1) El documento describe conceptos básicos de álgebra lineal como vectores, suma y diferencia de vectores, producto escalar, longitud de vectores.
2) Un vector representa un desplazamiento en una dirección y magnitud. La suma de vectores representa desplazamientos consecutivos.
3) Se define el producto escalar como una medida de la componente paralela entre dos vectores, y la longitud de un vector como su producto escalar consigo mismo.
libro grafismo fonético guía de uso para el lenguaje
Elementos de álgebra lineal para la computación
1. ELEMENTOS DE ALGEBRA LINEAL PARA LA COMPUTACIÓN INFO 1144
APUNTE DE VECTORES, RECTAS Y PLANOS
Un vector es un segmento de recta dirigido que corresponde a un desplazamiento de un
Ò
punto E hacia otro punto FÞ Se denota EFÞ
E es el punto inicial o cola, a F se le denomina punto terminal o cabeza.
t
Por lo general a un vector se le denota como @Þ
El conjunto de todos los puntos del plano corresponde al conjunto de todos los vectores
cuyas colas se encuentran en el origen S. Para cada punto Eß corresponde el vector
t t
+ œ SEß estos son llamados vectores de posición.
Es común representar esos vectores usando coordenadas. Por ejemplo E œ Ð$ß #Ñ se
t
escribe como + œ Ò$ß #ÓÞ
Las coordenadas individuales son llamadas componentes.
El vector Ò!ß !Ó se denota !Þ Es llamado vector cero.
El vector Ò$ß #Ó puede ser interpretado como sigue: comienza en el origen S , viaja 3
unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba, finalizando en T . El mismo
desplazamiento se puede aplicar a otros puntos iniciales.
Igualdad de Vectores
Dos vectores son iguales si y sólo si sus respectivas componentes son iguales. Es decir,
si ÒBß CÓ œ Ò"ß %Ó, entonces B œ " y C œ %Þ
Por lo general se usa vectores columna para representar a un vector. Es decir ÒBß CÓ es
” C •Þ Usaremos ambas representaciones.
B
También se dirá que dos vectores son iguales si tienen la misma longitud y la misma
dirección, aún cuando tengan distintos puntos inicial y final.
Geométricamente, dos vectores son iguales si uno puede obtenerse mediante el
corrimiento (o traslación) del otro de forma paralela a sí mismo hasta que los dos
vectores coincidan. En términos de componentes, tenemos que si E œ Ð$ß "Ñ y
Ò
F œ Ð'ß $Ñß el vector EF œ Ò$ß #Ó œ Ò' $ß $ "Ó. De manera similar si
Ò
G œ Ð %ß "Ñ y H œ Ð "ß "Ñ, entonces GH œ Ò " Ð %Ñß " Ð "ÑÓ œ Ò$ß #Ó y
Ò Ò
entonces EF œ GHÞ
Ò
Se dice que un vector ST se encuentra en posición estándar.
Ò
Ejemplo: Sea E œ Ð "ß #Ñ y F œ Ð$ß %Ñß encuentre EF y vuelva a trazarlo (a) en
posición estándar y (b) con su cola en el punto G œ Ð#ß "ÑÞ
1
2. Suma de Vectores
Al igual que sucede en el juego de las pistas de carreras, con frecuencia deseamos
"continuar" un vector tras otro. Esto nos conduce a la noción de suma de vectores.
Si hacemos que @ siga al vector ?, podemos considerar el desplazamiento total como un
tercer vector, denotado ? @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò"ß #Ó y @ œ Ò#ß #Óß el efecto neto de hacer seguir a @ después de ? es
Ò" #ß # #Ó œ Ò$ß %Óß lo que nos da ? @Þ
En general si ? œ Ò?" ß ?# Ó y @ œ Ò@" ß @# Ó entonces la suma ? @ œ Ò?" @" ß ?# @# ÓÞ
Aprecie ? @ geométricamente:
Dados los vectores ? y @ en ‘# traslade @ de manera que su cola coincida con la cabeza
de ?Þ La suma ? @ de ? y @ es el vector desde la cola de ? hasta la cabeza de @.
