Resumen de algunas formulas para Bachillerato en Costa Rica en el Area de Matemática

1. Resumen Formulas para Bachillerato 2015, 11ºmo
Colegio Bilingüe de Palmares Profesor:Danny GonzálezAlvarado.
Elementos de la circunferencia
Centro: O
Radio: OK
Diámetro: AB
Cuerda: DC
Secante: MN
Tangente: FG
Ángulo central: AOB
Arco menor: 𝐴𝐵̂
Arco Mayor: 𝐴𝐶𝐵̂
Tipos de Circunferencias.
En los dibujos que es muestran a continuación, “r” representa el radio de la circunferencia menor, “R” el radio
de la circunferencia mayor y “K” la distancia entre los centros de ambas circunferencias.
1- Circunferencia
Concéntricas.
2- Circunf. Tangentes
Externamente.
3- Circunf. Tangentes
Internamente
4- Circunferencias
Secantes
- Propiedades asociadas al Círculo
Teorema Representación Teorema
 Una recta perpendicular a un radio en su
extremo, es tangente a la circunferencia.
 Toda tangente a la circunferencia
es perpendicular al radio, en su
punto de tangencia
 En una misma circunferencia o
circunferencias congruentes, dos cuerdas
congruentes equidistan del centro.
 En una misma circunferencia o
en circunferencias
congruentes, las cuerdas
equidistantes del centro, son
congruentes
Área del Circulo Semicírculo  Longitud de Circunferencia
O 
B
A

K = 0
r
R
O
R - r < K < R+r
K O2O1
rR
K = R + r
R
K
O2O1
r
K = R - r
O2
r
R
KO1
r
2rA 
r
rC 2
O
r
2
2r
A



2. - Fórmulas de Polígonos
1. Suma de los ángulos internos 𝑆 = (𝑛 – 2) 180°.
2. Medida de un ángulo interno de un polígono regular:
𝑚𝑖
n
n  180)2(
= .
3. Total de diagonales:
𝐷 =
2
)3(  nn
.
4. Diagonales desde un vértice: 𝑑 = 𝑛 – 3.
5. Medida de un ángulo central: 360
Ac
n

 .
6. Medida de un ángulo externo: 360
EA
n

 .
7. Número de lados conociendo la suma de los ángulos internos:
2
180
S
n  

8. Número de lados conociendo la medida de un ángulo interno de
un polígono regular
360º
180º i
n
m


9. Área de un Polígono Regular:
.
2
aln 
A =
Cuadrado Triangulo Equilátero Hexágono
 Relación:
2
2
2
d
l r  
 Apotema:
2
l
a 
 Área:
2
2
2 d
ólA
 Relación: 3 rl
 Apotema:
3
3
6
hl
a


 Altura:
2
3l
h


 Área:
4
32 

l
A
 Relación: .rl 
 Apotema:
2
3l
a 
 Área:
2
323l
A 
- Funciones Trigonométricas
Dominio Ámbito Int. Eje
“x”
Int. Eje
“y”
Puntos de
Discontinuidad
Periodo
Sen x ℝ [−1,1] ( 𝑘𝜋,0)
k 
(0,0) No hay 2
Cos x ℝ [−1,1] ( 𝑘𝜋/2, 0)
k impar
(0,1) No hay 2
Tan x *** ℝ ( 𝑘𝜋,0)
k 
(0,0) ( 𝑘𝜋/2, 0)
k impar

2 2
Perímetro apotema P a
A
 
 
AC


3. Características principales de las figuras sólidas
Nombre Dibujo Área Basal (AB ) Área Lateral (AL ) Área Total (AT )
EL CUBO AB = 2•l2
AL = 4•l2
AT = 6•l2
d = l√3
EL PRISMA
(cualquier base)
AB = 𝑃𝑏 ∙ 𝑎 𝑏
o
AB = 2 ∙ 𝐴 𝑏
AL = 𝑃𝑏 ∙ ℎ AT = 𝑃𝑏(ℎ + 𝑎 𝑏)
EL CILINDRO AB = 2𝜋𝑟2
AL = 2𝜋𝑟ℎ
AT = 2𝜋𝑟( 𝑟 + ℎ)
LA PIRÁMIDE
(cualquier base)
Ab =
𝑃 𝑏∙𝑎 𝑏
2
AL =
𝑃 𝑏∙𝑎 𝑝
2
2 2 2
p ba a h 
2 2 2
ar r h 
AT =
𝑃 𝑏∙(𝑎 𝑝 + 𝑎 𝑏
)
2
EL CONO
Ab = 𝜋𝑟2
AL = 𝜋𝑟𝑔 AT = 𝜋𝑟( 𝑟 + 𝑔)
LA ESFERA
*** *** A = 4𝜋𝑟2
Notación: a = arista, g = generatriz h = altura, r = radio, Ab = área de la base, l = lado
n = número de lados, ap = apotema de la pirámide ab = apotema de la base
Resumen de Funciones
r
h
r
g
r
h
l
r
ab
h
l

