Probabilities_2020

1. Φυλλάδιο
Ασκήσεων
Σχολικό έτος
2020-2021
Μαθηματικά Γ΄
Γενικής Παιδείας -
ΓΕΛ Εξαπλατάνου
[ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ]
Επιμέλεια Ιορδάνη Χ. Κοσόγλου , Msc μαθηματικού , απόφοιτου Α.Π.Θ

2. 2
ΕΝΟΤΗΤΑ : Δειγματικός Χώρος δ.χ – Ενδεχόμενα – Η έννοια της Πιθανότητας
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Ποιο από τα παρακάτω πειράματα είναι πείραμα τύχης ; Να αιτιολογήσετε
τις απαντήσεις σας.
α ) ο χρόνος μεταξύ δυο διαδοχικών εκλείψεων του ήλιου.
β ) το πλήθος των πελατών ενός εμπορικού καταστήματος μια συγκεκριμένη
μέρα.
γ ) ο αριθμός των αεροπλάνων που φθάνουν σε ένα αεροδρόμιο εντός
καθορισμένου χρονικού διαστήματος.
δ ) ο χρόνος που απαιτείται για να διανύσει ένα κινητό γνωστή απόσταση s
με σταθερή ταχύτητα u.
ε ) ο τόκος που θα λάβουμε για καταθέσεις ύψους α με προκαθορισμένο
επιτόκιο β.
2. Ρίχνουμε ένα νόμισμα - κέρμα 2 φορές.
α ) Ποιος είναι ο δ.χ Ω , του πειράματος ;
β ) Ποιο είναι το πλήθος Ν(Ω) ;
γ ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α = { και στις δυο ρίψεις ήρθε το ίδιο
αποτέλεσμα}. Συμπληρώστε το κενό, Ν(Α) = ……… .
δ ) Αν ρίξουμε το κέρμα 5 φορές ποιο είναι το πλήθος των στοιχείων του δ.χ ;
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) και β )
όπου Κ είναι Κεφαλή και Γ γράμματα.
Άρα Ω = {ΚΚ, ΚΓ , ΓΚ , ΓΓ }
Ν(Ω) = 4 = 22
γ ) Α = {ΚΚ , ΓΓ} , Ν(Α) = 2
δ ) Μία φορά 2 = 21 δυνατά αποτελέσματα , άρα πλήθος στοιχείων 2
Δυο φορές 4 =22 δυνατά αποτελέσματα, άρα πλήθος στοιχείων 4
Τρεις φορές 8 = 23 δυνατά αποτελέσματα , άρα πλήθος στοιχείων 8
………………………………………………………………
Πέντε φορές 32 = 25 δυνατά αποτελέσματα, πλήθος στοιχείων 32.

3. 3
3. Δυο παίκτες Α και Β στρίβουν ένα κέρμα 2 φορές ο καθένας και
καταγράφουν τα αποτελέσματα. Ο Α κερδίζει αν έρθει δυο φορές Γράμματα
και ο Β αν έρθει διαφορετικό αποτέλεσμα σε κάθε ρίψη.
α ) Γράψτε τα ενδεχόμενα Γ = { κερδίζει ο Α} και Δ = { κερδίζει ο Β}.
β ) Συμπληρώστε τα κενά Ν(Γ) = ………. , Ν(Δ) = ……….
γ )Θεωρείται ότι το παιχνίδι είναι δίκαιο ; Εξηγήστε.
δ ) Αν δεν είναι δίκαιο, πώς μπορεί να αλλάξει για να γίνει δίκαιο ;
[ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δ2, ΦΕΚ 3027/21-7-20 ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Γ ={ΓΓ} , Δ = {ΚΓ , ΓΚ}
β ) Ν(Γ) =1 , Ν(Δ) = 2
γ ) Δεν είναι δίκαιο γιατί ο Α κερδίζει 1 στις 4 και ο Β, 2 φορές στις 4 άρα έχει
διπλάσιες πιθανότητες να κερδίσει ο Β.
δ ) Ένας τρόπος είναι να κερδίζει ο Α όταν φέρει το ίδιο αποτέλεσμα στις δυο
ρίψεις. Δηλαδή Γ = {ΓΓ,ΚΚ}.
4. Ρίχνουμε ένα ζάρι 2 φορές.
α ) Ποιος είναι ο δ.χ Ω , του πειράματος ;
β ) Ποιο είναι το πλήθος Ν(Ω) ;
γ ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α = { το άθροισμα των ρίψεων του ζαριού είναι
ίσο με 7}. Γράψτε το πλήθος των στοιχείων του Α , Ν(Α) .
δ ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Β ={το άθροισμα των ρίψεων του ζαριού είναι
μεγαλύτερο του 10}. Γράψτε το πλήθος των στοιχείων του Β , Ν(Β) .
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α )
β ) Ν(Ω) = 36 = 62

