7 Herramientas Calidad

Universidad Politécnica de Zacatecas
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7 HERRAMIENTAS BASICAS PARA EL CONTROL DE LA
CALIDAD
INTRODUCCION
En todos los procesos existen aspectos que pueden y deben ser mejorados; o bien se
presentan algunos problemas que deben ser solucionados. Por ejemplo, se observan casos de
artículos que no cumplan con las especificaciones, defectos de fabricación o de instalación de
piezas, fallas en el funcionamiento de los componentes de una fabricación de los componentes
de un producto terminado, ineficiencia en la asignación de los trabajadores en las distintas
actividades.
Cada problema o efecto es provocado en general por varias causas, por lo que resulta
difícil saber como atacarlos. Además, no todos los problemas tienen la misma importancia, no
es posible resolverlos al mismo tiempo. Por esta razón, es conveniente asignar prioridades a
los distintos problemas a intentar resolver primero los de mayor importancia.
A continuación se presentan las siete herramientas básicas para el control de la Calidad
que nos ayudan a verificar la efectividad de las acciones encaminadas a la realización de me-
joras en los procesos.

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LAS SIETE HERRAMIENTABASICAS
1.- Hojas de Registro y Verificación
2.- Diagramas de Causa y efecto
3.- Gráfica de Pareto
4.- Estratificación
5.- Histograma
6.- Gráficos de Control
7.- Gráficos de Dispersión.
VARIABLES Y TIPOS DE DATOS
Al estudiar una característica de Calidad, de un artículo en un proceso de producción,
se tienen dos tipos de observaciones:
a) Si la característica de interés puede ser medida por ejemplo: diámetro, espesor, peso, pre-
sión, temperatura, concentración de ácido en una sustancia, diremos que tiene una observa-
ción por MEDICIONES.
b) Se inspeccionaron autos para detectar ruidos y de acuerdo con un inspector se clasificaron
en “aceptables”. Una variable puede ser la promoción de autos clasificados como aceptables.
c) Se mide un artículo y se etiqueta con “si” o “no” según satisfaga o no las especificaciones,
una variable puede ser el número de artículos que sí cumplen con las especificaciones.
Las variables cuyos valores provienen de mediciones, se llaman CONTINUAS. Las va-
riables cuyos valores provienen de conteos referentes a atributos se llaman DISCRETAS.
1) CONTINUOS.- Son datos medibles como la longitud, el peso, la temperatura, etc.
2) DISCRETOS.- Son aquellos datos que se puedan contar como el número de piezas defec-
tuosas, el número de errores.
VARIACION.- Si tomamos los artículos de la misma línea de producción, es normal que al me-
dir una característica de Calidad (diámetro, grosor, longitud, acidez, etc...), por lo tanto no
hay dos artículos exactamente iguales.
ESTADISTICA.- Es la ciencia que se ocupa de recopilar, organizar, representar, analizar, ex-
traer y generalizar información contenida en un conjunto de datos.

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POBLACION.- Está constituida por todas las posibles observaciones, que se pueden hacer en
los elementos que se desea estudiar.
MUESTRA.- Está constituida por algunos elementos de la población
MUESTRA REPRESENTATIVA.- Es aquella en la cual cada uno de los elementos de la población
tiene la misma posibilidad de participar en ella.
Un buen estudio estadístico empieza con una buena obtención de datos; debido a esto,
es necesario tomar ciertas precauciones al obtener datos sobre la variable estudiada.
Entre las precauciones que se recomienda tener están las siguientes.
a) Que los valores registrados sean realmente obtenidos en la observación (es decir, registrar
fácilmente los datos).
b) Si los datos son continuos, es muy importante efectuar la medición con la mayor precisión
posible, es decir, con el menor error posible.
c) Se debe cuidar que los instrumentos de medición estén bien calibrados.
d) Se deben usar adecuadamente los instrumentos de medición.
Lo anterior nos conduce al siguiente comentario:
Si se parte de errores al obtener datos, a pesar de tener una muestra representativa y
realizar un buen estudio estadístico de ella, las conclusiones estarán alejadas de la realidad.
1.- HOJA DE DATOS
Existen dos tipos principales de hojas para la recopilación y organización de datos nu-
méricos que son:
1.- Hojas para el registro o “checksheets”.- Se anota información en ellas, y esta puede
variar de acuerdo al tipo de información que se maneje y todos sus variables.
2.- Para verificación o “checklist”.- Estas contienen información que debe cotejarse con
la realidad, es decir se comparan con parámetro ya establecido.
Para la elaboración de un “checkseet” o un “checklist”, es importante tomar en cuenta
los siguientes aspectos:

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- Definir el objetivo.
- Definir cuales y cuantas son las variables necesarias.
- Realizar una prueba para verificar la eficiencia en el uso.
- Mejorarlo en base al punto anterior hasta verificar que ya está listo.
INSPECCION
AREA: ENVASADO PROCESO: BOTELLA RECHAZADA
NO. DE PIEZAS 300 FECHA: 2 DIC-96
AREA FRECUENCIA TOTAL
ROTA
SUCIA
TALLADA
MAL ETIQUETADA
OTRO
Checksheet para analizar elementos defectuosos.
LLENADO DE BOTELLA
AREA: ENVASADO FECHA: 1-DIC-96
NO. DE PIEZAS =
50
TURNO: 1
CONTENIDO FRECUENCIA TOTAL
323 1 1
323.5 12 2
324 1234 4
324.5 1234567890 10
325 MLL 12345678901234 14
325.5 123456789 9
326 123456 6
326.5 12 2
327 1 1
TOTAL 50

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PARA ANALIZAR UN PROCESO
Las hojas de registro pueden variar de acuerdo al uso que se les dé y al tipo de datos y
artículos de los cuales se requiere tener información.
FECHA: MES DE JULIO DE 1996 NOMBRE: CARTON ROTO
TOTAL DE FECHA 1 2 3 4 5 6 7 8 ETC.
DEFECTOS TOTAL INSPECCIONADOS 500 450 440 460
ROTO 10 8 9 7
%
ARRIBA 5 3 2 3
%
ABAJO 3 1 1
ESTRATIFICACION %
LADO DERECHO 2 1 2 2
%
LADO IZQUIERDO 3 4 2
%
LOCALIZACION
DE LOS
DEFECTOS
Ckecksheet combinado con localización.
Elaborar un checksheet en el cual se investigan las causas de un problema para 2 má-
quinas, con 3 trabajadores, a 2 turnos, manejando 5 áreas defectivas.