4. Funciones: f: A → B
A: Dominio (x, preimágenes, abscisas, variable independiente --“igualar”)
B: Codominio, ámbito ( imágenes, ordenadas, variable dependiente, …”sustituir”).
Para ser función: cada preimagen tiene una única imagen, todos los elementos del dominio están relacionados.
Función inyectiva: cada imagen tiene una única preimagen.
Función sobreyectiva: codominio es igual al ámbito.
Función biyectiva: es inyectiva y sobreyectiva.
Función inversa: se despeja la ecuación en términos de 𝑥 y se cambian las variables al final.
A- Función Lineal
Ecuación de la recta: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 ò 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Formulas: 2 1
2 1
(pendiente)
y y
m
x x



𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥
Monotonía: 𝑚: pendiente → Si 𝑚 > 0 la función es Creciente
→ Si 𝑚 = 0 la función es Constante
→ Si 𝑚 < 0 la función es Decreciente
La intersección con el eje “𝒚” La intersección con el eje “𝒙”
es en el punto: es en el punto:
Rectas paralelas Rectas perpendiculares
Las rectas paralelas no tienen intersección.
Tienen la misma pendiente
Las rectas perpendiculares se intersecan formando un
ángulo recto.
(se le da vuelta a la pendiente y se cambia el signo)
gf
mmgf //
1 gf
mmgf .
( 0 , b )
eje y
eje x
f(x) = mx + b
Corte con el "eje y"
( 0 , b )





 
0,
m
b
eje y
eje x
f(x) = mx + b
Corte con el "eje x".





 
0,
m
b

5. B- Función Cuadrática
Se representa por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎≠ 0
Característica Análisis
Concavidad
( parábola)
Representa el sentido de la gráfica:
*Si a > 0 (positiva) * Si a < 0 (negativa)
Es cóncava hacia arriba Es cóncava hacia abajo
⋃
Discriminante
( = b2
– 4ac)
Si  > 0 (positivo)
entonces la parábola
intersecaal eje de “X”endos
puntos
Si  < 0 (negativo)
entonces la parábola
no interseca al eje X.
Si  = 0 entonces la
parábola
interseca al eje X en un
único punto
Intersección X
(calc. mode 5-3)
Es la solución de la ecuación cuadrática
Pares Ordenados ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )
Intersección Y
( 0, c )
Es el valor de “c”, en el punto ( 0, c )
Eje de Simetría
a
b
X
2


Es quien parte a la mitad a la parábola
Se mide con el eje X
a
b
X
2


Pto mínimo o
Máximo
a
Y
4


Se mide con el eje
a
Y
4


*Si a > 0 (positiva)
Es puntomínimo
*Si a < 0 (negativa)
Es punto máximo
Vértice





 
aa
b
4
,
2
El puntomásalto(puntomáximo) omásbajo(puntomínimo) que una parábolapueda
alcanzar, simbólicamente denotado con V. Es la unión del eje de simetría con dicho
punto. V= 




 
aa
b
4
,
2
Inter. Creciente
Eje x
*Si a > 0 * Si a < 0
] a
b
2
 , + [ ] -  ,
a
b
2
 [
Inter. Decreciente
Eje x
] -  ,
a
b
2
 [ ] a
b
2
 , + [
Ámbito
Eje y
[ a4
 ,+ [ ] - ,
a4
 ]

