The document discusses different types of plane curves defined by equations in Cartesian coordinates, including circles, ellipses, hyperbolas, and parabolas. It provides the standard equations that define each type of curve, as well as definitions of important properties like foci, directrix, eccentricity, and asymptotes. Examples are given of finding distances between points on a plane, tangent lines to curves, and coordinate transformations. The document is a reference on the key concepts and equations relating to conic sections.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
Alumna: Cindy Camacho
Sección: 0406
CI: 26.556.401

2. Distancia entre dos puntos del Plano Cartesiano
Consideremos dos puntos P(X1, Y1) Y Q(x2, y2) del plano cartesiano.
Queremos encontrar la longitud del segmento PQ en términos de las coordenadas
(conocidas) de P y Q.
Por P se traza una paralela al eje X y por Q una paralela al eje Y. Estas se cortan
en R. La abscisa de R es la misma que la abscisa de Q, esto es, x2; la ordenada
de R es la misma ordenada de P, es decir, y1. Por tanto, las coordenadas de R
son (x2, y1).
El triángulo PQR es rectángulo en R (¿Por qué?)
Aplicando el teorema de Pitágoras al triangulo PQR, se tiene:
(PQ)2 = (PR)2 + (RQ)2
Pero PR = X2 –X1 (de la figura) y RQ = y2 – y1 (de la figura)
Remplazando estos valores en (1):
(PQ)2 = (X2 –X1)2 + (y2 –y1)2
Despejando PQ: (PQ) = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1))2
Se ha tomado el signo positivo puesto que se trata de la medida de una distancia.
PQ es, entonces, la medida de la distancia que llamaremos d P,Q), luego:
Ejemplo:
Encontremos la distancia entre dos puntos P (-2,4) y Q (4,3).
Solución: Por aplicación de la fórmula de la distancia con x2 = 4, y2 = 3, x1 = -2y
y1= 4, se tiene:

3. d (P,Q) = √(𝑥2 − 𝑥1 ))2 + (𝑦2 − 𝑦1))2
= √[(4 − (−2)]2 + (3 − 4)2
= √(4 + 2)2 + (3 − 4)2
= √62 + (−1)2 =√37
La distancia pedida es √37 unidades de longitud.
Coordenadas del punto medio de un segmento AB
Si las coordenadas de punto medio M (x, y) de un segmento AB con A (x1, y1) y B
(x2, y2) están dadas por:
Determinemos las coordenadas del punto medio M del segmento AB con A
(-28,45) y B = (56,140).
Solución
X =
𝑥1
+ 𝑥2
2
=
−28+56
2
=
28
2
= 14
y =
𝑦1
+𝑦2
2
=
45+140
2
=
185
2
Luego, M (x, y) = (14,
185
2
)
Ejemplo
Demostremos, en el triángulo de la figura, que el segmento que une los puntos
medios de los lados AC y BC tiene como medida la mitad de la longitud del tercer
lado.
Solución
Las coordenadas del punto medio M de AC y N de BC son:
M(
𝑚
2
,
𝑛
2
) y N(
𝑎+𝑚
2
,
𝑛
2
)
La longitud de MN = d (M, N)
=√(
𝑎+𝑚
2
−
𝑚
2
)2 + (
𝑛
2
−
𝑛
2
)2

4. =
𝑎
2
=
1
2
d (A, B) =
1
2
longitud de AB
Secciones cónicas:
1) Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos de un plano que
están situados a una distancia constante (igual) de un punto fijo llamado
centro.
P(X, Y) es un punto cualquiera de la circunferencia.
R: es el radio
La circunferencia cuyo centro centro es el punto c(a, b) y cuyo radio es r tiene
como ecuación: (x-a)2 + (y-b)2 = r2
Cuando la circunferencia tiene como centro el origen de coordenadas su
educación es x2 + y2 = r2

5. Ecuación general de la circunferencia:
X2 + y2 + DX + EY + F= 0 En donde: D=2a ∫ 𝐸= 2b ∫ 𝐹= a2 + b2 – r2
OBSERAVACION:
La ecuación X2 + Y2 + DX + EY + F= 0 representa una circunferencia de radio
diferente de 0. Solamente si D y la coordenada es: (
−𝐷
2
,
−𝐸
2
) y la longitud del radio
es: r: √𝐷2+𝐸2
−4𝐹
2
Tangente a la Circunferencia en uno de sus puntos.
-Ecuación de la circunferencia: x2 + y2= r2
-Punto de la circunferencia: P(x1, y1)
-Ecuación de la tangente: x.x1+ y.y1= r2
Potencia de un punto respeto de una circunferencia:
Por definición de p respecto de una circunferencia: P = P.A.PB
Formula: P = (x – a)2 + (y-b)2 – r2

