Ejercicios matematica II

1. Facultad de Ingeniería Matemática II
Guia de Teoría y Práctica
Matemática I
Semana Nº 9
APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES
AREA BAJO UNA CURVA
y = f (x)
1.5 2 2.5 3 3.5 4
4
3
2
1
a A(R) b
Si f (x) ³0 en [ a , b, ] entonces
òb
a
Veamos algunos ejemplos para entender mejor estos nuevos conceptos.
Ejemplo1.
Obtener el área limitada por la gráfica de f (x) =6 -x -x2 con el eje x
Solución
6
5
4
3
2
1
-3 -2 -1 1 2
1
f (x)dx es igual al área de la gráfica de
f en [ a , b, ]
Ver fig.
Primero veremos los límites de integración
x2 +x -6 =0«(x -2)(x +3) =0
por lo tanto x = 2; x = -3.
Como: 6 - x - x2 ³ 0 "xÎ[ -3,2] , entonces podemos
aplicar nuestra definición

2. Facultad de Ingeniería Matemática II
Es decir:
2 2 3 2
A x x dx x x x
= ò (6 - - 2
) = 6
- -
2 3
- -
3 3
Por lo tanto A(R) =125 / 6
Ejemplo2.
Obtener el área limitada por la gráfica de f (x) =senx , el eje x con x =0 , x =p
Solución
0.5 1 1.5 2 2.5 3
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Podemos ver que los límites de
integración son a =0 , b =p , además
senx ³0 , xÎ[ 0 ,p ]
entonces: =ò =- ]
Por lo tanto A(R) =2
p p
0 0 A(R) senxdx cos x
=-(cosp -cos0) =2
Una aplicación muy importante de la integral definida lo constituye el encontrar el área de la región
comprendida entre dos curvas. Para esto consideraremos lo siguiente.
Sean f y g , funciones continuas en [ a , b, ] y además f (x) ³g(x) si xÎ[ a , b ] ,
b
a
b
a
entonces ò ³ò
f (x)dx g(x)dx .
Geométricamente podemos observar que:
2.5 3 3.5 4 4.5
25
20
15
10
5
a b
Ejemplo1.
Hallar el área limitada por las curvas:
y =2 -x2 , y y = x
Solución
2
b
a
Þ =ò -
A(R) ( f (x) g(x))dx

3. Facultad de Ingeniería Matemática II
El área de la región estará dada por:
Encontraremos en primer lugar los límites
de integración:
Es decir 2 -x2 =x Þx2 +x -2 =0
(x +2)(x -1) =0
entonces se tiene que a =-2, b =1
además 2 -x2 ³x , xÎ[ -2 ,1 ]
1
2
2 3 / 3 2 / 2
1
2
( ) (2 2 ) ( )
- úû ù
êë é
= - -
û ë ù
é
- êúA R =ò -x - x dx x x x
= - - - - + -
(2 1/ 3 1/ 2) ( 4 8 / 3 2)
=
9
3
Por lo tanto A(R) =9 / 3
Ejemplo 2.
y =-x2 +10 y 2
9
x
y =
Solución
Encontraremos en primer lugar los límites
de integración:
2 10 9
- x + = , resolviendo tenemos:
9
x
entonces tomaremos a=1 , b=3 y ademas como-x2 +10 ³ 2
, el área de la región será:
3
] ]3
1
10 9
ò -x + - = - + +
3
[
3
[ ( 2 10) 9
1 2
x
dx x x
x
= - + + - - + +
( 9 30 3) ( 1/ 3 10 9)
=
16 / 3
Por lo tanto A(R) =2(16 / 3) =32 / 3
Ejemplo 3.
f (x) =3x3 -x2 -10x y y =-x2 +2x
3
2
x
-(x2 -9)(x2 -1) =0 Þx =±1,±3
Solamente calcularemos el área en el primer
cuadrante

