Este documento define conjuntos y subconjuntos, y describe las propiedades de los números reales. Explica que los números naturales, enteros, racionales e irracionales son subconjuntos de los números reales. También describe seis propiedades fundamentales de los números reales: cerradura, conmutativa, asociativa, distributiva, identidad e inverso. El conjunto de los números reales forma un campo debido a que cumple con estas seis propiedades.

1. MATEMÁTICAS I
Campo de los números Reales (Bloque
1 / Semana 1)

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO Y
SUBCONJUNTO
• Sean A y B dos conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B o
que A está contenido en B (A B), si cada elemento del conjunto A
es un elemento del conjunto B .
• Lo anterior lo denotaremos por:
• A⊆B
• Lo cual se representa por medio de un diagrama de Venn de la
siguiente manera:

3. Definición de conjunto y subconjunto
• La operaciones básicas en conjuntos son la unión representada
por “U” y la intersección representada por “∩”

4. Definición de conjunto y subconjunto
• La unión “U” es la representación del conectivo “o” , el cual nos
representa elementos de un conjunto “o” del otro, incluyendo en
la solución los elementos de ambos

5. Definición de conjunto y subconjunto
• La intersección “∩”es la representación del conectivo “y”, el cual
nos representa elementos de un conjunto y del otro, incluyendo
en la solución aquellos elementos que se encuentran en ambos
conjuntos al mismo tiempo.

6. CONJUNTO DE LOS NUMEROS NATURALES,
ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES
• El conjunto formado por todos los números racionales y los
irracionales es el de los números reales, de modo que todos lo
números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales con Reales.
Estos números se representan en la recta numérica en cada uno de
sus puntos.

7. • De lo anterior podemos deducir puntos importantes:
 Los números Naturales (N) (1, 2, 3, 4, …) son subconjunto de los
números enteros .
 Los números Enteros (Z) (…-2, -1, 0, 1, 2, …) son un subconjunto
de los números racionales.
 Los números Racionales (Q) (…-24/3,-5,5/4,…) y los números
Irracionales (I) (π,2.4527….) son un subconjunto de los números
reales.

8. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS
REALES

9. Cerradura
• Si a, b  , entonces: a + b   , a  b  
• Esta propiedad nos indica que si se tienen dos elementos que
sean números reales, entonces la suma y la multiplicación darán
también un número real.
Ejemplo
• Si 4 es par y 6 es par, entonces 4 + 6 = 10 que también es un
número par
• De la misma forma 4  6 = 24 y el producto también es un
número par.

10. Conmutativa
• Si a, b  , entonces: a + b = b + a, o para la multiplicación
a  b = b  a
• La propiedad indica que no importa el orden en que se sumen,
dicho de la forma usual: “el orden de los sumandos no altera la
suma"; o se multipliquen “el orden de los factores no altera el
producto” de dos números reales, ya que se obtiene el mismo
resultado.
• Ejemplos : 5 + 3/2 = 3/2 + 5 , 2  2/7 = 2/7  2 ,
y + 4 = 4 + y, 8  z = z  8
2 + a = a + 2 , 11 + 5 = 5 + 11

11. Asociativa
• Si a, b, c  , entonces a + (b + c) = (a + b) + c, o para la
multiplicación a  (b  c) = (a  b)  c
• La propiedad se refiere a que se pueden hacer sumas parciales, o
productos parciales, dentro de la operación agrupando dos de
los números reales en el orden que se desee. Se realiza la
operación indicada dentro del paréntesis y después se realiza la
operación restante con el tercer número real.
• No importa como se asocie, el resultado no se altera.

12. Asociativa
• Ejemplos:
• Al efectuar la operación 21 + 32 + 12 , por la propiedad asociativa
se puede realizar como:
(21 + 32) + 12 = ( 53 ) + 12 = 65
o bien
21 + (32 + 12) = 21 + ( 44) = 65
• Al realizar la operación 12  3  2 , aplicando la propiedad asociativa,
se tiene:
(12  3)  2 = ( 36)  2 = 72
o bien
12  ( 3  2) = 12  (6) = 72

13. Distributiva
• Si a, b, c, d  , entonces
a  (b + c  d) = (a  b) + (a  c)  (a  d)
• Nos indica que si un número real multiplica a otros números
reales, que aparezcan como sumandos, o restadnos, dentro de un
paréntesis; entonces éste multiplica a todos y cada uno de los
sumandos, o restandos

14. Distributiva
Ejemplo:
La operación 2  ( 3 + 4  5 ) se realiza como:
2  ( 3 + 4  5 ) = operación dada
= (2  3) + (2  4) + (2  (5)) propiedad distributiva
= ( 6 ) + ( 8 ) + (10 ) cerradura
= ( 6 + 8 ) + (10 ) asociativa
= ( 14 ) + (10 ) cerradura
= 14  10 regla de los signos
= 4 cerradura

15. Identidad
• Si a  , con a  0, entonces existe el CERO como elemento
idéntico (neutro) único para la suma; esto es, a + 0 = a.
• De la misma forma, existe el UNO como elemento idéntico
(neutro) único para la multiplicación; esto es a  1 = a .
•
• La propiedad nos indica que cualquier número real que al
sumarse con cero o al multiplicarse por la unidad nos da el mismo
número real.

16. Identidad
Ejemplos.
3 + 0 = 3, 2/5  1 = 2/5 , (7) + 0 = 7,
(3/7) (2/2) = (3/7) (1) = 3/7,
2 ( a/a) = 2 (1) = 2, (a  0)

17. Inverso
• Si a   , a  0, existe un número real único ( a) tal que a +
(a) = 0. El número real (a ) se llama el inverso aditivo del
número real a .
• De igual forma, existe un número real único ( 1/a ) tal que (a)
(1/a) = 1 . El número real (1/a) es llamado el inverso
multiplicativo del número real a. También se conoce como el
recíproco.

18. Inverso
Ejemplos:
3 + (3) = 0,  5 + 5 = 0,
2 ( 1/2) = 1; ( 2/3) ( 3/2) = 1
• Observa que el inverso multiplicativo de cualquier fracción de la
forma (a/b) es igual a (b/a).

19. Campo de los números Reales
• Todo conjunto de números que cumpla con las seis propiedades
que se acaban de enunciar recibe el nombre de CAMPO.
El conjunto de los números reales forman un campo.