3. www.tutorferry.com T. 0998230343
3
เซต (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 3.75%)
สับเซต และเพาเวอร์เซต
A เป็นสับเซตของ B เมื่อสมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B เขียนแทนด้วย A B
A ไม่เป็นสับเซตของ B เมื่อมีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว ของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B
เขียนแทนด้วย A B
ตัวอย่างเช่น ถ้า 1,2A สับเซตของ A มี 4 สับเซต คือ , 1 , 2 , 1,2
ข้อสังเกต
1. ถ้า n A เป็นจานวนสมาชิกของ A แล้วจานวนสับเซตของ
2
n A
A
2. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต
3. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวมันเอง
เพาเวอร์เซต : เพาเวอร์เซตของ A คือเซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P ( A )
ตัวอย่างเช่น 1,2A
, 1 , 2 , 1,2P A
ข้อสังเกต จานวนสมาชิกของ P A เท่ากับ
2
n A
หรือ
2
n A
n P A
การดาเนินการของเซต หมายถึง การกระทาที่จะเกิดเซตใหม่ หรือ การสร้างเซตใหม่จากเซตที่กาหนดให้
1. ยูเนียน : A B x x Aor B
2. อินเตอร์เซกชัน : A B x x A x B และ
3. คอมพลีเมนต์ : A x x x A และ
4. ผลต่าง : A B x x A x B และ
B A x x B x A และ
A B A B
4. www.tutorferry.com T. 0998230343
4
ทฤษฎีของเซต
1. กฎการสลับที่
1.1 A B B A
1.2 A B B A
2. กฎการเปลี่ยนกลุ่ม
2.1 A B C A B C
2.2 A B C A B C
3. กฎการแจกแจง
3.1 A B C A B A C
3.2 A B C A B A C
4. กฎเดอมอร์แกน
4.1 A B A B
4.2 A B A B
5. สมบัติของผลต่าง
A A
A B A B
5. www.tutorferry.com T. 0998230343
5
5.1 U A A
5.2 /
A B A A B A B
6. สมบัติของเพาเวอร์เซต
6.1 A B เมื่อ P A P B
6.2 P A P B P A B
6.3 P(A) P B = P(A B)
จำนวนสมำชิกของเซตจำกัด
1. n A n A n U
2. n A B n A n B n A B
3. n A B n A n A B
4. n A B C n(A) n(B) n(C) n(A B) n(A C) n(B C) n(A B C)
6. www.tutorferry.com T. 0998230343
6
จำนวนจริง (เปอร์เซ็นต์จานวนข้อสอบ 6.75%)
สมบัติของจำนวนจริง ถ้า a , b และ c R
1. สมบัติการเท่ากัน
1.1 สมบัติการสะท้อน
a a
1.2 สมบัติการสมมาตร
ถ้า a b แล้ว b a
1.3 สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
1.4 สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c
1.5 สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน
ถ้า a b แล้ว ac bc
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ
7. www.tutorferry.com T. 0998230343
7
2. สมบัติการบวกและการคูณ
สมบัติ กำรบวก กำรคูณ
2.1 ปิด a b R ab R
2.2 การสลับที่ a b b a ab ba
2.3 การเปลี่ยนหมู่ ( ) ( )a b c a b c ( ) ( )ab c a bc
2.4 การมีเอกลักษณ์ มีจานวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์
การบวกซึ่ง 0 0a a a
มีจานวนจริง 1 เป็นเอกลักษณ์
การคูณ ซึ่ง 1 1a a a
2.5 การมีอินเวอร์ส มีจานวนจริง a เป็นอินเวอร์ส
การบวกของ a
( ) 0 ( )a a a a
มีจานวนจริง 1
a
หรือ 1
a
เป็น
อินเวอร์สการคูณของ a เมื่อ
0a 1 1
1a a a a
2.6 การแจกแจง ( )a b c ab ac
กำรนำสมบัติของจำนวนจริงไปแก้สมกำร
1. การแยกตัวประกอบ
1.1 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0x bx c
ทาได้โดยหา d และ e ที่ de c และ d e b ทาให้ 2
( )( ) 0x bx c x d x e
จะได้คาตอบของสมการคือ d และ e
1.2 สมการกาลัง 2 ตัวแปรเดียว ที่อยู่ในรูป 2
0ax bx c
หา , ,d e f และ g ที่ de c , fg a และ dg ef b
ทาให้ 2
( )( ) 0ax bx c fx d gx e
จะได้คาตอบของสมการคือ d
f
และ e
g
2. การทาเป็นกาลัง 2 สมบูรณ์ โดยใช้แนวคิดดังนี้
2 2 2
2 ( )x ax a x a
2 2 2
2 ( )x ax a x a
2 2
( )( )x a x a x a
3. ใช้สูตร
2
4
2
b b ac
x
a
3.1 ถ้า 2
4 0b ac จะมี 2 คาตอบ
8. www.tutorferry.com T. 0998230343
8
3.2 ถ้า 2
4 0b ac จะมี 1 คาตอบ
3.3 ถ้า 2
4 0b ac ไม่มีคาตอบที่เป็นจานวนจริง
4. ทฤษฎีเศษเหลือ และทฤษฎีตัวประกอบ สาหรับแก้สมการตัวแปรเดียวที่มีกาลังสูงกว่า 2
ทฤษฎีเศษเหลือ : เมื่อ 1
1 1 0( ) ...n n
n np x a x a x a x a
ถ้าหาร ( )p x ด้วย x c จะเหลือเศษ ( )p c
ทฤษฎีตัวประกอบ : x c เป็นตัวประกอบของ ( )p x เมื่อ ( ) 0p c
สมบัติกำรไม่เท่ำกัน
สมบัติไตรวิภาค : ถ้า a และ b R แล้ว a b , a b และ a b จะเป็นจริงเพียงอย่างใด
อย่าง หนึ่ง
สมบัติการไม่เท่ากัน , ,a b c R
1. สมบัติการถ่ายทอด
ถ้า a b และ b c แล้ว a c
2. สมบัติการบวกด้วยจานวนเท่ากัน
ถ้า a b แล้ว a c b c
3. สมบัติการคูณด้วยจานวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์
3.1 ถ้า a b และ 0c แล้ว ac bc
3.2 ถ้า a b และ 0c แล้ว ac bc
ช่วงและกำรแก้อสมกำร
ช่วง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจานวนจริง และ a b
1. ช่วงเปิด ( , )a b หมายถึง a x b
2. ช่วงปิด ,a b หมายถึง a x b
3. ช่วงครึ่งเปิดหรือช่วงครึ่งปิด ,a b หมายถึง a x b
9. www.tutorferry.com T. 0998230343
9
4. ช่วงครึ่งเปิด หรือ ช่วงครึ่งปิด ,a b หมายถึง a x b
5. ช่วง ( , )a หมายถึง x a
6. ช่วง ,a หมายถึง x a
7. ช่วง ,a หมายถึง x a
8. ช่วง ,a หมายถึง x a
9. ช่วง , หมายถึง x R
การแก้อสมการ มีขั้นตอนดังนี้
1. จัดอสมการให้อยู่ในรูป พหุนาม หรือเศษส่วนพหุนาม ถ้ากาลังมากกว่า 1 ให้แยกตัวประกอบจนมีกาลัง
เป็น 1 และสัมประสิทธิ์ตัวแปรเป็นบวก ดังนี้
1.1 รูปพหุนาม 1 2 ... 0nx a x a x a
1.2 รูปเศษส่วนพหุนาม
1 2
1 2
...