4. Facultad de Ingeniería Matemática II
Solución
Encontremos los límites de integración
3x3 -x2 -10x =-x2 +2x , resolviendo
tenemos: 3x(x2 -4) =0 . Luego las
gráficas se cortan en los puntos x =0 ,
x =±2 .
En la gráfica nos damos cuenta que no
siempre la misma función es mayor que
la otra en todo su dominio, por eso
tomaremos dos regiones a integrar.
] ]
ò ò
A R x x x x x dx x x x x x dx
=
ò ò
] ]
x x dx x x dx
3 4 [
] ]
3 4 [
+ - +
-
= -
(12 24) ( 12 24) 24
2
0
6 2
4
0
2
6 2
4
3 3 12 )
0
2
3 3 12 ) [ (
0
2
[ (
3 3 2 10 )
2
0
3 3 2 10 ) ( 2 2 ) [ ( 2 2 ) (
0
2
( ) [ (
=- - + - + =
- +
-
- +
-
=
- - - - + + - + - - -
-
x x x x
Por lo tanto A(R) =24
Ejercicios Propuestos
Dibuja un esbozo de la región limitada por las gráficas de las funciones dadas y calcular su área
01
1) f (x) =x2 -4x , g(x) =0 2) f (x) =3-2x -x2 , g(x) =0
3) f (x) =x2 +2x +1, g(x) =3x +3 4) f (x) =-x2 +4x +2 , g(x) = x +2
5) f (x) =3x2 +2x , g(x) =8 6) f (x) =x2 +5x -6 , g(x) =6x -6
02
1) f (x) =x(x2 -3x +3) , g(x) =x2 2) f (x) =x4 -2x2 , g(x) =x2
3) f (x) =x3 -2x +1, g(x) -2x , x =1 4) f (x) =-x2 +2x +3 , g(x) =-x +3 , x=0,
x=2
5) f (x) =9 -x2 , g(x) =2x +3 ,x=-1, x=1 6) f (x) =x2 , g(x) =1/ x2 , x=1, x=2
VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DEL DISCO
Definición. Sea f (x) continua en [ a,b] y sea R la región acotada por la gráfica de f (x) , el eje x y
las rectas verticales x = a, x = b . El volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor
del eje x esta dado por:
n
å ò ®¥ =
V = Lim f x D x =
f x dx
k
b
a
n k k
1
p 2 ( ) p 2 ( )
4

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Geométricamente.
En genera para una función arbitraria l se vería de la siguiente forma.
Ejemplo 01. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y =x2 y las rectas. x =0, x =1
Solución
Gráficamente tenemos.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Aplicando en nuestra formula se tiene:
2 ( )
b
V =p ò f x dx
a
donde a =0, b =1 , se tiene:
1 5 2 2 1 3
V x =p x dx =p x dx = p u ò
0
( ) ( ) ( )
0
5 5
Ejemplo 02- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y = x y las rectas. x =1, x = 4
Solución
Gráficamente tenemos.
5

6. Facultad de Ingeniería Matemática II
Aplicando en nuestra formula se tiene:
b
V p f 2 (x)dx
= ò
a
donde a = 1, b = 4 , se tiene:
4 2 2 4 3
V ( x ) =p ò
( x ) dx =p ( x ) dx = 15
p u 1
1
2 2
Ejemplo 03- Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x la región acotada por
y = 2 - x y las rectas. x = 0, y = 0
Solución
Gráficamente tenemos.
Aplicando en nuestra formula se tiene:
2 ( )
b
V =p ò f x dx
a
donde a = 0, b = 2 , se tiene:
2
V ( x ) =p 8
p ò (2 - x ) dx = u
2 3
0
3
METODO DEL DISCO O DE LAS ARANDELAS.
6

