metodo simplex

1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Mg. Paul Linares Ortega
Ingeniero Industrial
Semana 04
MÉTODO SIMPLEX
SOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

2. MÉTODOS DE PROGRAMACION LINEAL
Existen tres métodos para resolver problemas de programación lineal:
Método geométrico o gráfico:
Tiene un valor práctico limitado pero es de gran utilidad para visualizar los conceptos
de la programación lineal.
Método algebraico:
Muchos califican al método algebraico, como uno de los métodos más importantes
en el campo de la programación lineal
Método simplex:
Es utilizado para resolver cualquier problema de programación lineal.

3. Para resolver en la práctica problemas de más de dos dimensiones, se emplea el
llamado Método Simplex, basada en el álgebra matricial y en el empleo de espacios
de “n” dimensiones.
El Método Simplex es un procedimiento o conjunto de restricciones con el cual se
examinan los puntos en las esquinas de una manera metódica hasta conseguir la
mejor solución: la mayor utilidad ó el menor costo.
En teoría, el método Simplex puede resolver un problema que consiste en
cualquier número de variable y restricciones; aunque en el caso de problemas que
tienen más de tres variables o restricciones, es mejor que los cálculos sean hechos
en el computador a través de un software (WINQSB, TORA, SOLVER, LINDO, etc.).
Sin embargo, para poder comprender totalmente la programación lineal, construir
las ecuaciones para desarrollar el programa y poder integrar sus resultados, es
necesario seguir manualmente el Método Simplex.

4. Los pasos que comprende el Método simplex son:
• Formular el problema, planteado la función objetiva, las restricciones y las
condiciones de no negatividad.
• Introducir variables de holgura (S) ó variables artificiales (A) en las restricciones:
- Si una restricción tiene signo ( ≤ ) “menor o igual que”, genera la inclusión de
una variable de holgura (S) al lado izquierdo, para convertirla en una igualdad.
- Si una restricción tiene signo ( = ) “igual que”, genera la inclusión de una
variable artificial (A) al lado izquierdo.
- Si una restricción tiene signo ( ≥ ) “mayor o igual que”, se debe restar una
variable de holgura (S) y sumar una variable artificial (A) al lado izquierdo de la
desigualdad, para convertirla en una igualdad.

5. Cj
Variable
Solución Cantidad
X1 X2 S1 S2
S1
S2
Zj
Zj - Cj
Variables Reales Variables de Holgura
En esta fila se consigna la contribución
total, es decir la suma de los productos
entre término.
Diferencia entre la fila Zj y la fila Cj, su significado
es un “shadow price” (precio sombra) , es decir, la
utilidad que se deja de recibir por cada unidad
de la variable correspondiente que no forme
parte de la solución.
• Elaborar la tabla inicial simplex donde todos los coeficientes numéricos de la
función objetivo y de las restricciones son ubicados en la tabla.
En esta fila se hace referencia al
coeficiente que tiene cada una
de las variables de la fila “solución”
en la función objetivo.
En esta columna se consigna la
solución básica, y a partir de esta
en cada iteración se van incluyendo
las variables que formarán parte de
la solución final.

6. • Se ingresan los coeficientes y las cantidades de las función objetivo y de las
restricciones a la tabla inicial simplex y se calcula el costo de introducir la variable (Zj) y
la contribución neta de la variable (Zj-Cj).
• Partiendo del calculo de (Zj-Cj) se escoge entre las restricciones un punto de apoyo
(Pivote) para lo cual se determina una columna pivote, eligiendo entre la columna de
variables a aquella que tenga el menor valor si se trata de maximización y el mayor
valor si se trata de minimización.
• Posteriormente se determina una fila pivote, dividiendo la columna cantidad entre la
columna pivote, tomando como referencia el menor valor positivo; la intercepción de
ambas es el punto pivote.
• El punto Pivote por su ubicación indica que variable de holgura sale y que variable real
entra. El Pivote, debe ser 1; si no es así tendrá que operarse ya sea multiplicando o
dividiendo con la finalidad de obtener 1. Una vez que el punto Pivote es la unidad, se
convierte en ceros todos los elementos de su columna.

