Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

4o επαναληπτικο διαγώνισμα

3.578 Aufrufe

Veröffentlicht am

4o Eπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικά Προσανατολισμού

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

4o επαναληπτικο διαγώνισμα

  1. 1. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com 4o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΏΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 18/03/2017 ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα ∆. Αν ( ) 0′ >f x για κάθε εσωτερικό σημείο x του ∆, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ∆. 7 μονάδες Α2. Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη στο ℝ. Πότε η ευθεία = +y xλ β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +∞; 4 μονάδες Α3. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα ∆ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του ∆. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ∆; 4 μονάδες Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν με την ένδειξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. β) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού 2≥ν , η οποία έχει ασύμπτωτη γ) Αν ( ) ln=f x x για κάθε 0≠x , τότε ( ) 1′ =f x x για κάθε 0≠x δ) ( )′ =x xσυν ηµ για κάθε ∈ℝx ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ],α β , τότε η f παίρνει στο [ ],α β μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m 10 μονάδες ΘΕΜΑ B Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln = x x f x e
  2. 2. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com B1. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f 8 μονάδες B2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της 8 μονάδες B3. i) Να αποδείξετε ότι, για 0>x , ισχύει η ισοδυναμία ( ) ( ) 4 4 4= ⇔ = x f x f x 3 μονάδες ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 4 4= x x , 0>x , έχει ακριβώς δύο ρίζες, τις 1 2=x και 2 4=x 6 μονάδες ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )ln 1= − +x f x xα , 1> −x , όπου 0>α και 1≠α Γ1. Αν για κάθε 1> −x ισχύει ( ) 1≥f x , να βρείτε το α 8 μονάδες Για = eα Γ2. Να αποδείξετε ότι η f είναι κυρτή 5 μονάδες Γ3. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f 6 μονάδες Γ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) 1 1 3 13 0 1 2   − −  −  + = − − f f x x έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο ( )1,2 6 μονάδες
  3. 3. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. 19+ thanasiskopadis.blogspot.com ΘΕΜΑ Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, με συνεχή δεύτερη παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: ● ( ) 0′′ ≠f x για κάθε ∈ℝx ● ( ) ( ) ( )2 0 0 2 − ′ < f f f και ● ( ) ( ) 0 1 2 1 lim 0 → + − − = h f h f h h Δ1. Να αποδείξετε ότι η ′f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ 7 μονάδες Δ2. Να αποδείξετε ότι ( )1 0′ =f (4 μονάδες) , καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 1=x (2 μονάδες) 6 μονάδες Δ3. Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση ( ) ( ) ( )2= − −g x F x F x , όπου F μια παράγουσα της f i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής 6 μονάδες ii. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο με τετμημένη 0 1=x και στη συνέχεια να λύσετε στο ℝ την εξίσωση ( ) ( ) ( )( )2 2 1 1− − = −F x F x f x 6 μονάδες Καλή Επιτυχία! Θανάσης Κοπάδης Μαθηματικός

×