1. GEOMETRIA NELLO SPAZIO
LORENZO MAZZOCCHETTI, BEATRICE DI GREGORIO, SAMUELE CACCIATORE E AURORA PERNA 4E
RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO

2. INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA NELLO SPAZIO
• Si tratta ora di prendere i concetti gia' visti nel piano ed estenderli allo spazio: inizieremo dai postulati per poi riconsiderare la perpendicolarita' ed il parallelismo. Il primo passo da compiere è identificare gli
assiomi fondamentali da cui costruire e studiare le proprieta' dello spazio, come al solito divideremo i postulati come nel piano: Esistenza, appartenenza ed uguaglianza.
1. Esistenza: Esistono infiniti punti, infinite rette ed infiniti piani.
2. Appartenenza: -Per un punto passano infiniti piani (stella di piani), per una retta passano infiniti piani (fascio proprio di piani) e per tre punti non allineati passa un solo piano. Dato uno spazio ed un
piano, il piano divide lo spazio in due parti (semispazi) tali che presi due punti nello stesso semispazio il segmento che li unisce non taglia il piano, mentre se prendiamo due punti in semispazi opposti il
segmento che li unisce taglia il piano. Inoltre due semispazi distinti si dicono opposti.
3. Uguaglianza: tutte i piani sono fra loro congruenti.
• Dopo aver definito questi primi assiomi definiamo le relazioni fra rette nello spazio:
1. Complanari: cioe' giacciono su uno stesso piano
2. Sghembe: cioe' non giacciono sullo stesso piano.
• Mentre una retta nello spazio con un piano può essere:
1. Secante: in tal caso ha un solo punto in comune con il piano
2. Parallela ad una retta del piano: in tal caso non ha nessun punto in comune con il piano.
3. Giacente sul piano: in tal caso ha tutti i punti in comune con il piano.
• Parlando invece delle relazioni fra piani nello spazio questi possono essere:
1. Paralleli: in tal caso non avranno nessun punto in comune oppure coincidono.
2. Secanti: in tal caso avranno almeno un punto in comuno e si taglieranno fra loro.
• Dopo aver stabilito questi due punti possiamo enunciare che: se due piani hanno in comune un punto allora la loro intersezione è una retta passante per quel punto avente in comune tutti i punti della
retta. E inoltre dopo aver definito questo punto possiamo dire che se due piani distinti sono secanti tra loro allora avranno in comune e tutti e soli i punti della retta passante per quel punto.
• Infine dopo aver introdotto i punti base della geometria nella spazio possiamo chiamare figura nello spazio ogni sottoinsieme di punti nello spazio. Anche nello spazio possiamo definire il concetto di
congruenza tra due figure tramite il concetto di isometria. Un’ isometria è una funzione biiettiva tra i punti nello spazio conserva le distanze; possiamo dire che due figure solide sono congruenti nello spazio
se e solo se si corrispondono in un’isometria. Un ultima cosa da sottolineare è che “vedere” nello spazio non immediato come “vedere” nel piano, di conseguenza c’è bisogno di un processo mentale che
consideri sia la rappresentazione di una figura solida nel piano, sia le proprietà geometriche della figura stessa.

3. PERPENDICOLARITÀ NELLO SPAZIO
Come nel piano, anche nello spazio la perpendicolarità è una condizione particolare di
incidenza.
Teorema della condizione di perpendicolarità tra retta e piano:
Una retta incidente ad un piano in un punto P si definisce perpendicolare al piano se è
perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto P.
In base a questo teorema per dimostrare che una retta è perpendicolare a un piano è
sufficiente mostrare che questa è perpendicolare a due rette distinte del piano passanti per P.
Dimostrazione:
La dimostrazione di questo teorema
avviene in tre fasi:
- dimostrare che i triangoli ABQ e ABQ’
sono congruenti;
- - dimostrare che i triangoli ACQ e
ACQ’ sono congruenti;
- Dedurre che anche la retta c è
perpendicolare alla retta r in P
Esistenza e unicità di rette e piani perpendicolari:
• dato un piano e un punto P, esiste una e una sola retta perpendicolare al piano passante
per P;
• data una retta e un punto P, esiste un unico piano perpendicolare alla retta e passante per P
Dato un segmento, si dice piano assiale del segmento il piano passante per il punto medio del
segmento e perpendicolare alla retta che contiene il segmento.
In modo analogo alla dimostrazione di una retta perpendicolare, è possibile dimostrare che il
piano assiale di un segmento è il luogo dei punti dello spazio equidistanti dagli estremi del
segmento.
Nello spazio però, la situazione si presenta in modo differente:
- Se il punto P non appartiene alla retta r, esiste un’unica perpendicolare alla retta r
passante per P (esiste un unico piano contenente il punto P e la r che giace sul piano
perpendicolare alla retta e passante per il punto P)
- Se il punto P appartiene alla retta r, esistono infinte rette perpendicolari a r e passanti per
P. Non esistono altre rette perpendicolari a r in P se non quelle giacenti sul piano.
Teorema delle tre perpendicolari:
Se P è un punto generico non appartenente a un piano α, H è il piede della perpendicolare
condotta da P al piano α e K è il piede della perpendicolare condotta da H a una retta r di α,
allora la retta PK è perpendicolare a r.
Dimostrazione:
La dimostrazione di questo teorema avviene in
due fasi:
- Dimostrare che i triangoli PHA e PHA’ sono
congruenti;
- Dedurre che la retta PK è perpendicolare
alla retta r.