Paralelógramo determinado por ? y @. Al trasladar ? y @ de manera pàralela a sí mismos,
obtenemos un paralelógramo. La diagonal de dicho paralelógramo nos proporciona el
vector suma. Es decir su suma es el vector en posición estándar a lo largo de la diagonal
del paralelógramo determinado por ? y @Þ
Ejemplo: Si ? œ Ò$ß "Ó y @ œ Ò"ß %Óß calcule y dibuje ? @Þ
Ponderación de Vectores
Dado un vector @ y un número real -ß el múltiplo escalar -@ es el vector originado al
multiplicar cada componente de @ por -Þ Por ejemplo %Ò#ß "Ó œ Ò)ß %ÓÞ
En general -@ œ -Ò@" ß @# Ó œ Ò-@" ß -@# ÓÞ
Ejemplo: Si @ œ Ò 'ß $Ó, calcule y trace los vectores $@ß " @ y $@Þ
3
Observe que -@ tiene la misma dirección que @ si - !Þ y la dirección opuesta si - !Þ
También, note que -@ es l-l veces el largo de @Þ Por esta razón las constanes son llamadas
escalares.
Un caso especial de un múltiplo escalar es Ð "Ñ@, que se escribe como @ y se conoce
como el opuesto de @Þ Se usa para definr la diferencia de vectores.
Diferencia de Vectores
La diferencia de ? y @ es el vector ? @ definido por ? @ œ ? Ð @ÑÞ
2
3. Geométricamente corresponde a la otra diagonal del paralelógramo determinado por ? y
@Þ
t t t t
Ejemplo: Si ? œ Ò#ß %Ó y @ œ Ò"ß "Óß entonces ? @ œ Ò# "ß % Ð "ÑÓ œ Ò"ß &Ó
Si los puntos E y F corresponde a los vectores + y , en posición estándar, entonces
Ò
EF œ t +Þ
, t
Vectores en ‘$
El conjunto de todas las tripletas ordenadas de números reales se denota con ‘$ . Los
puntos y vectores son localizados mediante tres ejes coordenados mutuamente
perpendiculares que confluyen en el origen S. Un punto como E œ Ð"ß #ß $Ñ puede
localizarse del siguiente modo:
Ò
t
el vector correspondiente + œ Ò"ß #ß $Ó es SEÞ
Otra forma de visualizar al vector + en ‘$ es construir una caja cuyos seis lados estén
t
determinados por los tres planos do coordenadas ( los planos xy, xz,yz) y por tres planos
a través del punto Ð"ß #ß $Ñ paralelos a los planos coordenados. El vector Ò"ß #ß $Ó
corresponde entonces a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de la caja.
Vectores en ‘8
Definimos ‘8 como el conjunto de todas las 8 tuplas ordenadas de números reales
escritas como vectores fila o columna. así, un vector @ en ‘8 se representa como
Ô @" ×
Ö@ Ù
Ò@" ß @# ß ÞÞß @8 Ó o Ö # ÙÞ Las entradas individuales de @ son sus coordenadas o
Õ @8 Ø
À
componentes.
En ‘8 la suma y la ponderación por escalar se definen por: si ? œ Ò?" ß ?# ß ÞÞÞß ?8 Ó y
@ œ Ò@" ß @# ß ÞÞÞß @8 Ó entonces
? @ œ Òu" @" ß ?# @# ß ÞÞÞß ?8 @8 Ó
-? œ Ò-?" ß -?# ß ÞÞÞß -?8 ÓÞ
Los siguientes teoremas rsumen las propiedades algebraicas de la suma vectorial y la
multiplicación por escalar en ‘8 Þ
3
4. Teorema: Propiedades algebraicas de los vectores en ‘8
t t t
Sean ? œ Ò?" ß ?# ß ?$ ,....,?8 Óß @ œ Ò@" ß @# ß @$ ß ÞÞÞÞß @8 Ó y A œ ÒA"ß A#ß A$ß ÞÞÞÞß A8Ó vectores en
8 8
‘ , y sean - y . escalares. Entonces ‘ es grupo abeliano con esta suma. Es decir se verifica
1) t t t t
? @ œ @ ? ( Propiedad conmutativa)
#Ñ t t t t t t
(? @ ) A œ ? Ð@ AÑ ( Propiedad Asociativa)
$Ñ t
?! t œ ! ? œ ? ( Existencia de Neutro)
t t t
%Ñ t t t
? Ð ?Ñ œ ! (Existencia de elemento inverso)
Además
5) t t t
-Ð? @Ñ œ -? -@ t
'Ñ t t
Ð- .Ñ? œ -? .? t
(Ñ t
-Ð.?Ñ œ Ð-.Ñ? t
)Ñ t t
"? œ ?
