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Conjuntos Numéricos
Ao final dessa aula você saberá:  O que é um conjunto e suas representações Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z,  Q...
O que é conjunto?    Exemplos:   { a,b,c,d,e}   {1,2,3,4,5,6,7,8}   {laranja, banana, maçã}       É uma coleção de     ...
Como representamos os                 conjuntos?a) Entre chaves (enumeração)  A = {0,1,2,3,4,5}b) Pelo diagrama   A       ...
O que é conjunto                vazio?    É um conjunto sem elementos.Como representamos o   conjunto vazio?∅       { }
O que é conjunto                   unitário?       É o conjunto que só apresenta um    elemento.                Atenção! O...
O que é subconjunto? É um conjunto que está contido em outro.Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} , então B é um subconj...
Como calculamos a           quantidade de subconjuntos                de um conjunto?  Basta efetuar a conta o 2n, sendo n...
Qual é a representação do          conjunto dos números                naturais?       N = {0,1,2,3,4,5,...}E a representa...
Quais são os subconjuntos                             notáveis de Z?Ζ   *        é o conjunto dos números inteiros sem o z...
E o conjunto dos números                  racionais?  É o conjunto dos números que podemser escritos sob forma de fração. ...
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E o conjunto dos                  números reais?É a união do conjunto Q com o conjunto I.    R                     Q      ...
O que é intervalo? É a representação de alguns subconjuntosde R, determinados por uma desigualdade.Exemplos:I) Números rea...
II)    B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2} = ]1,2]                             1   2III) C x R2 x 0 [ , [      { / ≤ }−     = ∈− < = ...
Tente fazer sozinho!Analise a reta abaixo e faça o que se pede:          -2,6            6a) Escreva o subconjunto de   A ...
Soluçãoa) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5}c) Infinitos.
Que símbolos usamos para           relacionar um elemento              com um conjunto?     pertence ∈ ou não-pertence ∉  ...
Que símbolos usamos para              relacionar um conjunto               com outro conjunto?   Contém   ⊃              ...
Tente fazer sozinho!Quais afirmativas são verdadeiras?  a)0,25 ∈ Q  b)0,2555... ∉ Q  c) Z ⊄ Q             Respostas:      ...
O que é união de                conjuntos?  É a soma de conjuntos. É indicada pelosímbolo U.Exemplos:I) Sendo A = {3,4,5} ...
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].   A              -5                      6   B         -6                  4A U B      ...
O que é interseção de                 conjuntos?  É o subconjunto que representa todos oselementos que pertencem a todos o...
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].  A             -5                         6  B        -6                   4A∩ B       ...
Tente fazer sozinho!(UFS-SE) Considere os conjuntos:     A = { x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6}      B = { x ∈ R / 1 ≤ x < ...
Solução  A        1            3   4       6  B        1            3       5  C              2          4A U B        1  ...
Como representamos a            diferença entre conjuntos? Excluindo do primeiro todos os elementosdo segundo.Exemplos:I) ...
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].  A              -5                     6  B         -6                 4A -B           ...
O que é conjunto                 complementar?  É a diferença entre um conjunto e umsubconjunto dele.            Pode ser ...
II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[.  A                 -1                    4  B                      0         2 C AB     ...
Tente fazer sozinho!1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B e C  na figura abaixo, a região pintada  representa: a )B − (...
Soluçãoa)   b)c)   d)      Resposta: E
2)(Cesgranrio − RJ )Se A = { x ∈ R / x < 1} ,   B = { x ∈ R / − 1 < x ≤ 3} e    C = { x ∈ R / x ≥ 0} ,então o conjunto que...
Solução        A                         1        B                -1             3        C                     0     A∩ ...
3) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados  consumidores sobre suas preferências em relação aos  produtos A e B. Os ...
Solução    A                         B        200    110      110       510200 + 110 + 110 + 510 = 930        930 : 10 = 93
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  1. 1. Conjuntos Numéricos
  2. 2. Ao final dessa aula você saberá: O que é um conjunto e suas representações Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z, Q e R. Tudo sobre o conjunto dos números reais Representações por intervalo e as operações de união, interseção e conjunto complementar.
  3. 3. O que é conjunto? Exemplos: { a,b,c,d,e} {1,2,3,4,5,6,7,8} {laranja, banana, maçã} É uma coleção de qualquer coisa.
