Dans cette présentation, on donne une formule de dérivation pour les fonctions exponentielles.

1. Une formule de dérivation pour les fonctions
exponentielles
Clément Boulonne (CBMaths)
17 mars 2014
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 1 / 13

2. Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 2 / 13

3. La formule
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 3 / 13

4. La formule
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Propriété
Soient u : R → R et v : R → R deux fonctions continues et dérivables sur
R. La fonction G : R → R dénie, pour tout x ∈ R, par :
G(x) = u(x)ev(x)
est continue et dérivable sur R et :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 4 / 13

5. La démonstration
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 5 / 13

6. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13

7. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13

8. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13

9. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de
fonctions :
(u(x)v(x))0
= u0
(x)v(x) + v0
(x)u(x),
et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle :
(eu(x))0 = u0(x)eu(x).
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13

10. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
1. Soit u et v deux fonctions dénies, continues et dérivable sur R. On
considère la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
2. La fonction G est continue et dérivable sur R car elle est constituée
d'un produit de deux fonctions continues et dérivables sur R.
3. La formule s'appuie sur la formule de dérivation d'un produit de
fonctions :
(u(x)v(x))0
= u0
(x)v(x) + v0
(x)u(x),
et sur la formule de dérivable de la fonction exponentielle :
(eu(x))0 = u0(x)eu(x).
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 6 / 13

11. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13

12. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13

13. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13

14. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
On factorise, ensuite, par ev(x) :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13

15. La démonstration
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Démonstration.
4. On dérive la fonction G dénie pour tout x ∈ R par :
G(x) = u(x)ev(x)
.
On note, pour tout x ∈ R, V (x) = ev(x). On a ainsi :
V 0
(x) = v0
(x)eV (x)
puis, comme G(x) = u(x)V (x), on peut utiliser la formule de
dérivation d'un produit de fonctions :
G0
(x) = u0
(x)V (x) + u(x)V 0
(x)
G0
(x) = u0
(x)ev(x)
+ v0
(x)u(x)ev(x)
.
On factorise, ensuite, par ev(x) :
G0
(x) = (u0
(x) + u(x)v0
(x))ev(x)
.
D'où la formule.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 7 / 13

16. Applications
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 8 / 13

17. Applications Énoncé
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 9 / 13

18. Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13

19. Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13

20. Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ;
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13

21. Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ;
3 h(x) = (x2 − 1)ex3
;
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13

22. Applications Énoncé
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Exercice : calcul de dérivées
Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
1 f (x) = (2x + 1)e3x−1 ;
2 g(x) = (5x − 1)ex+1 ;
3 h(x) = (x2 − 1)ex3
;
4 u(x) = cos(x)esin(x).
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 10 / 13

23. Applications Solution du 1.
Sommaire
1 La formule
2 La démonstration
3 Applications
Énoncé
Solution du 1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 11 / 13

24. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13

25. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13

26. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13

27. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13

28. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
On considère la fonction :
f : R −→ R
x 7−→ (2x + 1)e3x−1.
On pose u(x) = 2x + 1 et v(x) = 3x − 1 puis on remarque que :
f (x) = u(x)ev(x)
.
Pour calculer la dérivée de la fonction f , on peut utiliser la formule
vue en première partie.
On a alors : u0(x) = 2 et v0(x) = 3.
Puis :
f 0
(x) = (2 + 3(2x + 1))e3x−1
= (6x + 5)e3x−1
.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 12 / 13

29. Applications Solution du 1.
Formule de dérivation pour la fonction exponentielle
Je vous laisse calculer les autres dérivées en exercice.
Clément Boulonne (CBMaths) Dérivation et exponentielle 17 mars 2014 13 / 13