4. 4
γ ) Α = {(1,6) , (2,5) , (3,4), (4,3) , (5,2) , (6,1) } , Ν(Α) = 6
δ ) Β = { (5,6) , (6,5) , (6,6) } , Ν(Β) = 3.
5. Ρίχνουμε ζάρι 2 φορές και ορίζουμε τα ενδεχόμενα Α = {το αποτέλεσμα της
2ης ρίψης είναι μεγαλύτερο της 1ης} , Β = {το άθροισμα των ενδείξεων είναι
περιττός} , Γ = {το γινόμενο των ενδείξεων είναι ≤ 7}.
Βρείτε τα ενδεχόμενα : Α∩Β , Α∩Γ , Β∩Γ , Α∩(Β∩Γ) , Α – Β , Β – Α.
6. Σε μια ομάδα 20 ατόμων , 4 από τις 7 γυναίκες και 2 από τους 13 άνδρες
φορούν γυαλιά. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά.
Ονομάζουμε τα ενδεχόμενα Α= { είναι γυναίκα} , Β = {φοράει γυαλιά}.
Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των
συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε :
α ) να είναι γυναίκα ή να φοράει γυαλιά.
β ) να μην είναι γυναίκα και να φοράει γυαλιά.
7. Από τους μαθητές ενός Λυκείου κάποιοι μιλούν πολύ καλά τη γαλλική
γλώσσα. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή για να εκπροσωπήσει το σχολείο
σε μια εκδήλωση του τμήματος της Γαλλικής Φιλολογίας. Αν ονομάσουμε τα
ενδεχόμενα
Α : « ο μαθητής να είναι κορίτσι»
Β : « ο μαθητής μιλά καλά την γαλλική γλώσσα»
Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα :
ι ) Α Β ιι )Α Β ιιι ) Β-Α ιν ) Α-Β ν ) Α΄ νι ) Α΄ Β
8. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και κατόπιν ένα ζάρι.
α ) Ποιος είναι ο δ.χ Ω , του πειράματος ;
β ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Α = { ήρθε Κεφαλή στη ρίψη του νομίσματος}.
γ ) Να γραφεί το ενδεχόμενο Β = { ήρθε αριθμός > 4 στη ρίψη του ζαριού}.
δ ) Να γραφούν τα ενδεχόμενα Α΄ και Α∩Β.
ε ) Συμπληρώστε τα κενά, Ν(Ω) = ……… , Ν(Α) = ………. , Ν(Β) = ………..
9. Η Άννα και ο Βασίλης παίζουν το γνωστό παιχνίδι «Πέτρα-Ψαλίδι-Χαρτί».
Θυμίζουμε τους κανόνες.
 Η πέτρα κερδίζει το ψαλίδι και χάνει απ το χαρτί.
 Το ψαλίδι κερδίζει το χαρτί.
α ) Ποιος είναι ο δ.χ Ω , του πειράματος ;
β ) Ο Βασίλης σκέφτηκε να διαλέγει συνέχεια πέτρα. Γράψτε το ενδεχόμενο
αυτό, έστω Α. Έχει η στρατηγική του πλεονέκτημα ; Σχολιάστε.
Η Άννα προτείνει να αλλάξουν παιχνίδι και να παίξουν «Πέτρα –Ψαλίδι –
Μολύβι – Χαρτί».

5. 5
γ )Με δεδομένο ότι το μολύβι κερδίζει την Πέτρα και χάνει απ το ψαλίδι,
γράψτε το νέο δ.χ Ω΄ του παιχνιδιού. Συμπληρώστε το κενό Ν(Ω΄) = …….
δ ) Αν ο Βασίλης διατηρήσει τη στρατηγική του , τότε ευνοείται απ τα
αλλαγή του παιχνιδιού ; Σχολιάστε.
[ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δ1, ΦΕΚ 3027/21-7-20 ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α )
Π: πέτρα , Ψ: ψαλίδι , Χ: χαρτί
Ω = {ΠΠ , ΠΨ , ΠΧ , ΨΠ , ΨΨ , ΨΧ , ΧΠ , ΧΨ , ΧΧ } , Ν(Ω) = 9 =
32
β ) Έστω ότι ο Βασίλης είναι ο πρώτος. Α = { ΠΠ , ΠΨ , ΠΧ } ,
1 ισοπαλία ΠΠ , 1 νίκη ΠΨ και 1 ήττα ΠΧ ( το χαρτί κερδίζει
την πέτρα), άρα θα κερδίζει στις μια απ τις τρείς περιπτώσεις
σε κάθε παιχνίδι.
γ )
Π: πέτρα , Ψ: ψαλίδι , Χ: χαρτί , Μ : μολύβι.
Ω΄ = {ΠΠ,ΠΨ,ΠΧ,ΠΜ,ΨΠ,ΨΨ,ΨΧ,ΨΜ,ΧΠ,ΧΨ,ΧΧ,ΧΜ,ΜΠ,ΜΨ,ΜΧ,ΜΜ}
Ν(Ω΄) = 16 = 42
δ ) Διατήρηση της στρατηγικής του Βασίλη , άρα Α΄ = { ΠΠ,ΠΨ,ΠΧ,ΠΜ } ,