Ejemplo: Sean +ß t y B representaciones de vectores en ‘8 Þ
t , t
a) Simplifique $+ Ð&t #+Ñ #Ðt +ÑÞ
t , t , t
t t t t
b) Si &B + œ #Ð+ #BÑß resuelva para B en términos de +Þ
Combinaciones Lineales y Coordenadas
Un vector, que es una suma de múltiplos escalares de otros vectores, se define como una
combinación lineal de estos vectores. A continuación, se presenta la definición formal.
Definición Un vector @ es una combinación lineal de vectores @" ß @# ß ÞÞÞÞ@5 si existen
escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5 tales que @ œ -" @" -# @# ÞÞÞÞÞ -5 @5 Þ Los escalares -" ß -# ß ÞÞÞ-5
se conocen como coficientes de la combinación lineal.
Ô # × Ô " × Ô # × Ô & ×
Õ "Ø Õ "Ø Õ " Ø Õ ! Ø
Ejemplo: El vector # es una combinación lineal de ! ß $ y % ß
Ô " × Ô # × Ô & × Ô # ×
Õ "Ø Õ " Ø Õ ! Ø Õ "Ø
puesto que $ ! # $ % œ #
Observación: Determinar si un vector dado es una combinación lineal de otros vectores
es un problema que se abordará posteriormente.
Ejemplo: Sea ? œ ” • y @ œ ” •Þ Se puede emplear ? y @ para localizar un nuevo
$ "
t t
" #
conjunto de ejes (de la misma forma que /" œ ” • œ 3 y /# œ ” • œ 4ß localizan los
" !
! "
ejes coordenados estándar). Se puede hacer uso de estos nuevos ejes para establecer una
cuadrícula coordenada que permitirá localizar con facilidad las combinaciones lineales de
? y @Þ
Como muestra la figura
4
5. t t t
A puede ser localizado desde el origen y desplazarse ? seguido de #@, es decir,
t t
A œ ? #@Þ t
t t t
Se dice que las coordenadas de A con respecto a ? y @ son " y #Þ Luego
A œ ” • #” • Þ
$ "
t
" #
El Producto Punto o Producto Escalar
Ô ?" × Ô @" ×
Ö? Ù Ö@ Ù
Definición: Si ? œ Ö # Ù y @ œ Ö # Ùentonces el producto punto ? † @ de ? y @ está
t t t t t t
Õ ?8 Ø Õ @8 Ø
À À
t t
definido por ? † @ œ ?" @" ?# @# ÞÞÞÞÞÞ ?8 @8 Þ
t t
En otras palabras ? † @ es la suma de los productos de las componentes correspondientes
t t
de ? y @Þ
Ô " × Ô $×
Õ $Ø Õ # Ø
t t
Ejemplo: Calcule ? † @ cuando ? œt # t
y@œ & Þ
Propiedades del Producto Escalar
t t t
Teorema: Sean ?ß @ y A , vectores no nulos, - un escalar.
1) t t t t
?†@ œ@†?
2) t t t t t t t
? † Ð@ AÑ œ ? † @ ? † A
3) t t
Ð-?Ñ † @ œ -Ð? † @Ñ
4) t t t t t t
-Ð? † @Ñ œ Ð-?Ñ † @ œ ? † Ð-@Ñ
5) t t t t t
? † ? ! y ? † ? œ ! si y sólo si ? œ !
Demostración:
t t t t t t t t t t
Ejemplo: Haga la demostración de Ð? @Ñ † Ð? @Ñ œ ? † ? #Ð? † @Ñ @ † @ para todos los
8Þ
t t
vectores ? y @ en ‘ Þ
5
6. En ‘# la longitud del vector @ œ ” • es la distancia desde el origen hasta el punto Ð+ß ,Ñ, la
+
cual, por el teorema de Pitágoras, está dada por È+# ,# Þ Observe que +# ,# œ @ † @ß lo
,
que nos lleva a la siguiente definición.
