2. Profe.: María Carruido
Fecha: 01/03/2023
Matemática
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas
Suma:
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma
de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos
son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual
es sin cambiar los signos de los términos. Se aplica la propiedad distributiva,
leyéndose de derecha a izquierda.
Sirve para sumar monomios y polinomios.
Ejercicios:
1) (5xᶟ-8x²+2x-1) + (-7xᶟ+ 3x²-11x+ 9)
5xᶟ-7xᶟ - 8x² + 3x² + 2x - 11x - 1+9
(5-7) xᶟ + (-8+3) x² + (2-11) x +8
-2xᶟ-5x²-9x+8.
2) (4x²+ 5x-4) + (2x²+3x+2)
4x²+ 2x²+ 5x+3x-4+2
(4+2)x² + (5+3)x + 5
6x²+ 8x+ 5.
Resta:
3. La resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite
la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma
al sustraendo (el elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado
el minuendo (el elemento que disminuye en la operación).
Esta operación puede llevarse a cabo con números positivos, negativos, enteros,
decimales, fracciones o con estructuras más complejas como los polinomios,
vectores, números imaginarios, entre otros, pero siempre entre términos
semejantes.
Ejercicios:
1) 8a – 3a: 5ª
2) 5x3y – (–4x3y)
= 5x3y + 4x3y
= 9x3y
Valor Numérico:
El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado de sustituir las
letras o variables por unos valores numéricos determinados y realizar los cálculos
indicados.
Ejercicios:
1) Calcular el valor numérico para cuando x:5
X²-X-10
Sustituimos
X²-X-10: 5²-5-10: 25-5-10:10
2) Calcular el valor numérico para cuando X: 2
X-4
Sustituimos
X-4: 2-4:-2
4. Multiplicación y División de Expresiones algebraicas
Multiplicación:
En este caso se hace uso reiterado de la distributiva.
Es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador.
La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos
semejantes.
Se trata con suma y. resta algebraica
Ejercicios:
1) Multiplicar 3x2 y 4x4
Solución:
(3x2)(4x4)=(3⋅4)(x2⋅x4)
= (12)(x2+5)
=12x7
2) Multiplicar (3x²-1) (3x+9)
Solución:
(3x²-1) (3x+9)= 3x² (3x+9) – 1 (3x+9)
= 9xᶟ + 27x² - 3x – 9.
División:
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas
llamadas dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por
medio de un algoritmo.
Clases de división
5. División exacta.
Esta división se define cuando el residuo R es cero.
División inexacta.
Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De
la identidad, dividiendo entre el divisor d.
División de Polinomios
División entre monomios:
Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos.
Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios
según la ley de exponentes.
División de un polinomio entre un monomio:
Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero,
simplemente tenemos que usar la propiedad distributiva para realizar
esta división. Simplemente dividimos a cada término del polinomio
por el monomio. La propiedad distributiva prosigue de la siguiente
manera:
Ejercicios:
División entre monomios:
División de un polinomio entre un monomio:
1) 3xy4- 12x²y² + 6xᶟyᶟ = 3xy- 12x²y² + 6xᶟyᶟ
3xyᶟ 3xy 3xyᶟ 3xyᶟ
= y- 4x + 2x².
6. Y
Productos notables de expresiones algebraicas:
Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son
un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que
se conocen como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos
escribir con solo hacer una inspección, sin necesidad de verificar la
multiplicación o recurrir a varios pasos.
Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer
una factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.
Tipos de productos notables:
Binomio al cuadrado:
El binomio al cuadrado es también conocido como el cuadrado de un
binomio; y es uno de los productos notable más usado. Las diferentes
características que éste puede tener, y cuales deberán ser los pasos
necesarios al momento de resolver una operación donde se deba aplicar el
cuadrado de un binomio. Está formada por 2 termino no semejantes como a+b
que, se puede sumar o restar, al elevarlo al cuadrado produce un polinomio
de 3 términos.
Formula:
(a+b)²= a²+ 2ab+ b²
(a-b)= a²- 2ab+ b²
Ejercicios:
1) Suma: (x+5)²= x²+ 2(x)(5) + 5²= x² + 10x + 25 Se llevó a cabo la suma
del binomio al cuadrado y se resolvieron las multiplicaciones y
potencias pendientes.
7. 2) Resta: (x-4)²= x²- 2(x)(4) + 4²= x²- 8x+ 16 Se llevó a cabo la resta del
binomio al cuadrado y se resolvieron las multiplicaciones y potencias
pendientes.
Binomio al cubo:
El cubo de un binomio o binomio al cubo, es una expresión algebraica,
formada por dos términos que se pueden sumar o restar; y en la cual las
operaciones de (suma o resta) estarán elevadas al cubo.
El uso de cualquier producto notable del cubo de un binomio, puede llevarnos
al éxito en la resolución de problemas donde se involucren otros temas, como
lo son las ecuaciones y la factorización.
Es una expresión algebraica, formada por dos términos que se pueden sumar
o restar y en la cual las operaciones estarán elevados al cubo (3).
Formula:
(a+b)ᶟ = aᶟ+ 3a²b+ 3ab²+ bᶟ
(a-b)ᶟ = aᶟ- 3a²b+ 3ab²- bᶟ
Ejercicios:
1) Suma: (x+5)ᶟ= xᶟ+ 3(x)²(5) + 3(x)(5)²+ 5ᶟ= xᶟ+ 15x²+ 75x+ 125
2) Resta: (x-4)ᶟ= xᶟ- 3(x)²(4) + 3(x)(4)²- (4)ᶟ= xᶟ- 12x²+ 48x- 64
Binomios Conjugados:
El conjugado de un binomio, se obtiene con solo cambiarle el signo a uno de
los términos que lo conforman.
