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MATEMÁTICA PARA TODOS

COM A IDEIA DE CIIIWATIIRA,  ISAAC
ASIMOV EXPLICA OS ERBOS DA CIENCIA

pág.  52

 

 
 
 
  
  
 
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professora de matemática,  colocava uma mala

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CJID/ ÏW-¡CA

Daniela diz que,  no comeco,  seus alunos resistiram
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Para que uma oolónla de fungos cresqa desimpedida,  ela precisa de alimento (a fatia de pau). 
relativo calor (ar-condicio...
— Será que fica bom com maio-
nese?  — disse outro. 

(Náo pode.  Comer bolor faz mal. )

Daniela percebeu que os alunos
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Revista cálculo

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Matéria sobre o lsm: Bolor no laboratório de matemática, publicada na Revista Cálculo, nº 49/ fev. 2015

Veröffentlicht in: Bildung
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Revista cálculo

  1. 1. MATEMÁTICA PARA TODOS COM A IDEIA DE CIIIWATIIRA, ISAAC ASIMOV EXPLICA OS ERBOS DA CIENCIA pág. 52 Ele batalhou para que fosse, aos olhos dos outros, “um lracassado", Isto é, um professor fi. ll como estudar matemática com llxo e páes embolorados Há 18 pessoas num lugar. Logo, no minimo quatro delas já se conhecem, ou entáo quatro delas nunca se viram antes. Esse tato, para quem já ouviu falar dos números de Ramsey, dispensa uma explicacáo sociológica mirabolante. Veja por que tais números aparecem em todo lugar: dos grupos de pombos aos de computadores UM canso ns MAIEMÁHCA PURA ' o Funqóes com variáveis reais o Gases e bolas - Gráficos . , g
  2. 2. Tpdos os dias de rnanhi, Daniela Mendes Vieira, professora de matemática, colocava uma mala de viagem pesada no porta-malas do carro. Quem a observasse teria razóes para pensar: "Para onde ela tanto viaja? " A estrada era longa: ela percorria quase 60 quilómetros para dar aula em Duque de Caxias, na Baíxada Fluminense; ao final do dia, enfrentan o tráfego intenso oorn os filhos sonolerrtos no banco de trás do carro, e ao chegar em casa tínha dirigido por cinco horas ao todo. Dentro da mala, levava re- vistas, oesouras sem puntas, colas, cartolinas, jornais, canetinhas e barbantes; n ideia era que seus alunos estudassem matemática produzindo objetos. Entio ela arrumou um emprego novo — toi tra- balhar no recém-imugundo Colegio Estadual Hebe Camargo, na zona oeste do Rio de Janeiro, a 25 mi- nutos de distancia da sua casa. Quando Daniela entrou na escala nova, viu escrito mima porta: LA- ‘ Ionxrósuo DE FísicA e MATEMÁTICA. Abriu a porta e deu uma espiada: cadeíras e mesas com cores ainda vivas. Entrou e passou a mio pelas paredes — tinta naval Tudo exalava cheiro de novo. Nunca mais ela precisaría corregir aquela mala Logo pensou: "Vou revolucionar esse lugar! ” No colegio Hebe Camargo, os ahmos se forman: como técnicos em oelecomunicaqbes Daniela teve vá- rius ideías de como transformarla aquele laboratorio num ambiente instigante. Visto que os equipamentos da escola haviam sido desembrulhados ha pouco hem- po, achou caíxas, plásticos e isopores. Sendo quem é, Daniela nio permitiu que jogassem toda aquela tralha no lixo — pois poderia transforma-la em objetos para o estudo de matemática. Em poucos dias, já conduzia experimentos dentro e fora do laboratorio. Ela sempre gostou de produzir seus próprios obje- tos matemáticos; e’ o que ela chama de materials ma- nipuláveis e sustentáveis — íeitos de llxo. Para ensi- nar a ¡dela de baricentro, Daniela cormtrói um objeto com um pote velho, canudinhos e papelio; para so- mar os ángulos externos de um polígono convexo qualquer, usa isopor, cartulina e mais canudinhos; para ensinar ángulos correspondentes, usa um CD amigo. Daniela também ensina seus alunos a cons- truir cada um seu ábaco aberto cam isopor, palitos de churrasco e tampinhas de garrafa PET. Daniela gusta de materials didáticos feitos assim, com materia-prima descartável, pois fiicam baratos; além disse, ela pode planejá-los, e os alunos podem construidos, de modo a ¡e adequar perfeitamente ao assunto em