道路ネットワークのための経路探索アルゴリズムの最新動向を紹介する．道路ネットワークの主要な特徴であるLow highway dimensionと，Contraction Hierarchies，Hub labeling，Pruned Highway Labelingの3つのアルゴリズムを説明する．

1. 道路網における経路探索のための
前処理データ構造
小池 敦
1
June 6, 2015

2. 経路探索の変化
テレマティクス
テレマティクスによる次世代カーナビ
• 携帯電話無線通信を活用したナビゲーションサービス
• スマートフォンの普及とともに重要になっている
※1 Honda インターナビ・ルート http://www.honda.co.jp/internavi/service/internaviroute/
2
スタンドアローン
テレマティクス
経路計算
• クライアント側
• サーバ側
メモリ
• 小容量
• 大容量
ストレージ
• 小容量
• 静的なデータのみ
• 大容量
• リアルタイムデータ※1
• 交通渋滞
• 規制による通行止め
テレマティクス向けの経路探索エンジンを開発したい

3. 経路コストの高精度な見積もり
経路探索の課題
3
• リンク旅行時間は時間により変化する
• 早い経路と安い経路，どちらがいい？
• ユーザごとの時間価値
（1時間節約のために何円払う？）
高速アルゴリズム
• ユーザの待ち時間を削減
• アプリがより多くの経路探索を行える
• 地点検索結果に所要時間をつける
• 動的に経路を編集する
今日はこちら
企業では主にこちら

4. 今日扱う経路探索問題
入力
• 無向グラフ G = (V, E) (一般的には道路網は有向グラフ)
• |V| = n,
• 各辺は1以上のコストを持つ
（一般的には非負）
• 出発地ノード s，目的地ノード t
4
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t
出力
• s-t 最短路(辺コストの総和が最小となるs-t パス)のコスト
• パスの出力については(今日は)扱わない

5. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法
• 今日でも広く使用されている
• マッチ棒上を火が伝播していく様子をシミュレーションする
5
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t
秒
イベント
0
10
20
30
40
50

6. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法
• 今日でも広く使用されている
• マッチ棒上を火が伝播していく様子をシミュレーションする
6
秒
イベント
0
①に着火
10
③に火が到達
20
30
②に火が到達
40
50
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t

7. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法
• 今日でも広く使用されている
• マッチ棒上を火が伝播していく様子をシミュレーションする
7
秒
イベント
0
①に着火
10
③に火が到達
20
②に火が到達
30
②に火が到達
40
50
④に火が到達
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t

8. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法
• 今日でも広く使用されている
• マッチ棒上を火が伝播していく様子をシミュレーションする
8
秒
イベント
0
①に着火
10
③に火が到達
20
②に火が到達
30
②に火が到達
40
④に火が到達
50
④に火が到達
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t

9. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法
• 今日でも広く使用されている
• マッチ棒上を火が伝播していく様子をシミュレーションする
9
秒
イベント
0
①に着火
10
③に火が到達
20
②に火が到達
30
②に火が到達
40
④に火が到達
50
④に火が到達
2
1
3
4
10
s 10
2030
40
t

10. 経路探索問題に対する基本アルゴリズム
ダイクストラ法の計算時間
• リンク管理（イベントテーブル）にヒープを使用： O(m log n) ( m = |E| )
• ヒープの代わりにフィボナッチヒープを使用：O(m + n log n)
• リンクコストが定数上限付きの整数値： linear expected time (mに関して)
[Goldberg08]
→ “Almost linear time”
10
秒
イベント
0
①に着火
10
③に火が到達
20
②に火が到達
30
②に火が到達
40
④に火が到達
50
④に火が到達

11. 今日の話
11
道路ネットワーク上で，所要時間をコストとした場合に特化した
経路探索アルゴリズムを紹介する
複雑ネットワーク
道路ネットワーク（コスト：所要時間）
• スケールフリー
• スモールワールド
• クラスタ性
• 定数次数ノード
各ノードは高々定数個の辺と接続する
|E| = O( |V| )
• Low Highway Dimension
[AFGW10]
O mlogn( )
O m + nlogn( )
!
"
#
$#
⇒ O nlogn( )
ヒープ
フィボナッチヒープ