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2.- DIAGRAMA CAUSA EFECTO
Esta herramienta es de vital importancia, ya que en el proceso de solución de proble-
mas muy a menudo es difícil atacar las causas o hacer la identificación de éstas, a través de
este diagrama nos indica la relación existente entre las causas o también conocidos como fac-
tores y los efectos es decir las características de Calidad. Este fue creado en 1952 por el falle-
cido Dr. Kaoru Ishikawa, para ordenar las ideas que surjan en una discusión realizada por las
técnicas en una de las plantas de la empresa Kawasaki, Steel Co. y posteriormente se fue di-
fundiendo en todas las empresas, en Japón se le denomina Diagrama de Ishikawa o Diagrama
de Espina de Pescado.
Elaboración de un Diagrama Causa Efecto.
Se determinan los aspectos a analizar, en este caso se determinó desacuerdo a la ex-
periencia que los factores a analizar son conocidos como las 4 M’s:
En inglés: Man - Factor Humano
Machine - Máquinas, Equipos e instalaciones
Materials - Materiales insumos
Metod - Métodos de trabajo
Estas son conocidas como características de Calidad y así facilitan en gran manera el
desarrollo de esta herramienta.
1.- Decidir la característica de Calidad que se desea mejorar o controlar, para ello se hace el
planteamiento como: “la mayoría de nuestras piezas defectuosas se debieron a...”
2.- Se traza una recta horizontal de izquierda a derecha y se escribe la característica de Cali-
dad o efecto en un recuadro hacia la punta.
3.- Se realiza una lluvia de ideas, se sacan todas los factores que influyen en la característica
de Calidad y se registran.
4.- Se analizan detalladamente todas las factores registrados y se agrupan en factores genera-
les es decir en las 4 M’s.
5.- Se colocan 4 espinas grandes con cada una de las 4 M’s, ya que estos son los factores se-
cundarios.
6.- Los factores restantes se van colocando según su relación de Causa efecto en “Espinas”,
cada vez más pequeñas hasta llegar al 5 ó 6, nivel de esta manera ya se puede decir que se
han detectado las causas reales y se puede proceder a atacarlas para esto es importante
siempre hacerse esta pregunta “¿cómo decimos que afecta mano de obra a la característica de

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Calidad o efecto”?, de esta manera se va de una en una de las espinas de segundo nivel y de
estas se derivan las del tercer nivel y así consecutivamente.
7.- Es importante mencionar que es un diagrama que busca causas y no soluciones a los efec-
tos.
8.- Este diagrama se llena en base a “hechos”.

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RECOMENDACIONES PARA ELABORAR UN
DIAGRAMA CAUSA-EFECTO
1.- Nunca elabore un diagrama C.E. usted solo. Para que funcione es importante que par-
ticipen todas las personas involucradas con el problema y que por lo tanto lo viven y conocen.
2.- Al expresar la característica de Calidad (Cabeza de “Pescado”) lo más específico y concreto
posible. Recuerde que lo importante es ir relacionando problemas con las causas.
3.- La participación será por lluvia de ideas es un medio útil para obtener libremente la partici-
pación de todos. Aquí todas las ideas son buenas y no es permitido juzgarlas.
4.- Es importante atacar problemas específicos. Nunca problemas de desperdicio de reclamos,
etc. Es importante particularizar el problema áreas específicas de la empresa, nunca hay que
atacar problemas globales de la organización.
5.- Si el problema que se escoge es específico, se podrá llegar con mayor facilidad en el orden
de las causas y seguramente el responsable de mayor número de causas sea el factor méto-
dos.
6.- Pero si el problema que se escoge es demasiado general, casi con toda seguridad el res-
ponsable del mayor número de causas sea el factor humano.
7.- Recuerde que las causas deben de ser “hechos” y no soluciones.
8.- Siempre hay que utilizar la regla del “porque” “porque”.
9.- Los factores deben de ser características medibles.
10.- Al hacer las espinas se deben de hacer de una forma tal que sea fácil de entender.
11.- Lo que se busca son posibles causas del problema, las causas tienen como finalidad bus-
car posibles soluciones al problema, para su efectividad se recomienda llegar hasta cuarto o
quinto nivel, por lo menos 40 ramificaciones, aunque un buen diagrama debe de tener cuando
menos 80.
12.- Es muy importante no tomar decisiones únicamente en el diagrama, ni en la experiencia o
sentido común, en ocasiones un efecto insignificante es una causa importante.
13.- Es recomendable detectar si las causas que se van determinando aparecen periódicamen-
te, cíclicamente, tal vez esté relacionado con otro tipo de problema.

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14.- Es importante detectar las áreas de oportunidad. Lo importante es mejorar para satisfa-
cer al cliente.
15.- Si una espina comienza a crecer demasiado en niveles, es recomendable cortar dicha es-
pina y crear un nuevo diagrama.
Recuerde que el diagrama Causa - Efecto, facilita la distinción de las causas de un pro-
blema y fortalece el trabajo en equipo.
3.- GRAFICAS DE PARETO
Esta herramienta es muy importante para poder estratificar los problemas, y su base se
encuentra en la hoja de registro, su nombre lo recibe por el economista V. Pareto (1848 -
1923), al realizar estudios sobre la distribución de la riqueza a ésta se le llama La Ley de Pare-
to. El Dr. Juran aplicó esta Ley a la solución de los problemas a través del análisis de los de-
fectos en los productos el dice “pocas causas solucionan la mayor parte del problema”, ahora
se le conoce como la Ley del 80 - 20, en donde el 20% de las causas de un problema repre-
sentan el 80% el efecto, por lo cual es importante detectar y eliminar estas causas, por lo cual
se determine “POCOS VITALES, MUCHOS TRIVIALES”.
- Este diagrama es factible de ponerse en práctica en áreas o situaciones en donde se
pretende mejorar.
- Este mismo diagrama se utiliza también para verificar si las acciones llevadas a cabo
para lograr esta mejoría fueron eficaces, realizando un nuevo diagrama.
- Para que estos diagramas sean comparables se debe de tomar en cuenta al mismo
tiempo o igual número de cosas para que pueda ser comparable.
PASOS PARA SU ELABORACION
1.- Reunir los datos referentes a un problema, cuales son los defectos o posibles causas y
anotar las frecuencias y elaborar un cuadro con estos datos.
2.- Se ordenan los defectos o posibles Causas de mayor a menor, de acuerdo a su frecuencia.
3.- Posteriormente se pasa a elaborar la frecuencia acumulada, es decir la suma consecutiva
de uno con el otro, el porcentaje es decir la suma del total de los datos entre cada una de las
frecuencias y el porcentaje acumulado.