0
...
n
n
x a x a x a
x b x b x b
ข้อสังเกต เครื่องหมายอสมการอาจเป็น , , ,
2. กรณีเศษส่วนพหุนาม 1.2 ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x b , 2b , ... , nb
10. www.tutorferry.com T. 0998230343
10
3. พจน์ที่เหมือนกันของเศษส่วนให้ดาเนินการโดยใช้สมบัติของเลขยกกาลัง
4. ทาส่วนให้หายไป โดยคูณด้วยพจน์ที่เหมือนกันแต่มีกาลังเป็นเลขคู่ซึ่งไม่ทาให้เครื่องหมายอสมการ
เปลี่ยน เช่น คูณด้วย
2
1x b
5. เมื่ออสมการอยู่ในรูปพหุนาม 1.1 ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น หรือ ให้หมายเหตุไว้ว่า
1x a , 2a , ... , na แต่ต้องไม่ตรงกับ 1b , 2b , ... , nb ที่เป็นตัวส่วน
6. เขียนเส้นจานวนระบุตาแหน่งของ 1a , 1b , 2a , 2b , ... , na , nb โดยเรียงจากน้อยไปหามาก
เฉพาะพจน์ที่กาลังเป็นเลขคี่
7. ใส่เครื่องหมาย , - สลับกันไป โดยเริ่มจากช่องขวาสุดให้เป็น + เสมอ
8. ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น หรือ ให้เลือกช่วง +
ถ้าเครื่องหมายอสมการเป็น หรือ ให้เลือกช่วง -
9. นาคาตอบที่ได้จากข้อ 8 มายูเนียนกัน และนาไปยูเนียนกับข้อ 5 โดยตัดคาตอบที่ยกเว้นในข้อ 2
ออกไปด้วย
ค่าสัมบูรณ์ : ค่าสัมบูรณ์ของ x หมายถึงระยะจากจุด 0 ถึง x บนเส้นจานวน เขียนแทนด้วย x
สมบัติของค่าสัมบูรณ์ x , y R
1. x ถ้า 0x
x 0 ถ้า 0x
x ถ้า 0x
จะเห็นว่า x มีได้ค่าเดียว ซึ่งมากกว่าหรือเท่ากับ 0
x 0
1.1 x x ถ้า x 0
1.2 x x ถ้า x 0
2. x x
3. xy x y
4. x
y
x
y
; 0y
-+ -- + - +
11. www.tutorferry.com T. 0998230343
11
5. x y y x
6. x y y x
7. 2
x 2
x
8. x y x + y
9. x y x - y
ถ้า 0a
10. ถ้า x a แล้ว x a หรือ x a
11. ถ้า x a แล้ว a x a
12. ถ้า x a แล้ว a x a
13. ถ้า x a แล้ว x a หรือ x a
14. ถ้า x a แล้ว x a หรือ x a
ถ้า 0a
15. ถ้า x a แล้ว เซตคาตอบ
16. ถ้า x a แล้ว เซตคาตอบ
17. ถ้า x a แล้ว เซตคาตอบ
18. ถ้า x a แล้ว x R
19. ถ้า x a แล้ว x R
12. www.tutorferry.com T. 0998230343
12
ทฤษฎีจำนวน
กำรหำรลงตัว
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม c ที่ทาให้
a = bc เรียก b ว่าเป็น ตัวหารของ a และเรียก a ว่าเป็น พหุคูณของ b
b a แทน b หาร a ลงตัว
b † a แทน b หาร a ไม่ลงตัว
2. ให้ a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a 0 และ b 0 ถ้า a b และ b c
แล้ว a c
3. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a b แล้ว a b
4. ถ้า a , b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a b และ a c แล้ว a (bx + cy)
เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใด ๆ
5. จานวนเต็มบวก p เป็นจานวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p 1 และถ้าจานวนเต็ม x หาร p ลงตัว แล้ว x
เป็นสมาชิกของ 1, 1, ,p p
ขั้นตอนวิธีกำรหำร
1. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b 0 แล้วจะมีจานวนเต็ม q และ r ชุดเดียว ซึ่ง
a bq r โดย 0 r b
เรียก q ว่า ผลหาร และ r ว่า เศษเหลือ
2. จานวนเต็ม a เป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a เป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2k + 1 เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม
3. ให้ b เป็นจานวนเต็มที่มากกว่า 1 จานวนเต็มบวก n ใด ๆ สามารถเขียนในรูปการกระจาย
ฐาน b ได้เป็น
1
1 1 0...k k
k kn a b a b a b a
เมื่อ k เป็นจานวนเต็ม และ 0 1 1, ,..., ,k ka a a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นลบและน้อยกว่า b และ
0ka
ตัวหำรร่วมมำก
1. ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a และ b ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก d ที่มีค่า
มากที่สุด ซึ่ง d a และ d b เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ ( a , b ) แทน ห.ร.ม. ของ a และ b
13. www.tutorferry.com T. 0998230343
13
2. กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก โดยที่ b < a โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหารไปเรื่อย ๆ
จะได้ว่า
1 1 1
1 2 2 2 1
1 2 3 3 3 2
2 1 1
1 1
;0
;0
;0
;0
0
k k k k k k
k k k
a bq r r b
b rq r r r
r r q r r r
r r q r r r
r r q
ดังนั้น kr ซึ่งเป็นเศษตัวสุดท้ายที่ไม่ใช่ศูนย์จะเป็น ห.ร.ม. ของ a และ b
3. ผลจากขั้นตอนวิธีของยุคลิด ทาให้ได้ว่า ถ้า d = ( a , b ) แล้ว จะมีจานวนเต็ม x และ y
ที่ทาให้ d = ax + by
4. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มบวกที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน จานวนเต็มบวก D ที่มีค่ามากที่สุด
ซึ่ง 1 2, ,..., nD a D a D a เรียกว่าเป็น ตัวหารร่วมมาก ( ห.ร.ม. ) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์ 1 2, ,..., na a a แทน ห.ร.ม. ของ 1 2, ,..., na a a
5. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a
6. จานวนเต็ม a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ ( a , b ) = 1
7. a และ b เป็นจานวนเฉพาะสัมพัทธ์ ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม x และ y ที่ทาให้ ax + by = 1
8. กาหนดจานวนเต็ม a , b และจานวนเฉพาะ p ถ้า p ab จะได้ p a หรือ p b
ตัวคูณร่วมน้อย
1. ให้ a , b เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a c และ b c
เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย ( ค.ร.น. ) ของ a และ b
ใช้สัญลักษณ์ [ a , b ] แทน ค.ร.น. ของ a และ b
2. ให้ 1 2, ,..., na a a เป็นจานวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์จานวนเต็มบวก C ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง
1 2, ,..., na C a C a C เรียกว่า ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 1 2, ,..., na a a
ใช้สัญลักษณ์ 1 2, ,..., na a a แทน ค.ร.น. ของ 1 2, ,..., na a a
3. 1 2 1 1 2 1, ,..., , , ,..., ,n n n na a a a a a a a
4. ถ้า a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แล้ว ab = ( a , b )[ a , b ]
14. www.tutorferry.com T. 0998230343
14
ฟังก์ชัน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 7.5%)
คู่อันดับ (Ordered pairs) : คู่อันดับ (a , b) มี a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง
เมื่อสลับตาแหน่งจะได้คู่อันดับใหม่ต่างจากเดิม ยกเว้นกรณีที่ a = b นั่นคือ
(a , b) = (c , d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
ผลคูณคำร์ทีเซียน (Cartesian product) : ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของ
คู่อันดับ (a , b) ทั้งหมด โดยที่ a A และ b B เขียนแทนด้วย A B
A B a,b a A b B และ
ข้อสรุปเกี่ยวกับผลคูณคำร์ทีเซียน
1. A B C (A B) A C
2. A B C A B A C
3. A B C A B A C
4. A B C A C B C
5. A B C A C B C
6. A B C A C B C
7. A B B A A B A B
8. A B B A A B A B
9. A B C D A C B D
10. A B C D A C B D
11. ถ้า A B และ C D แล้ว A C B D
12. ถ้า A,B แล้ว A B B A ก็ต่อเมื่อ A B
13. A B ก็ต่อเมื่อ A หรือ B
14. ถ้า A B A C และ A แล้ว B C
15. ถ้า A, B เป็นเซตจากัด แล้ว n(A B) n(A) n(B)
16. ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B แล้ว A B เป็นเซตอนันต์
ควำมสัมพันธ์ (Relations) : r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r A B
ข้อสังเกต
1. r เป็นความสัมพันธ์ใน A เมื่อ r A A
2. ถ้า (a ,b) r หมายถึง a มีความสัมพันธ์ r กับ b เขียนแทนด้วย a r b
/
15. www.tutorferry.com T. 0998230343
15
3. ถ้า (a , c) r หมายถึง a ไม่มีความสัมพันธ์ r กับ c เขียนแทนด้วย a r c
กราฟของความสัมพันธ์ : กาหนดให้ R เป็นเซตของจานวนจริง r เป็นสับเซตของ R R
กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบ โดยที่แต่ละจุดแทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r
กราฟของความสัมพันธ์อาจเป็น จุด เส้น หรือ อาณาบริเวณ ถ้ามีเส้นทึบ แสดงว่าทุกจุดบน
เส้นทึบรวมอยู่ในกราฟ แต่ถ้ามีเส้นประ แสดงว่าทุกจุดในแนวเส้นประไม่รวมอยู่ในกราฟ
โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
rD a A b B (a,b) rมี ซึ่ง
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr
rR b B a A (a,b) r มี ซึ่ง
ข้อสังเกต rD A และ rR B
อินเวอร์สของความสัมพันธ์ : อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย 1
r
โดยที่
1
r y,x x, y r
ข้อสังเกต ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B จะได้ว่า
1. 1
r
จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
2. 1 rr
D R และ 1 rr
R D
3. กราฟของ r และ 1
r
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
ฟังก์ชัน (Function) : คือความสัมพันธ์ซึ่งสาหรับคู่อันดับ 2 คู่ใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้า
มีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากัน
ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งสาหรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า x, y f และ x,z f