Longitud o Norma de un Vector
Ô @" ×
Ö@ Ù
Definición: La longitud (o norma) de un vector @ œ Ö # Ùen ‘8 es el escalar no negativo
t
Õ @8 Ø
À
ll@ll œ È@ † @ œ È@" # @# @$ ÞÞÞÞÞ @ #
t
ll@ll definido por
t t t # #
8
#
t t t
es decir ll@ll œ @ † @Þ
Ejemplo: La norma o magnitud del vector @ œ Ò #ß $Ó es ll@ll œ ÈÐ #Ñ# $# œ È"$.
t t
@ œ Ò"ß "ß #ß !Ó es ll@ll œ È"# Ð "Ñ# ## !# œ È'
Ejemplo: La norma o magnitud del vector.
t t
Teorema: Sea @ un vector en ‘8 y sea - un escalar. Entonces
a) ll@ll œ ! si y sólo si @ œ !
b) ll-@ll œ l-l ll@llÞ
Ejemplo: Si ll@ll œ $, entonces ll " @ll œ " ll@ll œ
t 't ' t
$
' œ "
#
t
@ "
t
Vector unitario en la dirección de @ À ll@ll œ Ð ll@ll Ñ @" ß @# ß @$ ß ÞÞÞß @8 Þ
t t
t
Ejemplo: Si @ œ Ò %ß "Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @ es t
ll@ll œ È"( Ò %ß "Ó œ Ò È"( ß È"( ÓÞ
t
@ " % "
t
t t
Ejemplo: Si @ œ Ò"ß "ß #ß !Ó, entonces un vector unitario en la dirección de @
es ll@ll œ È' Ò"ß "ß #ß !ÓÞ
t
@
t
"
t
Dado cualquier vector @ distinto de cero, siempre podemos hallar un vector unitario en la
t t
dirección de @, esto se logra al dividir @ entre su propia longitud. La acción de encontrar un
vector unitario con la dirección de otro vector dado se conoce como normalización de un
vector.
Teorema: Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Para todos los vectores ? y @ en ‘8 ß |u † v| Ÿ ||u|| ||v||
Teorema: La desigualdad del triángulo
6
7. Para todos los vectores ? y @ en ‘8 , ll? @ll Ÿ ll?ll ll@ll
Distancia en tre dos Vectores
La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos.
Definición: La distancia .Ð?ß @Ñ entre vectores ? y @ en ‘8 se define como
t t t t
Ô È# ×
t t t t
.Ð?ß @Ñ œ ll? @llÞ
Ô ! ×
Õ "Ø Õ #Ø
t
Ejemplo: Encuentre la distancia entre ? œ " t
y@œ #
Solución:
Ángulo entre Vectores
t t t t t t
Consideremos los vectores, no paralelos ? y @ y el triángulo de lados ?ß @ y ? @ß donde ) es
el ángulo entre ? y @ß siendo ? y @ vectores en ‘8 . Aplicando la ley de los cosenos a este
t t t t
triángulo, vemos que
ll? @ll# œ ll?ll# ll@ll# # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t
t t t
expandiendo el miembro izquierdo y utilizando ll@ll œ @ † @ varias veces, obtenemos que
ll?ll# #Ð? † @Ñ ll@ll# œ ll?ll# ll@ll# # ll?ll ll@ll -9=)
t t t t t t t t
t t t t
lo cual da ? † @ œ ll?ll ll@ll -9=)ß de lo que se deriva la siguiente definición.
Definición: Para vectores diferentes a cero ? y @ en ‘8 ß
t t
tt
?†@
-9=) œ t t
ll?ll ll@ll
Ejemplo: Calcule el ángulo entre los vectores ? œ Ò#ß "ß #Ó y @ œ Ò"ß "ß "Ó
Solución:
Ejemplo: Calcule el ángulo entre las diagonales de dos caras adyacentes de un cubo.
Solucion.
Vectores Ortogonales
En ‘# y ‘$ dos vectores distintos de cero ? y @ son perpendiculares si el ángulo ) entre ellos
t t
1 tt
?†@
es un ángulo recto; es decir, si ) œ # radianes, o *!º. Así ll?ll ll@ll œ -9=Ð*!ºÑ œ !Þ
t t
Definición: Dos vectores ? y @ en ‘8 son ortogonales entre sí, si ? † @ œ !
t t t t
t t œ !ß para todo vector ? en ‘8 , el vector cero es ortogonal a todo vector.