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EJEMPLO
TABLA DE QUEJAS EN UN RESTAURANT (NOV. DE 1996)
PRINCIPALES
QUEJAS
FRECUENCIA FRECUENCIA
ACUMULADA
PORCENTAJE PORCENTAJE
ACUMULADO
A: Servicio Lento 43 43 39.81 39.81
B: Comida Fría 29 72 26.86 66.67
C: Mal Servicio 15 87 13.89 80.56
D: Cubiertos Su-
cios
9 96 8.34 88.90
E: Comida Mal
Servida
4 100 3.70 92.60
F: Otros 8 108 7.40 100.00
TOTAL 108 100%
4.- Al elaborar el gráfico en el eje de la “X” se colocan los factores o las posibles causas, y el
eje de las “Y” a el lado izquierdo, lo referente de frecuencia y el eje de la “Y” a la derecha los
porcentajes.

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RECOMENDACIONES ACERCA DE LOS
GRAFICOS DE PARETO.
1.- Cuando se elabore este gráfico no olvide incluir, la fecha, el número de datos y clave, que
se refiere este gráfico.
2.- Es mucho más fácil tratar períodos cortos para analizar mejor el problema y tener datos
más recientes.
3.- Hay que tener mucho cuidado cuando se utilizan los gráficos de pareto para comparar la
situación anterior y la actual, ya que se puede cometer el error de comparar períodos de dis-
tinto tamaño.
4.- Es importante que estos 2 gráficos tengan las mismas escalas.
5.- Nunca hacer un gráfico de pareto en donde el rubro “otros” tenga un porcentaje elevado.
6.- Se debe de elegir correctamente el problema a solucionar, no sólo elegir el mayor número
sino el problema que sea solucionable.
7.- Para que las 2 gráficas tengan las mismas escalas es necesario que el eje de las frecuen-
cias con el mayor número, tenga el mismo tamaño al de los porcentajes de esta manera será
una gráfica proporcional.

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8.- Es muy importante que el diagrama quede lo más cuadrado posible, es decir de igual di-
mensión el eje de las “X” y las “Y”, ya que así se puede deducir visiblemente en donde se
cumple la Ley del 80 - 20.
9.- Cuando la primera causa es de gran dimensión de la primera frecuencia , gran parte del
problema se soluciona con pocas causas y cuando las frecuencias tienen dimensiones seme-
jantes, hay que eliminar varias causas para solucionar el efecto.
- Es importante mencionar que entre los diagramas de causa - efecto y los diagramas
de pareto existe una relación muy importante que al determinar los efectos, en el causa -
efecto estos pueden ser estratificados y analizados.
4.- ESTRATIFICACION
Esta herramienta nos facilita la toma de datos para que sea de la manera más precisa,
esto depende de que nuestra información de la manera más particular, tratando de definir por
ejemplo: se deben de determinar las áreas de trabajo, que tipos de trabajo
se tienen, que trabajadores laboran en cada área y en que turno la materia prima, la maquina-
ria, la temporada del año, de esta manera el análisis será de lo más apegado a la realidad y
las decisiones serán efectivas.
Aquí buscamos las posibles causas del problema y se realiza una división de éste.
ESTRATIFICACION DE PAROS EN LA LINEA DE ENVASADO
MAQUINARIA LINEA TURNO LUN. MAR. MIER. JUEV. TOTAL TOTAL
LLENADORA 1 1 2 1 4
1 2 1 1 2 12
3 2 1 1 2 6
1 2 1 3
2 2 2 1 1 1 5 12
3 1 2 1 4
1 2 1 1 3
3 2 1 1 9
3 2 1 2 5
4 1 1 1 2 4 8
2 2 1 1 4
5 1 1 1 3 3
De esta manera podemos analizar un problema de manera más particular y la toma de
decisiones será muy acertada.

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5.- HISTOGRAMA
Este Gráfico es muy importante y de gran ayuda cuando una serie de datos de una área
de análisis presenta una variación y se requiere conocer el valor de dicha variación con res-
pecto a un promedio ya establecido.
La variación es un cuento que se da en todos los procesos o eventos ya que no existen
2 artículos exactamente iguales.
Para la realización de un histograma es importante tener en cuenta lo siguiente.
1.- Recopilar los datos del proceso a analizar “n” para que su valor sea lo más real cuando
menos deben de ser 50 datos aunque 100 es lo deseable. A su vez se debe de determinar la
unidad mínima de medición de los datos o la unidad mínima en que aumentan o disminuyen
los datos, lo cual puede ser de 0.1, 0.01, etc. En este caso es 0.1.
2.- Se encuentra el valor máximo (Xmax) y mínimo (Xmin) de todos los datos.
TABLA DE NIVEL DE CONTENIDO DE SACOS DE GRITS
50.1 50.3 50.0 50.0 50.4 50.4 50.1 49.9 50.0 50.1
50.2 50.9 49.9 50.1 50.3 50.5 50.2 49.6 50.0 50.0
50.1 50.0 49.0 51.1 50.0 50.6 50.1 49.8 50.1 49.4
49.8 49.8 50.0 50.3 51.1 50.8 49.0 50.2 50.3 49.5
49.9 48.9 51.3 49.9 50.9 51.1 50.0 51.0 50.4 49.0
50.0 49.7 50.7 48.7 49.8 51.0 50.1 49.0 49.8 51.0
50.5 50.1 50.1 49.8 49.9 49.0 50.2 48.9 49.9 50.5
50.6 50.2 49.9 50.3 50.0 49.8 49.8 50.1 49.7 50.4
50.7 50.3 49.8 51.2 50.2 50.0 49.9 50.8 50.2 50.3
50.2 50.4 50.2 50.5 50.1 50.0 50.2 50.9 50.4 50.0
MAX. 50.7 50.9 51.3 51.2 51.1 51.1 50.2 51.0 50.4 51.0 51.3
MIN 49.8 48.9 49.0 48.7 49.8 49.0 49.0 48.9 49.7 49.4 48.7
X MAX = 51.3 X MIN = 48.7
3.- Se determina el intervalo de clase ( c ), este debe de ser múltiplo de la unidad mínima de
medición, para determinar ( c ) necesitamos hacer un cálculo estimado del número de clases
(número de barras en la gráfica) y esta se calcula como:
n = Número de Datos