แล้ว y z
ถ้า x, y f และ x,z f แล้ว y z จะได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน
การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์
โดยลากเส้นขนานแกน Y ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน
16. www.tutorferry.com T. 0998230343
16
ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชัน เราจะเขียน y = f(x) แทน x, y f
เรียกว่า ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x หรือ เอฟเอ็กซ์
f
f
D x x, y f
R y x, y f
ชนิดของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 2 ชนิด คือ
1. ฟังก์ชันพีชคณิต (algebraic function) เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปตัวแปรอิสระและมีเครื่องหมายในทางพีชคณิต
เช่น บวก ลบ คูณ หาร กรณฑ์ ค่าสัมบูรณ์ และเลขยกกาลัง (ในกรณีที่ตัวแปรอิสระเป็นเลขชี้กาลังจะไม่จัด
อยู่ในกลุ่มนี้) ตัวอย่างเช่น
1.1 ฟังก์ชันตรรกยะ เป็นฟังก์ชันที่อยู่ในรูปเศษส่วนพหุนาม
P(x)
f(x)
Q(x)
เมื่อ P(x) และ Q(x) เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ Q(x) 0
1.2 ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)
n n 1 2
n n 1 2 1 0f(x) a x a x ....... a x a x a
โดยที่ n n 1 2 1 0a ,a ,......,a ,a a เป็นค่าคงตัว
และ n เป็นจานวนเต็มบวก หรือ ศูนย์
ข้อสังเกต ฟังก์ชันพหุนาม เป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ Q x เท่ากับ 1 สาหรับฟังก์ชันพหุนามที่
มีกาลังน้อยกว่า 3 ได้แก่ ฟังก์ชันคงตัว ฟังก์ชันเชิงเส้น และฟังก์ชันกาลังสอง
1.3 ฟังก์ชันคงตัว (constant function)
0f(x) a
เมื่อ 0a R
ถ้าให้ 0a b จะได้ว่า f(x) b
x y = f(x)
f
17. www.tutorferry.com T. 0998230343
17
มีกราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานแกน X มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b โดยตัดแกน Y ที่จุด (o,b)
1.4 ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function) ได้แก่ ฟังก์ชันกาลัง 1 ( 1a 0 ) และ ฟังก์ชันคงตัว ( 1a 0 )
1 0f(x) a x a ; 1a 0
หรือ f(x) ax b ; a 0
- กราฟเป็นเส้นตรง มีระยะตัดแกน Y เท่ากับ b
- ตัดแกน Y ที่จุด 0,b
- ตัดแกน X ที่จุด ( b
,0
a
- ความชัน = a
- ถ้า a > 0 กราฟทามุมแหลมกับแกน X
- ถ้า a < 0 กราฟทามุมป้านกับแกน X
1.5 ฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity function)
f(x) = x
เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่ a = 1 และ b = 0
1.6 ฟังก์ชันกาลัง 2 (quadratic function)
2
f(x) ax bx c ; a 0
- กราฟเป็นเส้นโค้ง เรียกว่า พาราโบลา
- ถ้า a > 0 กราฟหงาย
- ถ้า a < 0 กราฟคว่า
รูปมาตรฐาน คือ 2
f(x) a(x h) k ; a 0
- จะมี จุดวกกลับ หรือ จุดยอดที่ (h,k)
- ถ้า a > 0 เรียกว่า จุดต่าสุด โดยมีค่าต่าสุด = k
- ถ้า a < 0 เรียกว่า จุดสูงสุด โดยมีค่าสูงสุด = k
- เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x = h
รูปทั่วไป คือ 2
f x ax bx c ; 0a
จัดเป็นรูปมาตรฐานโดยใช้หลักกาลัง 2 สมบูรณ์ จะมี จุดวกกลับหรือจุดยอดที่
2
4
,
2 4
b ac b
a a
ค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุด
2 2
4
2 4 4
b ac b b
f c
a a a
จุดวกกลับอาจเขียนเป็น ,
2 2
b b
f
a a
เส้นสมมาตร คือ เส้นตรง
2
b
x
a
18. www.tutorferry.com T. 0998230343
18
1.7 ฟังก์ชันตรรกยะอื่น ๆ เช่น
1.7.1 ฟังก์ชันกาลังสาม 3
f x x
1.7.2 ฟังก์ชันส่วนกลับ
1
f x
x
; 0x
1.8 ฟังก์ชันอตรรกยะ เช่น
1.8.1 ฟังก์ชันรากที่ 2 f x x ; 0x
1.8.2 ฟังก์ชันรากที่ 3 3
f x x
1.9 ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ( absolute value function)
ตัวอย่ำง เช่น
f x x a b
มีกราฟเป็นเส้นตรง 2 เส้น คือ
f x x a b เมื่อ x a
และ f x a x b เมื่อ x a
มีเส้นสมมาตร คือ เส้นตรง x a และเส้นสมมาตรผ่านจุด ,a b
1.10 ฟังก์ชันขั้นบันได ( Step function)
ตัวอย่ำง เช่น
3; 2
2; 2 1
1;1 3
2; 3
x
x
f x
x
x
f x x
x หมายถึง จานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
2. ฟังก์ชันอดิศัย (transcendental function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต ได้แก่
2.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเซียล (exponential function)
หรือฟังก์ชันเลขชี้กาลัง
x
f x a ; 0a และ 1a
fD R และ fR R
- กราฟเป็นเส้นโค้ง ผ่านจุด 0,1 เพราะ 0
1a
19. www.tutorferry.com T. 0998230343
19
- ถ้า 1a เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น y จะมีค่าเพิ่มขึ้น (ฟังก์ชันเพิ่ม)
- ถ้า 0 1 a เมื่อ x เพิ่ม y ลด (ฟังก์ชันลด)
- 1 2
x x
a a เมื่อ 1 2x x
- ถ้า 0b และ 1b แล้ว x x
a b และ a b เมื่อ 0x
- 0x
a เมื่อ 0a
2.2 ฟังก์ชันลอการิทึม เช่น
logaf x x ; 0a และ 1a
fD R
และ fR R
2.3 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น
sinf x x
fD R และ 1,1fR
ฟังก์ชันอื่น ๆ ที่น่าสนใจ
1. ฟังก์ชันที่เป็นคาบ ( periodic function ) เช่น
f ( x + k ) = f ( x )
2. ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ ( even function and odd function )
f ( -x ) = f ( x ) ; even function
f ( -x ) = -f ( x ) ; odd function
3. ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
ถ้า 2 1x x แล้ว 2 1f x f x ; ฟังก์ชันเพิ่ม
ถ้า 2 1x x แล้ว 2 1f x f x ; ฟังก์ชันลด
ลักษณะของฟังก์ชัน แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ
1. ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function) คือ ฟังก์ชันที่ไม่มีสมาชิกตัวหลังของสองคู่อันดับใด ๆ เหมือนกัน
แต่สมาชิกตัวหน้าต่างกัน
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อ ถ้า 1,x y f และ 2 ,x y f แล้ว 1 2x x
การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน โดยลากเส้น
ขนานแกน X ถ้าไม่มีเส้นใดตัดกราฟมากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ถ้ามีเส้นใดตัด
มากกว่า 1 จุด ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ( many-to-one function )
20. www.tutorferry.com T. 0998230343
20
2. ฟังก์ชันจาก A ( function from A )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เป็นสับเซตของ B
เขียนแทนด้วย :f A B โดยที่ fD A และ fR B
3. ฟังก์ชันทั่วถึง ( onto function )
f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B
หมายเหตุ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปไม่ทั่วถึง B หมายถึง ฟังก์ชัน f มีโดเมนเท่ากับเซต A และมีเรนจ์
ไม่เท่ากับเซต B
เขียนแทนด้วย : onto
f A B โดยที่ fD A และ fR B ( onto หมายถึง ไม่ทั่วถึง )
ข้อสังเกต ถ้ากาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เขียนแทนด้วย :f A B สามารถจาแนกลักษณะ
ของฟังก์ชันได้ 4 ลักษณะ ดังนี้
1. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B
2. f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1 1
: onto
f A B
3. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B
4. f ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปไม่ทั่วถึง B เขียนแทนด้วย 1
: many
onto
f A B
ฟังก์ชันคอมโพสิท ( composite function )
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที่ f gR D ฟังก์ชันคอมโพสิทของ f และ g ซึ่งเขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์ gof สาหรับทุก ๆ ค่าของ x ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f และ f ( x ) อยู่ในโดเมนของ g
( gof ) ( x ) = g ( f ( x ) )
gof fD D และ gof gR R
ถ้า 1 1
: onto
f A B
และ 1 1
: onto
g B C
แล้ว 1 1
: onto
gof A C
21. www.tutorferry.com T. 0998230343
21
ฟังก์ชันอินเวอร์ส ( Inverse function )
ให้ f เป็นฟังก์ชัน 1
f
จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และเรียกฟังก์ชัน 1
f
ว่า
ฟังก์ชันอินเวอร์ส โดยที่ 1
f y,x x, y f
ข้อสังเกต ถ้า 1 1
: onto
f A B
จะได้ว่า
1. 1 11
: onto
f B A
2. 1 ff
D R และ 1 ff
R D
3. กราฟของ f และ 1
f
มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4. f ก็ต่อเมื่อ 1
f
5. 1
fof x x
; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
6. 1
f of x x
; ฟังก์ชันเอกลักษณ์
พีชคณิตของฟังก์ชัน ( Algebra of function ) คือ การสร้างฟังก์ชันใหม่ โดยนาฟังก์ชันเดิม
อย่างน้อย 2 ฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ หาร
ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันที่มี fD และ gD เป็นโดเมนของ f และ g ตามลาดับ
f g f gf g x, y y f x g x ;D D D
f g f gf g x, y y f x g x ;D D D
fg f gfg x, y y f x g x ;D D D
f f g
g
f xf
x, y y ;D D D x g x 0
g g x
ข้อสังเกต 1. f g f g fg f gD D D D D
2. 0f f g
g
D D D x g x
3. f g x f x g x
4. f g x f x g x
5. fg x f x g x
6.