Puesto que ? † ! t t
Ejemplo: En ‘$ ? œ Ò"ß "ß #Ó y @ œ Ò$ß "ß #Ó son ortogonales, ya que ? † @ œ !.
t t t t
7
8. Proyecciones
t t
Consideremos dos vectores distintos de cero ? y @. Sea : el vector obtenido al trazar la
t t t t
perpendicular desde la cabeza de @ sobre ? y sea ) el ángulo entre ? y @.
Es evidente que t œ ll:llûß donde û œ Ð"Îll?llÑ? es el vector unitario en la direción de ?Þ
: t t t t
tt
?†@
t
Además ||:ll œ ll@ll-9=)ß y sabemos que -9=) œ ll?ll ll@ll Þ Después de la sustitución, tenemos
: œ ll@llŠ ll?ll ll@ll ‹Š ll?ll ‹? œ Š ll?ll# ‹? œ Š ?†? ‹?
t t
tt
?†@ " tt
?†@ tt
?†@
t t t t t t t t t t t
Definición: Si ? y @ son vectores en ‘8 y ? Á !ß entonces la proyección de @ sobre ? es el
vector proy? Ð@Ñ œ Š ll?ll# ‹?.
?†@
Ejemplo: Si + œ Ò"ß #ß $Óß t œ Ò#ß %ß !Ó y - œ Ò$ß 'ß "ÓÞ Si ? œ " - + y
t , t t $t t
t t t %Ð " t " + " -Ñ:
@ œ #+ $, #, %t )t
t t
i) Obtenga T <9C? Ð@Ñ. t t
ii) Obtenga T <9C3? Ð@Ñ. t t
iii) Obtenga T <9C&? Ð$@Ñ.
Solución:
3 t t t 3 4 t
Definición: Sean ? œ ?"t ?#4 ?$ 5 y @ œ @"t @#t @$ 5 vectores en el espacio. Se llama
t
â t t 5 â
â 3 t â
producto vectorial de ambos al vector
t œ â? ? ? â
â
$â
4
â " â
t t
â @" @# @$ â
t t
? ‚ @ œ Ð?# @$ ?$ @# Ñ3 Ð?" @$ ?$ @" Ñ4 Ð?" @# ?# @" Ñ5 #
t 3 t t t t 4 t
Ejemplo: Dados ? œ t #4 5 y @ œ $3 t #5ß hallar
t t
a) ? ‚ @ t t
b) @ ‚ ? t t
c) @ ‚ @
Propiedades Algebraicas del Producto Vectorial
t t t
Sean ?ß @ y A vectores en el espacio y - un escalar, las siguientes propiedades son válidas.
1) t t t t
? ‚ @ œ Ð@ ‚ ?Ñ
#Ñ t t t t t t t
? ‚ Ð@ AÑ œ ? ‚ @ ? ‚ A
3) t t t t t
-Ð? ‚ @Ñ œ -? ‚ @ œ ? ‚ -@t
4) t
?‚! tœ!‚?œ!
t t t
5) t t t
?‚?œ!
6) t t t t t t
? † Ð@ ‚ AÑ œ Ð? ‚ @Ñ † A
8
9. Demostración: Todas ellas se pueden demostrar escribiendo los vectores en forma de
componentes y aplicando entonces la definición del producto vectorial.
Teorema: Propiedades Geométricas del producto vectorial
t t t t
Si ? y @ son vectores no nulos del espacio y ) es el ángulo entre ? y @, entonces se verifican
las propiedades siguientes.
1) t t t
? ‚ @ es ortogonal a ambos, a ? y a @.t
2) t t t t
ll? ‚ @ll œ ll?ll ll@ll =/8)Þ
3) t t t t t
? ‚ @ œ ! si y sólo si ? y @ son múltiplos escalares el uno del otro.