(a + b) su conjugado es (a - b)
(a – b) su conjugado es (a + b)
8. Producto de binomios conjugados
El producto de la suma de dos términos por su diferencia, es igual al cuadrado
del primer término menos el cuadrado del segundo término.
Formula del producto de binomios conjugados
La fórmula a utilizar en este tipo de producto notable es la siguiente:
Ejercicios:
1) (x-5)(x+5)= x²- 5²= x²- 25
2) (xᶟ+4x²)(xᶟ-4x²)= (xᶟ)² - (4x²)²= x6- 16x4
Binomio con término común:
Es una operación en la que se multiplicación dos binomios que tienen un término
común entre ellos, y el otro distinto.
Ejercicios:
1) Suma: (x+1)(x+5)= x²+ (1+5)x + 5(1)= x² + 6x + 5 Se aplicó el producto de
los binomios con un término común, la suma de los términos no
comunes (signos iguales se suman ), las multiplicaciones (números y
signos) y las potencias presentes
2) Resta: (x-10)(x-3)= x²+ (-10-3)x + (-10)(-3)= x²- 13x+ 30 Se resolvió el
producto de los binomios con un término común, la suma de los
términos no comunes (signos iguales se suman ), las multiplicaciones
(números y signos) y las potencias presentes.
Trinomio de un cuadrado:
Cuando hablamos del cuadrado de un trinomio o trinomio al cuadrado nos
referimos a una expresión algebraica; formada por tres términos que se
pueden sumar o restar, y donde las sumas o restas están elevadas al
cuadrado.
9. La formulas o forma que tiene un trinomio al cuadrado es la siguiente:
(a+b+c)²= a²+b²+c²+2(a)(b)+2(a)(c)+2(b)(c)
Ejercicios:
1)
2)
Trinomio al cubo:
Cuando hablamos del cubo de un trinomio o trinomio al cubo nos referimos a
una expresión algebraica; formada por tres términos que se pueden sumar o
restar, y donde las sumas o restas están elevadas al cubo; es decir es un
trinomio que se multiplica por sí mismo tres veces (está elevado a la potencia
3).
Formula de un trinomio al cubo
Las formulas o forma que tiene un trinomio al cubo es la siguiente:
Ejercicios:
1)
10. Factorización por productos notables:
Son aquellos que se encuentran en un producto y ambos tienen un término que se
repite. Regla: Se eleva al cuadrado el término común. Se suma algebraicamente
los términos no comunes y se multiplican por el término en común.
Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar
con la expresión a factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con
un término en común
Para factorizar adecuadamente hay que empezar por ver si hay letras y números
en común para cada término. Por ejemplo la expresión 5x4 -10x3 + 25x2, que
contiene tres términos, se puede factorizar notando que la “x” se repite en cada
uno, aunque con diferente potencia. En cuanto a los coeficientes numéricos, todos
son múltiplos de 5.
Entonces, el factor común consta de:
-El producto entre el máximo común divisor de los coeficientes y
-La menor potencia de la o las letras que aparezcan.
En el ejemplo, el factor común es:
5x2
Y la expresión queda así:
11. 5x4 – 10x3 + 25x2 = 5x2 ⋅ (x2 – 2x + 5)
El lector puede comprobar mediante la aplicación de la propiedad distributiva, que
ambas expresiones son equivalentes.
Métodos de factorización: diferencia de cuadrados
– Ejercicio 1
Factorizar el binomio 16x2 – 49
Solución
En este ejemplo la potencia no se repite y los coeficientes numéricos no son
primos entre sí, como en el ejemplo del principio. Sin embargo, si se verifica que la
expresión dada es una diferencia de cuadrados, se puede aplicar la fórmula 1.
Todo lo que se necesita es identificar los términos a y b:
a2 = 16x2 → a = √ (16x2) = 4x
b2 = 49 → b = 49 = 7
Una vez identificados, se procede a sustituir siguiendo la fórmula:
16x2 – 49 = (4x + 7) (4x – 7)
Y la expresión queda como el producto de dos factores.
En este y en todos los casos que siguen, el lector puede corroborar que si
desarrolla el resultado con la propiedad distributiva, se obtiene de vuelta la
expresión algebraica original.
Factorización de trinomios cuadrados perfectos
Estos casos corresponden a las fórmulas 2 y 3 de la figura 1. Sin embargo antes
de aplicarla, hay que verificar que en la expresión se cumple que:
12. -Dos términos son los cuadrados perfectos de a y b.
-El término restante es el doble producto de a y de b, es decir: 2ab.
Si lo anterior es cierto, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se aplican las
fórmulas directamente.
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/suma-algebraica/
Pérez Porto, J., Merino, M. (1 de mayo de 2014). Definición de resta
algebraica - Qué es, Significado y Concepto. Definicion.de. Última
actualización el 1 de abril de 2016. Recuperado el 28 de febrero de 2023 de
https://definicion.de/resta-algebraica/
http://angelacostav.blogspot.com/p/valor-numerico-de-una-expresion.html
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion-
algebraica/#:~:text=La%20multiplicaci%C3%B3n%20de%20dos%20expresiones,algebraicos%20lla
mada%20multiplicando%20y%20multiplicador.
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