12. 経路探索高速化のための基本アイデア
前処理データ
• 経路探索クエリを高速化するための前処理データをあらかじめ作成しておく
• 主なアルゴリズム
1. 階層化ネットワーク（スタンドアローンカーナビでも使用される）
• 出発地から離れたら上位道路のみからなるネットワークを使用する
• Customizable Route Planning [DGPW11]
2. Contraction Hierarchies [GSSD08]
3. Hub labeling [ADGW11]
4. Pruned Highway Labeling [AIKK14]
12
テレマティクスでは前処理データの
サイズは大きくてもよい
前処理
今日は2,3,4を説明する

13. [BDGMPSWW15] Route Planning in Transportation Networks. http://arxiv.org/abs/1504.05140v1
13
0.1 1 10 100 1,000 10,000
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
1,000
Arc Flags
HH
HH*
SHARC
TNR with Arc Flags
HPML
CH
CCH
(customization)
TNR
HLC
CRP
Table Lookup
(PHAST)
Dijkstra’s Algorithm
Bidirectional Search
(customization)
(customization)
ALT
(customization)
CHASE
Hub Labels
Reach
REAL ReachFlags
HNR
CALT
Preprocessing time [min]
Querytime[ms]
Figure 7. Preprocessing and average query time performance for algorithms with available
experimental data on the road network of Western Europe, using travel times as edge weights.
Connecting lines indicate di erent trade-o s for the same algorithm. The figure is inspired by [238].

14. [BDGMPSWW15] Route Planning in Transportation Networks. http://arxiv.org/abs/1504.05140v1
14
Table 1. Performance of various speedup techniques on Western Europe. Column source indicates
the implementation tested for this survey.
data structures queries
impl. space time scanned time
algorithm source [GiB] [h:m] vertices [µs]
Dijkstra [75] 0.4 – 9 326 696 2 195 080
Bidir. Dijkstra [75] 0.4 – 4 914 804 1 205 660
CRP [77] 0.9 1:00 2 766 1 650
Arc Flags [75] 0.6 0:20 2 646 408
CH [77] 0.4 0:05 280 110
CHASE [75] 0.6 0:30 28 5.76
HLC [82] 1.8 0:50 – 2.55
TNR [15] 2.5 0:22 – 2.09
TNR+AF [40] 5.4 1:24 – 0.70
HL [82] 18.8 0:37 – 0.56
HL-Π[5] 17.7 60:00 Р0.25
table lookup [75] 1 208 358.7 145:30 – 0.06
with existing approaches.

15. Contraction Hierarchy
基本的なアイデア
• 多くの最短経路は出発地，目的地から遠ざかるとレベルの高い道路（国道，
高速道路）を通る
15
生活道路
国道
高速道路
s
t
• でも，例外もあるのでは？
国道
生活道路
高速道路
⇒ 道路網にショートカットリンクを追加する
国道
生活道路
高速道路
⇒ レベルの高い道路に向かう方向にしか探索しないことにする（s,tの両側から）

16. Contraction Hierarchy
ショートカットの追加
• 全ノードをレベル順に並び替えたのち，レベルの低いノードから順に下記を行う
（ノードのレベル付けはヒューリスティクスを使う）
16
低レベルノード
3
4
5
8
7
9
ショートカット追加
（低レベルノードを経由しなくても
経路コストが変化しないようにする）

17. Contraction Hierarchy: 例
(ショートカット追加)
17
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
ノードのレベル付け

18. Contraction Hierarchy: 例
(ショートカット追加)
18
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
ショートカット追加
2
2

19. Contraction Hierarchy: 例
(ショートカット追加)
19
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
注： アルゴリズムの正当性はノードレベルのつけ方に依存しない
2
3
4
5
6

20. Low Highway Dimension
直感的な説明
20
出発地:
北海道
目的地:
九州
北海道から九州へのすべての最短経路は
北陸自動車道を通る
v
⇒ すべてのノードがvまでのコストを覚えておく
ことで北海道-九州間の経路コストを高速に
計算できる
v: hub node