  4. 4. Como representamos os conjuntos?a) Entre chaves (enumeração) A = {0,1,2,3,4,5}b) Pelo diagrama A 0. 2. 1. 4. 3. 5.
  5. 5. O que é conjunto vazio? É um conjunto sem elementos.Como representamos o conjunto vazio?∅ { }
  6. 6. O que é conjunto unitário? É o conjunto que só apresenta um elemento. Atenção! O conjuntoExemplos: { ∅ } é um conjunto A = {3} unitário. B . 19
  7. 7. O que é subconjunto? É um conjunto que está contido em outro.Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} , então B é um subconjunto de A O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
  8. 8. Como calculamos a quantidade de subconjuntos de um conjunto? Basta efetuar a conta o 2n, sendo n iguala quantidade de elementos do conjunto.Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então o número de subconjuntos de A é: 2n = 24 = 16 subconjuntos.
  9. 9. Qual é a representação do conjunto dos números naturais? N = {0,1,2,3,4,5,...}E a representação do conjunto dos números inteiros? Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} O conjunto N é um subconjunto de Z.
  10. 10. Quais são os subconjuntos notáveis de Z?Ζ * é o conjunto dos números inteiros sem o zero. Ζ = {...,−3,−2,−1,1,2,3,...} *Ζ + é o conjunto dos números inteiros não-negativos. Ζ + = { 0,1,2,3,...}Ζ− é o conjunto dos números inteiros não-positivos. Ζ − = {...,−3,−2,−1,0}Ζ * + é o conjunto dos números inteiros positivos. Ζ* = {1,2,3,...} +Ζ * − é o conjunto dos números inteiros negativos. Ζ = {...,−3,−2,−1} * _
  11. 11. E o conjunto dos números racionais? É o conjunto dos números que podemser escritos sob forma de fração. É representado por Q e também incluias dízimas. Os conjuntos N Q e Z são Z subconjuntos N de Q.
  12. 12. Você já percebeu que: Entre dois números inteiros existem infinitosnúmeros racionais? 3 4 ...;3,00001;...;3;...    ,999 inf initos O conjunto Q também apresenta os subconjuntos notáveis: * * Q*, Q+ , Q , Q− e Q + −
  13. 13. Quais os elementos do conjunto dos números irracionais? São números decimais infinitos, que nãosão periódicos. É representado por I. O conjunto RExemplos:  0,1234... também  2 = 1,414213... apresenta os subconjuntos  π = 3,1416... notáveis! Q I Z N
  14. 14. E o conjunto dos números reais?É a união do conjunto Q com o conjunto I. R Q I Z N A reta numérica, agora, é chamada de reta real!
  15. 15. O que é intervalo? É a representação de alguns subconjuntosde R, determinados por uma desigualdade.Exemplos:I) Números reais maiores que -1 e menores que 4, ou seja, {x ∈ R / − 1 ≤ x ≤ 4} -1 4 Representação por intervalo: [1,4]
  16. 16. II) B = { x ∈ R / 1 < x ≤ 2} = ]1,2] 1 2III) C x R2 x 0 [ , [ { / ≤ }− = ∈− < = 2 0 -2 0IV) D = { x ∈ R / − 3 < x < 3} = ] − 3,3[ -3 3 E = { x ∈ R / x ≥ 1} = [1,+∞[V) 1 F = { x ∈ R / x ≤ 5} = ] − ∞,5]VI) 5
  17. 17. Tente fazer sozinho!Analise a reta abaixo e faça o que se pede: -2,6 6a) Escreva o subconjunto de A formado pelos números inteiros.b) Escreva o subconjunto de A formado pelos números naturais.c) Quantos elementos tem o conjunto A?
  18. 18. Soluçãoa) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5}c) Infinitos.