6. 6
1 ισοπαλία ΠΠ , 1 νίκη ΠΨ και 2 ήττες ΠΧ ( το χαρτί κερδίζει την πέτρα), ΠΜ
(το μολύβι είπαμε, κερδίζει την πέτρα), άρα θα κερδίζει στις μια απ τις
τέσσερις περιπτώσεις σε κάθε παιχνίδι, χειρότερη απόδοση ! Δεν πρέπει να
συμφωνήσει να αλλάξουν παιχνίδι !
10. Μεταξύ των οικογενειών με 2 παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και
εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και τη σειρά γέννησης.
α ) Γράψτε τον δ.χ Ω του παραπάνω πειράματος.
β ) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α={και τα δυο παιδιά είναι
αγόρια}.
γ ) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου Β={και τα δυο παιδιά είναι
κορίτσια}.
11. Μεταξύ των οικογενειών με 3 παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια οικογένεια και
εξετάζουμε τα παιδιά ως προς το φύλο και τη σειρά γέννησης.
α ) Γράψτε τον δ. χ Ω του παραπάνω πειράματος.
β ) Ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου Α={όλα τα παιδιά είναι του
ίδιου φύλου}.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Κ : κορίτσι , Α : αγόρι
α ) Ω = {ΚΚΚ , ΚΚΑ , ΚΑΚ , ΚΑΑ , ΑΚΚ , ΑΚΑ , ΑΑΚ , ΑΑΑ }
Ν(Ω) = 23 = 8 (δυνατές περιπτώσεις)
β ) Α = {ΚΚΚ , ΑΑΑ} , Ν(Α) = 2 (ευνοϊκές περιπτώσεις)
Άρα Ρ(Α) =
Ν(Α)
Ν(Ω)
=
2
8
=
1
4
= 0.25 ή 25%
12. Μαιευτήριο κρατάει αρχείο γεννήσεων καταγράφοντας το φύλο κάθε
παιδιού που γεννιέται. Ποιο απ τα παρακάτω ενδεχόμενα είναι πιθανότερο ;
Α = {τα 2 πρώτα παιδιά του χρόνου είναι αγόρια}
Β = { τα 5 πρώτα παιδιά του χρόνου είναι αγόρια}.
[ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δ5 Α, ΦΕΚ 3027/21-7-20 ]
13. Δυο παίκτες παίζουν σκάκι και συμφωνούν ότι νικητής είναι εκείνος που θα
φτάσει πρώτος στις δυο νίκες. Αν α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει ο

7. 7
πρώτος παίκτης και β το αποτέλεσμα να κερδίζει ο δεύτερος , προσοχή
εξαιρούμε το ΠΑΤ.
α ) Γράψτε το δ.χ Ω του παιχνιδιού.
β )Βρείτε το ενδεχόμενο Α= { κερδίζει ο 1ος παίκτης}
γ )Βρείτε το ενδεχόμενο Α΄= { κερδίζει ο 2ος παίκτης}.
δ ) Συμπληρώστε τα κενά, Ν(Ω) = ……… , Ν(Α) = ……… , Ν(Α΄) = ………..
ΕΝΟΤΗΤΑ : Κανόνες Λογισμού Πιθανοτήτων – Αξιωματικός Ορισμός Πιθανότητας
14. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν : Ρ(Α) =
2
3
,
Ρ(Β) =
1
2
και Ρ(Α∩Β) =
1
3
. Βρείτε τις πιθανότητες :
ι ) Ρ(Α∪Β) ιι ) Ρ(Α΄) ιιι ) Ρ(Α-Β) ιν ) Ρ((Α-Β)∪(Β-Α))
[ ΟΜΟΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7,9,10 ΣΕΛΙΔΑ 155 ]
15. Να βρείτε την πιθανότητα στη ρίψη 3 νομισμάτων να εμφανιστούν
α ) τρεις «κεφαλές» .
β ) δυο κεφαλές και μια φορά «γράμματα».
γ ) μια «κεφαλή» και 2 φορές «γράμματα».
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 2 ΣΕΛΙΔΑ 154 ]
16. Ρίχνουμε 2 ζάρια ταυτόχρονα. Να βρείτε την πιθανότητα,
α ) και τα δυο ζάρια να έχουν την ίδια ένδειξη. Γράψτε το αντίστοιχο
ενδεχόμενο.
β ) Ήρθαν εξάρες.
γ ) Το άθροισμα των ενδείξεων είναι ≥ 10. Γράψτε το αντίστοιχο ενδεχόμενο.
δ ) Το άθροισμα των ενδείξεων είναι ≥11.
ε ) Το άθροισμα των ενδείξεων είναι 7.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
Ο Δειγματικός χώρος του πειράματος είναι :
{(1,1) ,α ) Α =