7. Facultad de Ingeniería Matemática II
Definición. Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en [ a , b ] y sea R una región acotada
por las gráficas de las funciones f (x) y g(x) , el eje x y las rectas verticales x = a, x = b . El
volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor del eje x esta dado por:
V =òp f x -g x dx
Geométricamente
Que girando al eje x se tendría.
Ejemplo 04. Hallar el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje x , la región acotada por
y = x y y = x
Solución
Calcularemos los límites de integración.
2 0
x x x x
x x x x
1
0.8
0.6
0.4
= Þ - =
Þ ( - 1) = 0 Þ = 0 Ú =
1
Entonces nuestros límites de integración son a = 0 y a=1.
Reemplazando en nuestra formula se tiene.
( 2 ( ) 2 ( ) )
b
V = òp f x - g x dx =
a
1
2 2
V = òp ( ( x) - x ) )dx
0
1 2 3 2 1
= ò - = - =
0
V p x x dx p
x x
0
( ) ) ( )
3
2 3
( 1 1 )
2 3 6
u
p - =
p
( 2 ( ) 2 ( ) )
b
a
7
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2

8. Facultad de Ingeniería Matemática II
Teorema. Sean f (x) y g(x) funciones continuas en [ a , b ] y sea R una región acotada por
las gráficas de las funciones f (x) y g(x) , el eje x y las rectas verticales x = a, x = b . El
volumen del sólido de revolución generado al girar R alrededor de la recta y = c esta dado por:
( ( ) )2 ( ( ) )2 )
b
V =òp f x -c - g x -c dx
a
Ejemplo 02
Hallar el sólido de revolución generado al rotar al región formada por la grafica de las curvas:
f (x) = x y g(x) =x , alrededor de la recta y =-1
Solución
En nuestro caso tenemos que c =-1
Gráficamente.
Aplicando nuestra formula tenemos:
1 1
2 2 2
V = òp ( x +1 ) -( x +1) )dx =p ò ( 2 x - x - x ) dx
0 0
2/3 2 3 1
æ ö æ ö = çç - - ¸¸ = ç - - ¸ è ø è ø
V p x x x p
4 4 1 1
3 2 3 3 2 3
0
3
V =p u
3
1
0.8
0.6
0.4
MÉTODO DE LAS CORTEZA CILINDRICA
Definición. Sea f (x) continua y no negativa en [ a , b ] para 0 £ a < b , el volumen V del sólido
de revolución generado al girar la región acotada por la gráfica de f , el eje x y las rectas
x = a, x = b , alrededor del eje y esta dado por :
Gráficamente se observa lo siguiente:
V 2p x f (x) dx
8
b
= ò
a
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2

9. Facultad de Ingeniería Matemática II
Ejemplo03.
Demostrar empleando el método de la corteza cilíndrica, que el volumen de un cono de altura h y con
radio r está dado por:V =pr 2h / 3
Solución
Para comenzar, observemos que este cono puede ser visto como el sólido que se produce al hacer girar,
alrededor del eje y, la región triangular cuyos vértices son:
(0,0), (r,0) y (0,h), donde h y r son números reales positivos.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (r,0) y (0,h) está dada por: y =(-h / r)x + h
Puesto que su pendiente es m = − h/r y su intercepto con el eje y es el punto (0,h).
Ahora bien, para aplicar el método que nos ocupa tendremos:
= ò - + = ò - + ) = 2 ò ( - 1 2
=
1
p p p
2 2 1
ö çè
r r h
) 2 ( 1 1
r
3
r
2
é
r x x
dx
r
x
r
dx h x
r
x
r
dx h x
r
x h
V x h
r
2
3
6
ù
0
3
= -
2
2
)
0
0
2 (
0
p p p
= ÷ø
= æ
ú ú
û
ê ê
ë
Ejemplo 04
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar, alrededor del eje y, la región que
está delimitada por la parábola y =-x2 +4x -3 , por la cúbica y =x3 -6x2 +12x -5 y por las
verticales x = 1 y x = 3.
Solución
Gráficamente tenemos.
9

