CPI1 - CLASE 2 - PARTE 2

Control de procesos industriales I

Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc

MODELADO MATEMÁTICO

CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012

Modelado matemático

 Un modelo matemático de un sistema dinámico
se define como un conjunto de ecuaciones que
representan la dinámica del sistema

 La dinámica de muchos sistemas, ya sean
mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,
biológicos, etc., se describe en términos de
ecuaciones diferenciales.



 Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a
partir de leyes físicas que gobiernan un sistema
determinado, como las leyes de Newton para
sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff
para sistemas electrices.

 Ej: segunda ley de Newton



Simplicidad frente a precisión:
 Al obtener un modelo matemático de un sistema
es importante llegar a un compromiso entre
precisión y simplicidad del modelo
 Para obtener un modelo matemático
simplificado, es necesario ignorar ciertas
propiedades físicas inherentes al sistema e
ignorara las no linealidades y parámetros
distribuidos que pueden hacer difícilmente
analizable al sistema


Definiciones
Parámetros concentrados y distribuidos
Parámetros concentrados
 Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o
sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales
(masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio
etc.)
 Es decir, consideramos que los valores que determinan las
características físicas de los objetos se encuentran
concentrados en un punto. Estas entidades que no tienen
existencia real reciben el nombre de elementos de
parámetros concentrados.
 Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización
de ecuaciones diferenciales ordinarias.


Definiciones
Parámetros concentrados y distribuidos
 Parámetros distribuidos

En el mundo real las masas no son puntuales, las
resistencias eléctricas presentan un efecto
capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del
componente
Estos modelos suelen estar caracterizados por la
utilización de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales.


Definiciones
Modelos determistas y no deterministas

 Modelos determistas

Se dice que un modelo es determinista cuando el
comportamiento del sistema queda determinado
por la especificación de las condiciones iniciales y
la evolución de las magnitudes de entrada.


Definiciones
Modelos determistas y no deterministas

 Modelos no deterministas

Se dice que un modelo es no determinista cuando
intervienen fenómenos aleatorios, imposibles de
modelar y predecir.
Para unas mismas condiciones iniciales e igual
evolución de las magnitudes de entrada, el
sistema evolucionará cada vez de una forma
distinta.

Definiciones: Ecuaciones variantes e
invariantes en el tiempo.

 Ecuaciones variantes en el tiempo

Una ecuación diferencial es variable en el tiempo,
si alguno de los coeficientes que multiplican a la
variable dependiente o a sus derivadas es función
del tiempo.


Definiciones: Ecuaciones variantes e
invariantes en el tiempo.

 Ecuaciones invariantes en el tiempo.

Una ecuación diferencial es invariante en el
tiempo si todos los coeficientes que multiplican a
la variable dependiente o a sus derivadas son
constantes


Definiciones
Linealidad y no linealidad
 Linealidad
Una ecuación diferencial lineal es aquella que
consiste en una suma de términos lineales, o sea,
términos de primer grado en la variables
dependientes y en sus derivadas.

Ejemplo de no linealidad


Definiciones

Sistemas lineales

 Un sistema se denomina lineal si se aplica el
principio de superposición.
 Este principio establece que la respuesta
producida por la aplicación simultánea de dos
funciones de entradas diferentes es la suma de
las dos respuestas individuales.


Definiciones

Sistemas no lineales

A un sistema lineal no se le puede aplicar el
principio de superposición

Los procedimientos para solucionar sistemas no
lineales son complicados. Por tal motivo resulta
necesario considerar sistemas lineales
«equivalentes». Tales sistemas son solo validos
en un rango limitado de trabajo.

Definiciones

 La mayoría de los fenómenos del mundo real
presentan características no lineales.
 Los sistemas lineales resultan convenientes por
la sencillez en su tratamiento y análisis.
Mientras que las ecuaciones con no lineales son
de difícil manejo
 Gracias a la linealización de ecuaciones no
lineales es posible aplicar numerosos métodos
de análisis lineal que producirán información
acerca del comportamiento del sistema no lineal


DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

Existen distintas formas de expresar el modelado
matemático de un sistema dinámico:

 Descripción interna
 Descripción externa


DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

 Descripción interna
Representaciones que consideran ecuaciones
diferenciales que modelan la evolución de las variables de
estado. Las ecuaciones diferenciales que componen una
representación interna suelen llamarse modelos de estado

 Descripción externa
Las representaciones que únicamente consideran las
ecuaciones diferenciales que relacionan las variables de
entrada y salida se denominan descripciones externas


CONCEPTOS BÁSICOS:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DIAGRAMA EN BLOQUES
MODELADO EN EL ESPACIO DE
ESTADOS

Función de transferencia

 En la teoría de control, a menudo se usan las
funciones de transferencia para caracterizar las
relaciones de entrada-salida de componentes.



