Math themata lyseis_(neo)_epanaliptikes_2020_f_l

1. Μαθηματικά ομάδων Προσανατολισμού
θετικών σπουδών & σπουδών
Οικονομίας και Πληροφορικής
επαναληπτικές εξετάσεις 2020
θέματα και λύσεις (Νέο)
Επιμέλεια Λύσεων: Χρήστος K. Λοΐζος
www.liveyourmaths.com/

2. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΤΡΙΤΗ 8 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2020
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3)
ΘΕΜΑ Α
A1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο ox , να αποδείξετε
ότι η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο ox και ισχύει:
0 0 0(f g) (x ) f (x ) g (x )΄ ΄ ΄   .
Μονάδες 7
A2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α. Πότε λέμε ότι η f
παρουσιάζει στο ox A τοπικό μέγιστο;
Μονάδες 4
A3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle και να το ερμηνεύσετε
γεωμετρικά.
Μονάδες 4
A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α) Κάθε συνάρτηση η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου
ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.
β)
x
x
lim e

 
γ) Για κάθε συνάρτηση f, το μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα της
f, εφόσον υπάρχουν, είναι το ολικό μέγιστο της f.
δ)
1
(ln | x |)΄
x
  , για κάθε x<0.
ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν
μηδενίζεται σε αυτό, τότε η f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις
2
f(x) x   και g(x) x ,   όπου ,  , για
τις οποίες ισχύει
2
(f g)(x) x 2x  , για κάθε x  .
Β1. Να αποδείξετε ότι α β 1   .
Μονάδες 5

3. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
Β2. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f, g είναι 1-1 και να βρείτε την
αντίστροφη συνάρτησή τους, εφόσον αυτή υπάρχει.
Μονάδες 6
Β3. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση 1
g f
και να παραστήσετε γραφικά
τη συνάρτηση
1
(x) (g f)(x)
  .
Μονάδες 6
Β4. Έστω η συνάρτηση h : [0, 1]  , για την οποία ισχύει
f(x) 2 h(x) g(x) 2    , για κάθε x [0, 1] .
i) Nα αποδείξετε ότι
x 1
lim h(x) 2

 (μονάδες 3).
ii) Να υπολογίσετε το όριο 2x 1
h(x) 7 3
lim
h (x) 4
 

(μονάδες 5).
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  με τύπο
3
f(x) x .
Γ1. Να αποδείξετε ότι από το σημείο N( 2,f( 2))  διέρχονται δύο ακριβώς
εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της f και να βρείτε τις
εξισώσεις τους.
Μονάδες 8
Γ2. Έστω (ε): y=3x-2 η μία από τις δύο εφαπτομένες του ερωτήματος Γ1.
Έστω ακόμα (ζ) ευθεία η οποία είναι παράλληλη στην (ε) και
διέρχεται από το σημείο Μ(0,α) με -2<α<2. Να αποδείξετε ότι
ανάμεσα στις ευθείες x=-1 και x=+1 υπάρχει ακριβώς ένα σημείο
τομής της (ζ) με τη γραφική παράσταση της f .
Μονάδες 9
Γ3. Ένα υλικό σημείο
3
M(x,x ) κινείται κατά μήκος της καμπύλης
3
y x
με ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του x (t) 0  . Το σημείο Μ ξεκινά
από το σημείο Ν(-2, -8) και καταλήγει στην αρχή των αξόνων Ο. Σε
ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης του
σημείου Μ είναι τριπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τετμημένης
του;
Μονάδες 8

4. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΝΕΟ
ΘΕΜΑ Δ
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f : (0, )
2

 για την οποία ισχύουν:

3 2
f(x) συν x f΄(x) x x 1 0        , για κάθε x (0, )
2

 ,

6 2 3
f( )
3 3
 
 .
Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) f(x) x x, x (0, )
2

      είναι
σταθερή. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι
1 1
f(x) , x (0, )
x x 2

  
 
.
Μονάδες 6
Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ολικό
ελάχιστο στο 0x ,
4

 το οποίο και να βρείτε.
Μονάδες 6
Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) 3 2 στο διάστημα (0, )
2