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C = =
Para el cálculo de intervalo de las ( K ) no es sencillo, se sugiere el uso de la siguiente
tabla:
NUM. DE DATOS K VALOR APROX.
50 - 100
100 - 125
MAS DE 250
6 - 10 APROX.
7 - 12
10 - 20
4.- El límite inferior de la primera clase se calcula:
Clase
Límite inferior = x min -
48.7 -
Ya que se definió el límite inferior de la primera clase, se le suma el intervalo de clase,
en este caso 0.3 para obtener los demás límites. El límite superior de la última clase será
aquel que por primera vez sobrepase el valor máximo de “X”.
48.65 + 0.3 = 48.95 Primera clase 48.65 - 48.95
Clase.- Es el rango en el cual pueden caer cierto número de los datos que estamos analizando,
es importante que las clases siempre lleven la fracción de 0.05 bajo del menor número, ya
que así evitan confusiones en que una área de clase sea un número redondo como podría ser
50.1, no se podría decidir si el 50.1 iría en la clase superior o interior.
50.1
49.8 50.1 50.4
5.- Se calcula el punto medio de cada intervalo de clase:
Cada clase debe de contar con un punto medio y este se define por la siguiente fórmu-
la.
Punto medio de clase =

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Para el caso de la primera clase
6.- Se llena la tabla de frecuencias
No. CLASE PUNTO MEDIO MARCAS FRECUENCIA
1
2
3
4
...
TABLA DE FRECUENCIAS DE CONTENIDO DE SACOS DE GRITS
No. CLASE PUNTO
MEDIO
MARCAS FREC.
TOTAL

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n=

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TIPOS DE HISTOGRAMAS
1.- GENERAL. El proceso se encuentra estable, ya que éste tiende hacia el centro.
A B C D E F G H I J
2.- CHIMUELO.- En general se puede decir que existe un problema en el aparato de medición
o el cálculo de las clases no es el adecuado ( K ).
A B C D E F G H I J

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3.- SESGADO.- Este es cuando los datos están controlados por un límite estándar.
A B C D E F G H I J
4.- PRECIPICIO.- Esta recibición se realizó después del proceso pasa no pasa, es decir sólo los
productos que cumplen con los requisitos.
A B C D E F G H I J
5.- DOS PICOS.- Necesidad de unificar, ya que seguramente se debe a la mezcla de dos po-
blaciones o distribuciones diferentes.
A B C D E F G H I J

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6.- PICO ASILADO.- Existe una anormalidad en el proceso o en la medición.
A B C D E F G H I J K L M N

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MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
1.- Media aritmética o promedio
En donde = sumatoria
X1...= Datos
y = 1
Si queremos conocer el promedio de los siguientes datos.
31.2, 33.2, 30.4, 31.3, 34.2, 33.9, 33.5, 33.0, 33.6, 31.3
)
2.- Mediana
Se ordenan todos los datos en orden ya sea creciente o decreciente, se llama mediana
al que está junto a la mitad o en el centro. Si el número de datos es par, quedará en medio
de 2 datos. La mediana se convierte entonces en la media de esos 2 datos.
Ejemplo:
30.4 31.2 3.13 31.3 33.0 ↓ 33.2 33.5 33.6 33.9 34.2
En el caso de datos pares como en este ejemplo se procede:
= 33.1

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A la media aritmética en ocasiones es muy buen representante si entre ellos aparecen algunos
que se alejan demasiado de la mayoría
3.- Moda.- Es el dato que más se repite en el conjunto de datos en este caso es 31.3
MEDIDAS DE DISPERSION
4.- RANGO.- Es igual al valor máximo - valor mínimo.
34.2 - 30.4
5.- Desviación Cuadrada (s)
Esta se calcula sumando el cuadrado de las distancias de cada dato y la distancia que
quiere todos los datos con respecto a la media aritmética.
s=
6.- VARIANZA (V)
Es la desviación cuadrada dividida entre el grado de libertad de los datos.
7.- Desviación estándar (s)
La desviación estándar.- Una vez que se toma la muestra de los datos que se presentan
en una variable de un proceso se puede estimar la tendencia central y la dispersión de la po-
blación en todo el proceso:

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La probabilidad de que el siguiente dato se encuentre en el rango comprendido entre
RANGO PROBABILIDAD
68.3
95.4
99.7
8.- Cálculo de la media y desviación estándar a partir de una tabla de frecuencia (datos agru-
pados).
- Una vez calculado las clases, puntos medias y las frecuencias “f” hacer la siguiente
tabla.
8.1.- En la columna de “X” se asigna el “0” a la clase con mayor frecuencia (el centro de la
distribución) y el punto medio correspondiente se designa como “XO”.
8.2.- Una vez designado el “0” en la columna “X” se colocan los números 1,2,3,..., si el núme-
ro es en forma descendente, si el número hacia arriba es ascendente es -1, -2, -3...,.