4) t t t t
ll? ‚ @ll es igual al área del paralelógramo que tiene a ? y a @ como lados adyacentes.
ll?ll ll@ll =/8) œ ll?ll ll@ll È" -9=#Ð)Ñ
Demostración:
tt
Ð?†@Ñ
#Ñ Como -9=) œ t t
Ðll?ll ll@llÑ se sigue que t t t t
œ ll?ll ll@ll É"
t t Ð?†@Ñ#
tt
Ðll?ll ll@llÑ#
t t œ Èll?ll# ll@ll# Ð? † @Ñ#
t t t t
œ ÈÐ?# ?# ?# ÑÐ@" @# @$ Ñ Ð?" @" ?# @# ?$ @$ Ñ#
" # $
# # #
œ ÈÐÐ?# @$ ?$ @# Ñ# Ð?" @$ ?$ @" Ñ# Ð?" @# ?# @" Ñ#
t t
œ ll? ‚ @llÞ
Demostración:
4) Para demostrar esta propiedad dibuje un paralelógramo de lados los vectores ? y @ yt t
t t t
proyecte el vector @ sobre ?. Dibuje la altura ( esta mide ll@ll =/8 )Ñ el área es ( base por
altura)
t t t t
ll?ll ll@ll =/8) œ ll? ‚ @llÞ
t t t t t
Observación: Los vectores ? ‚ @ y @ ‚ ?, son perpendiculares al plano determinado por ? y
t t t t t
@. Los tres vectores ?ß @ y ? ‚ @, forman un sistema positivo.
t
Ejemplo: Hallar un vector unitario que sea ortogonal a ? œ "ß #ß $ y
t
@ œ "ß #ß " Þ
Ejemplo: Determine los vectores unitarios perpendiculares al plano determinado por los tres
puntos Ð "ß $ß !Ñß Ð&ß "ß #Ñ y Ð%ß $ß "ÑÞ
Ejercicio: Demostrar que el cuadrilátero de vértices en los puntos siguientes es un
paralelógramo, y hallar su área:
E œ Ð&ß #ß !Ñ F œ Ð#ß 'ß "Ñ G œ Ð#ß %ß (Ñ H œ Ð&ß !ß 'Ñ.
9
10. Rectas y Planos
Consideremos una partícula que se ubica inicialmente en el origen SÐ!ß !Ñ al tiempo > œ !, y
que se mueve a lo largo de la recta de manera que su coordenada B cambia en " unidad por
segundo. Entonces, para > œ " la partícula se localiza en Ð"ß #Ñ, para > œ "Þ& se encuentra
en Ð"Þ&ß $Ñ y, si permitimos que haya valores negativos de > ( es decir, consideremos dónde
estuvo la partícula en el pasado), para > œ # se halla Ðo se hallaba) en Ð #ß %ÑÞ
En general, si B œ >ß entonces C œ #>ß y podemos expresar esta relación en forma
vectorial ” • œ ” • œ >” # •Þ ¿ Cuál es el significado del vector . œ ” # •? Es un
B > " t "
C #>
vector particular paralelo a _, conocido como vector de dirección para la recta.
t t
Podemos escribir la ecuación de la recta como B œ >.ß esta es la forma vectorial de la
ecuación de _
Ejemplo: Consideremos la recta _ con ecuación #B C œ &Þ Es evidente que el vector
.œ”
#•
y 8 œ ” • son el vector de dirección y un vector normal a la recta..
t " #
t
"
t t t t
De este modo, la forma normal 8 † B œ 8 † : es apenas una representación diferente de la
forma general de la ecuación de la recta.
Definición: La forma normal de la ecuación de una recta _ en ‘# /=
t t t t t t t
8 † ÐB :Ñ œ ! o 8 † B œ 8 † :
t t
donde : es un punto específico sobre _ y 8 Á ! es un vector normal para _.
La forma general de la ecuación de _ es +B ,C œ - , donde 8 œ ” • es un vector normal
+
t
,
para _.
t t t t
Observe que para cada elección de Bß B : debe ser paralelo al vector de dirección . . Es
t o B œ : >. para algún escalar >. En términos de componentes tenemos que
decir B : œ >. t t
t t t
” C • œ ” $ • >” # •
B " "
Ð"Ñ
10
11. Bœ">
C œ $ #> Ð#Ñ
La ecuación Ð"Ñ es la forma vectorial de la ecuación de _, y las ecuaciones en Ð#Ñ son
llamadas ecuaciones paramétricas de la recta, la variable > se denomina parámetro.
t
Definición: La forma vectorial de la ecuación de una recta _ en ‘# o ‘$ es B œ : >. ,
t t
t
donde T es un punto específico sobre _ y . Á ! es un vector de dirección para _.
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación se
denominan ecuaciones paramétricas de _.