έχει
ακριβώς δύο ρίζες 1 2, ,  με 1 2   .
Μονάδες 6
Δ4. Να αποδείξετε ότι 2 2f ( )(4 ) 4 2      , όπου 2 η ρίζα του
ερωτήματος Δ3.
Μονάδες 7
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάνω-
πάνω να συμπληρώσετε τα ατομικά σας στοιχεία. Στην αρχή των απαντήσεών σας να
γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα
θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις
σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε
καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα
φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύρο στυλό
με μελάνι που δεν σβήνει.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Χρόνος δυνατής αποχώρησης: 17:00
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

5. www.liveyourmaths.com
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
- ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗ-
ΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΝΕΟ) 2020
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 111.
Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 140.
Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 128.
Α4. α) Λάθος
β) Λάθος
γ) Λάθος
δ) Λάθος
ε) Σωστό
ΘΕΜΑ Β
Β1. Είναι f gD D≡ ≡  . Επίσης,
( )( ) ( )( ) ( )
( )
22 2 2
2 2 2
)2 2
2
( 2f g x x x x x x
x
f g x x g x
x xx
⇔ =− ⇔
⇔
= − + α ⇔= −
+ = −+β ⇔α

2 2
2 x x+ β +β + α = 2
2
2 2
2 2 1
1
2
0
και και
xx x⇔ β + α +β = − ⇔
 β = − β = − 
   
⇔ ⇔   
   
−
= α = −α +β   
Β2. Είναι 2
( ) 1,f x x x= − ∈ και ( ) 1,g x x x= − ∈ .
• Για την f:
Είναι ( ) ( )( )1 1 1 1 0f f− ≠ ⇒ −= = , άρα η f δεν είναι 1-1, και άρα δεν αντιστρέφεται.
• Για τη g:
Για κάθε 1 2,x x ∈ με ( ) ( )1 2g x g x= , έχουμε:
( ) ( )1 2 1 2 1 21 1g x g x xx x x= − = − =⇒ ⇒
Άρα, η g είναι 1-1, και άρα αντιστρέφεται.
Θα βρούμε την αντίστροφη της g. Για κάθε x∈, θέτουμε
1

6. www.liveyourmaths.com
1 1( ) y xy x yg x⇔= = − ⇔ = +
Άρα, 1
( ) 1,g y y y−
= + ∈ ή, ισοδύναμα, 1
( ) 1,g x x x−
= + ∈.
Β3. Θα βρούμε πρώτα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 1
g f−
 . Είναι:
{ } { }1 1
2
( ) 1κα ακ ιιf gg f
DD xx xD f x− −∈ ∈= = ∈ ∈− =
  
Επίσης, ( )( ) ( )( ) 2 21 1
( ) 1 1 1g f x g f x f x x x− −
= = + = − + = .
Τελικά, ( )1 2
( ) ,g f x x x−
= ∈  .
Για τη συνάρτηση φ, ισχύει: ( )( )1 2
( ) ,x g f x x x x−
ϕ ==∈=   , της οποίας η γραφική
παράσταση είναι η παρακάτω:
Β4. i) Το πεδίο ορισμού της h είναι το [ ]0,1 , άρα το ζητούμενο όριο είναι πλευρικό, δηλαδή
1 1
lim ( ) lim ( )
x x
h x h x−→ →
= .
Από την υπόθεση, ισχύει ότι ( ) 2 ( ) ( ) 2f x h x g x+ ≤ ≤ + , για κάθε [ ]0,1x∈ . Για 1x −
→ ,
έχουμε:
• ( ) ( ) 2
1
lim ( ) 2 1 2 1 1 2 2
x
f x f−
→
+ = + = − + =
• ( ) ( )1
lim ( ) 2 1 2 1 1 2 2
x
g x g−
→
+ = + = − + =
Από το κριτήριο παρεμβολής, έχουμε τελικά ότι:
1
lim ( ) 2
x
h x−
→
= και άρα
1
lim ( ) 2
x
h x
→
= .
ii) Είναι:
1 2
( ) 7 3 0
lim
( ) 4 0
(i)
x
h x
h x→
+ −  
= −  
Θεωρούμε τη συνάρτηση K, κοντά στο 1:
2