f xf
x
g g x
เมื่อ 0g x
22. www.tutorferry.com T. 0998230343
22
ระบบสมกำรเชิงเส้นและเมทริกซ์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.25%)
เมทริกซ์ คือ ชุดของจานวน mn ตัว m,n I
ซึ่งเขียนเรียงกัน m แถว n หลัก
ภายในเครื่องหมายวงเล็บ
11a 12a 1na แถวที่ 1
21a 22a 2na แถวที่ 2
m1a m2a mna แถวที่ m
หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ n
เรียก aij ว่าเป็นสมาชิก ( entry ) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ หรือเรียกว่าเป็นสมาชิกใน
ตาแหน่งที่ ij ของเมทริกซ์ เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่าเป็น mxn
เมทริกซ์ และเรียก mxn ว่าเป็นมิติของเมทริกซ์ ซึ่งอาจเขียนเมทริกซ์ได้อีกแบบ คือ
ij mxn
A a หมายถึง เมทริกซ์ A เป็น m x n เมทริกซ์ที่มีสมาชิกในตาแหน่งที่ ij เป็น ija
เมื่อ i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
กำรเท่ำกันของเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a และ ij mxn
B b A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ ij ija b สาหรับทุก i 1,2,...,m และ
j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B
ข้อสังเกต A B เมื่อ
1. มีมิติต่างกัน
2. มีมิติเดียวกัน แต่มีสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกัน ต่างกันอย่างน้อย 1 ตัว
กำรบวกเมทริกซ์
ให้ ij mxn
A a และ ij mxn
B b A บวกกับ B คือเมทริกซ์ ij mxn
c เมื่อ ij ij ijc a b
สาหรับทุก i 1,2,..,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย A B
23. www.tutorferry.com T. 0998230343
23
ข้อสังเกต
เมทริกซ์ 2 เมทริกซ์บวกกันได้เมื่อมีมิติเดียวกัน โดยนาสมาชิกที่อยู่ในตาแหน่งเดียวกันมาบวกกัน ถ้า
มิติต่างกันไม่สามารถหาผลบวกได้
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
ให้ ij mxn
A a และ c เป็นค่าคงตัว ผลคูณของ c และ A คือ เมทริกซ์ ij mxn
b
เมื่อ bij = caij สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n เขียนแทนด้วย cA
ข้อสังเกต
1. A B A 1 B A B เมื่อ A และ B มีมิติเดียวกัน
2. ให้ ij ijmxn mxn
A a ,B b และ ,B เป็นค่าคงตัว จะได้ว่า ij mxn
A B c เมื่อ
ij ij ijc a b สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,n
3. เมทริกซ์ที่มีมิติ m x n และสามารถทุกตาแหน่งเป็นศูนย์เรียกว่า เมทริกซ์ศูนย์แทนด้วย 0mxn หรือ 0
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรบวกเมทริกซ์และกำรคูณเมทริกซ์ด้วยค่ำคงตัว
กาหนดให้ A,B,C,O มีมิติ mxn และ c,d เป็นค่าคงตัว
1. A B มีมิติ mxn
2. สมบัติการสลับที่ A B B A
3. สมบัติการเปลี่ยนหมู่ A B C A B C
4. การมีเอกลักษณ์การบวก A O A O A เมื่อ O เป็นเอกลักษณ์การบวก
5. การมีตัวผกผันการบวก A A O A A เมื่อ A เป็นตัวผกผันการบวกของ A
6. c A B cA cB
7. c d A cA dA
8. cd A c dA
9. 1A A
10. 0A 0
24. www.tutorferry.com T. 0998230343
24
กำรคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์
ถ้า ij mxn
A a และ nxrijbB แล้ว A คูณ B คือ เมทริกซ์ mxrijc เมื่อ
ij i1 1j i2 2 j in njc a b a b ... a b สาหรับทุก i 1,2,...,m และ j 1,2,...,r
11a 12a 1na 11b 12b 1rb
21a 22a 2na 21b 22b 2rb
=
m1a m2a mna n1b n2b nrb
n
1k k1
k 1
a b
n
1k k2
k 1
a ,b
n
1k kr
k 1
a b
n
2k k1
k 1
a b
n
2k k2
k 1
a b
n
2k kr
k 1
a b
n
mk k1
k 1
a b
n
mk k2
k 1
a b
n
mk kr
k 1
a b
เมื่อ
n
ik kj ij ij i2 2j in nj
k 1
a b a b a b ... a b
ข้อสังเกต
1. AB จะหาค่าได้เมื่อ A มีจานวนหลักเท่ากับจานวนแถวของ B เท่านั้น
2. AB BA ( AB อาจจะเท่ากับ BA หรือไม่เท่ากันก็ได้)
3. ถ้า A เป็น nxn เมทริกซ์
'
A A
2
A AA
3 2
A AA
25. www.tutorferry.com T. 0998230343
25
k k 1
A AA
เมื่อ k I
และ k 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์
สาหรับจานวนเต็มบวก n ใด ๆ จะให้ nxnjkn iI มีสมาชิกดังนี้
l เมื่อ j k
0 เมื่อ j k
เรียก In ว่าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ มิติ nxn อาจเขียนเป็น I
ข้อสังเกต
1. n nAI A I A
2. ถ้า AB A BA แล้ว B อาจจะเท่ากับ In หรือไม่เท่ากับ In ก็ได้
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ให้ ij mxn
A a ถ้า nxmijbB มีสมบัติว่า bij = aji ทุก 1,2,...,i n และ 1,2,...,j m แล้ว
เรียก B ว่าเป็น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ A แทนด้วย At
ข้อสังเกต
ถ้า A เป็น mxn เมทริกซ์แล้ว At
จะเป็น nxm เมทริกซ์ที่มีแถวที่ i เหมือนหลักที่ i ของ A ทุก
1,2,...,i n
สมบัติที่เกี่ยวข้องกับกำรคูณเมทริกซ์และเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
ถ้า , ,ij ij ijmxn nxp pxq
A a B b C c แล้ว
1. A BC AB C
2. 0 0mxn mxnA
3. 0 0nxp mxpA
4. mI A A
5. nAI A
6. cA B A cB c AB เมื่อ c คือค่าคงตัว
7. A B D AB AD เมื่อ D เป็น nxp เมทริกซ์
8. A E B AB EB เมื่อ E เป็น mxn เมทริกซ์
9.
t t t
A F A F เมื่อ F เป็น mxn เมทริกซ์
10.
t t t
AB B A
11.
t
t
A A
26. www.tutorferry.com T. 0998230343
26
12. t t
cA cA เมื่อ c เป็นค่าคงตัว
ข้อสังเกต
1.