Ejemplo: Encuentre las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en ‘$ que pasa a través
Ô & ×
Õ $ Ø
t œ " Þ
del punto T œ Ð"ß #ß "Ñ, paralela al vector .
ÔB× Ô " × Ô & ×
ÕD Ø Õ "Ø Õ $ Ø
t t
Solución: La ecuación vectorial B œ : >. t es C œ # > " Þ La forma
paramétrica es
B œ " &>
C œ#>
D œ " $>
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial de la recta _ en ‘$ , determinada por los puntos
T œ Ð "ß &ß !Ñ y U œ Ð#ß "ß "ÑÞ
Ô $ ×
Õ " Ø
Solución: B : œ > % Þ
t t
Planos en ‘$
Definición: La forma normal de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t
8 † ÐB :Ñ œ ! t t t t
o 8†Bœ8†:
t t
donde : es un punto específico sobre c y 8 Á ! es un vector normalpara c .
Ô+×
Õ-Ø
La forma general de la ecuación de c es +B ,C -D œ . donde ? œ , es un vector
t
normal para c .
Ejemplo: Determine las formas normal y general de la ecuación del plano que contienen el
Ô"×
Õ$Ø
punto T Ð'ß !ß "Ñ y tiene como vector normal 8 œ # Þ
t
11
12. Ô'× ÔB×
Õ"Ø ÕDØ
Solución: Con : œ ! y B œ C , tenemos que 8 † : œ *, de manera que la ecuación
t t t t
t t t t
normal 8 † B œ 8 † : se convierte en la ecuación general B #C $D œ *Þ
Definición: La forma vectorial de la ecuación de un plano c en ‘$ es
t t t t
B œ : =? >@
t t t t
donde T es un punto en c y ? y @ son vectores de dirección para c Ð? y @ son distintos de
cero y paralelos a c , pero no paralelos entre sí).
Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación son
conocidas como ecuaciones paramétricas de c .
Ejemplo: Encuentre una ecuación vectorial y paramétrica para el plano del ejemplo anterior.
Solución: Necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos T œ Ð'ß !ß "Ñ en el
t
plano; si podemos encontrar otros dos puntos en U y V en c , entonces los vectores T U y T V t
pueden servir como vectores de dirección. Por ensayo y error, observamos que UÐ*ß !ß !Ñ y
V œ Ð$ß $ß !Ñ satisfacen la ecuación general B #C $D œ *ß por lo cual se encuentran en el
Ô $ × Ô $×
Õ "Ø Õ "Ø
tœ;: œ
plano. Así, calculamos ? œ T U t t
t ! t œ<: œ
y @ œ TV t t
t $ ß los que
servirán como vectores de dirección. Por lo tanto, tenemos la ecuación vectorial de cÞ
ÔB× Ô'× Ô $ × Ô $×
ÕD Ø Õ"Ø Õ "Ø Õ "Ø
C œ ! > ! = $ y las correspondientes ecuaciones paramétricas,
B œ ' $> $=
C œ $=
D œ">=
Ejemplo: Obtenga la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos T Ð"ß #ß &Ñ,
UÐ$ß #ß "Ñ y VÐ "ß #ß #ÑÞ
Solución:
Observación:
Un plano es un objeto bidimensional, y su ecuación, en forma vectorial o paramétrica,
requiere de dos parámetros.
12
13. Ecuación Normal de una Recta en ‘$
t t
Un punto T sobre la recta _ y dos vectores normales no paralelos 8" y 8# sirven para
$
localizar de manera única una recta _ en ‘ , puesto que _ debe ser entonces la recta a través
t t t t
de T que es perpendicular al plano con ecuación B œ : =8" >8# Þ De esta forma, una recta
$
en ‘ también puede estar especificada por un par de ecuaciones
+ " B ," C - " D œ . "
+# B ,# C -#" D œ .#
Cada una correspondiendo a cada vector normal. Pero ya que estas ecuaciones corresponden a
un par de planos no paralelos, esta es precisamente la descripción de una línea recta como la
intersección de dos planos no paralelos.
Ecuaciones de rectas en ‘#
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ C œ : >.
t B œ :" >."
t t t t
8†Bœ8†: +B ,C œ - t t
B œ : >.
# #
Ecuaciones de Rectas y Planos en ‘$
Ú B œ : >.