8. 8
(2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) } , Ν(Α) = 6
Άρα Ρ(Α) =
Ν(Α)
Ν(Ω)
=
6
36
=
1
6
= 0.16̅ ή 16,6%
β ) Β = {(6,6)} , Ν(Β) = 1
Άρα Ρ(Β) =
Ν(Β)
Ν(Ω)
=
1
36
= 0.027̅ ή 2,77% περίπου.
γ ) Γ = {(5,5) , (6,4) , (4,6) , (6,5) , (5,6) , (6,6) } , Ν(Γ) = 6
Άρα Ρ(Γ) =
Ν(Γ)
Ν(Ω)
=
6
36
=
1
6
= 0.16̅ ή 16,66% περίπου.
δ ) Δ = { (6,5) , (5,6) , (6,6) } , Ν(Δ) = 3
Άρα Ρ(Δ) =
Ν(Δ)
Ν(Ω)
=
3
36
=
1
12
= 0.083̅ ή 8,33% περίπου.
ε ) Ε = {(1,6) , (6,1) , (2,5) , (5,2) , (3,4) , (4,3) } , Ν(Ε) = 6
Άρα Ρ(Ε) =
Ν(Ε)
Ν(Ω)
=
6
36
=
1
6
= 0.16̅ ή 16,66% περίπου.
17. Αν
Ρ(Α)
Ρ(Α΄)
=
1
2
, να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Α΄).
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΕΛΙΔΑ 156 ]
18. Το 8% των ατόμων ενός πληθυσμού έχουν υπέρταση , το 6% στεφανιαία
καρδιακή ασθένεια και το 2% έχουν και τα δυο. Επιλέγετε ένα άτομο τυχαία .
Αφού σχηματίσετε το διάγραμμα Vennπου περιγράφει τα παραπάνω,
υπολογίστε την πιθανότητα ,
α ) να έχει το άτομο που επιλέχθηκε τουλάχιστον μια ασθένεια.
β ) να έχει το άτομο που επιλέχθηκε μόνο υπέρταση.
γ ) να έχει το άτομο που επιλέχθηκε μόνο στεφανιαία νόσο.
δ ) να έχει το άτομο που επιλέχθηκε μόνο μια ασθένεια.
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 13 ΣΕΛΙΔΑ 156 ]
19. Έστω ο δ. χ Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4} με Ρ(ω1) =
1
3
, Ρ(ω3) =
1
6
, Ρ(ω4) =
1
9
. Βρείτε
την πιθανότητα Ρ(ω2).
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ

9. 9
Ρ(Ω) = 1 ή Ρ(ω1) + Ρ(ω2) + Ρ(ω3) + Ρ(ω4) = 1 ή
1
3
+ Ρ(ω2) +
1
6
+
1
9
= 1 ή Ρ(ω2) = 1 -
1
3
-
1
6
-
1
9
Ρ(ω2) =
18−6−3−2
18
=
7
18
20. Έστω o δ .χ Ω = {α , ω1 , ω2 , ω3} με Ρ(ωi) =
1
2i
. Να βρεθεί η Ρ(α).
21. Από μια τράπουλα με 52 φύλλα επιλέγουμε στην τύχη ένα φύλλο. Βρείτε τις
πιθανότητες των ενδεχομένων.
α ) το φύλλο είναι βαλές.
β ) το φύλλο δεν είναι βαλές.
γ ) το φύλλο είναι άσος ή δεκάρι.
δ ) το φύλλο είναι άσος σπαθί.
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΛΙΔΑ 154 ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Ρ { η πιθανότητα να είναι βαλές} =
4
52
=
1
13
= 0,08 περίπου ή 8%
β ) Ρ{η πιθανότητα να μην είναι βαλές}=1 - Ρ{η πιθανότητα να είναι βαλές}
= 1 −
1
13
=
12
13
= 0,92 ή 92% περίπου.
γ ) Ρ { η πιθανότητα να είναι άσος} =
4
52
=
1
13
Ρ { η πιθανότητα να είναι δεκάρι} =
4
52
=
1
13
Άρα ,
Ρ{η πιθανότητα να είναι άσος ή δεκάρι} =
1
13
+
1
13
=
2
13
ή 16% περίπου.
δ ) Ρ {η πιθανότητα να είναι άσος σπαθί} =
1
52
= 0,02 περίπου ή 2 %
περίπου.
22. Οι μαθητές ενός Λυκείου έχουν την δυνατότητα να συμμετέχουν στις
παρακάτω δραστηριότητες. Θεατρική ομάδα , ομάδα στίβου και στον όμιλο
μουσικής. Επιλέγουμε τυχαία έναν απ τους μαθητές. Έστω ότι η πιθανότητα
να συμμετέχει στη θεατρική ομάδα είναι Ρ(Θ)=
2
5
, στην ομάδα στίβου
Ρ(Σ)=
7
15
και στον όμιλο μουσικής Ρ(Μ)=
1
4
.

