UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA

1. ÁLGEBRA LINEAL
CRISTIAN ANDRES BEDOYA
MARIA PAULA CABRERA BELTRAN
WILLIAM ANDRES TOVAR BARRERA
CRISTIAN CHALA
SERGIO BELNAL
STIVEN AMAYA

2. VECTORES EN R2 Y R3
Es un segmento
de recta dirigido
que nos permite
representar una
magnitud vectorial.

3. COMPONENTES DE UN VECTOR
Supongamos que los puntos 𝑃1(𝑋1, 𝑌1) y 𝑃2(𝑋2, 𝑌2) en 𝑅2
representan el origen
y el extremo de un vector A= 𝑃1 𝑃2 .
Se llaman componentes de A a las proyecciones de A sobre los ejes:

4. Si el problema es en 𝑅3, los puntos que representan el origen y
el extremo del vector A= 𝑃1 𝑃2.
Se indican 𝑃1(𝑋1, 𝑌1, 𝑍1) EN AZUL y 𝑃2(𝑋2, 𝑌2 , 𝑍2) EN VIOLETA.
Las componentes de A, es decir, las proyecciones de A sobre los ejes son:
COMPONENTES DE UN VECTOR
𝑎 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑎 𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑎 𝑧 = 𝑧2 − 𝑧1

5. PARA UBICAR VECTORES 𝑅2
EN EL PLANO
Los vectores en R2 son los vectores en el plano XY o vectores en dos dimensiones.
Tienen dos componentes y son de la forma u = (x, y), donde "x" e "y" son números
llamados componentes escalares.

6. PARA UBICAR VECTORES 𝑅3
EN EL PLANO
Los vectores en R3 son los vectores en el espacio XYZ (espacio tridimensional). Tienen tr
componentes y son de la forma u = (x, y, z), donde "x", "y", "z" son las componentes escal

8. x, y 1. Trazar los ejes x, y, z
2. Ubicación de los puntos paralelos
3. Para encontrar el vector partimos
Desde su punto de origen hacia su punto extremo

9. x, y, z 1. Trazar los ejes x, y, z
2. Ubicación de los puntos
3. Ubicar las intersecciones de los puntos hallados

10. x, y, z 4. Ubicar las intersecciones de los puntos x,y,z
(MEDICIONES PARALELAS)
4. Podemos concluir que el vector es el punto que sale desde el punto (0,0), hasta e
Espacio o punto donde se convergen

11. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
 distancia entre dos puntos equivale a
la longitud del segmento de recta que
los une, expresado numéricamente.
 Cuando los puntos se encuentran
ubicados sobre el eje y (de las
ordenadas) o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos
corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus ordenadas.
 Ahora, si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de
coordenadas 𝑅2, la distancia queda
determinada por la relación:
Ahora, si los puntos se
encuentran en cualquier lugar del
sistema de coordenadas 𝑅3, la
distancia queda determinada por
la relación:

12. EJEMPLO 𝑅2
1. HALLAR LA DISTANCIA AB
1. REEMPLAZAR EN LA FORMULA
3. OPERAR

13. EJEMPLO 𝑅3
1. Reemplazar en la formula
2. Realizar las operaciones

14.  El producto escalar, también conocido como producto
interno, producto interior o producto punto, es una
aplicación cuyo dominio es V2 y su condominio es K,
donde V es un espacio vectorial y K el conjunto de los
escalares respectivo.
 Esta aplicación amplía la oportunidad de emplear los
conceptos de la geometría Euclides tradicional:
longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres
dimensiones. El producto escalar puede definirse también
en los espacios Euclides de dimensión mayor a tres, y en
general en los espacios vectoriales reales y complejos.
Los espacios vectoriales dotados de producto escalar
reciben el nombre de espacios prehilbertianos.
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO)

15.  4
PRODUCTO ESCALAR (PRODUCTO PUNTO)

16. EJEMPLOS

17. EJEMPLO 𝑅3
Dados los vectores:
1. Determinaremos a
1. REALIZAREMOS LAS OPERACIONES

18. PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO EN CRUZ

20. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
Ángulo entre dos vectores, trazados de un punto, se llama el ángulo más corto al
cual hay que girar uno de los vectores alrededor de su inicio hasta la posición de
co-dirección con el otro vector. El coseno del ángulo entre vectores equivale
al producto escalar de dos vectores dividido en el producto de módulos de estos
vectores. Fórmula de calculación del ángulo entre vectores

21. EJEMPLO 𝑅2
𝑦𝑅3
COORDENADAS
A= ( 3, 4 )
B= (-2 , 3 )
COORDENADAS
A= ( 1 , 2 , -3 )
B= ( -2 , 4 , 1 )

22. ÁNGULO DIRECTORES
Se llaman Cosenos directores del vector Å a los cosenos de los ángulos
que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional
se representan:

24. EJEMPLO 𝑅2

25. EJEMPLO 𝑅3