7. www.liveyourmaths.com
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
2 2 2
( ) 7 3 ( ) 7 3( ) 7 3 ( ) 7 9
( )
( ) 4 ( ) 4 ( ) 7 3 ( ) 4 ( ) 7 3
( ) 2 1
( ) 2 ( ) 2 ( ) 7 3 ( ) 2 ( ) 7 3
h x h xh x h x
x
h x h x h x h x h x
h x
h x h x h x h x h x
+ − + ++ − + −
Κ= = = =
− − + + − + +
−
=
− + + + + + +
Οπότε:
( )( )1 1
1 1 1
lim ( ) lim
4 6 24( ) 2 ( ) 7 3x x
x
h x h x→ →
Κ = = =
⋅+ + +
.
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έχουμε τη συνάρτηση :f →  με 3
( )f x x= . Είναι ( ) ( )
3
2 2 8f − =− =− , άρα έχουμε το ση-
μείο ( )2, 8Ν − − σημείο επαφής καμπύλης και ευθείας.
Έστω, ( )( )0 0,x f xΑ το σημείο επαφής ευθείας και καμπύλης γενικότερα. Τότε η εξίσωση της
εφαπτομένης είναι: ( ) ( ) ( )0 0 0y f x f x x x′− = ⋅ − (1)
Είναι ( )3 2
( ) 3f x x x′′= = , οπότε ( ) 2
0 03f x x′ = . Άρα η (1) γίνεται: ( )3 2
0 0 0( ): 3y x x x xε − = ⋅ − .
Αλλά το σημείο ( )2, 8Ν − − ανήκει στην ευθεία (ε), οπότε:
( )3 2 3 2 3 3 3 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 2
0 0
8 3
)
8 3 2 6 3 8 6 0
62 8 0 (2
x xx x x x x x x
xx
− − = ⋅ − − =− − − − + =
+ −
⇔
=
− − ⇔ ⇔
⇔
Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 2
( ) 2 6 8,g x x x x= + − ∈ . Είναι:
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 2
2 2
2
( ) 2 6 8 2 3 4 2 2 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
2 2 1
g x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
= + − = + − = + + − =
 = ⋅ + + − + = + + − = + + − = 
= + −
Επομένως, ( ) ( )
23 2
1(2) 6 8 0 1 02 2 2 2 ήx xx x xx⇔ ⇔ + −+ −= −= ⇔= =
Τελικά, από το ( )( )0 0,x f xΑ διέρχονται δύο εφαπτόμενες:
• Για 0 2x = − : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
3 2
1 2 8 12 2 12 16: 2 3 2 yy x x y xε − − = ⇔− − + = ⇔ = +− +
(το δοσμένο εξ’ αρχής σημείο),
• Για 0 1x = : ( ) ( ) ( )3 2
2 3: 1 3 1 21 1 1 3y x y xy x ⇔ε − = ⋅ ⇔− − = − = −
Τελικά:
( )
( )
1
2
: 12 16
: 3 2
y x
y x
ε = +
ε = −
3