7. • El método simplex es un método iterativo (repetitivo), han de repetirse los pasos hasta
encontrar la solución óptima, es decir cuando se cumpla la condición:
Zj-Cj sea ceros o positivos para la maximización
Zj-Cj sea ceros o negativos para la minimización.

8. Caso Aplicativo

9. 1.- Para el siguiente caso:
Zmax = 40X1 + 60X2 + 50X3
s.a. 10X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 950
2X1 + 2X2 ≤ 410
X1 + 2X3 ≤ 610
X1, X2, X3 ≥ 0
Encontrar la solución óptima.

10. Función Objetivo:
Zmax= 40X1 + 60X2 + 50X3
Restricciones:
10X1 + 4X2 + 2X3 = 950
2X1 + 2X2 + 0X3 = 410
X1 + 0X2 + 2X3 = 610
Condición de no negatividad:
X1, X2, X3, ≥ 0
+ 0S1 + 0S2 + 0S3
+ S1
+ S2
S1, S2, S3
+ S3

11. Cj Variable
solución
40 60 50 0 0 0
CantidadX1 X2 X3 S1 S2 S3
0 S1 10 4 2 1 0 0 950
0 S2 2 2 0 0 1 0 410
0 S3 1 0 2 0 0 1 610
Zj
Zj - Cj
Tabla inicial simplex
X1=0(10)+0(2)+0(1)=0
X2=0(4)+0(2)+0(0) =0
X3=0(2)+0(0)+0(2) =0
S1=0(1)+0(0)+0(0)=0
S2=0(0)+0(1)+0(0)=0
S3=0(0)+0(0)+0(1)=0
Utilidad= 0(950)+0(410)+0(610)=0
Calculo Zj: Calculo Zj-Cj: X1=0-40=-40
X2=0-60=-60
X3=0-50=-50
S1=0-0=0
S2=0-0=0
S3=0-0=0
0 0 0 0 0 0 0
-40 -60 -50 0 0 0

12. Cj Variable
Solución
40 60 50 0 0 0
CantidadX1 X2 X3 S1 S2 S3
0 S1 10 4 2 1 0 0 950
0 S2 2 2 0 0 1 0 410
0 S3 1 0 2 0 0 1 610
Zj
Zj - Cj
0 0 0 0 0 0 0
- 40 -60 -50 0 0 0
1.- Columna PIVOTE
Menor valor
237.5
205
Error
3.- PIVOTE
El pivote debe ser
siempre la unidad
El PIVOTE indica la variable que sale
y la variable que ingresa.
2.- Fila PIVOTE
Menor valor positivo

13. Cj Variable
Solución
40 60 50 0 0 0
CantidadX1 X2 X3 S1 S2 S3
Zj
Zj - Cj
60 60 0 0 30 0 12300
20 0 -50 0 30 0
60 X2 1 1 0 0 1/2 0 205
0 S1 6 0 2 1 -2 0 130
0 S3 1 0 2 0 0 1 610
Menor valor
65
Error
305
Menor valor positivo
PIVOTE
¿Son todos los Zj-Cj ceros o positivos? Una vez que el punto Pivote es la unidad,
se convierte en ceros todos los elementos
de su columna.
No se cumple la condición, se debe
repetir el proceso.

14. Cj Variable
Solución
40 60 50 0 0 0
CantidadX1 X2 X3 S1 S2 S3
Zj
Zj - Cj
60 X2 1 1 0 0 1/2 0 205
50 X3 3 0 1 1/2 -1 0 65
0 S3 - 5 0 0 -1 2 1 480
Menor valor
-65
410
240
210 60 50 25 -20 0 15550
170 0 0 25 -20 0
Menor valor positivo
PIVOTE
El PIVOTE debe ser la unidad y todos
los elementos de su columna ceros
¿Son todos los Zj-Cj ceros o positivos?
Una vez que el punto Pivote es la unidad,
se convierte en ceros todos los elementos
de su columna.
No se cumple la condición, se debe
repetir el proceso.

