Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

5o επαναληπτικο διαγώνισμα

3.527 Aufrufe

Veröffentlicht am

Τελικό προσομοιωτικό διαγώνισμα

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

5o επαναληπτικο διαγώνισμα

  1. 1. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com [1] 5o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ln=f x x , * ∈ℝx είναι παραγωγίσιμη στο * ℝ και ισχύει: ( ) 1 ln ′ =x x 7 μονάδες Α2. Πότε μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [ ],α β ; 4 μονάδες Α3. Να γράψετε στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στη συνέχεια να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με ′f γνησίως αύξουσα στο ℝ. Αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο με τετμημένη 0 1=x έχει εξίσωση 2 1= −y x , τότε η ανισότητα ( ) 2 1> −f x x α. ισχύει για κάθε ∈ℝx β. ισχύει για κάθε { }1∈ −ℝx γ. ισχύει για κάθε ( ],1∈ −∞x δ. ισχύει για κάθε [ )1,∈ +∞x ε. είναι αδύνατη στο ℝ 4 μονάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε ∈ℝx ισχύει ότι >x xηµ β) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της, τότε δεν μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη στο 0x
  2. 2. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com [2] γ) Αν δύο μεταβλητά μεγέθη ,x y συνδέονται με τη σχέση ( )=y f x , όταν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο 0x την παράγωγο ( )0 ′f x δ) Αν για τη συνάρτηση f ισχύει το Θεώρημα Rolle στο διάστημα [ ],α β , τότε η γραφική της παράσταση έχει σε ένα τουλάχιστον σημείο οριζόντια εφαπτομένη ε) Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια ( ) 0 lim− →x x f x , ( ) 0 lim+ →x x f x ισούται με ∈ℓ ℝ , τότε η ευθεία 0=x x λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f 10 μονάδες ΘΕΜΑ B Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = x g x e και ( ) 1= +h x x B1. Να ορίσετε τη συνάρτηση =f g h 6 μονάδες Αν ( ) 1+ = x f x e , 1≥ −x , τότε: B2. Να βρείτε τη τιμή του πραγματικού αριθμού α ώστε συνάρτηση ( ) ( )1 1 1+ = ⋅ + −x F x e xα να είναι αρχική της συνάρτησης f 6 μονάδες Β3. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( ) 0 1− Ι = ∫ f x dx 6 μονάδες B4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφή της 1− f 7 μονάδες
  3. 3. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com [3] ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : →ℝ ℝf με συνεχή πρώτη παράγωγο, ( )1 =f e και τέτοια, ώστε να ισχύει ( ) 1 , 0 1 , 0  − ≠ ′ =   = x e x f x x x Γ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα 5 μονάδες Γ2. Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο 0 0=x (2 μονάδες) β) η f είναι κυρτή στο ℝ (5 μονάδες) 7 μονάδες Γ3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , την εφαπτομένη της στο σημείο ( )( )1, 1Μ f και την ευθεία 0=x 7 μονάδες Γ4. Να αποδείξετε ότι ( )lim →+∞ = +∞ x f x (3 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε το ( ) 2 ( ) 1 lim 2017→+∞ + +x x f x x (3 μονάδες) 6 μονάδες ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ): 0,+∞ → ℝf , για την οποία ισχύουν: ● ( ) ( ) ( ) 3 2 0 1 9 ′ − = ∫xf x f x x f t dt , για κάθε 0>x ● ( )1 1=f Δ1. Να αποδείξετε ότι ( ) 3 0 9=∫ f t dt (5 μονάδες) και στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (2 μονάδες) 7 μονάδες
  4. 4. Φροντιστήριο 19+ thanasiskopadis.blogspot.com [4] Έστω ότι ( ) 2 =f x x , 0≥x . Δίνεται επιπλέον η συνάρτηση ( ): 0,+∞ → ℝg με ( ) 2 ln= −g x x Δ2. α) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση g είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της g 3 μονάδες β) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )2 ln 1 2 ln− > −x x x e x , για κάθε >x e 5 μονάδες Δ3. Θεωρούμε σημείο Α στη γραφική παράσταση της f με τετμημένη 0x και σημείο Β στη γραφική παράσταση της g με την ίδια τετμημένη. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0 1 ,1   ∈    x e τέτοιο, ώστε η απόσταση ΑΒ να γίνεται ελάχιστη. 6 μονάδες Δ4. Να υπολογίσετε το ( )2 2 1 lim →+∞    ⋅      x f x x xν ηµ για τις διάφορες τιμές του ακεραίου ν 4 μονάδες Εύχομαι επιτυχία στις εξετάσεις σας!!! Θανάσης Κοπάδης Μαθηματικός

×