  19. 19. Que símbolos usamos para relacionar um elemento com um conjunto? pertence ∈ ou não-pertence ∉ Exemplos: Sendo o conjunto A = {a,b,c}, podemosdizer que:  a ∈A  c ∈A  d ∉A
  20. 20. Que símbolos usamos para relacionar um conjunto com outro conjunto? Contém ⊃ Se liga! Contém começa Não contém ⊃ com c, mas quem fica com ele é o ⊂ está contido. Está contido Não está contido ⊄
  21. 21. Tente fazer sozinho!Quais afirmativas são verdadeiras? a)0,25 ∈ Q b)0,2555... ∉ Q c) Z ⊄ Q Respostas: A, D e E. d )N ⊄ Q * 2 e) − ∉ Z 3
  22. 22. O que é união de conjuntos? É a soma de conjuntos. É indicada pelosímbolo U.Exemplos:I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}. A U B = {3,4,5,6,7}
  23. 23. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. A -5 6 B -6 4A U B -6 6 AUB = ] − 6,6[ AUB = { x ∈ R / − 6 < x < 6}
  24. 24. O que é interseção de conjuntos? É o subconjunto que representa todos oselementos que pertencem a todos osconjuntos dados.Exemplos:I) A = conjunto dos números naturais B = conjunto dos números inteiros A∩ B = A
  25. 25. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. A -5 6 B -6 4A∩ B -5 4 A ∩ B = ] − 5,4] A ∩ B = { x ∈ R / − 5 < x ≤ 4}
  26. 26. Tente fazer sozinho!(UFS-SE) Considere os conjuntos: A = { x ∈ R / 1 < x ≤ 3 ou 4 ≤ x ≤ 6} B = { x ∈ R / 1 ≤ x < 5 e x ≠ 3} C = { x ∈ R / 2 < x ≤ 4}Para analisar as afirmações que se seguem: a )B ⊃ C b) A ∪ B = [1,6] c) A ∩ C = ] 2,3]
  27. 27. Solução A 1 3 4 6 B 1 3 5 C 2 4A U B 1 6A∩C 2 3 4 a )B ⊃ C F b) A ∪ B = [1,6] V c) A ∩ C = ] 2,3] F
  28. 28. Como representamos a diferença entre conjuntos? Excluindo do primeiro todos os elementosdo segundo.Exemplos:I) Sendo A = {0,1,2,3,4,5,...} e B = {20,21,22}.A – B={0,1,2,3,...,19} U {23,24,...} Ou A – B = N - B
  29. 29. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. A -5 6 B -6 4A -B 4 6 A − B = ] 4,6[ A − B = { x ∈ R / 4 < x < 6}
  30. 30. O que é conjunto complementar? É a diferença entre um conjunto e umsubconjunto dele. Pode ser representado pelos seguintes símbolos: C ou A − B B AExemplos:I) Sendo A = {0,1,2} e B = {2}. CAB = {0,1}
  31. 31. II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[. A -1 4 B 0 2 C AB -1 0 2 6 C = [ − 1,0] ∪ [ 2,6] B A C = { x ∈ R / − 1 ≤ x ≤ 0 ou 2 ≤ x ≤ 6} B A O complemento de um conjunto A é a diferença entre o conjunto Universo e o conjunto A. Éindicado pelos seguintes símbolos: C , A , U − A, A A U
  32. 32. Tente fazer sozinho!1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B e C na figura abaixo, a região pintada representa: a )B − ( A − C ) b) B ∩ ( A − C ) c) B ∪ ( A ∩ C ) d )B ∩ ( A ∪ C) e) B − ( A ∪ C )
  33. 33. Soluçãoa) b)c) d) Resposta: E
  34. 34. 2)(Cesgranrio − RJ )Se A = { x ∈ R / x < 1} , B = { x ∈ R / − 1 < x ≤ 3} e C = { x ∈ R / x ≥ 0} ,então o conjunto que representa ( A ∩ B ) − C é :a ){ x ∈ R / − 1 < x < 0}b){ x ∈ R / − 1 < x ≤ 0}c){ x ∈ R / − 1 < x < 1}d ){ x ∈ R / x ≤ 3}e){ x ∈ R / x > −1}
  35. 35. Solução A 1 B -1 3 C 0 A∩ B -1 1( A ∩ B) − C -1 0 Resposta: A
  36. 36. 3) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que:• 310 pessoas compraram o produto A• 220 pessoas compraram o produto B• 110 pessoas compraram os produtos A e B• 510 pessoas não compraram nenhum dos dois Indique o número de consumidores
  37. 37. Solução A B 200 110 110 510200 + 110 + 110 + 510 = 930 930 : 10 = 93

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