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8.3.- Se multiplica el valor de la columna “f” con el valor de la columna “X” y se obtiene “fX”
para cada clase.
8.4.- Se eleva al cuadrado el valor de la columna “X” se obtiene X2
y se multiplica por el valor
de la columna “f” para obtener “fX2
” para cada clase.
8.5.- Se suman los valores de las columnas fX y fX2
y se obtienen las sumas
No. PUNTO MEDIO f X fX F(X2
)
8.6.- Hay que recordar que “c” es el intervalo de clase (ancho de las barras en el histograma).
8.7.- Se calcula el valor de la media como sigue:
(c)
8.8.- Se calcula la desviación estándar como sigue:
S= C

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GRAFICAS
Gráficas Generales.
Gráficas de Barras
Gráficas de Líneas (Series de Tiempo)
Gráficas de Pastel (Pay o Quesos)
Otros

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GRAFICAS DE CONTROL
La calidad de los productos manufacturados en un proceso varía, es decir, existe la dis-
persión. En general, la variación en la calidad se debe a múltiples causas pero podemos clasi-
ficarlas en 2: Causas del Azar (chance cause) y Causas Asignables o de Anormalidad
(assignable cause).
La variación debida a Causas del Azar se da a pesar de seguir correctamente las opera-
ciones y estándares, previamente investigados los materiales y métodos de trabajo y medios.
La variación debida a causas de anormalidad se debe a una falla en los estándares o
métodos de producción, al incumplimiento de los mismos, etc. Es una variación no aceptable
y su causa se debe investigar para que la situación anormal se solucione y evite la reinciden-
cia.
El Gráfico de Control es una herramienta para analizar el control de un proceso. Con el
objetivo de detectar las anormalidades en el proceso, este gráfico fue inventado por el Dr.
W.A. Shewhart basado en la teoría de las Pruebas de Hipótesis y el Método de las 3 Sigmas
(o 3 desviaciones estándar).
Un gráfico de control consta principalmente de 3 líneas:
a) El valor esperado de la característica de calidad: Línea Central (CL=Central Li-
mit).
b) Los límites que determinan la estabilidad y normalidad del proceso: Límite Supe-
rior de Control (UCL=Upper control limit) y Límite Inferior de Control (LCL=Lower
Control Limit).

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Dependiendo del tipo de dato (Característica de Calidad que se mida) se aplica un Grá-
fico de Control diferente:
DATOS CONTINUOS DATOS DISCRETOS
Tipo R (del Rango)
Tipo (de la Media)
Tipo (de la Mediana)
Tipo x (de c/u de los datos)
Tipo p (del % de productos defectuosos)
Tipo pn (del No. de productos defectuosos)
Tipo u (de No. de defectos o fallas por unidad
de medición)
Tipo c (de No. de defectos o fallas)
Gráfico de Control R
Para controlar y analizar la variación dentro de las muestras. El tamaño de la muestra
es constante.
Gráfico de Control
Para controlar y analizar la variación dentro de las muestras. El tamaño de la muestra
es constante.

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Gráfico
No. x1 x2 x3 x4 x5 Sum X R
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
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23
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21
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22
18
21
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22
24
22
24
25
24
22
17
27
24
26
24
23
22
25
23
20
24
22
24
16
23
22
21
23
23
21
23
22
24
26
19
21
24
19
23
20
21
24
24
24
22
25
23
20
24
25
24
22
22
22
21
27
23
24
21
24
22
23
27
22
23
21
19
23
19
23
22
21
21
21
24
23
27
17
21
23
23
20
27
21
20
21
23
22
24
24
22
25
22
23
21
21
22
21
24
119/5
113
111
107
110
107
116
110
121
115
106
104
122
113
121
112
108
114
115
109
107
119
112
104
110
23.8
22.6
22.2
21.4
22.0
21.4
23.2
22.2
24.2
23.0
21.2
20.8
24.4
22.6
24.2
22.4
21.6
22.8
23.0
21.8
21.4
23.8
22.4
20.8
22.0
5
3
7
7
2
6
6
4
6
5
5
6
4
8
4
4
2
6
4
5
3
6
3
6
9
Límites Total 561.0 126
Media 22.44 5.04
R

29
Gráfico de Control
Cuando de un lote el tamaño de la muestra necesariamente es 1 (1 dato), cuando el
intervalo de tiempo entre una medición y otra es muy largo o cuando se quieren tomar deci-
siones y no se puede esperar a obtener la media y el rango de un número “n” de datos, este
gráfico es muy usado.
Es un gráfico de control en donde se grafican los datos en el orden en que se van to-
mando.
1.- Cuando se pueden agrupar los datos racionalmente:
Gráfico x (Mediciones)
No. Muestra x1 x2 x3 x4 R
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1-4
5-8
9-12
13-16
17-20
21-24
25-28
29-32
33-36
37-40
41-44
45-48
49-52
53-56
57-60
61-64
65-68
69-72
73-76
77-80
56-4
58.8
56.4
55.2
53.6
54.8
53.6
56.8
55.2
55.8
57.6
56.2
55.0
54.8
53.8
59.0
55.4
56.6
55.0
55.8
55.6
55.8
57.0
57.2
58.2
56.0
55.6
56.0
55.6
54.6
57.2
56.4
53.6
56.4
58.0
56.2
55.2
55.4
58.4
55.2
55.8
56.4
57.2
56.4
53.4
55.6
54.0
58.6
55.0
55.0
59.2
57.2
54.0
57.0
57.0
55.2
56.8
55.6
56.4
55.2
56.4
56.4
54.6
57.4
55.2
54.6
57.0
56.2
57.8
58.4
57.2
58.0
57.4
55.0
55.8
55.4
58.2
59.4
55.2
57.2
56.05
56.85
56.30
56.55
55.10
55.25
55.05
56.90
55.90
55.95
57.80
56.95
55.00
55.80
56.90
56.45
56.40
56.75
56.25
55.85
0.8
3.0
2.6
2.2
4.8
1.4
3.4
2.6
2.8
3.8
2.0
1.8
3.8
2.2
2.2
3.8
3.0
4.0
3.4
2.0
Media 56.203 2.78
Límites
x R
Para la muestra tamaño 4:
• E2 = 1.457
• A2 = 0.729

30

31
2.- Cuando no hay forma de agruparlos racionalmente
Gráfico x (Mediciones)
No. x Rs No. x Rs No. x Rs
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
56.4
55.6
55.8
56.4
58.8
55.8
56.4
56.4
56.4
57.0
57.2
54.6
55.2
57.2
56.4
57.4
53.6
58.2
53.4
55.2
54.8
56.0
55.6
54.6
53.6
55.6
-
0.8
0.2
0.6
2.4
3.0
0.6
0.0
0.0
0.6
0.2
2.6
0.6
2.0
0.8
1.0
3.8
4.6
4.8
1.8
0.4
1.2
0.4
1.0
1.0
2.0
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
56.8
56.0
58.0
56.2
55.2
55.6
55.0
57.8
55.8
54.6
55.0
58.4
57.6
57.2
59.2
57.2
56.2
56.4
57.2
58.0
55.0
53.6
54.0
57.4
54.8
56.4
0.2
0.8
2.0
1.8
1.0
0.4
0.6
2.8
2.0
1.2
0.4
3.4
0.8
0.4
2.0
2.0
1.0
0.2
0.8
0.8
3.0
1.4
0.4
3.4
2.6
1.6
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
56.8
58.0
57.0
55.8
59.0
56.2
55.2
55.4
55.4
55.2
56.8
58.2
56.6
55.4
55.6
59.4
55.0
58.4
56.4
55.2
55.8
55.2
55.2
57.2
1.8
1.2
1.0
1.2
3.2
2.8
1.0
0.2
0.0
0.2
1.6
1.4
1.6
1.2
0.2
3.8
4.4
3.4
2.0
1.2
0.6
0.6
0.0
2.0
27 54.0 1.6 55 57.0 0.6 SUMA 4495.6 117.2
28 57.0 3.0 56 55.0 2.0 MEDIA 56.20 1.484
Rs