21. Low Highway Dimension
直感的な説明
21
出発地:
東北
目的地:
関西
東北から関西へのすべての最短経路は
以下のいずれかを通る
• 北陸自動車道 : v1
• 新東名自動車道 : v2
• 中央自動車道 : v3
⇒ すべてのノードがv1〜v3までのコストを
覚えておくことで東北-関西間の経路コストを
高速に計算できる
v1, v2, v3: hub nodes
Hub nodeの数は少ない
⇒ Low Highway dimension

22. Highway Dimension
定義
• 以下を満たす最小のh をグラフ G=(V, E) の highway dimensionという
• 以下のような（hub）集合 が存在する
•
•
22
∀r > 0 ∀v ∈ V, H ⊆ V
H ≤ h
∀P ∈ Sr v( ), H ∩P ≠ ∅
準備
• Br(v): v からコストr 以下で到達可能なノードの集合
• Sr(v): B2r(v) を通過するすべての最短経路のうち経路長r以上のものの集合
v
2r
r
r
r
各ノードが保持するhubノード⇒ラベル
B2r(v)

23. Hub Labeling
23
前処理データ
各ノードvは以下の性質を満たすようにラベル集合L(v)を持つ（パスコストも保持）
s
L(s)
L(t)
t
∀s,t ∃w,
wが s-t 最短経路上にある
前処理データが満たすべき性質
経路探索クエリ
( ) ( ){ })(),(,,min tLvsLvtvdvsd ∈∈+• 最短経路コスト =
w ∈ L(s), w ∈ L(t), and
Low highway dimensionを活かした
高速経路探索アルゴリズム
計算時間:
O( |L(s)| + |L(t)| )

24. Hub Labeling: ラベル数の考察
24
r-shortest path cover (r-SPC)
• 以下のようなノード集合 C をグラフの r-shortest path cover (r-SPC)と言う
• 経路長 r 以上の任意の最短経路 P に対し，C∩P ≠ ∅
定理
グラフのhighway dimension が h の時，
任意の v に対し
となるような r-SPC Cが存在する
C∩B2r v( ) ≤ h
• 略証： 頂点数最小のr-SPCが上記条件を満たすことを背理法で示す
• あるノード u において， とする．
• HDが h なので，上記ノード集合がカバーする経路集合を h 以下の
ノード集合 H でカバーできる
• を H で置き換えると，r-SPCのノード数が減少する．⇒矛盾
C∩B2r u( ) > h
C∩B2r u( )

25. Hub Labeling: ラベル数の考察
25
r-SPCによるhubラベル算出
• v を始点とする経路長 r以上2r以下の最短経路 P を考える (P: v→w)
• P は r-SPC Crでカバーされる
• P をカバーする(hub)ノード h は B2r(v) 中に存在する
• 同様に，B2r(w) 中にも h が存在する
• 各ノードが を保持すれば，
これらが経路長 r 以上 2r 以下の最短経路に対する hubラベルになる
•
Cr ∩B2r v( )
2r
1.5r
Cr ∩B2r v( ) ≤ h
w
v
B2r(v)
P

26. Hub Labeling: ラベル数の考察
26
1-SPC C1
コスト1以上2以下の
最短経路に対するラベル
2-SPC C2
4-SPC C4
※ D：グラフの直径
（最長最短パスのコスト）
ただし頂点数最小のSPCを求めるのはNP-hard
C1 ∩B2 v( )
各ノード v は
を保持する
O(log D)
個
・・・
（高々h個）
B2(v)
D/2-SPC
CD/2
B4(v)
B8(v)
BD(v)
コスト2以上4以下の
最短経路に対するラベル
C2 ∩B4 v( )を保持する
（高々h個）
コスト4以上8以下の
最短経路に対するラベル
C4 ∩B8 v( ) を保持する
（高々h個）
コストD/2以上D以下の
最短経路に対するラベル
CD/2 ∩BD v( )を保持する
（高々h個）
各ノードのラベル数合計： O(h log D)
・・・
・・・
⇒
⇒
⇒
⇒
Map

