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3
LAREVISTAMATEMATICAII
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SOLUCIÓN:
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necesario recurrir a la gráfica para determinar en
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cuidadosamente donde solo se ha representado solo
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a entre las primeras dos soluciones positivas.
4
LAREVISTAMATEMATICAII
De manera semejante, el
área encerrada por la
circunferencia en este
intervalo esta dado por:
el área interior de la limacon
y exterior a la circunferencia
está dada por:
Por lo que
5
LAREVISTAMATEMATICAII
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va
paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero
con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos
básicos de dicha área.
En la figura se observa que la superficie de un sector circular de
radio r viene dada por:
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LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS
Este tipo de gráfico se conoce
como Rosa de cuatro pétalos. Es
fácil ver cómo se forma una figura
parecida a una rosa con cuatro
pétalos. La función para este
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Presentamos ahora el gráfico llamado
Rosa de tres pétalos. Analógicamente al
gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este
gráfico es parecido pero tiene sólo tres
hojas o pétalos en su forma gráfica. Un
ejemplo es el siguiente:
7
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS
El siguiente gráfico es como los
dos anteriores, pero ahora con
ocho hojas o pétalos, tal como lo
vemos en la siguiente función
graficada:
UNA ROSA DENTRO DE OTRA
Un caso interesante y especial que se
puede dar es el que se muestra en la
gráfica que vemos a continuación, donde
se aprecia una rosa de tres pétalos
precisamente dentro de otra rosa de tres
pétalos u hojas. Veamos:
8
LAREVISTAMATEMATICAII
CARDIOIDES
A continuación se presenta
el tipo de gráfico que se
denomina cardioide. Para
este ejemplo se presenta una
cardioide simétrica con
respecto al eje poplar y que
apunta hacia la derecha.
Podemos observar que se
distingue una figura como de
un corazón, razón por la cual
se llama este gráfico
cardioide. La función que lo
ha generado es:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Habiendo visto el primer gráfico de una
cardiode, se presenta otro gráfico de este
tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como
lo vemos a en el gráfico de la siguiente
función:
9
LAREVISTAMATEMATICAII
LIMACONES O CARACOLES
Limaçon viene del latín limax que
significa caracol. El caracol de Pascal,
lo descubrió Etienne Pascal padre de
Blaise Pascal en la primera mitad del
siglo XVII y el nombre se lo
dio Roberval en 1650 cuando la usó
como ejemplo para mostrar su
método para trazar tangentes. Un
limaçon o las gráficas polares que
generan limaçones son las funciones
en coordenadas polares con la
forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto
de un gráfico de este tipo, donde se
muestra un caracol que apunta hacia
la derecha y que tiene un lazo
interior. La función para este gráfico
es la siguiente:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
10
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Veamos otro gráfico de una
función que tiene como
resultado un caracol con un
lazo interior pero que a
diferencia del gráfico anterior,
este apunta hacia abajo.
Veamos:
Continuando con la gráfica de
caracoles o limacones, hay otro tipo
que es el caracol con hendidura o
caracol con concavidad. Como
podremos observar, este no tiene
lazo, y está dirigido hacia la
izquierda. Veamos a continuación el
gráfico que resulta, el cual apunta
hacia la izquierda:
11
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Ahora se muestra un gráfico igual al
anterior con la diferencia que ahora
está dirigido hacia la derecha, de
modo que tenemos un limaçon o
caracol con hendidura o concavidad
que está dirigido hacia la derecha:
Antes de terminar el tema de los
limacoides o caracoles, veamos otro
gráfico diferente a los otros, que es
conocido como caracol convexo o
caracol ovalado, el cual está
apuntando hacia arriba, como lo
vemos en el gráfico siguiente:
CIRCUNFERENCIA
Esta nueva función nos presenta una forma
conocida por todos y es precisamente la
circunferencia, la cual será formada en el
gráfico polar mediante la siguiente función:
12
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Ahora veamos una nueva gráfica que
resulta en una circunferencia, con la
única diferencia que ahora aparece
arriba del rayo inicial (o del eje x que
todos conocemos), a diferencia del
gráfico anterior, que la circunferencia
aparecía abajo del radio inicial. La
función con su gráfico es esta:
LEMNISCATA
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en coordenadas polares:
La representación gráfica de esta ecuación
genera una curva similar a . La curva se ha
convertido en el símbolo del infinito y es
ampliamente utilizada en matemáticas. El
símbolo en sí mismo es, a veces, llamado
lemniscata. Un ejemplo de esta función con
su respectivo gráfico lo apreciamos a
continuación:
13
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Tenemos otro ejemplo de
lemniscata, pero ahora
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Finalmente se muestra un
gráfico como los dos
anteriores, donde aparece
una lemniscata, con la única
diferencia que ahora se
muestra en sentido vertical.