 Un sistema dinámico puede ser descrito por la
siguiente ecuación diferencia invariante en el
tiempo:



 Pasando la ecuación al dominio de Laplace y
considerando que las condiciones iniciales son
cero se obtiene:

 La función de trasferencia entre y(t) y u(t) está
dada por:



 Las raíces de N(s) son llamadas polos del
sistema
 Las raíces de M(s) son llamadas ceros del
sistema
 Función característica se obtiene al igualar el
denominador a cero N(s)=0



Una función de transferencia tiene las siguientes
características:

 La función de trasferencia está definida
únicamente para sistemas lineales.
 Todas las condiciones iniciales del sistemas son
fijadas a cero
 La función de trasferencia es independiente a la
entrada del sistema


MATLAB

 OPCIÓN 1 OPCIÓN 2
h = tf([1 0],[1 2 10])
s = tf('s');
H = s/(s^2 + 2*s +10)
Transfer function:
s
Transfer function:
--------------
s
s^2 + 2 s + 10
--------------
s^2 + 2 s + 10


Diagrama en bloques

 Un sistema de control puede consistir, en
general, por un cierto número de componentes.
 Con el fin de mostrar las interacciones
existentes de forma cómoda, se acostumbra a
usar una representación gráfica denominada
diagrama a bloques.


Diagrama en bloques

 Un diagrama de bloques es una
representación grafica de una función de
trasferencia.

 Muestra la relación existente entre los diversos
componentes e indica el flujo de las señales del
sistema real


Diagrama en bloques

 Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para
representar la operación matemática que sobre la señal
de entrada hace el bloque para producir la salida.

 Las funciones de transferencia de los componentes por
lo general se introducen en bloques correspondientes,
que se conectan mediante flechas para indicar la
dirección de flujo de señal.

Diagrama en bloques: Simbología

 Bloque ó bloque funcional:

 Punto suma ó diferencia:

 Punto de ramificación


Algebra de diagrama de bloques

 La modificación de los diagramas en bloques
para efectuar simplificaciones u ordenaciones
se denomina algebra de diagrama de bloques



 Asociación de bloques Cascada o serie

X2(s) X1(s)
C(s)

?



 Asociación de bloques Cascada o serie



 Asociación de bloques Paralelo

?



 Asociación de bloques Paralelo



 Asociación de bloques retroalimentados

?



 Asociación de bloques retroalimentados



 Intercambio del orden de los bloques



 Intercambio en el orden de los bloques



 Combinación o expansión del bloque
suma/resta


Ejemplo de algebra de diagrama de
bloques
 Simplifique


bloques
Paso 1


bloques
Paso 2


bloques
Paso 3


bloques
Paso 4


MATLAB


MATLAB

 Ejemplo

G1 = tf([0 4],[0 1]);
G2 = tf([0 1],[1 2]);
H = tf([5 0],[0 1]);
SYS = feedback(G1*G2,H)

 G1(s)=4 Transfer function:
 G2(s)=1/(s+2) 4
--------
 H(s) = 5 s 21 s + 2


Procedimiento para dibujar un
diagrama en bloques
1. Escriba las ecuaciones que describen el
comportamiento dinámico de cada componente
2. Obtenga las transformadas de Laplace de
estas ecuaciones, suponiendo que las
condiciones iniciales son cero.
3. Represente individualmente en forma de
bloques cada ecuación transformada por el
método de Laplace
4. Por último, integre los elementos en un
diagrama de bloques completo


diagrama en bloques
 Ejercicio: Circuito RC

comportamiento dinámico de cada
componente. En este caso i y eo

diagrama en bloques
comportamiento dinámico de cada
componente. En este caso i y eo

2. Obtenga las transformadas de Laplace de
estas ecuaciones, suponiendo que las
condiciones iniciales son cero.


diagrama en bloques
2. Obtenga las transformadas de Laplace de estas
ecuaciones, suponiendo que las condiciones
iniciales son cero.

método de Laplace

diagrama en bloques
método de Laplace.


diagrama en bloques


MODELADO EN EL ESPACIO DE
ESTADOS
 La tendencia moderna en los sistemas de
ingeniería es hacia una mayor complejidad.