10. Facultad de Ingeniería Matemática II
En este caso tenemos dos funciones, calculemos entonces:
. g(x) - f (x) =x3 -5x2 +8x -2 , para de ese modo calcular la altura de
las cortezas cilíndricas.
Por lo tanto, el volumen de este sólido de revolución está dado por la integral
3 3
( ) ( 3 2
)
( )
ò ò
ò
x g x f x dx x x x x dx
p p
- = - + -
2 ( ) ( ) 2 5 8 2
1 1
3 5 4 3 3
é ù
x x x x dx x x x x
2 5 8 2 2 5 8
4 3 2 2
= - + - = ê - + - ú
5 4 3
p p
ë û
1 1
p p
12 5 75 4 160 3 60 2 3
292 .
= éë x - x + x - x
ùû =
30 1
15
Teorema.
El volumen V del sólido de revolución generado al rotarla región limitada por las gráficas de las
funciones y = f (x) y y =g(x) , desde x = a hasta x =b , alrededor de la recta x = c ; donde
cÏ[ a , b ] , y además f (x) ³g(x) para xÎ[ a , b ] es igual a:
= ò - - ]
V 2p x c [ f (x) g(x) dx
Ejemplo 05.
Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor de la recta vertical x = 1,
la región que está comprendida entre el eje x, las rectas verticales x =2 , x =3 , y la curva:
y =2 - x2 -2x
Solución
Gráficamente tenemos.
10
b
a

11. Facultad de Ingeniería Matemática II
Reemplazamos nuestros dados a =2 , b =3 , c =1, se tiene en nuestro caso que nuestro radios de
l a s c o r t e z a s c i l í n d r i c a s formados ahora son (x-1) y reemplazando en nuestra formula se tiene.
( ) 3
V = ò 2p (x -1) 2 - x 2
- 2x dx
2
Esta integral puede descomponer en dos integrales, así:
3 3
V = 4p ò (x -1) dx - 2p ò (x -1) x - 2x dx
La primera integral no tiene problema. Para evaluar la segunda podemos hacer la sustitución
u = x2 - 2x , por lo cual du = (2x - 2)dx y, respecto de los límites de integración, si x = 2, entonces
u = 0 y si x = 3, entonces u = 3. Luego.
3 3
V = 4p ò(x -1)dx - 2òu 1/ 2
du
2 0
2 3 3
é ù V = 4 p x ê - x ú - 2 é 2
u
3/ 2
ù ë 2 û ë ê 3
ú û
V = (6 - 2 3)p u3
2 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS 1
I- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje x
1) y =-x +1 2) y =4 -x2 3) y = x , x=1 4)
y =x2 5) y =x2 , y =x3 6) y =2 , y =4 -x2 / 2
7) y =x 4 -x2 , y =0 8) y =x2, y =4 -x2 9)
y =6 -2x -x2, y =x +6
II- Calcúlese el volumen del sólido generado al girar la región dada en torno al eje y
1) y =2 , y =x2 2) y = 16-x2 , x =0 , y =0 3) y =x2 / 3, x =0, y =1
4) y =x, y =0, x =2 5) y =x2, y =4 -x2 6) y =4-x2, y =0
III.- Calcule el volumen engendrado por la función y = sin x , entre x =0 , y x = p
· Al girar alrededor del eje x
· Al girar alrededor del eje la recta y =-1
2
2 2
11

12. Facultad de Ingeniería Matemática II
IV- Calcular el volumen del área plana comprendida entre y =-x2 -3x +6 y y =3-x
engendrado al girar:
· Alrededor de x = 3
· Alrededor del eje x
V. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor del eje y del área plana comprendida
- 2 = , y =0 , x =0 , x =1
entre y e x
EJERCICIOS 2
I. Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por : y =x3 -6x2 +8x ,
y =x2 -4x , x =0 , x =4 , alrededor de:
· La recta y =4
· La recta x =4
II. Calcular el volumen engendrado por la revolución alrededor de la recta y =16 del área plana
comprendida entre y =4x2 ; x =0 ; y =16 .
III. Hallar el volumen del sólido generado al rotar y = x3 y y = 2x - x2 , alrededor de la recta y = 1
12