6. Nota:Cuando el punto “P” es exterior a la circuferencia la potencia es positiva.
cuando es interior sera negativa y cuando esta sobre la circuferencia ,la potencia
es nula
Elipse
La elipse es la figura geométrica que se obtiene al cortar todas las generatrices de
un cono mediante un plano:
-Ecuación canónica de la Elipse:
1) La elipse tiene su centro en el origen de coordenadas c(0,0) y los focos están
en el eje de abscisas x.

7. 𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
2) La elipse tiene su centro en el origen de coordenadas c(0,0) y los focos están
en el eje de ordenadas “y”
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
3) Ecuación de la elipse con centro c (h, k) y eje mayor paralelo al eje de las “x”.
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1

8. 4) Ecuación de la elipse de centro c (h, k) y eje mayor paralelo al eje de las “y”.
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1
 Ecuación general de la elipse: AX2 + BY2 + DX + EY + F una ecuación de
segundo grado en la cual falta el termino en el que los coeficientes x2 e y2
tienen igual signo representa una E y los ejes paralelas a los ejes de
coordenadas excepcionalmente un punto o no existe gráfica.
 Tangente a la elipse en uno de sus puntos: el centro de la elipse coincide
con el centro de coordenadas.
𝑥.𝑥1
𝑎2 +
𝑦,𝑦1
𝑏2 = 1
 Tangente a la elipse de pendiente dada:
Y= mx + √𝑎2 𝑚2 + 𝑏2
Propiedad de la tangente: la tangente es un punto de la elipse. Es bisectriz del
ángulo formando por un radio y la prolongación del otro.

9. Se define la elipse como el conjunto de los puntos del plano cuya suma de
distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante:
A los segmentos PF y PF, se les llama radios vectores de la elipse. La distancia de
los puntos A (a, 0) y A´ (-a, 0) en los focos es 2a, luego d + d´ = 2ª.
La ecuación de la elipse en forma reducida es x2 / a2 + y2 / b2 = 1, expresión de
una elipse centrada en el origen de coordenadas y simétrica respecto a los ejes,
que son también ejes de simetría, y respecto al origen.
Se llama excentricidad de la elipse al cociente c / a, que refleja un mayor o menor
“aplastamiento”. Cuando c = a, la excentricidad es uno y se trata de una
circunferencia.
En forma explícita (despejada y), la ecuación de la elipse queda como:
Y= + b / a √𝑎2 − 𝑥2
Que no es una función, pues a cada valor de x corresponden dos de y, según el
signo de la raíz cuadrada. Los planetas al girar en torno al sol siguen una
trayectoria en forma de elipse.
Hipérbola
La figura geométrica denominada hipérbola se obtiene al cortar un cono con un
plano paralelo a dos generatrices.
Se define la hipérbola como el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de
distancias a dos puntos llamados focos es constante:

10. Ejes: el segmento AAr se llama eje real y se designa 2a: AA1 = 2ª
El segmento BB1 se llama eje maginarío y se dedigna 2b
BB1 = 2B
El segmento FF1 se llama distancia ocal y se designa 2c
FF1= 2c
Relación entre a, b y c: Los números a y c son reales y positivos y la diferencia
c - a se denomina b2: b2 = c2 – a2
Excentricidad: Es el cociente c/a y siempre >1: e=
𝑐
𝑎
Radios vectores: Son las distancias desde cada punto P de la hipérbole a los
focos.

11. Formulas de los Radios Vectores: r = e + a; r1= e - a
Relación de los Radios Vectores: r –r1 = 2ª
Ecuación canónica de la hipérbole:
1. Hipérbole con ejes de simetría sobre el eje ”x” y el vértice coincide con el
centro c (o, p) de coordenadas
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
2. Hipérbole con ejes de simetría sobre el eje ”y” el vértice coincide con el
centro de coordenadas c (0,0)
𝑦2
𝑏2 −
𝑥2
𝑎2 = 1
3. Hipérbole con centro en un punto c (h,k) y eje real paralelo al eje” x”
(𝑥
𝑎2 − ℎ) -
(𝑦−𝑘)
𝑏2 =1
4. Hipérbole con centro en un punto c ( h, k) y eje real paralelo al eje” x”
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 -
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 =1
5. Hipérbole equilátera o Regular: Es aquella en que a y b son iguales
𝑥2− 𝑦2
= 1
6. Asíntotas: Son las rectas hacia las cuales tienden a aproximarse
indefinidamente a las hipérbole cuando x ∞ coincide con las diagonales
del paralelo gramo construido con a y b.
X + y