2 2 2
2A B A AB B
2. 2 2
A B A B A B
ทั้ง 2 กรณีจะเท่ากัน เมื่อ AB BA
ตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์ ( อินเวอร์สกำรคูณ )
ให้ A เป็น n xn เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n x n เมทริกซ์ที่มีสมบัติ ว่า nAB BA I แล้วจะเรียก B ว่า
เป็น ตัวผกผันการคูณของ A และเขียนแทน B ด้วย A-1
ข้อสังเกต
1. nI เป็นเอกลักษณ์การคูณในเซตของเมทริกซ์ที่มีมิติ n x n
2. ในระบบจานวนจริง เซต 0R สมาชิกทุกตัวมีตัวผกผัน การคูณ แต่ในเมทริกซ์ อาจมีเมทริกซ์ที่ไม่เท่ากับ
onxn และไม่มีตัวผกผันการคูณ
3. a b
ถ้า A และ 0ad bc
c d
1 1 d b
A
c aad bc
กำรหำตัวผกผันกำรคูณของเมทริกซ์
เมื่อ A เป็น 2 x 2 เมทริกซ์ เราหา 1
A
ได้จากการสร้างเมทริกซ์ที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ได้จากการแก้
ระบบสมการเชิงเส้น 4 ตัวแปรและประกอบด้วย 4 สมการ ดังนั้นถ้า A เป็น n x n เมทริกซ์ การหา 1
A
ต้อง
แก้ระบบสมการเชิงเส้น 2
n ตัวแปร จานวน 2
n ตัวแปร จานวน 2
n สมการซึ่งจะไม่สะดวกในทางปฏิบัติ
ดีเทอร์มิแนนต์
ให้ 11xaA เรียก a ว่าเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ A ซึ่ง a จะเป็นทั้งสมาชิกและ
ดีเทอร์มิแนนต์ของ A
ไมเนอร์และตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a เมื่อ 2n ไมเนอร์ของ ija คือ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จากการตัดแถวที่ i
และ หลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนด้วย ijM A
27. www.tutorferry.com T. 0998230343
27
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
จะได้ว่า
11 22M A a
12 21M A a
21 12M A a
22 11M A a
ตัวประกอบร่วมเกี่ยว
ให้ ij nxn
A a เมื่อ 2n ตัวประกอบร่วมเกี่ยวของ ija คือ ผลคูณของ 1
i j
และ ijM A
เขียนแทนด้วย Cij(A)
1
i j
ij ijC A M A
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 11 12
21 22
a a
A
a a
จะได้ว่า
1 1 2
11 11 22 221 1C A M A a a
1 2 3
12 12 21 211 1C A M A a a
2 1 3
21 21 12 121 1C A M A a a
2 2 4
22 22 11 111 1C A M A a a
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ ของ n x n เมื่อ n 2
ให้ ij nxn
A a เมื่อ 2n ดีเทอร์มิแนนต์ของ A คือ 11 11 12 12 1 1... n na c A a c A a c A
เขียนแทนด้วย det A
11 11 12 12 1 1det ... n nA a c A a c A a c A
11a 12a 1na
หรือ det A 21a 22a 2na
1na 2na nna
ตัวอย่ำงเช่น ถ้า 1211
21 22
a a
A
a a
จะได้ว่า
11 11 12 12det A a C A a C A
11 22 12 12a a a a
11 22 12 21a a a a
28. www.tutorferry.com T. 0998230343
28
กำรหำดีเทอร์มิแนนต์ของ n x n เมทริกซ์ เมื่อ n = 3
ถ้า 3 3ij x
A a จะได้ว่า
11a 12a 13a
det A 21a 22a 23a
31a 32a 33a
11 11 12 12 13 13a C A a C A a C A
11 11 12 12 13 13a M A a M A a M A
22 23 21 23 21 22
11 12 13
31 3232 33 31 33
a a a a a a
a a a
a aa a a a
11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 32a a a a a a a a a a a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a a a a a a a a a a
ข้อสังเกต
เมื่อ 3 3ij x
A a การหา det A ทาได้โดยนาหลักที่ 1 และ 2 ของ A มาเขียนต่อจากหลักที่ 3 ดังนี้
a31a22a13 32 23 11a a a 33 21 12a a a
11a 12a 13a 11a 12a
21a 22a 23a 21a 22a
31a 32a 33a 31a 32a
11 22 33a a a 12 23 31a a a 13 21 32a a a
ให้ h ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายบนลงมาขวาล่าง
11 22 33 12 23 31 13 21 32a a a a a a a a a
และ k ผลบวกของผลคูณในแนวเฉียงจากซ้ายล่างขึ้นไปขวาบน
31 22 13 32 23 11 33 21 12a a a a a a a a a
det A h k
29. www.tutorferry.com T. 0998230343
29
สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์
กาหนดให้ ij nxn
A a เมื่อ 2n
1. 12 12det ...ij ij in inA a C A a C A a C A ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ i)
2. 2 2det ...ij ij j j nj njA a C A a C A a C A ทุก 1,2,...,i n (กระจายตามแถวที่ j)
3. ถ้า A มีสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งเป็นศูนย์ทุกตัวแล้ว det 0A
( เป็นผลของสมบัติข้อ 1 และ 2 )
4. ถ้า B ได้จากการสลับแถว 2 แถวหรือสลับหลัก 2 หลักของ A แล้ว det detB A
5. ถ้า A มี 2 แถวเหมือนกันหรือหลัก 2 หลักเหมือนกันแล้ว det 0A (เป็นผลของสมบัติข้อ 4 )
6. det dett
A A
7. ถ้า B เกิดจากการคูณสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่งหรือหลักใดหลักหนึ่งของ A ด้วยค่าคงตัว c แล้ว
det detB c A
8. ถ้า B ได้จาก A โดยสมาชิกแถวที่ j ของ B ได้มาจากการคูณแถวที่ i ของ A ด้วยค่าคงตัว c และนาไป
บวกกับแถวที่ j ของ A เมื่อ i j แล้ว det detB A
(สมบัติข้อนี้ยังคงเป็นจริงเมื่อเปลี่ยนจากแถวเป็นหลัก )
9. det detn
cA c A เมื่อ c เป็นค่าคงตัว ( เป็นผลของสมบัติข้อ 7 )
10. det det detAB A B เมื่อ B เป็น n x n เมทริกซ์
11. det 1nI
12. ถ้า ij nxn
A a โดยที่ 0ija เมื่อ i j แล้ว 11 22det ... nnA a a a
13. ถ้า ij nxn
B B โดยที่ 0ijb เมื่อ i j แล้ว 11 22det ... nnB b b b
14. ถ้า det 0A แล้ว
1 1
det
det
A
A
เมทริกซ์เอกฐำนและเมทริกซ์ไม่เอกฐำน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์
A เป็นเมทริกซ์เอกฐาน เมื่อ det 0A
A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เมื่อ det 0A
เมทริกซ์ผูกพัน
ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ เมื่อ 2n เมทริกซ์ผูกพันของ A คือ
t
ijC A แทนด้วย adj A
t
ijadj A C A
30. www.tutorferry.com T. 0998230343
30
สรุปได้ว่ำ
1. A det nadj A adj A A A I
2. A มีตัวผกผันการคูณก็ต่อเมื่อ A เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานและ det 0A จะได้ว่า
1 1
det
A adj A
A
3. ถ้า det 0A และมีมิติ nxn จะได้ว่า
1
det det
n
adj A A
กำรใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมกำรเชิงเส้น
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1n na x a x a x b
22 221 1 2 2n na x a x a x b
1 1 2 2m m mn n ma x a x a x b
สมการเมทริกซ์ที่สัมพันธ์กับระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na x1 1b
21a 22a 2na x2 = 2b
1ma 2ma mna xn mb
A X B
จะได้ว่า AX B
ถ้า m = n และ det 0A แล้วเราสามารถหาคาตอบของระบบได้จาก 1
X A B
31. www.tutorferry.com T. 0998230343
