Conceptos de: Teorema de bayes, probabilidad total & probabilidad condicional ✌📝📖

1. 2 F | Cynthia Azucena Ortiz Torres | 01/03/2015
Teorema de Bayes
Probabilidad Condicional
Probabilidad Total
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREON
Lic. Gerardo Edgar Mata Ortiz.

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Probabilidad Total
El Teorema de la probabilidad total es aquel que nos permite calcular la probabilidad de un suceso a
partir de probabilidades condicionadas.
Ejemplo:
Supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo
dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un
accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.
La fórmula para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es
igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los
diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la
probabilidad de cada suceso A.
Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las
posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo:
Al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz" forman un sistema completo, no
hay más alternativas: la suma de sus probabilidades es el100%
Ejemplo:
Al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un sistema completo, ya que no
contempla todas las opciones (podría salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema
de la probabilidad total.
Ejemplo:
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades de ser elegidas:
A) Amarilla: probabilidad del 50%.
B) Verde: probabilidad del 30%
C) Roja: probabilidad del20%.

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Según el color de la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así, si la papeleta
elegida es:
a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del 80%.
Con esta información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que participes?:
1.- Las tres papeletas forman un sistema completo:sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la fórmula:
Luego:
P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.

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Probabilidad Condicional.
Un espacio muestral contiene todos los resultados posibles de un experimento. A veces se obtiene
algo de información adicional acerca de un experimento que indica que los resultados provienen de
cierta parte del espacio muestral. En este caso, la probabilidad de un evento está basada en los
resultados de esa parte del espacio muestral. Una probabilidad que se basa en una parte de un
espacio muestral se llama probabilidad condicional.
Cuando se está calculando la probabilidad de un evento A en particular, y se tiene información sobre
la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se conoce como probabilidad condicional, la cual se
denota por P(A/B) se lee "probabilidad de A dado B" y se define como:
Las probabilidadescondicionalessatisfacenlosaxiomasdeprobabilidad.
Ejemplos:
Se seleccionandossemillasaleatoriamente,unaporuna, deuna bolsaquecontiene10semillasdeflores
rojasy 5 de floresblancas.
Cuál es la probabilidaddeque:
a) La primerasemillasearoja.
b) La segundasemillaseablancadadoquelaprimerafueroja.
Solución:
La probabilidaddequelaprimerasemillasearojaes 10/15,puesto quehay 10 semillasdefloresrojas deun
total de 15. Escritoconnotacióndeprobabilidadtenemos:
La probabilidaddequelasegundasemillaseablancaseve influidapor loque salióprimero,esdeciresta
probabilidadestásujetaauna condición,ladequela primerasemillasearoja.Este tipo deprobabilidadsele
llamaprobabilidadcondicional yse denotapor y se lee: laprobabilidaddeB2dadoR1.
Esta probabilidad, puesto que todavía hay 5 semillasblancasenuntotal de 14 restantes.

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Veamosla situaciónenun diagramadeárbol:
Ejemplo:
Unapersonalanza una moneda3veces, ¿Cuálesla probabilidaddeobtener3águilasdadoquesaliópor lo
menosunáguila?
Solución:
El espaciomuestradelexperimentodelanzaruna moneda3veces es
S = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss}
El evento A de quepor lomenoshay unáguilaen lostres lanzamientoses:
A = {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa}
El evento B de queobtenga3 águilases B = {aaa}
Por lo tanto, A- B = {aaa} y
De donde
Ejemplo:
Consideremos elexperimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo,la probabilidad
de obtener un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1, 3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que
ha salido un número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.

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Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin
embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los
seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos
repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos
bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo
debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un
experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones
basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en
función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la
probabilidad total.

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Ejemplos:
1.- La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La
probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de
que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido
ningún incidente? Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.
2.- El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75%
de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los
no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la
probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?