4. Si chiama sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene intersecando il diedro con un
piano perpendicolare allo spigolo
Un angolo è una sezione naturale di un diedro solo se i
suoi lati sono semirette che giacciono sulle facce del
del diedro e che sono perpendicolari nello stessopunto
allo spigolo del diedro.
Sezioni normali e congruenza:
• Due sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti
• Due diedri sono congruenti se e solo se hanno sezioni normali congruenti
Condizione di perpendicolarità tra due piani:
Se un piano β contiene una retta r perpendicolare al
piano α, allora il piano β è perpendicolare al piano α.
Per dimostrare che due piani sono perpendicolari basta
dimostrare che uno dei due piani contiene una retta
perpendicolare all’altra.
Esistenza e unicità di piani perpendicolari :
Dato un piano α e una retta perpendicolare al piano, esiste ed è unico il piano passante per r e perpendicolare
ad α.
Ci rimane da analizzare la perpendicolarità tra due piani.
Per definire questo concetto però abbiamo prima bisogno di introdurre il concetto di
angolo diedro :
Si chiama angolo diedro , o diedro, ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due
semipiani aventi la stessa origine, inclusi i semipiani stessi
Semipiani che delimitano il diedro si chiamano facce (α ,β).
La retta comune alle due facce si chiama spigolo ( s )
Tutti i punti di un diedro che non appartengono alle facce si
dicono interni, tutti gli altri punti dello spazio esterni.
Due semipiani (non complanari) aventi la stessa origine
individuano due angoli diedri, uno cavo e uno convesso.
Sezione normale di un diedro:
Ampiezza di un angolo diedro:
Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza di una sua sezione normale. In base all’ampiezza
il diedro sarà acuto, retto od ottuso.
Semipiano bisettore:
Si dice semipiano bisettore di un diedro il semipiano che ha come origine lo spigolo del
diedro e che lo divide in due diedri congruenti.
Piani perpendicolari:
Due piani incidenti si dicono
perpendicolari
Quando formano quattro diedri
perpendicolari

5. PARALLELISMO NELLO SPAZIO
Come nel piano, anche nello spazio le proprietà note del parallelismo restano le stesse
( unicità della retta parallela ad un altra passante per un punto e proprietà transitiva)
Teorema della condizione di parallelismo tra retta e piano:
Se una retta r è parallela a una retta s contenuta nel piano α , allora la retta r è parallela al
piano α .
Dimostrazione:
Di conseguenza, se una retta e un piano sono paralleli ciascun piano contenente la retta e
incidente al piano avrà in comune con questo una seconda retta parallela alla prima.
Teorema della condizione di parallelismo tra piani:
Se due rette secanti r ed s di un piano α sono parallele a un piano β, allora i due piani sono
paralleli.
Intersezioni di due piani paralleli con un piano trasversale:
Se un piano γ interseca due piani paralleli α e β, le due rette di intersezioni di γ con α e β
sono parallelle.
Esistenza e unicità di piani paralleli:
Dato un piano e un punto P a esso appartenente,esiste un unico piano passante per P e
parallelo a quello dato.
Teorema di talete nello spazio:
Un fascio di piani paralleli determina su due trasversali due classi di segmenti proporzionali.
Teoremi che legano parallelismo e perpendicolarità:
- Se due rette nello spazio sono perpendicolari allo stesso piano,esse sono parallele
tra di loro;
- Se due piani sono perpendicolari alla stessa retta, essi sono paralleli tra di loro;
- Se due rette sono parallele, ogni piano che è perpendicolare a una è
perpendicolare anche all’altra;
- Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare all’uno è perpendicolare
anche all’altro:
Consideriamo il piano β individuato dalle
rette r e s(la quale è la retta di intersezione
tra i due piani):
- Se r avesse punti in comune con α
questi apparterebbero anche a β e,di
conseguenza alla retta s.
- Ciò non è possibile perché stiamo
considerando r e s parallele.
- Deduciamo che r e α non hanno
punti in comune ( sono paralleli).
Dimostrazione:
Se per assurdo i due piani non fossero
paralleli, alla loro intersezione si
genererebbe una terza retta parallela alle
altre due(cond. di parallelismo tra retta e
piano),ma ciò non è possibile perché le
due rette sono incidenti e non possono
quindi avere una retta parallela in
comune. Pertanto i piani sono paralleli.
Dimostrazione:
Se per assurdo s ed r avessero un punto in
comune,anche α e β lo avrebbero, ma ciò non
è possibile poiché stiamo considerando i due
piani come paralleli. Pertanto le due rette devono
essere parallele.