practica calificada de laboratorio de fisica 2 tema mediciones

1. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 1 de 8
MEDICIONES
A. COMPETENCIAS
Definir los conceptos fundamentales de medición y teoría de errores y aplicar estos conceptos en la
experimentación, utilizando instrumentos de medida con seguridad, responsabilidad y ética
científica.
B. INFORMACIÓN TEÓRICA
La Física, se fundamenta en la experiencia (laboratorio) y ésta a su vez en la determinación
cuantitativa de magnitudes Físicas por lo que se necesita hacer mediciones.
B.1. Medición: Es la comparación entre la cantidad de sustancia o materia que se mide con un
instrumento patrón ó estándar de la misma naturaleza física, el resultado de la medida se expresa
con el valor (magnitud) y su unidad. Por ejemplo, el largo de una mesa l = 2,50 m.
Algunos instrumentos de medida:
 Regla, vernier, cinta métrica (miden longitud)
 Balanza (mide masa)
 Cronómetro (mide tiempo)
 Probeta (mide volumen)
 Termómetro (mide temperatura)
 Dinamómetro (mide fuerza)
 Transportador (mide ángulos)
 Amperímetro (mide intensidad de corriente)
 Voltímetro (mide voltaje, tensión)
Existen dos formas de realizar mediciones:
B.1.1. Mediciones directas: Cuando hacemos uso de instrumentos de medida y la magnitud física
queda completamente expresada. Ejemplo, altura de una persona h = 1,75 m; largo de una
mesa l = 2,50 m.
B.1.2. Mediciones indirectas: Son mediciones de magnitudes físicas que se valen de otras
magnitudes medibles (mediciones directas). Por ejemplo, para hallar el área de una pizarra,
se necesita medir el largo l = 2,25 m y ancho a = 1,16 m, en forma directa y así mediante una
relación matemática hallar el área: a
l
A 
 = (2,25 m) (1,16 m) = 2,61 m2
Con los instrumentos de medida se requiere determinar el “valor real” de una magnitud física,
resaltada entre comillas, porque las medidas nunca permiten obtener el valor real de la magnitud física,
lo que se logra es conocer el valor lo más cercano posible al valor real en la medida de las posibilidades,
esto se debe a muchas razones. Las más evidentes son: las imperfecciones inevitables en cierto grado
de los aparatos y de nuestros sentidos. Lo que se intenta, es conocer el valor más cercano al valor real,
por lo tanto el valor real no es accesible en la realidad y por ello resulta más propio hablar de medidas
y estimaciones de errores.
B.2. Aspectos de la medición: Todos los instrumentos de medida dan un grado de fiabilidad.
B.2.1. Exactitud: Es la aproximación al valor real utilizando un instrumento de medida.

2. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 2 de 8
B.2.2. Incertidumbre o error (δx ó Δx): Es el grado de falla o incerteza con la cual se realiza una
medición.
B.2.3. Precisión: Brinda mayor información.
Ejemplo, suponga que un bloque tiene masa de 50 g (valor real), si medimos en una balanza
A la lectura es 49,9 g y en una balanza B es 49,895 g, entonces la medida en A es más exacta
porque se acerca más al valor real y B es más precisa porque posee mayor información (más
dígitos). Además, indica la habilidad para reproducir ciertas mediciones con una exactitud
dada.
Como toda medida de una magnitud física no es exacta, posee incertidumbre (error) y generalmente la
incertidumbre es la mínima división del instrumento de medición, por lo tanto, cuando se exprese el
resultado de una magnitud x es necesario especificar tres elementos: magnitud, incertidumbre y unidad,
tal como: )
δ
( x
x
x 
 unidad, la ausencia de alguna de ellas elimina o limita la información
proporcionada.
Ejemplo: el largo de una mesa l = (250,0 ± 0,1) cm, se debe tener en cuenta que la lectura y su
incertidumbre deben tener las mismas unidades.
En conclusión el resultado de una medición se indicará siempre con su incertidumbre. Por ejemplo, la
longitud de una caja de fósforos medida con una regla graduada en milímetros es: l = 5,4 cm, siendo su
incertidumbre ± 1 mm La longitud real se debe encontrar entre la región de incerteza 5,3 cm y 5,5 cm
Figura 1. El resultado final será escrito de la siguiente forma: l = (5,4 ± 0,1) cm.
Figura 1
Se puede presentar una magnitud física de dos maneras:
1. )
( x
x
x 

 unidad, donde δx indica la “Incertidumbre Absoluta” y representa los límites de
confianza dentro de los cuales se debe encontrar el valor real.
Ejemplo: l = (250,0 ± 0,1) cm
2. x = x unidad ± (δx / x ) 100% donde: δx / x indica la “Incertidumbre Relativa o fraccionaria”,
también (δx/ x ) 100% indica la “Incertidumbre Relativa Porcentual” ó simplemente “Incertidumbre
porcentual”.
Ejemplo: l = 250 cm ± 0,04%
B.3. Cifras significativas: Cuando se realiza una medición debe incluirse toda la información posible.
La cantidad de dígitos es la manifestación de precisión de una medida, por ello, habrá cierto
número de dígitos que tendrá significado y trasmita información; el valor depende de la calidad
del aparato, habilidad del experimentador y número de mediciones realizadas.

3. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 3 de 8
B.3.1 Multiplicación y división: Cuando se multiplica o divide varias cantidades, el número de
cifras significativas de la respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas de la
cantidad que tenga el menor número de cifras significativas. Ejemplo, para calcular el área de
una placa rectangular, se mide el largo (11,3 ± 0,1) cm el valor real se encuentra entre 11,2 cm y
11,4 cm, siendo su valor medido de tres cifras significativas; el ancho (8,4 ± 0,1) cm este valor
medido solo tiene 2 cifras significativas. El área de la placa rectangular se halla multiplicando los
valores largo por ancho, obteniendo 94,92 cm2 tiene cuatro cifras significativas y es mayor que
los valores medidos, según la teoría el resultado debe tener 2 cifras significativas ósea 95 cm2 .
B.3.2 Suma y resta: Cuando se suman o restan cantidades, el resultado debe expresarse con
tantos decimales como corresponda a la cantidad que menos decimales tenga. Ejemplo de suma:
 123 + 5,35 = 128,35 la respuesta debe ser 128 (tres cifras significativas)
 1,0001 + 0,0008 = 1,0009 (cinco cifras significativas)
 1,002 – 0,998 = 0,004 (una cifra significativa)
Los ceros pueden o no ser cifras significativas:
 Para colocar la coma decimal en números como: 0,05; 0,00015 y 0,00124 estos ceros no son cifras
significativas.
 Si la posición de los ceros viene después de otros dígitos hay la posibilidad de una interpretación
incorrecta. Por ejemplo, suponga que la masa de un objeto es 1500 g este valor es ambiguo debido a
que no sabemos si los dos últimos ceros se utilizan el punto decimal o si representan cifras
significativas en la medición. Con el fin de eliminar esta ambigüedad, es común utilizar la notación
científica para indicar el número de cifras. En esté caso, se podría expresar la masa como: 1,5 x 103 g
si hubiera dos cifras significativas en el valor medido, 1,50 x 103 g si hubiera tres y 1,500 x 103 g si
hubiera cuatro cifras.
La longitud de 0,00015 m debe expresarse como 1,5 x 10-4 m si tuviera dos cifras, como 1,50 x 10-4 m si
tuviera tres cifras.
B.3.3 Redondeo: Si el número de cifras significativas de un resultado se debe reducir considerar
lo siguiente:
El último dígito retenido debe aumentarse en 1 si el dígito cancelado es mayor a 5. Si este es
menor a 5, el último dígito retenido permanece como está. Si el último dígito cancelado es igual
a cinco, el dígito retenido debe redondearse al número par más cercano, esto ayuda a evitar la
acumulación de errores.
Ejemplo: redondeando a tres cifras significativas
l = 16,54 m l = 16,5 m
m = 25,86 g m = 25,9 g
T = 24,976 °C T = 25,0 °C
F = 10,25 N F = 10,2 N
t = 12,55 s t = 12,6 s
La incertidumbre casi siempre se indica con una cifra significativa y el resultado redondeado en
el dígito donde se encuentra el error
Incorrectos Correctos
l = (250 ± 0,1) cm l = (250,0 ± 0,1) cm
t = (24,58 ± 0,1) s t = (24,6 ± 0,1) s

4. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 4 de 8
B.4. Clasificación de Errores
Los errores se clasifican en dos grandes grupos:
B.4.1. Errores Sistemáticos: Estos se repiten constantemente cada vez que se experimente bajo las
mismas condiciones. El error sistemático se puede minimizar si se conocen las causas,
pueden surgir por causa de un instrumento defectuoso (malogrado), mala calibración del
instrumento o usarlo en condiciones para las que no estaba previsto su uso. El
procedimiento o la metodología del experimento también suele incrementar el error
sistemático por lo que será necesario cambiar la forma del experimento.
B.4.2. Errores Accidentales (o aleatorios): Llamado simplemente error o incertidumbre, se
presentan debido a innumerables causas incontrolables, imprevistas y al azar; tales como:
lectura (enfoque, paralaje), condiciones de trabajo (laboratorio), … . El error accidental se
puede minimizar aumentando el número de mediciones, aunque la presencia de errores
accidentales no puede evitarse si pueden calcularse.Para estimar errores accidentales
existen dos métodos:
1. Estimación Externa: Cuando se realiza una medición directa de una magnitud física donde el
número de mediciones n es menor a 5 (n < 5).
 Cuando se realiza una lectura n = 1, la incertidumbre viene dado por la mínima división en la escala
del instrumento de medición. Ejemplo, una regla graduada en milímetros la incertidumbre es 1 mm.
Si la división más pequeña de un termómetro es 1 °C; sin embargo, la longitud de esta división es
notable de manera que se aprecia fácilmente la mitad de esta división, entonces el error de la lectura
es de 0,5 °C
 Cuando el número de mediciones esta entre: 2 ≤ n < 5 para obtener una impresión rápida de su valor y
su incertidumbre se sigue el siguiente procedimiento:
Sean las mediciones: x1, x2, x3, x4,…,xn con i = 1, 2, 3,…,n donde 2 ≤ n < 5.
Se determina la lectura como el promedio aritmético:
5
2
.
n
....
3
2
1
1
i
i
1









 n
n
x
x
x
x
n
x
n
x (1)
La incertidumbre será:
n
x
x
x
x
x
x
x







n
2
1 ...
δ (2)
Ejemplo:
Se tiene las siguiente medidas del largo de una mesa: 1,42 m ; 1,51 m y 1,29 m
El promedio aritmético es x = 1,41… m
La incertidumbre es
3
1,41
1,29
...
1,41
1,51
1,41
1,42
δ







x
x = 0,08 m
El resultado final se escribe como: x = (1,41 ± 0,08) m

5. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 5 de 8
2. Estimación Interna: Se realiza cuando el número de mediciones de una misma magnitud física es
n ≥ 5 esto implica que todas las mediciones realizadas bajo las mismas condiciones dan resultados
distintos en la proximidad del valor real.
Si se realizan varias medidas de una misma magnitud física tales como: x1, x2, x3, x4,…,xn. Se calcula
como la mejor estimación del valor real al promedio aritmético:
5
.
...
n
1
i
i
1 n
3
2
1








 n
n
x
x
x
x
x
n
x (3)
con i = 1, 2, 3,…,n donde n ≥ 5
La incertidumbre asociada a una medida del conjunto de mediciones está dada por la “desviación
estándar”  
x
 :
1
)
(
...
)
(
)
(
)
(
5
1
)
(
2
2
3
2
2
2
1
2
1
















n
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
x
x
n
x
n
i
i
x


(4)
Finalmente la lectura queda expresada como: )
( x
x
x 

 unidad
La incertidumbre asociada al promedio aritmético del conjunto de mediciones se determina por
“desviación estándar del promedio”.
n
ó
n
n
x
x
x
x
n
i
i
x


 





)
1
(
)
( 2
1 (5)
B.5. Incertidumbre en funciones de dos ó más variables (Propagación de incertidumbres)
Cuando se quiere hallar la incertidumbre de una variable que depende de otras variables (medición
indirecta). Existen diversos métodos para hallar su incertidumbre como son: extrémales (máximos y
mínimos), derivadas parciales e incertidumbre relativa. Por comodidad y simplicidad emplearemos
el “Método de Incertidumbre Relativa”.
a) Suma y diferencia de dos o más variables: Sea y
x
z 

La incertidumbre de una suma o diferencia es aproximadamente a la suma de las
incertidumbres individuales
y
x
z 

 

Demostración:
Sea y
x
z 
 (6)

6. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 6 de 8
donde: y
x , son cantidades medidas de modo que:
 unidad
x
x
x 


 unidad
y
y
y 

 (7)
Reemplazando en (6)
z
z
z
y
x
y
x
z
y
y
x
x
z















)
(
)
(
)
(
)
(
Entonces
y
x
z
y
x
z


 



Para una diferencia se realiza de forma análoga.
b) Producto: Sea xy
z 
y
y
x
x
z
z 



 (8)
Demostración: Sea xy
z 
Utilizando la ecuación (7)
Donde:
y
x
x
y
y
x
z 



 


 y
x
z
(9)
Pero x
 y y
 son pequeños por lo tanto se puede considerar 0

y
x

x
y
y
x
z 

 
 (10)
Dividiendo entre: y
x
z 
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
z 