Veamos:
14
LAREVISTAMATEMATICAII
LA NEFROIDE DE FREETH
Esta es una curva muy reciente
si hablamos relativamente a las
demás. Hay curvas polares que
tienen varios siglos de existir,
mientras que esta que
trataremos en este momento es
bastante reciente, pues fue
desarrollada por el matemático
inglés T.J. Freeth, quien
descubrió esta curva en 1879. Un
ejemplo se aprecia en este
gráfico:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
CONCOIDES DE NICÓMENES
Nicómenes nació sobre
el año 280 antes de
Cristo en Grecia y murió
en el año 210 a.C. Se sabe
muy poco de su vida
pero es famoso por su
"Las líneas de la
Concoide". Veamos un
gráfico en coordenadas
polares de la concoide de
Nicómenes:
15
LAREVISTAMATEMATICAII
Veamos un nuevo ejemplo de
una concoide de Nicómenes. La
gráfica anterior está hacia la
derecha, mientras que la que se
presenta a continuación tiene
una dirección hacia arriba.
Veamos:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico
que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos
gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando
un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera
sumando uno a la función. El gráfico quedará así:
16
LAREVISTAMATEMATICAII
CISOIDE DE DIOCLES
Esta es una curva muy famosa y útil en
el cálculo. Fue utilizada por un griego
llamado Diocles para resolver el
problema de la duplicación del cubo. El
gráfico aparece de esta forma:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
PARÁBOLA
Esta figura es muy conocida
en el mundo del Cálculo. Tal
como podemos generar
funciones de parábolas en
coordenadas cartesianas, lo
podemos hacer también en
coordenadas polares.
Veamos el ejemplo:
17
LAREVISTAMATEMATICAII
ESPIRAL
Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La
espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada
sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente
enrollada por ejemplo.
El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como
Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un
notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de
esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades
matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III
antes de Cristo.
Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en
coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
18
LAREVISTAMATEMATICAII
Veamos ahora otra gráfica espiral
conocida como espiral de Fermat,
pues fue examinada por Fermat en
1936. Su ecuación es r² = a² + . En el
siguiente ejemplo se muestra una
función y su respectiva gráfica que
nos permiten conocer la espiral de
Fertat:
Un segundo gráfico espiral lo
tenemos en la función que veremos
ahora, que podríamos encontrarla
con dos nombres refiriéndose al
mismo gráfico. Ambos nombres
equivalen a lo mismo como
podremos apreciar . Dichos nombres
con los que se conoce a esta espiral
son: espiral recíproca o espiral
hiperbolica. Tendremos entonces:
Otro caso que se puede dar es la espiral
logarítmica, que se ilustra mediante la
siguiente función y su respectivo gráfico:
19
LAREVISTAMATEMATICAII
GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
LAREVISTAMATEMATICAII
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  • 2. 2 AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES Ejemplos y Soluciones matemática LAREVISTAII GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES 25 ejemplos de graficas en coordenadas polares 03 07 Portada. Karina Piña Edición numero 01. Editorial COLMENARES Director JUNIOR COLMENARES www. larevistamatematicaII.com Septiembre 2013 Síguenos por: pagina pagina
  • 3. Ahora, bien cuando se quiere hallar el área comprendida entre dos gráficas polares, se emplea el procedimiento conocido de sustraer un área de otra. Aunque en el siguiente ejemplo los cálculos no fueron sencillos, con frecuencia, determinar los límites de integración es la parte más desafiante para hallar el área de una región polar. AREA DE UNA REGION EN EL PLANO DE COORDENADAS POLARES SOLUCION: Si observamos la figura se puede apreciar las dos ecuaciones donde el área A entre ellos esta sombreada. Los puntos de intersección del círculo y el caracol están dados por: Hallar el área de la región A comprendida dentro del Caracol y el exterior del circulo 3 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 4. Hallar el área interior del limacon r = 3 + 2cos  y exterior a la circunferencia r = 2 SOLUCIÓN: Primero debe resolverse la ecuación igualando ambas ecuaciones: Observe que como es periódico, existen muchas soluciones para esta ecuación. En consecuencia, es necesario recurrir a la gráfica para determinar en cuales soluciones esta interesado. En este caso, se desea hallar las soluciones menores negativas y las más pequeñas positivas. Observando la figura, cuidadosamente donde solo se ha representado solo aquellas porciones de las gráficas correspondientes a entre las primeras dos soluciones positivas. 4 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 5. De manera semejante, el área encerrada por la circunferencia en este intervalo esta dado por: el área interior de la limacon y exterior a la circunferencia está dada por: Por lo que 5 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 6. El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r viene dada por: 6 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 7. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es: ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente: 7 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 8. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada: UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos: 8 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 9. CARDIOIDES A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función: 9 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 10. LIMACONES O CARACOLES Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES 10 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 11. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos: Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda: 11 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 12. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha: Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente: CIRCUNFERENCIA Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función: 12 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 13. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta: LEMNISCATA En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares: La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación: 13 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 14. GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal: Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos: 14 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 15. LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES CONCOIDES DE NICÓMENES Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes: 15 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 16. Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así: 16 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 17. CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES PARÁBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo: 17 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 18. ESPIRAL Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente: GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES 18 LAREVISTAMATEMATICAII
  • 19. Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat: Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces: Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico: 19 LAREVISTAMATEMATICAII GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES
  • 20. LAREVISTAMATEMATICAII Pon a prueba tus conocimientos… 20