31
กฎของครำเมอร์
เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี n สมการ และ n ตัวแปรโดย AX = B เป็นสมการเมทริกซ์ที่
สัมพันธ์กับระบบของสมการนี้
11a 12a 1na x1 1b
ให้ A = 21a 22a 2na , X x2 , B = 2b
1na 2na nna xn nb
ถ้า det 0A แล้ว คาตอบของระบบสมการนี้ คือ
1 2
1 2
det det det
, ,...,
det det det
n
n
A A A
X X X
A A A
เ มื่อ iA คือ เมทริกซ์ที่ได้จากการแทนหลักที่ i ของ A
ด้วยหลักของ B ทุก 1,2,...,i n
เมทริกซ์แต่งเติม
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นที่มี m สมการ และ n ตัวแปร
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b
21 1 22 2 2 2... n na x a x a x b
1 1 2 2 ...m m mn n ma x a x a x b
เมทริกซ์แต่งเติม ของระบบสมการนี้ คือ
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1ma 2ma mna mb
กำรดำเนินกำรตำมแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรียกการดาเนินการต่อไปนี้ว่าเป็นการดาเนินงานตามแถวกับ
เมทริกซ์ A
1. สลับที่แถว i และ j ของ A เขียนบนแทนด้วย ijR
2. คูณแถวที่ i ด้วยค่าคงตัว 0c เขียนแทนด้วย icR
32. www.tutorferry.com T. 0998230343
32
3. เปลี่ยนแถวที่ i ของ A โดยนาค่าคงตัว c คูณแถวที่ j j i แล้วนาไปบวกกับแถวที่ i เขียนแทน ด้วย
i jR cR
รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
ให้ A เป็น m x n เมทริกซ์ เรากล่าวว่า A มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว เมื่อ A มีสมบัติต่อไปนี้
1. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่เท่ากับ 0 แล้วสมาชิกตัวแรก ( จากซ้ายไปขวา )ที่ไม่ใช่ 0 ต้องเป็น 1 เรียก 1
ตัวนี้ว่าเป็น 1 ตัวนาในแถว
2. ถ้า A มีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวในแถวเท่ากับ 0 แถวเหล่านี้ต้องรวมกันอยู่ต่ากว่าแถวที่มีสมาชิกบางตัวไม่
เท่ากับ 0
3. ถ้า ija เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i และ 1i k
a
เป็น 1 ตัวนาในแถวที่ i + 1 แล้ว j k
ข้อสังเกต
1. ถ้าเมทริกซ์ B ได้จากเมทริกซ์ A ในการดาเนินการตามแถวแล้วจะกล่าวว่า B สมมูลแบบแถวกับ A แทนด้วย
BA
2. A สมมูล แบบแถวกับเมทริกซ์ที่มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
3. เมื่อกาหนดระบบสมการเชิงเส้นมาให้ มีขั้นตอนหาคาตอบ ดังนี้
11 1 12 2 1 1... n na x a x a x b
221 1 22 2 2... n na x a x a x b
an1x1 + an2x2 + … + annxn = bn
3.1 สร้างเมทริกซ์แต่งเติม
11a 12a 1na 1b
21a 22a 2na 2b
1na 2na ann nb
3.2 ดาเนินการตามแถวเพื่อให้ได้รูปแบบขั้นบันไดแบบแถว
1 o o 1c
o 1 0 2c
o o 1 nc
33. www.tutorferry.com T. 0998230343
33
3.3 เมทริกซ์ที่ได้จาก 3.2 จะเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการที่มีคาตอบชุดเดียวกับระบบสมการที่กาหนด
จะได้ว่า 1 2 1 2, ,..., , ,..,n nx x x c c c
4. การดาเนินการตามแถว บอกได้ว่า ระบบสมการที่กาหนดมีคาตอบเดียว มีความคาตอบเป็นอนันต์ หรือไม่มี
คาตอบ
4.1 มีคาตอบเดียว ช่น
1 0 0 0 1c
0 1 0 0 2c
0 0 1 0 3c
0 0 0 1 4c
1 2 3 4 1 2 3 4, , , , , ,x x x x c c c c
4.2 มีคาตอบเป็นอนันต์ เช่น
1 1 0 0 1c
0 0 1 0 2c
0 0 0 1 3c
เซตคาตอบ คือ 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3, , , ,x x x x lX X c x c X c
อาจเขียนเป็น 1 2 2 3 1 2 1, , ,x x c c lX X c หรือ 1 1 2 3 1,3 , ,c c c c lc R
4.3 ไม่มีคาตอบ เช่น
1 1a 2a 3a 1c
0 0 1 b 2c
0 0 0 0 3c
ถ้าแถวใดมีสมาชิกเป็น 0 หมดทั้งแถว ระบบสมการนี้จะไม่มีคาตอบ
กำรหำตัวผกผันโดยกำรดำเนินกำรตำมแถว
กาหนดให้ A เป็น n x n เมทริกซ์ โดยที่ det 0A
11a 12a 1na
A = 21a 22a 2na
34. www.tutorferry.com T. 0998230343
34
1na an2 ann
1. เขียน nA I (เฉพาะสมาชิก)
11a 12a 1na 1 0 0
nA I = 21a 22a 2na 0 1 0
1na an2 nna 0 0 1
2. ดาเนินการตามแถว จนได้ nI B
1 0 0 11b 12b 1nb
nI B 0 1 0 12b 22b 2nb
0 0 1 1nb 2nb nnb
จะได้ว่า B เป็นตัวผกผันการคูณของ A 1
B A
35. www.tutorferry.com T. 0998230343
35
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และฟังก์ชันลอกำริทึม (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 5.5%)
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม
ถ้า a R และ n I
แล้ว
1. ...n
a a a a a a
n
a เรียกว่า เลขยกกาลัง
a เรียกว่า ฐาน
n เรียกว่า เลขชี้กาลัง
2. 0
1a เมื่อ 0a
3. 1n
n
a
a
เมื่อ 0a
4. 1 n
n
a
a
เมื่อ 0a
รำกที่ n ของจำนวนจริง
รากที่ 2 : ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ 2 ของ a เมื่อ 2
b a
ค่าหลักของรากที่ 2 ของ a แทนด้วย a เรียกว่า กรณฑ์ ที่ 2 ของ a
1. ถ้า 0a รากที่ 2 ของ a คือ a และ a
2. ถ้า 0a รากที่ 2 ของ a คือ 0
3. ถ้า 0a ไม่มีรากที่ 2 ของ a ที่เป็นจานวนจริง
สมบัติของกรณฑ์ที่ 2 ถ้า , 0a b
1. a b ab
2. a a
bb
เมื่อ 0b
รากที่n ของจานวนจริง : ให้ n I
และ 1n ถ้า ,a b R แล้ว b เป็นรากที่ n ของ a เมื่อ n
b a
ค่าหลักของรากที่ n ของ a แทนด้วย n
a เรียกว่า กรณฑ์ที่ n ของ a เมื่อ n คือดัชนีของกรณฑ์
ข้อสังเกต
1. ถ้า 2n จะเขียน แทน 2
2. 0 0n
3. 1 1n
4.
n
n
a a เมื่อ n
a R
5. ถ้า 0a แล้ว 0n
a
n ตัว
36. www.tutorferry.com T. 0998230343
36
6. ถ้า 0a และ
6.1 n เป็นจานวนคี่ แล้ว 0n
a
6.2 n เป็นจานวนคู่ แล้ว n
a ไม่ใช่จานวนจริง
a เมื่อ 0a
7. n n
a a เมื่อ 0a และ n เป็นจานวนคี่
a เมื่อ 0a และ n เป็นจานวนคู่
สมบัติของรากที่ n ถ้า n
a , n
b R
1. n n n
a b ab
2. , 0
n
n
n
a a
b
bb
การหาผลบวกและผลต่างของกรณฑ์ ทาได้เมื่อเป็นจานวนเดียวกัน ในกรณฑ์ที่มีดัชนีเท่ากัน โดยใช้สมบัติ
การแจกแจงดังนี้
1. กรณฑ์ที่ 2
a c b c a b c
a c b c a b c
2. กรณฑ์ที่ n
n n n
a c b c a b c
n n n
a c b c a b c
การหาผลคูณและผลหารของกรณฑ์ ถ้าดัชนีของกรณฑ์ต่างกัน ต้องทาให้เท่ากันก่อน แล้วใช้สมบัติของราก
ที่ n ถ้า b , d > 0 จะได้ว่า
n mmnm n
(a b)(c d) (ac) b d
nm
mn
mn
a b a b
c dc d
; 0c
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ
1. ถ้า ,a R n I
และ 1, n
n a R
1
nn
a a
2. ถ้า a R , m และ n I โดย m
n
เป็นเศษส่วนอย่างต่า และ 0n , n
a R โดยเมื่อ 0m
แล้ว 0a
1
mm
m
nn n
a a a
1m
nm mn na a a
37. www.tutorferry.com T. 0998230343
37
สมบัติของเลขยกกำลัง
ถ้า ,m n เป็นจานวนตรรกยะ และ , , , m n n mn
a a b a R
1. m n m n
a xa a
2.