6. 1
x
y
f
x
y
f
1
C- Función Exponencial y Logarítmica
 Función Exponencial  Función Logarítmica
Ecuación 𝑓(𝑥) = a 𝑥
donde 𝑎  0, 𝑎 ≠ 1
Dominio:ℝ Ámbito:ℝ+
Intersecciones;
Eje “X” : no hay Eje “y”: (0,1)
Graficas
Caso I Caso II
𝒂  𝟏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏
Creciente Decreciente
Ecuación 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 donde 𝑎  0, 𝑎 ≠ 1
Dominio:ℝ+ Ámbito:ℝ
Intersecciones;
Eje “X” :(1,0) Eje “y”: no hay
Graficas
Caso I CasoII
𝒂  𝟏 𝟎 < 𝒂 < 𝟏
Creciente Decreciente
USO DE CALCULADORA
Memorizar valores
Se recomienda los números primos: 13, 17, 19, 23, 29, 31,…etc.
Guardar#SHIFT RCLletra elegida a usar los valores de a, b y c
son:a=2, b=-3 y c=-9, loscuales deben ser ingresadosa la calculadora. Para elmodelo
SacarALFA letra elegida
Factorización:
Preguntan: un factor.
1- Guardar valores para las letras
2- Escribir en fracción:
𝒆𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒕𝒆𝒂𝒅𝒂
𝒐𝒑𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
3- La opción que de un # ENTERO es la correcta.
, e ingresar los
Equivalencia:
Preguntan: la expresión equivalente, factorizacióncompleta, alsimplificar, el resultado de
1- Guardar valores (principalmentepara “x” y “y”)
2- Escribir la expresión planteada, calcularla y anotar elresultado()
3- Escribir las 4 opcionesplanteadas, la que dé elmismo resultado es la opción correcta.
Ecuaciones:
Se cambia elvalor de la variable por lasposibles opciones, el quecumpla la igualdad es la correcta.
Sistemas de ecuaciones
1- Acomodar de la forma:{
𝑥 ± 𝑦 =
𝑥 ± 𝑦 =
2- Presionar MODE 51
Sistema incompatible → no tiene solución (las rectas son paralelas)
Sistema indeterminado → tiene infinitas soluciones (las rectas quedan una sobre otra)
Dominio máximo Resumen de Casos:
x
y
1
x
y
1

7. D-Función Inversa:
Función Función Inversa Grafica
:f A B ABf 
:1
Dominio Máximo:
Caso Procedimientos Ejemplos: Notación del dominio
1. Función
polinomial.
No se realiza
procedimiento alguno.
f( ) 2 9x x 
MD 
2. Función algebraica
racional
Se iguala el denominadora
cero y se resuelve la
ecuación.
6
( )
5 3
x
g x
x



5 3 0
5 3
3
5
x
x
x
 


3
5
MD





 

3. Función radical de
índice impar
No se realiza
procedimiento alguno.
3
( ) 5 12h x x  MD 
4. Función radical de
índice par
Se anota el polinomio del
subradical ( ≥ 𝟎) y se
resuelve la inecuación
resultante
4
j( ) 4 14x x 
4 14 0
4 14
14
4
7
2
x
x
x
x
 



7
,
2
MD
 
    

8. LENGUAJE COMUN EXPRESADO EN LENGUAJE ALGEBRAICO
Los enunciados de un problema de planteo conllevan un lenguaje simbólico entregado por la lógica y
matemática, este lenguaje nos permite plantear y resolver los problemas siguiendo los pasos que nos permite
el álgebra en la resolución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones simultáneas.
Algunas expresiones más comunes son:
a) Un número cualquiera o un dato desconocido : x
b) El doble o duplo de un número : 2x.
c) El triple o tres veces un número : 3x
d) Cuatro veces o cuádruplo un número : 4x
e) El cuadrado de un números : x2
f) "aumentado" significa suma y diferencia o "disminuido" significa resta. “Producto” es multiplicación y
“cociente” es división.
g) Un número aumentado en 8 unidades : x + 8
h) El triple de un número disminuido en 7 unidades: : 3x - 7
i) El doble de un número aumentado en 5: : 2x + 5
j) El inverso de un número :
x
1
.
k) La mitad de un número :
.2
x
.
l) La tercera parte de un número aumentado en cinco : 5
3

x
.
m) La quinta parte de diferencia entre un número y 8 :
5
8x
n) El doble de la suma entre un número y 7 : 2(x+7)
o) La suma de dos números es 56: 1er
: x / 2d
º: 56-x
p) Tres números enteros consecutivos: 1er
º: x / 2d
º: x + 1 / 3r
º: x + 2 .
q) Tres números pares consecutivos: 1er
º: x , / 2d
º: x + 2 , / 3r
º: x + 4 .
r) Tres números impares consecutivos: 1er
º: x + 1, / 2d
º: x + 3, / 3r
º: x + 5.
s) La edad de Miguel dentro de diez años : x + 10.
t) La edad de Miguel hace diez años : x  10.
u) Pedro tiene 7 años más que Luis Luis: x / Pedro: x + 7