32
A diferencia de cuando se pueden agrupar las mediciones como en el caso 1, o como
con el Gráfico de Medias y Rangos en donde el tamaño de muestra es mayor a 1 y se calcula
una dispersión (rango) por cada muestra, ahora la medida de dispersión se establece con el
Rango resultante entre la medición presente y la pasada. Es un Rango “móvil” llamado tam-
bién Rango Sucesivo (Rs)

33
Gráfico de Control pn
Muy utilizado para controlar y analizar directamente el número de productos defectuo-
sos en la línea de producción. Es el mismo objetivo que el Gráfico p con la diferencia de que
el tamaño de la muestra debe ser constante.
Gráfico pn (No. de Defectuosos/muestra).
k n pn p=pn/n
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
K=20
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
500
12
16
22
12
25
15
19
16
14
18
15
18
24
17
12
18
13
13
21
17
0.024
0.032
0.044
0.024
0.050
0.030
0.038
0.032
0.028
0.036
0.030
0.036
0.048
0.034
0.024
0.036
0.026
0.026
0.042
0.034
Total 10 000 pn 333/20
Media

34

35
Gráfico de Control p
Muy utilizado para controlar y analizar el porcentaje de productos defectuosos en la
línea de producción y la variación entre una y otra muestra, cuyo tamaño puede variar.
No. n pn pn/n
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
250
250
250
200
250
250
200
250
250
200
250
250
200
200
250
250
200
200
250
250
200
200
250
250
21/250
7
10
6
7
15
0
8
2
4
26
5
3
5
8
19
8
11
9
9
12
16
7
13
0.084
0.028
0.040
0.030
0.028
0.060
0.0
0.032
0.008
0.020
0.104
0.020
0.015
0.025
0.032
0.076
0.040
0.055
0.036
0.045
0.060
0.080
0.028
0.052
Total 5500 231/
Media
CL=0.0420
LCL(250)00.042-3

36

37
Gráfico de Control c.
Se gráfica directamente el número de fallas o defectos y se utiliza para controlar y ana-
lizar directamente la variación en el número de fallas o defectos que aparecen en una unidad
de producción constante (ejem. no. de figuras en un lote de lámina). Tiene el mismo objetivo
que el Gráfico u pero el tamaño de la muestra o unidad de producción debe ser constante.
Gráfico c (No. de fallas)
k. No. Lote c
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
k=20
S1
D3
F2
A2
M2
B1
C8
C9
N6
N2
A3
H6
G5
I8
F5
Z2
X4
L9
J8
N7
4
5
7
4
3
4
5
3
4
7
5
6
4
3
4
2
6
7
3
4
Total 90
Media

38
Gráfico de Control u
Se utiliza para controlar y analizar la variación en el número de defectos que aparecen
por unidad de producción (Ejem. No. de figuras en 1 mt. de lámina, No. de errores por auto
arreglado, No. de errores en cada formato W) y el tamaño de dicha muestra o unidad de pro-
ducción puede variar.
Gráfico u (No. de fallas/unidad de producción)
No. n c u
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
15
15
15
10
10
20
20
20
20
10
10
10
15
15
15
36
42
33
21
35
40
34
46
50
10
25
32
43
36
52
2.40
2.80
2.20
2.10
3.50
2.00
1.70
2.30
2.50
1.00
2.50
3.20
2.87
2.40
3.47
Total 220 535
UCL(10)03.911
UCL(15)03.640
UCL(20)=3.478
LCL(10)=.953
LCL(15)=1.224
LCL(20)=1.386

39
FORMULARIO
Constantes para los Gráficos de Control
Tabla de constantes para Gráficos de control
n A2 m3 A2 D4 D3 d2 E2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.880
1.023
0.729
0.577
0.483
0.419
0.373
0.337
0.308
1.880
1.187
0.796
0.691
0.549
0.509
0.432
0.412
0.363
3.267
2.575
2.282
2.115
2.004
1.924
1.864
1.816
1.77
-
-
-
-
-
0.076
0.136
0.184
0.223
1.128
1.693
2.059
2.326
2.534
2.704
2.847
2.970
3.078
2.659
1.772
1.457
1.290
1.184
1.109
1.054
1.010
0.975

40
Cálculos de los Límites de Control
Tabla de Fórmulas para calcular los Límites de Control
DATOS TIPO CL UCL y LCL
DATOS R
CONTINUOS
DATOS
DISCRETOS
c

41
Construcción de los Gráficos de Control
1) Recordar que los Gráficos de Control son para ver las variaciones en el proceso de función
del tiempo.
2) Hacer los gráficos de tal forma que sean fáciles de usar y fáciles de entender.
3) Que puedan ser usados largo tiempo.
Los Límites de Control, superior e inferior, se dibujan con dos tipos de líneas según la
función del Gráfico:
a) Línea Punteada(--------): Cuando el gráfico se utiliza para calcular los límites de con-
trol (Para Análisis)
b) Línea y Punto (-.-.-.-.-): Cuando se utilizan y extrapolan los límites calculados con
datos anteriores, para ser utilizados con datos actuales (Para Control)
Estado de Control o Estabilidad. Estados de Normalidad
¿Cuándo se está en un estado de control o estable?
a) Cuando los puntos están dentro de los límites de control.
b) No hay vicios en la distribución y/o formación de los puntos.
c) Cuando más de 25 puntos consecutivos están dentro de los límites de control.
d) Cuando hay 1 punto o menos, fuera de los límites de control en 35 puntos consecu-
tivos.
Vicios en la Formación o Distribución. Estados de Anormalidad
a) Puntos fuera de los límites de Control
b) Los puntos están de manera consecutiva de un lado del Límite Central (corridas). Se
considera una situación anormal cuando se tiene una corrida mayor o igual de 7 puntos.