m
m n
n
a
a
a
0a
3.
nm mn
a a
4.
nn n
a xb ab
5.
nn
n
a a
b b
0b
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, ; 0, 1x
f x y RxR y a a a+
= Î = > ¹
1. fD R= , fR R+
= ( )0x
a >
2. กราฟผ่านจุด ( )0,1 เพราะ 0
1a =
3. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
4. กราฟไม่ตัดแกน X แต่เข้าใกล้แกน X หรือมีแกน X เป็นเส้นกากับแนวนอน
5. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R ไปทั่วถึง R+
1 1
: onto
f R R- +
¾ ¾ ®
6. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
x y
a a= ก็ต่อเมื่อ x = y
7. ถ้า 0b > , 1b ¹ , a b¹ และ x x
a b= แล้ว 0x =
8. ถ้า 0x > , 0y > และ m , n Î +
I
m
n
x = y ก็ต่อเมื่อ x =
n
m
y
ฟังก์ชันลอกำริทึม
ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชัน ( ){ }, log ; 0, 1af x y R xR y x a a+
= Î = > ¹
1. เป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล
2. fD R+
= , fR R=
3. กราฟของ x
y a= และ logay x= มีเส้นตรง y = x เป็นแกนสมมาตร
4. y
x a= สามารถเขียนในรูป logay x=
5. กราฟผ่านจุด ( )1,0 เพราะ log 1 0a =
6. ถ้า a > 1 เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และถ้า 0 < a < 1 เป็นฟังก์ชันลด
7. กราฟไม่ตัดแกน Y แต่เข้าใกล้แกน Y หรือมีแกน Y เป็นเส้นกากับแนวตั้ง
38. www.tutorferry.com T. 0998230343
38
8. เป็นฟังก์ชัน 1 – 1 จาก R+
ไปทั่วถึง R
1 1
: onto
f R R-+
¾ ¾ ®
9. โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1 – 1 จะได้ว่า
log loga ax y= ก็ต่อเมื่อ x = y
10. จาก logay x= ก็ต่อเมื่อ y
a x=
loga x
a x= และ log y
ay a=
สมบัติของลอกำริทึม เมื่อ , ,a M N R+
Î ที่ 1a ¹ และ k RÎ
1. log log loga a aMN M N= +
2. log log loga a a
M
M N
N
= -
3. log logk
a aM k M=
4. log 1a a =
5. log 1 0a =
6. 1
log logk aa
M M
k
=
7. 1
log
log
b
a
a
b
=
8. log
log
log
c
b
c
a
a
b
=
กำรหำค่ำลอกำริทึม
1. ลอการิทึมสามัญ หมายถึง ลอการิทึมฐาน 10
เช่น 10log 2 จะเขียนแทนด้วย log2
2. ถ้า 0 10n
N N x= , 01 10N และ n I จะได้ว่า
0log logN n N= +
N คือ แอนติลอการิทึมของ log N
3. ลอการิทึมธรรมชาติ หรือลอการิทึมแบบเนเปียร์ หมายถึง ลอการิทึมฐาน e ( 2.718)e »
เช่น log 2e จะเขียนแทนด้วย ln 2
log
ln 2.3026log
log
x
x x
e
= » ; log 0.4343e »
39. www.tutorferry.com T. 0998230343
39
จำนวนเชิงซ้อน (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 4.5%)
จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจินตภำพ ( imaginary number )
ถ้า a R
จะได้ว่า a ai เมื่อ 1i และ 2
1i
ข้อสังเกต ถ้า n I
หรือศูนย์ จะได้ว่า
1. 4 0
1n
i i
2. 4 1 1n
i i i
3. 4 2 2
1n
i i
4. 4 3 3n
i i i
จำนวนจริง
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม
ศูนย์จำนวนเต็มลบจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนนับ
จำนวนอตรรกยะ
จำนวนเชิงซ้อน
จำนวนจินตาำ
40. www.tutorferry.com T. 0998230343
40
จำนวนเชิงซ้อน ( complex number )
จานวนเชิงซ้อน คือ คู่อันดับ ( a , b ) เมื่อ ,a b R ถ้า z เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
z = ( a , b ) = a + bi
a คือ ส่วนจริง ( real part ) ของ z แทนด้วย Re ( z )
b คือ ส่วนจินตภาพ ( imaginary part ) ของ z แทนด้วย Im ( z )
เซตของจานวนเชิงซ้อน แทนด้วย C
ข้อสังเกต
1. จานวนจริง คือ จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตภาพเป็น ศูนย์
2. จานวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นศูนย์ แต่ส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า จานวนจินตภาพแท้
3. ทั้งจานวนจริงและจานวนจินตภาพเป็นสับเซตของจานวนเชิงซ้อน
สมบัติของจำนวนเชิงซ้อน
กาหนดให้ , , , ,a b c d k R
1. สมบัติการเท่ากัน
a + bi = c + di ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
2. การบวกจานวนเชิงซ้อน
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d )i
3. การคูณจานวนเชิงซ้อน
3.1 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจริง
k( a + bi ) = ka + kbi
3.2 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนจินตภาพ i
i( a + bi ) = -b + ai
3.3 การคูณจานวนเชิงซ้อนด้วยจานวนเชิงซ้อน
( a + bi )( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc )i
4. สมบัติการบวกและการคูณจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 , z2 , z3 เป็นจานวนเชิงซ้อน จะได้ว่า
4.1 สมบัติการสลับที่
z1 + z2 = z2 + z1 และ z1z2 = z2z1
4.2 สมบัติการเปลี่ยนหมู่
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1( z2z3 ) = ( z1z2 )z3
4.3 สมบัติการแจกแจง
z1( z2 + z3 ) = z1z2 + z1z3
41. www.tutorferry.com T. 0998230343
41
5. เอกลักษณ์การบวก
( a , b ) + ( 0 , 0 ) = ( a , b ) = ( 0 , 0 ) + ( a , b )
นั้นคือ ( 0 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจานวนเชิงซ้อน
6. ตัวผกผันการบวก ( อินเวอร์สการบวก )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi
ตัวผกผันการบวกของ z คือ -z = -a - bi
7. การลบจานวนเชิงซ้อน
z1 - z2 = z1 + ( -z2 )
การลบจานวนเชิงซ้อน คือ การบวกด้วยตัวผกผันการบวกของจานวนเชิงซ้อน
8. เอกลักษณ์การคูณ
( a , b )( 1 , 0 ) = ( a , b ) = ( 1 , 0 )( a , b )
นั้นคือ ( 1 , 0 ) เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจานวนเชิงซ้อน
9. ตัวผกผันการคูณ ( อินเวอร์สการคูณ )
ถ้า z = ( a , b ) = a + bi โดยที่ z ( 0 , 0 )
ตัวผกผันการคูณของ z คือ 1
2 2
a bi
z
a b
10. การหารจานวนเชิงซ้อน
1 1
1 2 1 2
2
z
z z z z
z
การหารจานวนเชิงซ้อน คือ การคูณด้วยตัวผกผันการคูณของจานวนเชิงซ้อน
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน ( conjugate )
ถ้า z = a + bi สังยุคของ z แทนด้วย z
z a bi a bi
ข้อสังเกต 2 2
zz a b
สมบัติของสังยุค
1.
1
Re( ) ( )
2
z z z ,
1
Im( ) ( )
2
z z z
i
2. z z
3.