estudo. Quanto aos maberiais lndus» trializados, nio gesta delas tanto assim. “O proble- ma desee tipo de material é que ele serve para muita noise No caso do multiplano, ele serve para estudar funqóes, ireas, etc. Sao tantos assuntos que o profes- sor pode ficar perdido, e o objeto ¡ceba sem serventla nenhuma. " Ela já recorreu a jogos em sala de aula, mas nem sempre os alunos estudam de verdade. No caso do dominó de fraqóes, por exemplo, Daniela diz que a crianqa reclama, pois nio quer jugar dominó de fragóes: quer jogar dominó. "A crianga fica chateada, pois hem de fazer continhas, senda que era mais legal jogar o dominó convencional. ” Daniela conta que uma ve: foi dar aula num cole’- gío e encontrou uma serie de materiais industrializa- dos empoeirados num: sala. Tentou usé-los, mas nio obteve o sucesso com o qual Íantasiava. Foi quando percebeu que só os materiaís com objetivo muito es- pecífico funcionam bem, e tais materiais, ora, é mais fácil construí-Ios que comprí-Ios — como o fabrican- te pode ser especifico se está vendendo para mil e uma escotes Brasil afora? “O que serve para muito ooísa, nao serve para nada. O professor multas vezes nem sabe o que vai fazer com aquilo. " A Arm DE ESPEINEAR BASTANTE Daniela acha normal que os nlunos decorem al- guns assuntos. Eles sabem que, rmma prove, o que treinou exaustlvamente tende a se sair melhor do que o que nio treinou. Mas, segundo Daniela, todo mundo tem uma “memoria associativa". Isso signifi- ca que, a tengo prazo, o aluno que consegue associar a materia a urna ¡tividade significativa se sai melhor do que o aluno que simplesmente decorou. "Por meto da associagño, o aluno carregn os conhecimentos de tal forma que eles oomecam a fazer parte de quem ele e'. ” Ela sempre organiza atividades fora da sala de aula. "Como a menrórin e‘ associativa, e’ preciso ter algo para puxar. Funqáo exponencial: fungos. Fun- cio afim: corrida na quadra. Razio trigonométricn: superbolhas. Faz toda a diferenca quando o aluno, tendo com o que puxar, oonsegue resgatar os conhe- cimentos de uma memoria de longo prazo. ” ? T
  3. 3. CJID/ ÏW-¡CA Daniela diz que, no comeco, seus alunos resistiram bastante. Primeiro, teve a ideia de realizar oficinas de matemática, que na verdade funcionariam como au- las de revisáo. Ela levava um prototipo pronto e pedia a classe, dividida em turmas, que o reproduzisse. Ao reproduzir o prototipo, sua esperanga era que eles reviveriam a materia. ”Foi um fracasso retumbante. " Dois motivos: (l) Ela ensinava vários temas por dia, e nenhum deles ia cair na prova. (2) Os estudantes trabalhavam em grupos de seis. Em termos escolares, isso é uma multidáo incontro- lável. No fim das contas, uma atividade que deveria ter durado uma aula durou seis meses. Depois disso, ela mudou tudo: passou a levar o material didático já pronto, em vez de pedir aos grupos que o construis- sem; montou grupos com quatro alunos; decidiu que cada oficina trataría de um único tema. Daniela diz que todos os indicadores de desempenho melhoraram. De lá para cá, Daniela admite, continua a ter pro- blemas frequentes com os alunos. Náo é com um ou dois, mas com a maioria deles. "A regra é o aluno ser refratário. Ele quer conversar no horario da atividade, ele te pergunta se aquilo é realmente necessário, ele te informa que aprendia muito bem com a outra pro- fessora. ” Até hoje, é comum um aluno se aproximar e perguntar: — Professora, por que voce usa essa metodologia? Outro: — É aula de arte? Outros —I’or que cu tenho de fazer isso tudo? Me dá logo a fórmula! Embora os alunos resistam, Daniela diz que eles se acostumam com o metodo e passo a passo váo se apropriando do espaqo. "Eles comecam a ver mate- mática com outros olhos. Alunos que antes náo gosta- vam de matemática, passam a gostar, porque passam a entendé-la. Eles comeqam a ver que náo precisam mais decorar, pois quem decora, esquece. " Entáo, embora os alunos ainda resistam, meio que por reflexo condicionado, Daniela os considera bons parceiros. Eles já sugerem modificacóes e melhorias nos materiais que já usaram. "Hoje, o aluno é um questíonador mesmo, e eu acho que ele está certo. Al- guns professores veem isso como um problema, mas eu vejo como uma qualidade. "