42
c) Hay muchos puntos de un sólo lado del Límite Central.
• De 11 puntos consecutivos 10 están de un mismo lado
d) Tendencias crecientes o decrecientes en los puntos.

43
e) Cuando los puntos tienden a acercarse a los Límites de Control Superior o Interior
(sobrepasan el límite de 2 Sigma). Se considera anormal si, 2 de 3 puntos o 3 de 7 puntos
presentan este síntoma.
f) Cuando los puntos presentan una variación cíclica.

44
g) Los puntos se concentran alrededor del Límite Central. Puede significar que se están
mezclando varias poblaciones y es necesario estratificar.

45

46
Movimiento de los Puntos en un Gráfico de Control
El Gráfico de Control es de gran ayuda para diferenciar las variaciones del azar con las
variaciones anormales, pero además, sirve para detectar problemas debidos a los cambios en
las condiciones del proceso.

47

48
GRAFICO DE DISPERSION
Gráfica que se utiliza para analizar la relación entre los datos de dos variables, las cua-
les se tabulan en forma de pares ordenados (x,y) y se grafican en el plano Cartesiano.
No. x y No. x y No. x y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
12.3
14.0
10.4
14.6
15.3
13.3
15.7
14.1
9.6
15.7
14.6
13.6
13.8
11.4
13.7
14.0
13.9
55
49
64
44
33
46
35
46
62
28
38
43
46
58
51
41
36
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
16.0
14.8
7.5
18.7
13.7
11.9
8.6
13.0
13.2
14.2
13.2
16.9
13.9
14.7
13.8
16.2
16.4
34
39
72
18
53
53
80
54
48
43
52
23
47
42
48
36
36
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
14.2
9.0
18.0
14.2
7.7
13.0
12.2
17.5
9.4
17.3
15.4
10.3
20.1
12.7
13.6
10.5
39
70
30
48
81
41
52
22
75
25
32
60
4
48
49
67

49
Coeficiente de Correlación
Existe una manera analítica para analizar el grado de correlación entre las variables lla-
mado Coeficiente de Correlación.

50
Siendo necesario encontrar los valores de:
Según el ejemplo:
Si r se acerca a +1, se tendrá una correlación positiva. Si se acerca a -1 será negativa
y si se acerca a + ó - 0.5 hay posibles correlaciones. Finalmente, si se acerca a 0 no existe
la correlación.
Ecuación de Regresión Simple
Si existe una correlación entre las variables y queremos encontrar la relación matemática entre
ellas, calculamos la Ecuación de Regresión Lineal o Simple.
La recta es la estimación del valor esperado de “y” dado una “xi” y busca que la suma
de los cuadrados de las diferencias entre el valor estimado de “y” y la ordenada “yi”, sea mí-
nima. Este método se llama de Mínimos Cuadrados.

51
a) La recta será del tipo
b)
c)
d) Si no se quiere calcular “a”, se puede calcular la ecuación de la recta de regresión:
En el ejemplo seguido, la recta es:
y=122.16-5.606x

52
EJERCICIOS
TIPOS DE DATOS
1.- El número de vasos sucios que rechaza el cliente es un dato:_______________________
2.- El tiempo que tarda en cocinarse un guisado es un dato:__________________________
3.- La hora de llegada al trabajo es un dato:_______________________________________
4.- El número de comidas que se sirven diariamente:________________________________
5.- El número de personas en la fila o “cola”:_____________________________________
6.- La longitud de la fila o “cola”:______________________________________________
7.- Número de Accidentes al mes:______________________________________________
8.- El porcentaje de Cloro en el Agua:___________________________________________
9.- La dureza de un acero:____________________________________________________
10.- El Porcentaje de Retrabajos en la Línea:______________________________________
11.- El número de cambios de aceite en un día:____________________________________
12.- El tiempo para cambiar el aceite en un auto:___________________________________
13.- Número de veces que no hay la refacción disponible:____________________________
14.- Número de errores en la reparación de un auto:________________________________
15.- Número de fallas al llenar un formato X:_____________________________________
CheckSheet y Cheklist
1.- Diseñe una hora de registro para conocer el número de personas que participan en
un determinado proceso, sus edades, sexo, edo. civil y años en la empresa.
2.- Elabore una lista de verificación que incluya todo lo necesario para llevar a un viaje
de negocios y/o de placer.
Diagrama de Causa y Efecto
1) Los errores de mecanografía o Teclado en computadora.
2) Algún problema propio (por qué tengo el problema X).
3) Errores al marcar por teléfono.

53
Gráfico de Pareto
1.- Realice gráficos de Pareto con los siguientes datos y saque conclusiones.
Tipo de Defecto Número de De-
fectos
Costo Unitarios Pérdida Total
Arruga
Raspadura
Fisura
Polvo
Rotura
Falta de pieza
Otros
13
55
23
20
29
41
7
8
1
20
40
50
10
10
$ 104
$ 55
$ 460
$ 800
$ 1 450
$ 410
$ 70
Total 188 $ 3 349
2.- Realice el Gráfico de Pareto para conocer la problemática de los errores al llenar un forma-
to.
Tipo de Error Número de Defectos
Número de Cliente
Fecha
Nombre
Código Postal
Dirección
Teléfono
Cantidad a Depositar
Firma
Otros
52
23
38
18
9
11
87
4
6
Total 248

54
Estratificación
1) Analice la siguiente información a través de Gráficos. (Nota: Estratifique)
Máquina Operador Lunes Martes Miérco-
les
Jueves Viernes
A
1
aaaaa
bbb
cc
dd
e
aaaaa
bbb
ccc
d
aaaaa
bbbbb
ccc
d
aaaa
bbb
cc
dd
aaaaa
bbbb
cc
dd
2
a
b
c
aaa
bb
cc
e
aa
bb
cc
d
aa
bb
c
aa
bb
d
a) Raspadura b:Fisura c: Rotura d: Burbuja e: otros

