(  28x 
……1
24)28(2n  80n 

23. Como se llama el polígono convexo, cuya
suma de las medidas de los ángulos
interiores es 1620º
1620º = 180º ( n - 2 )
Si = 180 ( n – 2 )
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 21
RESOLUCIÓN
180
1620
2n 
Despejando ( n – 2 ):
n – 2 = 9 n = 11
endecágono

24. Calcula la suma de las medidas de los
ángulos interiores de un cuadrilátero y
hexágono
180°( 4 - 2 )
= 360º
Si = 180°( n – 2)
Del enunciado:
Luego, reemplazando :
Problema Nº 22
RESOLUCIÓN
180°( 6 - 2 )
= 720º
Si = 180°( n – 2)
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
180°( 2 )
180°( 4 )
Luego, reemplazando :
n = 4
n = 6

25. ¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el
cual la medida de su ángulo interno es igual a 8
veces la medida de un ángulo externo
mi = 8(me )
Resolviendo: n = 18 lados
Polígono de 18 lados
Polígono es regular:
)
n
360
(8
n
)2n(180 


Problema Nº 23
Del enunciado:
Reemplazando por las propiedades:
Luego polígono es regular se denomina:
RESOLUCIÓN

26. En un polígono, la suma de las medidas de los
ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el
total de diagonales de dicho polígono.
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Se + Si = 1980°
Resolviendo: n = 11 lados
Número de diagonales:
2
)3n(n
ND


2
)311(11
ND

 ND = 44
Del enunciado:
Luego, reemplazando por las propiedades:
Problema Nº 24
RESOLUCIÓN

27. Calcule el número de diagonales de un polígono
convexo, sabiendo que el total de las diagonales es
mayor que su número de lados en 75.
Resolviendo: n = 15 lados
Luego, el número total de diagonales:
2
)3n(n
ND


2
)315(15
ND

 ND = 90
2
)3n(n 
ND = n + 75
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Problema Nº 25
Del enunciado:
Reemplazando la propiedad:
RESOLUCIÓN

28. Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la
medida de su ángulo interno aumenta en 12°;
entonces el número de vértices del polígono es:
Resolviendo: n = 5 lados
NV= 5 vértices
Polígono es regular:
Polígono original: n lados
Polígono modificado: (n+1) lados
1n
)21n(180
12
n
)2n(180




Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 26
Del enunciado:
Reemplazando por la propiedad:
RESOLUCIÓN

29. El número total de diagonales de un polígono
regular es igual al triple del número de sus
vértices. Calcule la medida de un ángulo central de
dicho polígono.
Resolviendo: n = 9 lados
mc = 40°
Polígono es regular:
2
)3n(n 
= 3n
Luego, la medida de un ángulo central:
n
360
m c


9
360
m c


Del enunciado:
RESOLUCIÓN
ND = 3n
Reemplazando por la propiedad:
Problema Nº 27

30. EVALUACION
 MARCA LA RESPUESTA CORRECTA
1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es cinco veces el
numero de lados
a) 10 b) 12 c) 13 d) 15
2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de
900..Hallar su numero de diagonales
a)10 b) 12 c) 13 d) 14
3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene
170 diagonales
a)10º b) 12º c) 13º d) 18º
4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados,
la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5