27. Hub Labeling: ラベル計算の実装
27
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
1
1
1
1
1
1
2
2
L(v1)
L(v2)
L(v3)
L(v4)
L(v5)
L(v6)
L(v7)
(v1,0)
(v2,1)
(v4,3)
(v2,0)
(v4,2)
(v2,1)
(v3,0)
(v4,1)
(v4,0)
(v4,1)
(v5,0)
(v6,1)
(v4,2)
(v6,0)
(v4,3)
(v6,1)
(v7,0)
1
1
1
1
1
1
各種枝刈り後
ノードごとのラベル数は
西欧州で平均8０程度
CHの上方向の探索ノードを
ラベルとする
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7

28. Pruned Highway Labeling
概要
• 長距離の最短経路は多くの経路が共通の道路を通る
• 例） 東北から九州に行く経路は北陸，中央，新東名のいずれかの高速
道路を通過する
⇒ノードごとに，使用する道路（高速道路;Highway）の集合を覚える
• 簡単な処理により前処理データを生成できる（クエリ応答時間はHLと同等）
• Pruned landmark labeling (PLL) [AIY13] をベースとする
28

29. Pruned Highway Labeling
29
Table 1: Comparison of the performance between pruned highway labeling and previous methods. HL is
parallelized to use 12 cores in preprocessing and all other methods are not parallelized.
USA Europe
Preprocessing Space Query Preprocessing Space Query
Method [h:m] [GB] [ns] [h:m] [GB] [ns]
CH [5] 0:27 0.5 130000 0:25 0.4 180000
TNR [5] 1:30 5.4 3000 1:52 3.7 3400
TNR+AF [5] 2:37 6.3 1700 3:49 5.7 1900
HL local [1] 2:24 22.7 627 2:39 20.1 572
HL global [1] 2:35 25.4 266 2:45 21.3 276
HL-15 local [2] - - - 0:05 18.8 556
HL-∞ global [2] - - - 6:12 17.7 254
HLC-15 [7] 0:53 2.9 2486 0:50 1.8 2554
PHL-1 0:29 16.4 941 0:34 14.9 1039
5.2 Contraction Technique In this subsection, we
introduce a new technique called the contraction tech-
nique. First, we consider a vertex v of degree one.
Any shortest path from v to another vertex passes
through its adjacent vertex w. Moreover, the vertex v
is never contained in shortest paths between other ver-
usage. Moreover, this also makes the query time faster
because we can reduce unnecessary comparisons when
the indexes do not match in two triples. For more ef-
ficient implementation, we use pointer arithmetic and
align arrays storing labels to cache line.
[AIKK14] Fast Shortest-path Distance Queries on Road Networks by Pruned Highway Labeling.
http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/1.9781611973198.14

30. Pruned Highway Labeling
30
グラフの最短パス分解
Path 3
Path 1
Path 2
入力グラフ
各パスは最短路
• 重要度順にIDを付ける
• 各パスの始点を決めておく
3
7
2
2
2
2
2
2
3
7
2
2
2
2
2
2
始点

31. Pruned Highway Labeling
31
前処理データ
• 集合中の各要素は３つ組の値を持つ
• パスID
• パス上の接続ノード(の端点からのコスト)
• パスまでのコスト
あるノード v が p 中に存在して，v が s-t 最短経路上にある
前処理データが満たすべき性質
s
L(s)
L(t)
t
∀s,t ∃p,
p ∈ L(s), p ∈ L(t),

32. Pruned Highway Labeling
32
経路探索クエリー
s
t
ds
d’s
d’t
dt
Min-cost = ds + |d’t – d’s| + dt
計算時間:
O( |L(s)| + |L(t)| )
s
L(s)
L(t)
t