Forma Normal Forma General Forma Vectorial Forma Paramétrica
œ8 † B œ 8 † : œ+ B , C - D œ . Û C œ :# >.#
" "
t t t t
8" † B œ 8" † :" +" B ," C -" D œ ." t
Ü D œ :$ >.$
Rectas t t
B œ : >.
t t t t
Ú B œ : =? >@
# # # # # # #
Û C œ :# =?# >@#
" " "
Ü D œ :$ =?$ >@$
Planos t t t t
8†Bœ8†: +B ,C -D œ . t t t t
B œ : =? >@
Distancia desde un Punto a una Recta
Encuentre la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta la línea _ pasando por el punto
Ô "×
Õ ! Ø
E œ Ð$ß "ß "Ñ con vector de dirección .tœ " Þ
t
Solución: Se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre _ que se ubica al
t t t
pie de la perpendicular desde F . Si denotamos @ œ EF , entonces ET œ :<9C. Ð@Ñ yt
t
T F œ @ @ :<9C. Ð@ÑÞ Haremos los cáculos necesarios en varios pasos.
Ô"× Ô$× Ô #×
Õ#Ø Õ"Ø Õ " Ø
Paso 1: @ œ EF œ t + œ ! " œ "
t t , t
13
14. Ô "×
Paso 2: La proyección de @ sobre . es proy. Ð@Ñ œ Š .†. ‹. œ
Õ ! Ø
t t t
.†@ t "
t t t t " Þ #
Ô #× Ô # × Ô # ×
Paso 3: El vector que queremos es t :<9C. Ð@Ñ œ " Ö " Ù œ Ö $ Ù
" $
Õ " Ø Õ ! Ø Õ "# Ø
@ t #
Ô #×
Paso 4: La distancia .ÐFß _Ñ desde F hasta _ es ll@ proy. Ð@Ñll œ ººÖ $ Ùºº œ " È##Þ
$
Õ " Ø
t t # #
t t
En términos de la notación anterior, .ÐFß _Ñ œ .Ð@ß :<9C. Ð@ÑÑÞ
En el caso donde la línea _ está en ‘# y su ecuación tiene la forma general +B ,C œ -ß la
È+# ,#
distancia .ÐFß _Ñ desde FÐB! ß C! Ñ está dada por la fórmula .ÐFß _Ñ œ l+B! ,C! -l Þ
Distancia desde un Punto a un Plano
Ejemplo: Determine la distancia desde el punto F œ Ð"ß !ß #Ñ hasta el plano c cuya ecuación
general es B C D œ "Þ
Ò
Solución: En este caso se debe calcular la longitud de T F , donde T es el punto sobre c que
se encuentra al pie de la perpendicular desde FÞ Como lo muestra la figura.
14
15. Ô " ×
Õ "Ø
Si E es cualquier punto sobre c y situamos el vector normal 8 œ t " de c de modo que
Ò
su cola se localice en Eß entonces, se requiere hallar la longitud de la proyección de AB sobre
t.
8 De nuevo, se harán los cálculos necesarios por pasos.
Paso1: Por ensayo y error encontramos cualquier punto cuyas coordenadas satisfagan la
ecuación B C D œ "Þ E œ Ð"ß !ß !Ñ lo hace.
Ô"× Ô"× Ô!×
Õ#Ø Õ!Ø Õ#Ø
Paso 2: Establezca @ œ EF œ t + œ
t t , t ! ! œ ! Þ
t t
Paso 3: La proyección de @ sobre 8 es
Ô " × Ô
#×
Ô " ×
T <9C8 Ð@Ñ œ Š 8†8 ‹8 œ "†!"†!"†# ‹ † œÖ $Ù
$
Õ "Ø Õ "Ø Õ # Ø
t t
@†8 #
t t t t t ""Ð"Ñ#
" œ #
$
"
Ô " ×
$
Paso 4: La distancia .ÐFß c Ñ desde F hasta c es llproy8 Ð@Ñ œ l # l ¿ " ¿ œ # È$
Õ "Ø
t t $ $
En general, la distancia .ÐFß c Ñ desde el punto F œ ÐB! ß C! ß D! Ñ hasta el plano cuya ecuación
general es +B ,C -D œ . está dad por la fórmula
È+# ,# - # Þ
l+B! ,C! -D! .l
.ÐFß c Ñ œ
15