10. 10
α ) Θεωρείτε ότι σε αυτό το σχολείο απαγορεύεται ένας μαθητής ή μια
μαθήτρια να συμμετέχει σε πάνω από μία δραστηριότητες ;
β ) Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου Ρ(Θ∪Σ) =
13
15
, τι μπορούμε να
συμπεράνουμε για τα ενδεχόμενα Θ και Σ ;
γ ) Αν η πιθανότητα του ενδεχομένου Ρ(Θ∪Σ) =
23
30
, τότε ποια η πιθανότητα
των ενδεχομένων :
ι ) Θ ∩ Σ = { ο μαθητής ή η μαθήτρια συμμετέχει και στη θεατρική ομάδα
και στην ομάδα στίβου}.
ιι ) Θ – Σ = {ο μαθητής ή η μαθήτρια συμμετέχει μόνο στη θεατρική
ομάδα}.
[ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δ4, ΦΕΚ 3027/21-7-20 ]
23. Από 120 μαθητές ενός Λυκείου, 24 μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό
της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας(Ε.Μ.Ε), 20 συμμετέχουν στο
διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών (Ε.Ε.Φ)και 12 μαθητές
συμμετέχουν και στους δυο διαγωνισμούς.
Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής:
α ) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους διαγωνισμούς.
β ) να συμμετέχει μόνο στο διαγωνισμό της Ε.Μ.Ε.
γ ) να συμμετέχει μόνο στο διαγωνισμό της Ε.Ε.Φ.
δ ) να συμμετέχει μόνο σε έναν απ τους δυο διαγωνισμούς.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Α = { ο μαθητής συμμετέχει στο διαγωνισμό της ΕΜΕ }
Β = { ο μαθητής συμμετέχει στο διαγωνισμό της ΕΕΦ }
Ζητείται η Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) +Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) =
24
120
+
20
120
−
12
120
=
32
120
=
4
15
β ) Ζητείται η Ρ(Α-Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β) =
24
120
−
12
120
=
12
120
=
1
10
γ ) Ζητείται η Ρ(Β-Α) = Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) =
20
120
−
12
120
=
8
120
=
1
15
δ ) Ζητείται η Ρ[(Α-Β) ∪ (Β-Α)] = Ρ(Α-Β) + Ρ(Β-Α) =
12
120
+
8
120
=
20
120
=
1
6
Θυμήσου , είναι [(Α-Β)∩(Β-Α)] = ∅
24. Στο σύλλογο των καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες , το 40 %
είναι φιλόλογοι και το 30 % είναι γυναίκες φιλόλογοι .
Ονομάζουμε τα ενδεχόμενα Γ = { είναι γυναίκα } και Φ = { είναι φιλόλογος}.
Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή, εκφράστε λεκτικά τα παρακάτω
ενδεχόμενα και υπολογίστε τις πιθανότητες τους .
ι ) Γ ∪ Φ ={…………………………….}
ιι ) Γ – Φ = {……………………………. }

11. 11
ιιι ) Γ΄ ∪ Φ = {……………………………}
ιν ) Γ΄ ∩ Φ = {…………………………….}
[ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2003 ]
25. Το 70% των κατοίκων μιας πόλης έχει αυτοκίνητο, το 40% έχει μηχανάκι και
το 20% έχει αυτοκίνητο και μηχανάκι. Επιλέγουμε τυχαία έναν κάτοικο της
πόλης. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα : Α = {ο κάτοικος έχει αυτοκίνητο}
Μ = { ο κάτοικος έχει μηχανάκι}.
α ) Να εκφράσετε λεκτικά τα ενδεχόμενα Α∪Μ , Μ-Α , Μ΄ .
β ) Να βρείτε την πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε :
ι ) Να μην έχει μηχανάκι,
ιι ) Να μην έχει ούτε αυτοκίνητο ούτε μηχανάκι.
26. Δίνεται το σύνολο Ω = {1,2,3,4,5,6} και τα υποσύνολα του Α={1,2,4,5} και
Β = {2,4,6}.
α ) Παραστήστε με διαγράμματα Venn , με βασικό σύνολο το Ω , τα σύνολα
Α , Β , Α∪Β , Α∩Β , Α΄ και Β΄.
β ) επιλέγουμε τυχαία ένα στοιχείο απ το Ω. Βρείτε τις πιθανότητες των
ενδεχομένων :
ι ) Να μην πραγματοποιηθεί το Α.
ιι ) Να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β.
ιιι ) Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α , Β.

12. 12
ΕΝΟΤΗΤΑ : Συνδυαστική (Μεταθέσεις – Διατάξεις – Συνδυασμοί).
ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
 Αν μια διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ν διαδοχικές φάσεις
φ1 , φ2 , …….. φν και η φ1 πραγματοποιείται με κ1 τρόπους, η φ2 με κ2 ………..
και η φν με κν τρόπους , τότε η διαδικασία μπορεί να πραγματοποιηθεί με
κ1∙κ2∙…….∙κν τρόπους.
 Όταν χωρίζουμε το πρόβλημα μας σε ξεχωριστές περιπτώσεις , τις
αναλύουμε ανεξάρτητα και αθροίζουμε τα επιμέρους αποτελέσματα.
[Δες για π.χ τις ασκήσεις 24,25 παρακάτω]
 Οι μεταθέσεις των τριών στοιχείων α, β, γ είναι :
(α, β, γ) , (α, γ, β) , ( β, α, γ) , (β, γ, α) , (γ, α, β) , (γ , β, α).
 Δυο μεταθέσεις είναι διαφορετικές όταν διαφέρουν ως προς τη θέση ενός
τουλάχιστον στοιχείου.
 Οι διατάξεις των τριών στοιχείων α, β, γ ανά δυο είναι :
{α, β} , {β, α} , {α, γ} , {γ, α} , {β , γ} , {γ , β}.
 Δυο διατάξεις των ν ανά κ είναι διαφορετικές όταν διαφέρουν ως προς ένα
τουλάχιστον στοιχείο ή ως προς τη θέση ενός τουλάχιστον στοιχείου.
 Στους συνδυασμούς των ν ανά κ ισχύει ν ≥ κ.
 Οι συνδυασμοί των τριών στοιχείων α, β, γ ανά δυο είναι :
{α, β} , {α, γ} , {β , γ} .
 Δυο συνδυασμοί των ν ανά κ είναι διαφορετικοί όταν , διαφέρουν σε ένα
τουλάχιστον στοιχείο.
 Στους συνδυασμούς , αντίθετα με τις διατάξεις, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά με
την οποία παίρνουμε τα στοιχεία.
 Επιλογή με ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ έχουμε όταν επιλέγουμε αρχικά ένα αντικείμενο
και πριν επιλέξουμε το δεύτερο, τοποθετούμε το πρώτο πίσω στην
«κληρωτίδα». (με επανατοποθέτηση ή επανάθεση)
 Επιλογή ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ έχουμε όταν επιλέγουμε αρχικά ένα
αντικείμενο το βγάζουμε απ την «κληρωτίδα» και μετά επιλέγουμε το
δεύτερο. (χωρίς επανατοποθέτηση ή χωρίς επανάθεση)