8. www.liveyourmaths.com
Γ2. Είναι ( ) : 3 2y xε = − και ( ) : 3y xζ = + κ. Αφού το σημείο ( )0,Μ α ανήκει στην ευθεία (ζ), θα
ισχύει: 3 0 αα = ⋅ κ ⇔ κ =+ . Άρα, 2( ): 3 , 2 2y xζ = + α − < < ⇔ α <α .
Το σημείο τομής της (ζ) με τη Cf δίνεται από τη σχέση:
3 3
( ) 3 3 0f xx y x xx= =+ −⇔ α − α =⇔ .
Θεωρούμε τη συνάρτηση [ ]3
1,1( ) 3 ,x x x xλ α ∈ −= − − . Η λ, είναι συνεχής στο [ ]1,1− ως
πολυωνυμική και ισχύουν:
• ( ) ( ) ( )
3
1 1 3 1 1 3 2 0λ − = − − − − α = − + − α = − α > , αφού 2 02 ⇔< − α >α .
• ( ) 3
1 1 3 1 1 3 2λ = − ⋅ − α = − − α = − − α
Είναι 2 2 0 2 2 02 2 ⇔ > −α > − ⇒− > − −α ⇔α −< −α << . Δηλαδή ( )1 2 0λ = − − α < .
Τελικά, ( ) ( )1 1 0λ − ⋅λ < και άρα πληρούνται οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano. Οπότε
υπάρχει ( )1,1ρ∈ − τέτοιος ώστε ( ) 0λ ρ = . Επομένως, υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο τομής
της (ζ) με τη γραφική παράσταση της f. Θα αποδείξουμε τώρα ότι αυτό είναι μοναδικό.
Η συνάρτηση λ είναι παραγωγίσιμη στο ( )1,1− με ( )2
( ) 3 3, 1,1x x x′ ∈ −λ = − .
Είναι 2 2 2
1 3 3 ( ) 01 1 1 3 3 0x x x xx x− ′⇔ < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔− < λ< < < << .
Άρα, από συνέπειες θεωρήματος Bolzano, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( )1,1− και
άρα, ο αριθμός ρ είναι μοναδικός.
Συνεπώς, υπάρχει ακριβώς ένα σημείο τομής της (ζ) με τη γραφική παράσταση της f, και άρα το
ζητούμενο, απεδείχθη.
Γ3. Από υπόθεση, έχουμε ότι το σημείο ( )3
,x xΜ κινείται κατά μήκος της 3
y x= από το σημείο
( )2, 8− − προς το ( )0,0Ο με ( ) 0x t′ > . Οπότε, σε συνάρτηση με τον χρόνο t, έχουμε:
3
( ) ( )y t x t= και ( )3
( ), ( )x t x tΜ .
Είναι: ( )3 2
( ) ( ) 3 ( ) ( )y t x t x t x t′′ ′= = ⋅ .
Στο ζητούμενο σημείο, θα ισχύει:
( ) 0 ( ) 0
2 2 2
( ) 3 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 (
1
) 3 ( ) 13 ( ) 1
( ) 1 ( )
x t x t
y t x t t x tx x x tx t x t t
x t x t
<′ >
′ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =⇔
⇔ − =
′ ′ ′
⇔
⋅ = = =
= −
=
Άρα, το ζητούμενο σημείο είναι το ( )( ) ( )11, 1 1,fΜ ≡− − − − .
4

9. www.liveyourmaths.com
ΘΕΜΑ Δ
Δ1. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 0,
2
π 
 
 
ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων και παρα-
γωγίσιμη στο 0,
2
π 
 
 
με:
( ) ( ) ( )
2 3
2 2
3 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) ( ) 1
( ) ( )
( ) ( ) 1 0
0
εξ' υποθέσεως
g x f x x x f x x f x x x
f x x x f x x
f x x f x x
x x
f x x f x x x
x x
′ ′ ′′ ′= ⋅ηµ − εϕ= ⋅ηµ + ⋅ ηµ − εϕ=
′ ⋅ηµ ⋅συν + ⋅συν −
′= ⋅ηµ + ⋅συν − = =
συν συν
′⋅συν + ⋅συν ⋅ηµ −
= = =
συν συν
Άρα, ( ) 0g x′ = για κάθε 0,
2
x
π 
∈ 
 
, οπότε η συνάρτηση g είναι σταθερή στο 0,
2
π 
 
 
.
Αφού η g είναι σταθερή, θα ισχύει ( ) ,g x c c= ∈ για κάθε 0,
2
x
π 
∈ 
 
.
Για
3
x
π
= , έχουμε:
( )
6 2 3 3
3
3 3 3 3 2
6 2 3 3 6 3
3
6 6 3
g c f c c
c
π π π + 
⇔ ⋅ =
π 
=   ηµ − εϕ ⇔ ⋅ − = ⇔
 
⇔ +

− ⇔

= ( )
2
32 63+ ⋅ − 16 cc= ⇔ =
Άρα:
( ) 1 ( )
1 1
( )
(
( )
) 1f
x
x
x x x
f x x x f x
x x
x x
f x f
x
x
x x x
x
ηµ συν + ηµ
⇔ ⋅ηµ = + ⇔ ηµ ⋅ = ⇔
συν συν
συν + ηµ
⇔ = ⇔ = +
ηµ ⋅συν
⋅ηµ −
µ
ε
η
ϕ
συν
=
Δηλαδή, , 0,)
2
1 1
(f x x
x x
π 
∈ 
ν 
= +
µ συ η
.
Δ2. Είναι , 0,)
2
1 1
(f x x
x x
π 
∈ 
ν 
= +
µ συ η
. Η f είναι συνεχής στο διάστημα 0,
2
π 
 