 Los sistemas complejos pueden tener entradas
y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.

 El modelado en el espacio de estados permite
considerar aquellos sistemas de múltiples
entradas y múltiples salidas.


Modelado en el espacio de estados

 Estado

Es el conjunto de variables, tales que el
conocimiento de esas variables, determinan el
comportamiento del sistema.



 Variables de estado
Es un conjunto de variables que determinan el
estado del sistema. Se necesitan n variables
para describir totalmente el comportamiento de un
sistema dinámico X1,X2, … ,Xn

 Vector de estado
Es un vector con las n variables de estado.



 Espacio de estados.

Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de
son las variables de estado X1,X2,…,Xn.

Cualquier estado puede representarse mediante
un punto en el espacio de estados.



 Ecuaciones de estados
Conjunto de n ecuaciones diferenciales
simultaneas de primer orden con n variables,
donde las n variables al ser despejadas son las
variables de estado.

 Ecuación de salida
Ecuación algebraica que expresa las variables de
salida del sistema como combinaciones lineales
de las variables de estado y las entradas


 Considere un sistemas dinámico lineal
invariante en el tiempo, de múltiples entradas y
múltiples salidas



El sistema está representado en el espacio de
estados por la siguiente ecuación
Ecuación de estados

Ecuación de salida
Dónde:



 u: un vector que contiene cada una de las p entradas al
sistema
 y: un vector que contiene cada una de las q salidas al
sistema
 x: es un vector que contiene cada una de las n variables
de estado del sistema



 El tamaño de las matrices debe ser el
adecuado:

 p entradas al sistema
 q salidas al sistema
 n variables de estado del sistema



 Ejercicio: Obtener el diagrama en bloques



 Obtención de las ecuaciones de estado
La representación en espacio de estado puede ser
derivada desde las ecuaciones diferenciales que
representan a un sistema.

1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del
sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley
de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de
Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.
2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas
que determinan el comportamiento dinámico del sistema.
3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón
de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su
derivada).


 Ejemplo
Considere el sistema mecánico

u(t) es una fuerza externa
y(t) es el desplazamiento de la masa



 Cuál es la variable de
entrada del sistema?

salida del sistema?



entrada del sistema?
La fuerza externa u(t) es la entrada
para el sistema.

salida del sistema?
el desplazamiento y(t) de la masa es
la salida.



 La ecuación del sistema es

 Definamos las variables de estado
x1(t) y x2(t) como:



(1)
(2)

 Obtenemos

 De acuerdo a (2) obtenemos



 La forma matricial de estas ecuaciones es:



 La ecuación de salida es:

 En forma matricial



 En resumen,

 La forma estándar es:

Donde:



 La forma estándar es:

Donde:

Diagrama en bloques es:



 Ejercicio:
Calcular la Función de transferencia



 Aplicando Laplace, con x(0)=0

Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )



 Por otro lado

Y

Remplazando

Por lo tanto la función de transferencia es:



 Se puede reescribir como:

Donde
Polinomio característico
Polinomio en s



 EJERCICIO
Obtenga la función de transferencia
del sistema descrito por las
siguiente ecuación de estado:



 De las ecuaciones de estado obtenemos los
valores de A, B, C Y D

 Remplazamos en la ecuación de la función de
transferencia


MATLAB

syms k m b s
A=[0 1; -k/m -b/m]
B=[0; 1/m]
C=[0 1]
D=0
%Forma Manual
G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D

G=

s/(m*s^2 + b*s + k)


MATLAB

El comando ss2tf retorna el numerador y
denominador de la función de trasferencia
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

El comando tf2ss convierte la función de
transferencia de un sistema en la forma espacio
de estado
[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)


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