12. 7. Ecuación de la tangente a la hipérbola en uno de sus puntos:
𝑥.𝑥1
𝑎2 +
𝑦.𝑦1
𝑏2 = 1
F Y F´ Son los focos, siendo d1 – d2 = 2a. La ecuación reducida de la hipérbola es
x2 / a2 – y2 / b2 = 1, cuya excentricidad es c/a.
A los puntos (a, 0) y (-a, 0) se les llama semiejes de la hipérbola, siendo a el
semieje real y b el semieje imaginario, La grafica de esta función es simétrica
respecto al origen y a los ejes de coordenadas.
En forma explícita, la ecuación queda como:
Y = b / a √𝑥2 + 𝑎2

13. Parábolas
Aunque la ecuación de segundo grado tiene por grafica una parábola, en general
las parábolas son curvas que se obtienen al cortar la superficie de un cono por un
plano paralelo a una generatriz.
Eje de la parábola: es la perpendicular trazada desde el foco a la directriz.
Vértice de la parábola: es el punto en que la curva corta al eje y está en punto
medio entre el foco y la directriz
Parámetro de la parábola: es la distancia del foco al vértice y se designa por “P”.
1) Ecuación de la parábola con vértice en el origen y el eje coincide con el
eje de abscisas “x”

14. Y2 = 4px
Foco (F)= (P, 0)
Directriz X= -P
2) Ecuación de la parábola de vértice en el origen y el eje y coincide con
el eje de las ordenadas “y”.
X2 = 4py
Foco F = (0, P)
Directriz = y = - P

15. 3) Ecuación de la ´Parábola de vértice (h, k) y el eje parábola al eje “x”
(y –k)2 = 4p(x –h)
X= h –p
Nota: la ecuación (y – k)2 = 4P(x – h) se puede escribir: x = ay2 + b y + c; donde a,
b, c son números reales.
4) Ecuación de la parábola de vértices (h, k) y eje parábola al eje “y”.

16. (x – h)2 = 4p (y – k)
Y = k -p
Nota: la ecuación (x – h)2 = 4p (y –k) se puede escribir de la forma: y = a x2 +bx +
c; donde a, b, c son números reales.
Cuando a > o; la parábola abre hacia arriba y su vértice es punto mínimo xm = -
𝑏
2𝑎
.
Cuando a< 0 la parábola abre hacia abajo y su vértice es punto mínimo xm =
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
Ecuación de la tangente a la parábola: y2 = 4px en uno de sus puntos:
y.1
1
⁄ = 2p (x + x1)
Ecuación de la tangente de pendiente “m” a la parábola:
Y2 = 4px
Y= mx +
𝑝
𝑚
Función cuadrática: ax2 + bx + c= 0
Fórmula para calcular las coordenadas del vértice:
V(
−𝑏
2𝑎
,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
Fórmula para calcular las coordenadas del foco:
F (
−𝑏
2𝑎
,
1
4𝑎 +
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
)
Ecuación de la directriz:
Y= −
1
4
+
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎

17. Se define la parábola como el conjunto de puntos del plano que equidistan de un
punto llamado foco y de una recta llamada directriz:
Si p es la distancia del foco a la directriz, la ecuación reducida de la parábolas es
y = x2 / 2p.
Las parábolas tienen gran aplicación en óptica para la construcción de lentes, y
presentan la propiedad de que los rayos que inciden paralelos emergen por el foco
y a la inversa. Por tanto, si se coloca el ojo en el foco, se puede ver por toda la
lente

18. Ejercicio resuelto en (Foro)

20. Bibliografía
 Libro serie Matemática Progresiva, Geométrica analítica y trigonometría.
 https://www.ecured.cu/Plano_cartesiano
 http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/matematicas/paginacolmate/ap
plets/matematicas_V/Applets_Geogebra//seccionesconicas.html
 https://www.monografias.com/trabajos82/las-secciones-conicas/las-
secciones-conicas.shtml