Se obtiene:
y
y
x
x
z
z 




c) Producto y cociente: Sea
v
u
y
x
z 
v
v
u
u
y
y
x
x
z
z 








z
z
z
y
x
x
y
y
x
y
x
z
y
x
x
y
y
x
y
x
z
y
y
x
x
z
























)
(
)
(
)
(

7. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 7 de 8
d) Potencia: Sea
b
a
y
x
z 
y
y
b
x
x
a
z
z 




x, y, u y v son variables; a y b son constantes.
Ejemplos:
a)Si
z
y
x
L  , calcular δL
L
L 
 si:
 
 
 m
z
m
y
m
x
0,5
10,0
0,01
5,00
2
200






Solución:
Calculando L
  
 
m
m
m
m
L 100
10,0
5,00
200


La incertidumbre es
0,062
0,05
0,002
0,01
δ
δ
δ
δ







z
z
y
y
x
x
L
L
   m
m 6,2
100
0,062
δL 

Ya que la incertidumbre debe expresarse con una cifra significativa, el resultado final es:
L = (100 ± 6) m
b) Se quiere calcular la aceleración de la gravedad (g) usando el péndulo simple, cuyo periodo está
dado por:
g
l
T 
2
 , donde la longitud del péndulo es l = (1,010 ± 0,001) m y el periodo T =
(2,004 ± 0,004) s
Solución:
Despejando g tenemos:
 
2
2
2
2
2
/
9285
,
9
004
,
2
043
,
1
4
4 s
m
s
m
T
l
g 

 

El factor
2
4 es una constante, por lo tanto la incertidumbre δg será:
004982
,
0
)
001996
,
0
(
2
00099
,
0
2 




T
T
l
l
g
g 


2
2
/
04946
,
0
)
/
9285
,
9
)(
004982
,
0
( s
m
s
m
g 


Nuevamente debemos expresar el resultado con una cifra significativa, por lo que el resultado
final es: g = (9,93 ± 0,05) m/s2

8. Laboratorio de Física Básica Mecánica
LM-001 / 8 de 8
En general se espera que la combinación de errores sea entre incertidumbres de igual
significancia estadística2 es decir que 𝛿𝑥, 𝛿𝑦, etc , correspondan a una desviación estándar o dos
desviaciones estándar o, a errores instrumentales (mediciones directas)
B.6. COMPARACIÓN DE UN VALOR EXPERIMENTAL CON UN BIBLIOGRÁFICO.
Como primera aproximación se considerara en este laboratorio el siguiente criterio .Si al final de
una medición se hace referencia al valor bibliográfico y/o teórico como el valor real y se observa
que dicho valor se encuentra dentro de la región de incerteza entonces el error o incertidumbre
calculada es accidental. Si el valor se encuentra fuera de la región de incerteza, ha ocurrido un error
sistemático.
 En región de Incerteza
 En porcentaje
%
100
(%) x
ico
Bibliograf
Valor
al
Experiment
Valor
ico
Bibliograf
Valor
n
Comparació


Por comparación se quiere expresar que existe una “diferencia” o “discrepancia” experimental
respecto al valor bibliográfico. en este sentido se debe estar seguro que el valor bibliográfico
corresponde a la misma cantidad medida en nuestro laboratorio y bajo condiciones similares
utilizadas por nosotros , de lo contrario no tiene razón esta comparación .Un criterio adicional que
indica una aceptable compatibilidad entre el valor bibliográfico y el valor experimental es que la
diferencia o discrepancia porcentual sea menor o igual a la incertidumbre fraccionaria porcentual .
REFORZANDO LO APRENDIDO
1. Si V = abc, calcular V = (V ± V), sabiendo que a = (8,2±0,1)cm, b = (10,0±0,1)cm y c = (2,3±0,1)cm.
Expresar sus resultados en unidades del SI.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
2.Un móvil se desplaza con rapidez constante una distancia de x = (5,5 ± 0,1) m en un tiempo de 1,8s
medido con un cronómetro que avanza de 0,1 s en 0,1 s. a) Indique la magnitud de x con su
incertidumbre porcentual. b) Indique la magnitud de t con su incertidumbre absoluta y porcentual
c) Calcule la rapidez y su incertidumbre.
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
2Cuando se considera una desviación estándar , la probabilidad de que el valor verdadero se encuentre en la región
𝑥̅ ± 𝑆𝑥̅ es alrededor de 68% , con dos desviaciones estándar la región crece a 𝑥̅ ± 𝑆𝑥̅ y la probabilidad es de alrededor
del 95% y asi en forma creciente para diferentes valores de nla incertidumbre .Una medición directa se considera
con una incertidumbre (error instrumental ) de un 100% de significancia estadística.