  4. 4. l ‘.1 l‘ ‘u Hum nui. ’ un» l klllulnu un ¡u n ¡’us A professora Daniela levou seus alunos até o as coordenadas dos quatro pontos e o método dos laboratorio de matemática e lhes mostrou várias fatias mínimos quadrados para devolver em resposta a curva emboloradas de páo e várias fatias de páo fresco. y = 0,631155 - exp(0,820859x): Anunciou: — Hoje vou ensinar fungáo exponencial de outro jeito: com a ajuda de uma colonia de Aspergillus sp. Os alunos se olharam com cara de ué. — Asper. .. O qué? — perguntou um aluno. — Gente, sem drama — respondeu Daniela. — Aspergillus sp nada mais é do que bolorl Ela deu explicaqóes e dai cada grupo fez seu trabalho: contaminou uma fatia de páo fresco com 1 centímetro quadrado de fungos, retirados de uma fatia já embolorada. Para isso, basta um cotonete. Durante cinco dias, eles acompanharam com cuidado o crescimento do bolor. Eis um modo de olhar para o problema: usando um sistema de coordenadas retangulares, basta imaginar o eixo X como sendo (Note que, neste caso, o computador procurou os dias e o eixo Y como sendo a área da colonia em números para a funcáo y = Ce“, com C, D reais ¡entímetros quadrados. positivos. ) Mas e se a turma náo sabe usar o computador desse modo? Como o aluno pode escolher um valor médio para k? Esse é um tópico interessante de conversa. Será que o melhor jeito é recorrer a média aritmética? Será que é melhor recorrer a média geométrica? De todos os pontos ou só de alguns deles? E se a turma tentasse achar uma funcáo polinomial de grau 4 que passasse por todos os pontos — poderia interpolar valores mais facilmente? Poderia extrapolar valores? Há várías maneiras de proceder aqui. Um deles é pegar a fórmula genérica da fungáo crescimento exponencial, que é y = ke’ (k positivo), e usar um dos pontos para descubrir o valor de k. Por exemplo, o ponto D: %= M» Inïzqzsó e Cada um dos pontos renderia um valor distinto para k, e o professor pode explorar esse tópico: náo existe situagáo do mundo real que se comporte perfeitamente como uma funcáo contínua. Cada ponto medido no mundo real ficará ás vezes acima da curva da funcáo, ás vezes abaixo, raramente bem na curva. Com um computador, os alunos poderíam usar todos os pontos para obter a curva exponencial que passe mais perto de todos eles. 0 computador usará
  5. 5. Para que uma oolónla de fungos cresqa desimpedida, ela precisa de alimento (a fatia de pau). relativo calor (ar-condicionado dasllgado) e umidade (alguém deve regar cada tatia todo dia) -c g ruvnfiwwv- t’, ‘ll a l n- l. v . ’ d‘ _‘ / . ' ' 0' 4 , >- I a j _ / No blog Laboratorio Suslentávrl dn Mnlenuíticn, a professora e os alunos registram os experimentos, dáo clicas de como realizar as atividades e construir os objetos manipuláveis. Daniela também dá dic-as e sugestóes aos outros professores; varios gostam dessa ideia de laboratório. Segundo ela, o portal tem cerca de 10.000 visualizagóes mensais. PÁES EMBOLORADOS Um dia Daniela estava em casa e achou uma fatia de páo embolorada, mas nao a jogou fora; no dia se- guinte, a fatia estava mais embolorada ainda. Ela pen- sou: aquilo poderia ser útil num experimento sobre a funcáo exponencial; e pediu ajuda ao professor de biologia. Ele disse que o fungo responsável pelo bolor do páo se chama Aspergillus sp, uma especie que nao oferece risco a saúde e se desenvolve bem a tempera- tura ambiente — de 25 °C a 30 °C. Prometeu ajudar, mas fez duas exigencias: para que a colonia de fungos cresqa, alguém deve regá-la diariamente; além disso, o ar-condicionado do laboratorio deveria ficar desligado. Numa sexta-feira, Daniela e seus alunos colocaram fatias de páo fresco sobre a mesa do laboratorio e as i; contaminaram com 1 centímetro quadrado de fungos de um páo embolorado (sailm mais sobre isso no quadra l). Ela precisou de uma voluntaria para acompanhar o desenvolvimento da colonia e escalou a aluna Lore- na. Todos os dias, as 111M), Lorena tínha a missáo de sair da aula em que estava, fosse qual fosse, correr até o laboratorio de matemática, regar a