15. Cj Variable
Solución
40 60 50 0 0 0
CantidadX1 X2 X3 S1 S2 S3
Zj
Zj - Cj
0 S2 -5/2 0 0 -1/2 1 1/2 240
60 X2 9/4 1 0 1/4 0 -1/4 85
50 X3 1/2 0 1 0 0 1/2 305
160 60 50 15 0 10 20350
120 0 0 15 0 10
X1 = 0
X2 = 85
X3= 305
Zmax = 20350
¿Son todos los Zj-Cj ceros o positivos?
Una vez que el punto Pivote es la unidad,
se convierte en ceros todos los elementos
de su columna.
Si, se cumple la condición, se ha
llegado a la solución óptima.

16. 2. Para el siguiente problema:
Zmax = 100X1 + 200X2 + 50X3
s.a. 5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 1000
10X1 + 8X2 + 5X3 ≤ 2000
10X1 + 5X2 ≤ 500
X1, X2, X3 ≥ 0
Encontrar la solución óptima.
X1= 0
X2= 100
X3= 50
Zmax = 22,500

17. Investigar sobre los dos métodos de solución del Algoritmo Simplex, cuando se
tiene en un problema de programación lineal restricciones con ≥ y/o =:
- Método de la Gran M
El método de la Gran M, penaliza la inclusión de las variables artificiales en la
función objetivo con un coeficiente “M” muy grande.
- Método de las Dos fases
Este método es sumamente sencillo. Se usa ante la presencia de variables
artificiales en el modelo a solucionar y su objetivo es eludir el uso de la Gran M.

18. Resolver un caso
empleando cualquiera de los dos
métodos de solución investigados

19. 1. Resolver:
Zmax = 100X1 + 200X2 + 50X3
s.a. 5X1 + 5X2 + 10X3 ≤ 1000
10X1 + 8X2 + 5X3 = 2000
10X1 + 5X2 ≥ 500
X1, X2, X3 ≥ 0
X1= 200
X2= 0
X3= 0
Zmax = 20,000

20. 2.- Resolver:
Zmax = 100X1 + 90X2
s.a. 6X1 + 4X2 ≥ 24
20X1 + 8X2 ≤ 160
3X1 + 5X2 ≥ 15
X2 ≤ 5
X1, X2 ≥ 0
X1= 6
X2= 5
Zmax = 1,050

21. 3.- Resolver:
Zmin = 0.4X1 + 0.5X2
s.a. 0.3X1 + 0.1X2 ≤ 2.7
0.5X1 + 0.5X2 = 6
0.6X1 + 0.4X2 ≥ 6
X1, X2 ≥ 0
X1= 15/2
X2= 9/2
Zmin = 21/4

22. 4.- Resolver:
Zmin = 4X1 + X2
s.a. 3X1 + X2 = 3
4X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 4
X1, X2 ≥ 0
X1= 2/5
X2= 9/5
Zmin = 17/5

23. 5.- Resolver:
Zmin = X1 + 2X2
s.a. 8X1 + 2X2 ≥ 16
X1 + X2 ≥ 5
2X1 + 7X2 ≥ 20
X1, X2 ≥ 0
X1= 3
X2= 2
Zmin = 7000

24. 6.- Resolver:
Zmin = X1 + 2X2
s.a. 3X1 + X2 ≥ 3
4X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0
X1= 3/2
X2= 0
Zmin = 3/2

25. 5ta semana
1ra Practica Calificada

26. Variables de Holgura (S):
Se introducen las variables de holgura necesaria en cada restricción; ya que estas
convierten dichas restricciones en igualdades.
Una variable de holgura representa la cantidad no utilizando u ociosa de cada recurso.
La función objetivo también refleja la suma de las variables de holgura; pero como esta
no genera utilidad su coeficiente es “0”.

27. Variables Artificiales (A):
Una variable artificial es una variable que no tiene significado físico en términos de un
problema de programación lineal, permitiendo crear una solución factible básica para
iniciar el algoritmo simplex.
Cada variable artificial tiene asignado un costo que se representa por M y sirve para
fines de cálculo en la tabla inicial simplex.
Cuando se adiciona una variables artificial y la función objetivo se maximiza se agrega
un valor M bastante pequeño (-M) y si se minimiza se agrega un valor M bastante
grande (+M).
Una variable artificial no aparece en la solución final del problema