33. Pruned Highway Labeling
33
前処理データの作成手順
Path p3
Path p1
Path p2
3
7
2
2
2
2
2
2
1. Path p1 の各ノードからダイクストラの拡散処理を行う
• 目的：Path p1 を通過するすべての経路のコストを保持する
• グラフの各ノードはPath p1 の各ノードまでのコストを保持する
• コストが他のラベルから計算できるならばラベルを追加しない
(p1,0,4)
(p1,2,5)
(p1,2,0)
(p1,0,0)
(p1,0,2)
(p1,2,3)
(p1,0,2)
(p1,2,2)
(p1,0,4)ラベルは不要
∵(p1,2,2)から計算できる
パスID
パスへの接続地点
（の始点からの距離）
接続地点までの距離

34. Pruned Highway Labeling
34
前処理データの作成手順
Path p3
Path p1
Path p2
3
7
2
2
2
2
2
2
2. Path p2 の各ノードからダイクストラの拡散処理を行う
• 目的：Path p2 を通過するすべての経路のコストを保持する
（ただし Path p1 を通過する経路は保持する必要なし）
(p1,0,4)
(p1,2,5)
(p2,0,0)
(p1,2,0)
(p1,0,0)
(p1,0,2)
(p1,2,3)
(p2,2,0)
(p1,0,2)
(p1,2,2)
(p2,0,7)ラベルは不要
∵p1 を経由する経路
のほうが短い
パスID
パスへの接続地点
（の始点からの距離）
接続地点までの距離

35. Pruned Highway Labeling
35
前処理データの作成手順
Path p3
Path p1
Path p2
3
7
2
2
2
2
2
2
3. Path p3 の各ノードからダイクストラの拡散処理を行う
• 目的：Path p3 を通過するすべての経路のコストを保持する
（ただし Path p1 ,p2 を通過する経路は保持する必要なし）
4. ラベル集合を辞書式順序でソート
(p1,0,4)
(p1,2,5)
(p2,0,0)
(p1,2,0)
(p1,0,0)
(p1,0,2)
(p1,2,3)
(p2,2,0)
(p1,0,2)
(p3,0,0)
(p1,2,2)
(p3,2,0)
パスID
パスへの接続地点
（の始点からの距離）
接続地点までの距離
⇒ 完成

36. 最後に
36
本発表のまとめ
• 近年，道路ネットワークの特性を活かした高速経路探索アルゴリズムが
多く提案されている
• 特性として，low highway dimension が特に注目されている
• Hub labeling アルゴリズムが最高速
• Hub labelingの拡張版として pruned highway labelingが提案されている
道路ネットワークの経路探索の今後の課題
• 時間依存経路探索：リンクコストが時間に依存する場合
• リアルタイム渋滞情報をリンクコストとして用いる探索とは異なる
⇒ 朝5時の出発時刻は全国的に空いていても，目的地に到着する頃
（例えば8時）は渋滞が発生しているかもしれない
• 公共交通網の時刻表を用いた経路探索も(exact solutionは)遅い
交通網（道路ネットワーク含む）経路探索に関する最新のサーベイ：
Bast et al. Route planning in transportation networks. [BDGMPSWW15]

37. References
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Time. SIAM Journal on Computing 37, 1637–1655 (2008)
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• [DGPW11] Daniel Delling , Andrew V. Goldberg , Thomas Pajor , Renato F. Werneck,
Customizable route planning, Proceedings of the 10th international conference on
Experimental algorithms, May 05-07, 2011, Crete, Greece.
• [GSSD08] Robert Geisberger , Peter Sanders , Dominik Schultes , Daniel Delling,
Contraction hierarchies: faster and simpler hierarchical routing in road networks,
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May 30-June 01, 2008, Provincetown, MA, USA.
• [ADGW11] Ittai Abraham , Daniel Delling , Andrew V. Goldberg , Renato F. Werneck, A
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international conference on Experimental algorithms, May 05-07, 2011, Crete, Greece.
• [AIKK14] Takuya Akiba, Yoichi Iwata, Ken-ichi Kawarabayashi, and Yuki Kawata. Fast
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Proceedings of the Sixteenth Workshop on Algorithm Engineering and Experiments
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• [Yoshida14] Yuichi Yoshida, Almost linear-time algorithms for adaptive betweenness
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conference on Knowledge discovery and data mining, August 24-27, 2014, New York,
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38