13. 13
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
27. Με πόσους τρόπους μπορούμε να κρεμάσουμε 3 κορνίζες σε τρία καρφιά ;
[ Απ. 6 τρόποι ]
28. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 6 άνθρωποι σε 6 θέσεις ;
[ Απ. 720 τρόποι ]
29. Δίνεται η λέξη «Πιθανότης».
α ) Πόσοι αναγραμματισμοί της λέξης υπάρχουν ; Δεν χρειάζεται η λέξη να
βγάζει νόημα.
β ) Αν η λέξη ξεκινάει από φωνήεν , πόσες τέτοιες λέξεις μπορούμε να
σχηματίσουμε ;
[ Απ. α ) 362880, β ) 161280 ]
30. Πόσους πενταψήφιους μπορούμε να γράψουμε με τα ψηφία 1,2,3,4,5 αν
θέλουμε :
α ) να έχουν διαφορετικά ψηφία (κάθε ψηφίο από μια φορά) ,
β ) κάθε ψηφίο από μια φορά και ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 5 ,
γ ) κάθε ψηφίο από μια φορά και να ξεκινούν από 1 ή 2.
δ) κάθε ψηφίο να μπορεί χρησιμοποιείται παραπάνω από μια φορά , όλοι οι
πενταψήφιοι λοιπόν.(ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)
[ Απ. 120, 24, 48, 3125]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Πέντε θέσεις (πενταψήφιος) .
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 3 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 2 τρόπους
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
Άρα 5∙4∙3∙2∙1 = 5! = 120
β ) Για να είναι πολλαπλάσιο του 5 πρέπει να τελειώνει σε 5.
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 3 τρόπους
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 2 τρόπους

14. 14
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπους
Άρα 4∙3∙2∙1 = 4! = 24
γ ) Ξεκινούν από 1
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 3 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 2 τρόπους
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπους
Άρα 4∙3∙2∙1 = 4! = 24
Ξεκινούν από 2
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 4 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 3 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 2 τρόπους
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπους
Άρα 4∙3∙2∙1 = 4! = 24
Συνεπώς 24+24 = 48
δ ) η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
η 5η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 5 τρόπους
Άρα 5∙5∙5∙5∙5 = 55 = 3125

15. 15
31. Πόσους τετραψήφιους μπορούμε να γράψουμε με τα ψηφία 1,2,3,4,5 αν
θέλουμε :
α ) να είναι όλοι διαφορετικοί,
β ) κάθε ψηφίο να μπορεί χρησιμοποιείται παραπάνω από μια φορά.
γ ) Αν πάρουμε στην τύχη έναν τετραψήφιο ποια η πιθανότητα να έχει όλα
τα ψηφία του διαφορετικά ;
[ Απ. α ) 120, β ) 625, γ ) 0.192 ]
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 1 ΣΕΛΙΔΑ 164 ]
32. α ) Πόσες πινακίδες κυκλοφορίας μπορούμε να φτιάξουμε που να περιέχουν
3 κεφαλαία γράμματα στη σειρά απ τα Α,Β,Ε,Ζ,Η,Ι,Κ,Μ,Ν,Ο,Ρ,Τ,Υ,Χ και έναν
τετραψήφιο αριθμό απ τα ψηφία 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
β ) Πόσες απ τις παραπάνω πινακίδες είναι Αθηναϊκές (ξεκινούν από Ι).
γ ) Πόσες απ τις παραπάνω είναι από Πέλλα (ξεκινούν από ΕΕ).
[ Απ. α ) 24.696.000, β ) 1.764.000, γ ) 126.000 ]
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 2 ΣΕΛΙΔΑ 163 ]
α )
Γράμματα
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
Άρα 143 = 2744
Αριθμητικό μέρος
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 9 τρόπους (όχι με μηδέν)
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
Άρα 9∙103 = 9000 , συνεπώς όλες οι πινακίδες είναι 2744∙9000 = 24.696.000
β )
Γράμματα
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο (μόνο το Ι)
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
Άρα 142 = 196