 
ως πράξεις με-
ταξύ συνεχών συναρτήσεων και παραγωγίσιμη σε αυτό, με:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 23 3 3 3
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1
( )
1
x x
f x x x
x x x x x x
x x x x x xx x x x
x x x x x x
x x x x
x x
′  συν ηµ ′ ′′ = + = − ηµ + − συν = − + =  
ηµ συν ηµ συν ηµ συν  
ηµ − συν ⋅ ηµ + ηµ ⋅συν + συν−συν + ηµ ηµ − συν
= = = =
ηµ ⋅συν ηµ ⋅συν ηµ ⋅συν
ηµ − συν ⋅ + ηµ ⋅συν
=
ηµ ⋅συν
5

10. www.liveyourmaths.com
Άρα,
( )( )
2 2
0
1
)
2
, ,(
x x x x
f x x
x x
ηµ − συν + ηµ ⋅συν
′ =
η ν
π
σ

∈
⋅ υ µ
.
Θα βρούμε τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος της f. Έχουμε:
( ) ( )
( )( )2 2
2 2
1
0 1 0
0, 1 0, 0,
2
0, .
)
2
( 0
0αφού για κάθε κ
θ
αι
για κά ε
x x x x
x x x x
x x x
x
x x
f x
x x
x x
ηµ
′
− συν ⋅ + ηµ ⋅συν
⇔ = ⇔ ηµ − συν + ηµ ⋅συν = ⇔
ηµ
π 
⇔ ηµ − συν= + ηµ ⋅συν > ∈ ηµ

=

⋅
>
π
υ

υ

∈ 

σ ν
ν

⋅σ
Συνεπώς,
0,
2
0
0 1 1
4
,
4
x
x
x
x x x x
x
x x
x
π 
∈ 
 
÷συν ≠
η
ηµ π
⇔ ηµ = συν ⇔ = ⇔ εϕ = ⇔ εϕ = εϕ ⇔
συν
π
⇔ =
µ − συ
+
=
κπ
ν
κ∈
Όμως,
4
0
1 1
0
4 2 4 2 4 4 42 4
x
π π π π π π π
⇔ < κπ + < ⇔ − < κπ < − ⇔ − < −
π
κπ < ⇔< κ << < .
Αλλά κ∈ , οπότε 0κ = . Άρα, η f έχει ένα κρίσιμο σημείο, στη θέση
4
x
π
= .
Θα μελετήσουμε το πρόσημο της παραγώγου της f εκατέρωθεν του
4
π
. Έχουμε:
•
( ) ( )
2 2
1
0 (1)( ) 0
x x x x
f x
x x
ηµ − συν
′
µ
<
⋅συν
⋅ + ηµ ⋅συν
⇔ <
η
.
Είναι 2 2
1 0, 0x x x x+ ηµ ⋅συν > ηµ ⋅συν > , οπότε:
(1) 0x x x x⇔ ηµ − συν < ⇔ ηµ < συν , που ισχύει για κάθε 0,
4
x
π 
∈ 
 
, όπως φαίνε-
ται και από τις ακόλουθες γραφικές παραστάσεις:
Παρατηρούμε ότι στο 0,
4
π 
 
 
είναι 0x xx x ⇔ ησ µ − σν > η υνυ <µ , άρα ( ) 0f x′ < .
6

11. www.liveyourmaths.com
Επομένως, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,
4
π 
  
.
• Ομοίως,
( ) ( )
2 2
1
0 (2)( ) 0
x x x x
f x
x x
ηµ − συν
′
µ
>
⋅συν
⋅ + ηµ ⋅συν
⇔ >
η
.
Είναι 2 2
1 0, 0x x x x+ ηµ ⋅συν > ηµ ⋅συν > , οπότε:
(2) 0x x x x⇔ ηµ − συν > ⇔ ηµ > συν , που ισχύει για κάθε ,
4 2
x
π π 
∈ 
 
, όπως φαί-
νεται και από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις.
Παρατηρούμε ότι στο ,
4 2
π π 
 
 
είναι 0x xx x ⇔ ησ µ −σν < η υνυ >µ , άρα ( ) 0f x′ > .
Επομένως, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,
4 2
π π 
 