55
Histograma
1.- Elaborar el histograma de la distribución de los tiempos promedio para facturar al cliente
(tiempo de espera del cliente para su factura). Si el cliente se comienza a inquietar después
de los 10 minutos, cuál es la capacidad de mi proceso.
Tiempos (min)
9
10
6
11
8
12
9
7
10
8
11
10
7
9
11
10
9
7
8
11
12
7
9
11
10
11
5
8
9
10
11
8
14
9
10
11
8
9
12
10
12
8
9
11
10
14
6
10
9
11
11
10
15
9
14
9
6
8
11
10
9
7
10
13
11
12
9
10
12
11
10
8
9
11
12
9
8
10
11
14
8
13
9
10
11
8
7
9
10
11
9
10
9
10
13
10
9
11
10
13
R: [suma FX=-14, suma FX2
=368, media =9.86, Desv, Std.=1.92, Cpk=0.0243]

56
2.- Hay dos panaderos A y B horneando un pan X. Ambos utilizan una máquina 1.
• Se cuantificó el peso de las piezas del pan X durante 20 días, tomando al azar 4 panes
de cada día. La especificación dice que el pan debe estar entre 200 y 220 gramos.
• Analice los datos a través de histogramas, total y por cada panadero. Compare y
concluya.
Día Panadero Máquina 1
1
2
3
4
5
A
A
A
B
B
208.2
208.5
203.2
204.0
209.6
209.5
211.7
210.2
203.3
203.7
210.2
206.2
210.5
198.2
213.2
212.0
207.8
205.9
201.9
209.6
6
7
8
9
10
A
A
B
B
B
208.1
205.2
202.0
197.2
199.1
207.9
204.8
197.7
210.6
207.2
211.0
198.7
202.0
199.5
200.8
206.2
205.8
213.1
215.3
201.2
11
12
13
14
15
A
B
B
A
A
204.6
214.7
204.1
200.2
201.1
207.0
208.5
196.6
205.5
209.2
200.8
205.8
204.6
208.0
205.5
204.6
200.9
199.4
202.7
200.0
16
17
18
19
20
A
B
B
B
A
201.3
202.2
194.1
204.8
200.6
203.1
204.4
207.0
201.3
202.3
196.3
202.1
208.4
208.4
204.3
205.5
206.6
202.6
212.3
201.4
2) Calcule la media de la distribución y su desviación estándar utilizando la tabla de frecuen-
cias. (estratifique)
3) Determine la capacidad del proceso. (estratifique)
R: [Total n=80, media=204.88. s=4.412, Cpk=0.369, Panadero A: n=40, media=205.27,
s=3.877, CpkA=0.453, Panadero B: n=40, media = 204.49, s=4.908, CpkB=0.305]

57
Gráficos de Control
1) Seleccione el tipo adecuado de gráfico de control según las siguiente necesidades:
a) Peso de galletas envasadas
b) Número de productos defectuosos en lotes de 1000 piezas
c) Número de defectos de soldadura en un radio
d) Porcentaje defectuoso en lotes de tamaño variable
e) La resistencia de 5 piezas ensayadas por día
f) Número de picaduras por metro cuadrado de plancha de acero.
g) Tiempo para un cambio de aceite
h) No. de errores al llenar un formato
i) El número de accidentes automovilísticos diarios en una ciudad determinada
j) Número de botellas rotas en lotes constantes de producción
2) Para investigar la variación en el proceso de maquinado de la pieza Y, las dimensiones de
las piezas fueron medidas 4 veces al día. Analizar con un gráfico de control.
No. Fecha 9:00 11:00 14:00 16:00
1
2
3
4
5
Nov.2
3
4
5
6
52.5
53.0
52.8
52.9
52.8
52.9
52.8
52.9
52.9
52.9
52.9
53.5
52.7
52.9
52.7
53.5
52.4
52.8
52.9
53.1
6
7
8
9
10
9
10
11
12
13
52.6
53.5
53.1
53.4
53.2
53.4
53.6
53.3
53.1
53.4
53.1
52.8
53.5
53.1
53.1
53.3
52.7
53.0
53.1
52.9
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
53.4
52.8
53.2
53.5
54.3
53.0
52.9
53.3
52.9
53.6
53.9
53.2
52.9
54.0
53.6
53.1
53.2
53.1
53.9
53.8
16
17
18
19
20
23
24
25
26
27
53.2
53.8
53.1
53.7
53.3
53.3
54.0
53.6
53.8
53.1
54.0
53.8
53.7
53.0
53.6
53.7
53.8
53.8
53.5
53.0
21
22
23
24
25
30
Dic. 1
2
3
4
53.3
53.1
53.6
53.4
53.3
53.7
53.1
53.4
53.7
53.2
53.3
53.2
53.2
53.0
53.5
53.8
53.1
53.0
53.2
53.4
R:[ de la media: CL=53.25, UCL=53.67, LCL=52.83; del rango: CL=0.576, UCL=1.323,
LCL=----]

58
3.- Cada una de las tres personas A, B, C, tienen que llenar continuamente un formato W. Al
analizar los datos descubrimos que hay errores en el llenado de dicho formato W como sigue:
• Calcular los gráficos de control para los siguientes grupos de datos A, B y si el tamaño
de lote es constante
No. A B C
1 12 50 30
2 14 45 80
3 4 24 5
4 7 32 7
5 10 39 6
6 6 23 10
7 5 10 12
8 9 24 11
9 6 34 17
10 3 27 15
11 4 12 20
12 7 21 25
13 7 18 22
14 13 17 6
15 6 15 8
16 7 18 7
17 4 15 12
18 6 18 14
19 9 19 10
20 3 16 15
21 7 13 17
22 5 35 20
23 3 27 24
24 3 13 25
R:[Para A: CL=6.7, UCL=14.5, LCL=----]
[Para B: CL=23.5, UCL=38.0, LCL=9.0]
[Para C: CL=17.4, UCL=30.0, LCL=4.9]

59
4.- Analizar los reclamos del cliente con respecto a fallas de planta en su auto (menos de 1
000 kms.) encontramos los siguientes datos:
No. DE AUTOS RECLAMADOS NO. FALLAS O ERRORES
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
1
1
2
2
3
3
1
4
3
2
5
2
2
3
6
4
6
8
5
9
3
2
4
5
6
8
4
R; [u, CL=****, UCL=****, LCL=****]

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