16. 16
Αριθμητικό μέρος
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 9 τρόπους (όχι με μηδέν)
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
Άρα 9∙103 = 9000 , συνεπώς όλες οι πινακίδες είναι 196∙9000 = 1.764.000
γ ) Γράμματα
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 1 τρόπο
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 14 τρόπους
Άρα 14
Αριθμητικό μέρος
η 1η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 9 τρόπους (όχι με μηδέν)
η 2η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 3η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
η 4η θέση μπορεί να συμπληρωθεί με 10 τρόπους
Άρα 9∙103 = 9000 , συνεπώς 14∙9000 = 126.000
33. Σε ένα διαγωνισμό τραγουδιού λαμβάνουν 20 χώρες . Με πόσους τρόπους
μπορούν να συμπληρωθούν οι 3 πρώτες θέσεις ;
[ Απ. 6840 ]
34. Σε ένα αγώνα στίβου (100αρι) τρέχουν 8 αθλητές . Με πόσους τρόπους
μπορούν να συμπληρωθούν οι 3 πρώτες θέσεις ;
[ Απ. 336 τρόποι ]
35. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε από μια τράπουλα με 52 φύλλα
6 απ αυτά ;
[ Απ. 20.358.520 ]
36. Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε μια τετραμελή επιτροπή από
15 άτομα ;
[ Απ. 1365 τρόποι ]
37. α ) Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε, στο παιχνίδι ΛΟΤΤΟ , 6 απ
τους 49 αριθμούς ; β ) ποια η πιθανότητα να κερδίσουμε 6άρι
συμπληρώνοντας μόνο έξι αριθμούς ;
[ Απ. α ) 13.983.816 , β ) 0.00000071 ]

17. 17
38. Ένα μαθητής πρέπει να απαντήσει στις εξετάσεις Φυσικής Γ΄ Γυμνασίου σε 6
απ τις 9 ερωτήσεις. Πόσες επιλογές έχει ;
[ Απ. 84 επιλογές ]
39. Ένα μαθητής πρέπει να απαντήσει στις εξετάσεις Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου
σε 1 απ τις 2 θεωρίες και σε 2 απ τις 3 ασκήσεις. Πόσες επιλογές έχει ;
[ Απ. 6 επιλογές ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
(
𝟐
𝟏
) ∙ (
𝟑
𝟐
) =
𝟐!
𝟏! 𝟏!
∙
𝟑!
𝟐! 𝟏!
= 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟔
40. Από μια κληρωτίδα με 20 αριθμούς με πόσους τρόπους μπορούμε να
πάρουμε 4 ,
α ) χωρίς επανάληψη ή χωρίς επανάθεση, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά.
β ) με επανάληψη ή επανάθεση
[ Απ. α ) 4845 , β ) 160.000 ]
41. Πόσοι τριψήφιοι σχηματίζονται με τα ψηφία 1,2,3,4.
[ Απ. 64 ]
42. Μια τάξη έχει 12 αγόρια και 14 κορίτσια.
α ) Με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει το 5μελές συμβούλιο ;
β ) Με πόσους τρόπους μπορεί να προκύψει 5μελες συμβούλιο με 3 ακριβώς
κορίτσια ;
γ ) Αν πάρουμε στην τύχη 6 μαθητές απ την τάξη αυτή , να υπολογίσετε την
πιθανότητα να έχουμε το ίδιο αριθμό αγοριών – κοριτσιών.
[ Απ. α ) 65.780 , β ) 24.024 , γ ) 0.35 ]
43. Σημειώνοντας 6 νούμερα στο ΛΟΤΤΟ , βρείτε την πιθανότητα
α ) να κερδίσουμε 4αρι. β ) να κερδίσουμε 5αρι.
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Ρ{κερδίζουμε 4αρι} =
(6
4)(43
2 )
(49
6 )
β ) Ρ{κερδίζουμε 5αρι} =
(6
5)(43
1 )
(49
6 )
44. Ένα δοχείο περιέχει 20 λάμπες απ τις οποίες οι 4 είναι ελαττωματικές.
Παίρνουμε στην τύχη 3 λάμπες.
α ) Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου Α= { 3 λάμπες είναι ελαττωματικές}.
β ) Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου Β= { καμία λάμπα ελαττωματική}.

18. 18
γ ) Ποια η πιθανότητα του ενδεχομένου Γ= { τουλάχιστον μια λάμπα είναι
ελαττωματική}.
[ Απ. α ) 0.0035 , β ) 0.491 , γ ) 0.509 ]
45. Από 20 μαθητές μιας τάξης , ποια είναι η πιθανότητα,
α ) όλοι οι μαθητές να έχουν γενέθλια διαφορετικές μέρες.
β ) Δυο τουλάχιστον μαθητές έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα.
[ Απ. α)
𝜟 𝟐𝟎
𝟑𝟔𝟓
𝟑𝟔𝟓 𝟐𝟎 ]
46. 4 άτομα μπαίνουν σε ένα ασανσέρ στο ισόγειο ενός 5όροφου κτιρίου.
α ) Με πόσους τρόπους μπορούν να κατέβουν αν ο καθένας μπορεί να
κατέβει σε οποιαδήποτε όροφο. (Δυνατές Περιπτώσεις για το (γ)ερώτημα)
β ) Ποια η πιθανότητα να κατέβουν όλοι σε διαφορετικό όροφο.
γ ) Ποια η πιθανότητα να κατέβουν όλοι στους δυο πρώτους ορόφους;
[ Απ. 625, 0.192 , 0.0256 ]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΛΥΣΗ
α ) Ο 1ος έχει 5 επιλογές
ο 2ος έχει 5 επιλογές
ο 3ος έχει 5 επιλογές
ο 4ος έχει 5 επιλογές
Άρα 54 = 625 ή αλλιώς διατάξεις με επανάληψη των 5 ανα 4.
β ) Όλοι σε διαφορετικό όροφο ,
ο 1ος έχει 5 επιλογές
ο 2ος έχει 4 επιλογές
ο 3ος έχει 3 επιλογές
ο 4ος έχει 2 επιλογές
Άρα 5! = 120
Άρα Ρ{να κατέβουν σε διαφορετικό όροφο} =
120
625
=
24
125
=0.192 ή 19.2%
γ ) Κατεβαίνουν όλοι στον 1ο ή στον 2ο .
ο 1ος έχει 2 επιλογές
ο 2ος έχει 2 επιλογές
ο 3ος έχει 2 επιλογές
ο 4ος έχει 2 επιλογές
Άρα 24 = 16 ή αλλιώς διατάξεις με επανάληψη των 2 ανά 4.
Άρα Ρ{να κατέβουν στον 1ο ή 2ο όροφο} =
24
54 =
16
625
=0.0256 ή 2,56%