.
Οπότε η f παρουσιάζει στη θέση
4
x
π
= ολικό ελάχιστο, το:
1 1 1 1 2 2 4 4 2
2 2
4 22 2 2 2 2
4 4 2 2
f
π 
= + = + = + = = =  π π  ηµ συν
Δηλαδή, το ζητούμενο ολικό ελάχιστο είναι το ,2 2
4
π 
Α 
 
.
x
f' - +
f 2 1
0
𝜋
4
𝜋
2
0
Δ3. Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,
4
π 
  
, δηλαδή:
0
0, , lim ( )
4 4
συνεχήςf
f x
f f f x+
→
 π   π    
=          2
• Είναι 2 2
4
f
π 
= 
 
•
0 0 0
1 1
lim ( ) lim ( ) lim
x x x
f x f x
x x+ +→ → →
 
= = + 
ηµ συν 

0
lim 0
x
x+
→
ηµ = , και καθώς 0x +
→ , είναι 0xηµ > , οπότε
0
1
lim
x x+
→
∞= +
ηµ

0 0
1
lim 1lim 1
xx x
x+ +
→ →
συν ⇒ =
συν
=
7

12. www.liveyourmaths.com
Άρα
0
lim ( )
x
f x+
→
= +∞ .
Οπότε: )0, 2 2,
4
f
 π   = +  
∞

, όμως 3 2 0,
4
f
 π  
∈    
, άρα υπάρχει 1 0,
4
π 
∈ 
 
ρ , τέτοιο
ώστε ( )1 3 2f ρ = και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,
4
π 
  
, το 1ρ μοναδικό.
Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ,
4 2
π π 
 
, δηλαδή:
2
, , lim ( )
4 2 4συνεχής
f
f
x
f f f x−
π
→
  π π  π    =          
1
• Είναι 2 2
4
f
π 
= 
 
•
0
2 2
1 1
lim ( ) lim ( ) lim
xx x
f x f x
x x− +π →π→ →
 
= = + 
ηµ συν 

2 2
1
lim 1 lim 1
x x
x
x− −
π π
→ →
⇒ηµ= =
ηµ

2
lim 0
x
x−
π
→
συν = , και καθώς
2
x
−
π
→ , είναι 0xσυν > , οπότε
2
1
lim
x x−
π
→
∞= +
συν
.
Άρα
0
lim ( )
x
f x+
→
= +∞ .
Οπότε: ), 2 2,
4 2
f
 π π   = +  
∞

, όμως
2
3 ,
4
2 f
 π π  
∈    
, άρα υπάρχει 2 ,
4 2
π π 
∈ 
 
ρ , τέ-
τοιο ώστε ( )2 3 2f ρ = και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ,
4 2
π π 
 
, το 2ρ μοναδικό.
Συνεπώς, η εξίσωση ( ) 3 2f x = έχει στο διάστημα 0,
2
π 
 
 
ακριβώς 2 ρίζες 1 2,ρ ρ με 1 2ρ < ρ .
8

13. www.liveyourmaths.com
Δ4. Είναι 1 20
4 2
π π
< ρ < < ρ < .
Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο 2,
4
π 
ρ  
, αφού είναι συνεχής στο 2,
4
π 
ρ  
και
παραγωγίσιμη στο 2,
4
π 
ρ 
 
. Συνεπώς, υπάρχει ένα τουλάχιστον 1 2,
4
x
π 
∈ ρ 
 
, τέτοιο ώστε
( )
( )
2
2
1
2
24
4 4
f f
f x
π 
ρ −  
 ′= =
π π
ρ − ρ −
.
Όμως, από το ερώτημα Δ1, έχουμε ότι 2 2
( )
x x
f x
x x
ηµ συν
′= −
συν ηµ
.
Η f ′ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 0,
2
π 
 
 
με:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
4 4
3 2 3 2
4 4
( )
2 2
x x
f x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
′ ηµ συν
′′ = − = 
συν ηµ 
′ ′′ηµ συν − ηµ συν συν ηµ − συν ηµ
= − =
συν ηµ
συν + συν ⋅ηµ ηµ + ηµ ⋅συν
+
συν ηµ
Άρα, ( ) 0f x′′ > για κάθε 0,
2
x
π 
∈ 
 
, άρα η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο 0,
2
π 
 
 
.
Οπότε, για ( ) ( ) ( )( )1 2 1 2 2 24 4 2
f
x f x f f
′
′⇒ ⇒ ρ′ ′< ρ ρρ − π ><
1
.
9