1 1
( )
z z
เมื่อ (0,0)z
4. 1 2 1 2z z z z
42. www.tutorferry.com T. 0998230343
42
5. 1 2 1 2z z z z
6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 1
2 2
z z
z z
เมื่อ 2 (0,0)z
การนาสังยุคมาใช้ในการหารจานวนเชิงซ้อน
ถ้า z1 = a + bi และ z2 = c + di โดยที่ 2 (0,0)z
1
2
1
2 2
2
z a bi a bi c di
z c di c di c di
z ac bd bc ad i
z c d
รำกที่ 2 ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi และ 2 2
c a b แล้วรากที่ 2 ของ z คือ
2 2
c a c a
i
เมื่อ 0b
2 2
c a c a
i
เมื่อ b < 0
ข้อสังเกต
1. ถ้า z = ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมีเพียงจานวนเดียว คือ ( 0 , 0 )
2. ถ้า z ( 0 , 0 ) รากที่ 2 ของ z จะมี 2 จานวนที่แตกต่างกัน
3. ถ้า z = ( a , 0 )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
, 0
a a
a i a
4. ถ้า z = ( 0 , b )
รากที่ 2 ของ z =
, 0
2 2
, 0
2 2
b b
i b
b b
i b
43. www.tutorferry.com T. 0998230343
43
กรำฟของจำนวนเชิงซ้อน
จานวนเชิงซ้อนอยู่ในรูปของคู่อันดับ ( a , b ) โดย a เป็นส่วนจริง และ b เป็นส่วน- จินตภาพ
ซึ่งแทนได้ด้วยจุดบนระนาบในระบบแกนมุมฉาก โดยแกนนอนเรียกว่า แกนจริง แกนตั้งเรียกว่า แกนจินต
ภาพ และระนาบที่เกิดจากแกนทั้ง 2 เรียกว่า ระนาบเชิงซ้อน
ให้ แกน X แทนแกนจริง และแกน Y แทนแกนจินตภาพ จานวนเชิงซ้อน 1 + 2i แทนได้ด้วย
จุด ( 1 , 2 ) หรือแทนด้วยเวกเตอร์ที่มีจุด ( 0 , 0 ) เป็นจุดเริ่มต้น และจุด ( 1 , 2 ) เป็นจุดสิ้นสุด
ค่ำสัมบูรณ์ ( absolute value หรือ modulus ) ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = a + bi ค่าสัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน z คือจานวนจริง 2 2
a b เขียน
แทนด้วย z หรือ a bi
2 2
z a bi a b
ข้อสังเกต a bi คือระยะทางจากจุดกาเนิด ( 0 , 0 ) ถึงจุด ( a , b ) ในระนาบเชิงซ้อน
สมบัติของค่าสัมบูรณ์
1. 22
z zz z
2. z z z
3.
1 1
z z
เมื่อ z ( 0 , 0 )
4. 1 2 1 2z z z z
5. 11
2 2
zz
z z
เมื่อ z ( 0 , 0 )
-1
-1
0
Y
X
1 2 3 4
2
3
.( 1 , 2 )
( 1 , 2 )
44. www.tutorferry.com T. 0998230343
44
6. 1 2 1 2z z z z
7. 1 2 1 2z z z z
8.
2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 2z z z z z z
9.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z
10.
2
1 2 1 2 1 2( )( )z z z z z z
ข้อสังเกต
1. 1 2z z คือระยะทางระหว่างจุด z1 และ z2 ในระนาบเชิงซ้อน
2. ถ้า z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน r เป็นจานวนจริงบวก
2.1 1 1 2z C z z r คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนที่มีระยะห่างจาก z1 เท่ากับ r
ซึ่งก็คือเซตของจุดทั้งหมดที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมที่มี z2 เป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมี r
จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
ถ้า z = x + yi เราสามารถเขียนในรูปเชิงขั้วได้ดังนี้
z = r ( cos + isin )
การคูณและการหารจานวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
กาหนดให้ z = r ( cos + isin ) , z1 = r1 ( cos 1 + isin 1 ) , z2 = r2 ( cos 2 + isin 2 )
1. sincos irz
2. sincos
11
i
rz
3. 21212121 sincos irrzz
4. 2121
2
1
2
1
sincos i
r
r
z
z
ทฤษฎีบทของเดอมัวร์
ถ้า z = r ( cos + isin ) และ
In จะได้ว่า
ninrz nn
sincos
รำกที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า z = r ( cos + isin ) แล้วรากที่ n ของ z แทนด้วย zk
n
k
i
n
k
rz n
k
2
sin
2
cos
เมื่อ k = 0 , 1 , 2 , … , n-1
45. www.tutorferry.com T. 0998230343
45
เรขำคณิตวิเครำะห์ (เปอร์เซ็นต์จำนวนข้อสอบ 3%)
เรขำคณิต
ระยะทางระหว่างจุดสองจุด
1. ถ้า 1 1,0P x และ 2 2 ,0P x อยู่บนแกน X หรือถ้า 1 1,P x y และ 2 2 ,P x y ขนานแกน X
1 2 1 2PP x x
2. ถ้า 1 10,P y และ 2 20,P y อยู่บนแกน Y หรือถ้า 1 1,P x y และ 2 2,P x y ขนานแกน Y
1 2 1 2PP y y
3. ถ้า 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว
2 2
1 2 1 2 1 2PP x x y y
จุดกึ่งกลางระหว่างจุดสองจุด
ถ้า ,P x y เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y แล้ว
1 2
2
x x
x
1 2
2
y y
y
จุดแบ่งระหว่างจุดสองจุด
ให้ 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y เป็นจุดในระนาบแล้ว ถ้า ,P x y เป็นจุดบนเส้นตรง 1 2PP โดยที่
1 2 1 2: :PP PP r r แล้ว
2 1 1 2
1 2
r x r x
x
r r
2 1 1 2
1 2
r y r y
y
r r
จุดรวมมวล หรือจุดตัดกันของเส้นมัธยฐาน
ให้ 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC ถ้า ,P x y เป็น
จุดรวมมวลของรูปสามเหลี่ยม ABC แล้ว
1 2 3
3
x x x
x
1 2 3
3
y y y
y
เส้นมัธยฐาน คือ เส้นที่ลากจากจุดยอดไปแบ่งครึ่งฐาน
46. www.tutorferry.com T. 0998230343
46
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ
ให้ 1 1,A x y , 2 2,B x y และ 3 3,C x y เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม ABC
พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2
1
2
x y x y x y x y x y x y
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใด ๆ
ให้ 1 1,A x y , 2 2,B x y , 3 3,C x y และ 4 4,D x y เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยม ABCD
พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD = 1 2 2 3 3 4 4 1 1 4 2 1 3 2 4 3
1
2
x y x y x y x y x y x y x y x y
เส้นตรง
ความชันของเส้นตรง
ให้ L เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด 1 1 1,P x y และ 2 2 2,P x y โดยที่ 1 2x x
m เป็นความชันของเส้นตรง L
1 2
1 2
y y
m
x x
m > 0 เส้นตรงทามุมแหลมกับแกน X
m < 0 เส้นตรงทามุมป้านกับแกน X
m = 0 เส้นตรงขนานกับแกน X
m หาค่าไม่ได้ เส้นตรงขนานกับแกน Y
ถ้า เป็นมุมที่เส้นตรงทากับแกน X แล้ว tanm
เส้นขนานและเส้นตั้งฉาก
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ
1. 1 2//L L ก็ต่อเมื่อ 1 2m m
2. 1 2L L ก็ต่อเมื่อ 1 2 1m m
มุมระหว่างเส้นตรง
ให้เส้นตรง 1L และ 2L มีความชัน 1m และ 2m ตามลาดับ ถ้า เป็นมุมระหว่างเส้นตรง 1L
และ 2L โดยที่ 0 90 แล้ว
1 2
1 2
tan
1
m m
m m
47. www.tutorferry.com T. 0998230343
47
สมการเส้นตรง
1. เส้นตรงขนานแกน X
y = b
ความชัน = 0
ตัดแกน Y ที่จุด ( 0 , b )
2. เส้นตรงขนานแกน Y
x = a
ไม่มีความชัน
ตัดแกน X ที่จุด ( a , 0 )
3. เส้นตรงที่ไม่ขนานแกน X และไม่ขนานแกน Y
3.1 มีความชันเท่ากับ m และผ่านจุด 1 1x , y
1 1y y m x x
ความสัมพันธ์ คือ 1 1x, y RxR y y m x x
3.2 ผ่านจุด 1 1x , y และ 2 2x , y
1 1 2
1 1 2
y y y y
x x x x
สมการเส้นตรงในรูปมาตรฐาน
y mx c
ความชัน = m
ระยะตัดแกน X = c
m
, ระยะตัดแกน Y = c
จุดตัดแกน X คือ c
,0
m
, จุดตัดแกน Y คือ 0,c
สมการเส้นตรงในรูปทั่วไป
Ax By C 0
ความชัน = A
B
ระยะตัดแกน X = C
A
, ระยะตัดแกน Y = C
B
จุดตัดแกน X คือ C
,0
A
, จุดตัดแกน Y คือ C
0,
B