19. 19
47. Οκτώ άτομα, μεταξύ των οποίων ο Ιορδάνης και η Ελένη, θα καθίσουν
τυχαία ο ένας δίπλα στον άλλο σε 8 θέσεις.
α ) Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν ; (Δυνατές Περιπτώσεις)
β ) Με πόσους τρόπους η Ελένη κάθεται δίπλα στον Ιορδάνη ;
γ ) Ποια η πιθανότητα Ιορδάνης και Ελένη να κάτσουν δίπλα δίπλα ;
[ Απ. 40.320, 10.080 , 0.25 ]
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 3 ΣΕΛΙΔΑ 164 ]
48. Από μια τάξη με 8 αγόρια και 12 κορίτσια επιλέγουμε στην τύχη 3 άτομα.
α ) Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει η επιλογή ;
β ) Ποια η πιθανότητα τα επιλεγμένα άτομα να είναι του ίδιου φύλου ;
[ Απ. 1140 , 0.242 ]
[ ΟΜΟΙΑ με ΑΣΚΗΣΗ 10 ΣΕΛΙΔΑ 165 ]
49. Δυο φοιτητές , ο Βαγγέλης και η Μαρία θέλουν να ταξιδέψουν με ένα
λεωφορείο που εκτελεί το δρομολόγιο των 5:30 «Αθήνα –Πάτρα» και
υπάρχουν μόνο 4 κενές θέσεις, οι 2,13 , 14 και 56.
Για τις 4 αυτές θέσεις υπάρχουν 7 υποψήφιοι επιβάτες (μαζί με το Βαγγέλη
και τη Μαρία) όμως κανείς τους δεν προηγείται.
Θα γίνει λοιπόν κλήρωση μεταξύ των 7 υποψηφίων επιβατών. Πρώτα θα
κληρωθεί η θέση 2 , μετά η θέση 13, μετά η θέση
14 και τέλος η θέση 56.
Να βρείτε την πιθανότητα ,
α ) να ταξιδέψουν και δυο παιδιά στη θέση 56 ο
Βασίλης και στη θέση 2 η Μαρία.
β ) να ταξιδέψουν και δυο παιδιά στη θέση 56 η
Μαρία και στη θέση 2 ο Βασίλης.
γ ) να ταξιδέψουν και τα δυο παιδιά σε διπλανές
θέσεις.
δ ) Αν δεν μας ενδιαφέρει η θέση , (άλλη κλήρωση λοιπόν) ποια είναι η
πιθανότητα να κληρωθούν και να ταξιδέψουν και οι δυο ;
[ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Δ6, ΦΕΚ 3027/21-7-20 ]
[ Απ.
𝟐𝟎
𝟖𝟒𝟎
=0.024 , ίδια ,
𝟒𝟎
𝟖𝟒𝟎
=0.048,
( 𝟓
𝟐)
( 𝟕
𝟒)
= 𝟎. 𝟐𝟑𝟖𝟏]

20. 20
ΠΗΓΕΣ – ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
[1] Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής , Κεφάλαιο 3 , ΙΤΥΕ Διόφαντος ,
Έκδοση 2012.
[2] Μαθηματικά Γ΄ Λυκείου (Άλγεβρα-Αναλυτική Γεωμετρία- Πιθανότητες) ,
Κεφάλαιο 6 , ΟΕΔΒ , Έκδοση 1993.
[3] Συνδυαστική , Προσωπικές Σημειώσεις κ.Θανάση Κοπάδη ,
https://drive.google.com/file/d/0B6UosfEdKrYLcVZzUGsyRGxpMlE/view?fbclid=I
wAR2l5UzMII1ZIPITGhLGMba-36LQf8u6zSuzcXavRcdyLz0O8pFAyYTXdXs ,
προσπελάστηκε 23/7/20 και ώρα 14:00.
[4] ΦΕΚ 3027 / 21-07-20 , https://drive.google.com/file/d/11jUttkrt0qV-
Bg8v6snHpbMwDirYHGsD/view , προσπελάστηκε 23/7/20 και ώρα 14:00.
[5] Προσωπικές Σημειώσεις, Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 2016,
https://blogs.sch.gr/iordaniskos/archives/1042 , προσπελάστηκε 23/7/20 και ώρα
14:00.
[6] Τράπεζα ΥΠΑΙ.Θ (2014-2017)