colonia de fun- gos e voltar o mais depressa possível. — Onde vocé está indo? — perguntava um professor. — Vou molhar os fungos! Como no sábado e no domingo náo houve aula, Lorena comeqou a trabalhar na segunda-feira, o ter- ceíro dia — a colonia já estava com 6 centimetros qua- drados. No quarto dia, 18 centímetros quadrados. No quinto e último dia, 38 centimetros quadrados. Os alunos nem precisaram fazer conta. Eles viram que o crescimento foi rápido. "Eles se divertiram com cada etapa, e gostaram de contaminar o páo, e se sur- preenderam com o crescimento rápido da colonia de fungos. Eles foram acompanhando com muito inte- resse tudo o que acontecia no experimento. ” — Professora, posso comer o páo? — perguntou um deles. AROJVÜ HSSOAL
  6. 6. — Será que fica bom com maio- nese? — disse outro. (Náo pode. Comer bolor faz mal. ) Daniela percebeu que os alunos gostaram tanto do experimento que ficariam chateados quando soubes- sem que as fatias iriam para o lixo. Resolveu o problema assim: sem que ninguém visse, ela as jogou numa lixeira nos fundos da escola. No més passado, os alunos do Colegio Hebe Camargo fizeram a avaliagzïn integrada. Eles precisa- ram estudar todos os contcúdos de todas as disciplinas que viram no semestre. Daniela diz que nesse momento póde ver que os alunos, de fato, mudaram. Depois da pro- va, eles sairam da sala de aula co- memorando. —— Professora, na parte de mate- mática a gente sabia tudo! — Queremos o gabarito, profes- sora! — A prova estava muito fácil, professorai Danielajura que náo. "Em todos os meus anos de magisterio, nunca vi nada daquilo. Eles estavam feli- zes, batiam na máo um do outro. ” Hoje a professora coleciona his- tórias assim. Uma de suas alunas sempre dizia: "Xiii. .. matemática? Náo entendo nada! " Depois do experimento com os páes embo- lorados, pediu para fazer parte do time de monitores do laboratório. Agora ela náo chama mais o la- boratório de "laboratorio de ma- temática”, como fazia antes, mas de ”nosso laboratorio”. Daniela também se surpreendeu com um professor. Ela nem podia imagi- nar, mas o professor de geografia acompanhou o experimento e náo se envergonhou de elogiar: "Pare- ce aquelas aulas de canal educati- vo, muito ben feitas. " f. ‘ 0' ‘w’ ; I1HIIlü"I: lS in“: Um homem (vamos chamá-lo de Alfredo) gosta de caminhar todas as manhás num parque perto da sua casa. Ele já evoluiu bastante na atividade física; em breve vai comeqar a correr. Outro dia ficou pensando em quantos passos por minuto precisaría andar ou correr para poder participar de uma competicáo. Alfredo imaginou se podia se desenvolver assim: no primeiro dia, só dois passos por minuto. No segundo dia, só quatro passos por minuto. No terceiro dia, só oito passos por minuto. E assim por diante. "No dia d”, pensou Alfredo todo alegre, ”tenho de caminhar só 2” passos por minuto! ” Quando fez uma tabela com o cronograma de passos, viu que havia nela algo estranho. Numero de passos 1 024 2 048 4 096 ”Será que alguém consegue dar 4.096 passos num minuto? ” Alfredo fez as contas. No primeiro dia, teria 30 segundos para dar cada passo. Moleza. No décimo segundo dia, teria =0,0l 5 segundo por passo, ¡sto é, teria de mover as pernas umas 68 vezes por segundo e estaria correndo a mais ou menos 196 quilómetros por hora! Numa atividade como a das fatias de páo emboloradas, o aluno pode brincar dessa maneira. Se a curva de crescimento da colónia de fungos é de y = 0,631155 - exp(0,820859x), com y medido em centimetros quadrados e x medido em dias, qual sería o tamanho da mancha ao fim de, por exemplo, 30 dias, desde que houvesse pño suficiente? Ela teria pouco mais de 3 quilómetros quadrados! Com tais brincadeiras, o aluno vai pegando uma ideia matemática importante: ele comeca imaginando uma quantidade y que cresce conforme crescc o valor de x, e denota essa ideia com y = Rx). Dai, se y cresce a ritmo exponencial, Cedo ou tarde vai superar qualquer quantidade que cresqa em funcáo de x a ritmo linear e qualquer quantidade que cresga conforme uma poténcia fixa de x. 32 128 11 l lll l lll ll T 25

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