Todo sobre Gramáticas Formales

1. GRAMATICAS
FORMALES
ASTRID RODRIGUEZ PECHO

2. CONCEPTOS:
•Es una estructura matemática con un conjunto
de reglas de formación que definen las cadenas
de caracteres admisibles en un
determinado lenguaje formal o lenguaje
natural. Las gramáticas formales aparecen en
varios contextos diferentes: la lógica
matemática, las ciencia de la computación y
la lingüística teórica, frecuentemente con
métodos e intereses divergentes.

3. ¿Cómo se puede definir las
palabras que pertenecen a un
determinado lenguaje?
•Enumerando el conjunto de palabras:
⇒ ¿algunos lenguajes son infinitos?
• Descripción informal de las palabras:
⇒ a veces complicado y demasiado impreciso
•Descripción formal, basada en los operadores de palabras:
⇒ no suelen ser suficientes para especificar todos los lenguajes

4. • Necesitamos un formalismo para definir los
lenguajes (las palabras que pertenecen a un
lenguaje).
⇒ Una posibilidad - Gramáticas formales:
• Una gramática describe de forma inequívoca la
estructura de las palabras de un lenguaje.
• Proporcionan un mecanismo para generar todas las
palabras que pertenecen a un determinado lenguaje
(también se llaman gramáticas generadoras)

5.  Definición:
Sea Σ un alfabeto. Una producción, o regla de
producción, o regla de derivación, o regla de
escritura, es un par ordenado (x,y), también
representado por x::=y, tal que x∈∑+ e y∈∑* . Se
llama x la cabeza o parte izquierda de la producción,
e y su cuerpo o parte derecha.
PRODUCCIONES

6.  Aplicación de una producción (x ::= y) a una palabra v para convertirla en
otra w donde v=zxu y w=zyu (v, w, z, u   * )
– Se cumple que para cada producción x::=y existe una derivación
directa (haciendo z=u=λ): x  y
 DERIVACIÓN v  * w:
Aplicación de una secuencia de producciones a una palabra.
 LONGITUD DE LA DERIVACIÓN:
Número de derivaciones que hay que aplicar para obtener la palabra.
 DERIVACIÓN MÁS A LA IZQUIERDA:
Se utiliza en cada derivación directa la producción aplicada a los símbolos
más a la izquierda de la palabra.
 DERIVACIÓN MÁS A LA DERECHA:
Se utiliza en cada derivación directa la producción aplicada a los símbolos
más a la derecha de la palabra.
DERIVACIÓN DIRECTA

7.  Se denomina gramática formal a la cuádrupla:
G = (T ,N, S, P)
 T , alfabeto de símbolos terminales
 N, alfabeto de símbolos no terminales
 S  N, es el axioma o símbolo inicial
 P es un conjunto finito de reglas de producción de la forma
u ::= v, donde u   + y v   *.
 Se verifica además que:
 T  N = 
 El alfabeto es  = T  N

8. 1. La longitud de u→*u es 0.
2. ∑={C,N,0,1,2}
P={ N::=CN, N::=C,C::=0, C::=1, C::=2}
• N→CN
CN→CC
CC→0C ⇒ N→*00 con longitud 4
0C→00
• ¿{x|x∈∑* y CCC→*x y x es “irreducible”}?
• ¿{x|x∈∑* y N→*x y x es “irreducible”}?
 Propiedades de la derivación:
• Reflexiva: ∀x∈∑* : x→*x
• Transitiva: ∀x,y,z∈∑* : si x→*y e y→*z, entonces x→*z.
• Simétrica: no
Ejemplos:

9.  Ejemplo : consideremos la gramática
T = {0, 1, 2}
N = {N, C}
S = N
P = { N::=NC, N::=C,C::=0, C::=1,C::=2}
 Es posible establecer una notación simplificada para las reglas de
producción. Si existen dos reglas de la forma
u::=v
u::=w
Se pueden representar de la forma:
u::=v | w
Esta forma de representar las reglas de producción recibe el nombre de
“forma normal de Backus” (o BNF)
FORMA NORMAL DE BACKUS

10.  Sea G = (T,N, S, P). Una palabra x  * se denomina forma
sentencial de G si se verifica que:
S * x
 Considerando la gramática anterior, las siguientes son formas
sentenciales : NCC, NC2, 120
S = N  NC  NCC
S = N  NC  NCC  NC2
S = N  NC  NCC  CCC  1CC  12C  120
 Si una forma sentencial x cumple que x  T * se dice que x es una
sentencia o instrucción de G. Es decir, las sentencias estarán
compuestas únicamente por símbolos terminales.
 En el ejemplo anterior es sentencia: 120
FORMAS SENTENCIALES Y SENTENCIAS

11.  Sea una gramáticaG = (T ,N, S, P). Se llama lenguaje asociado a la
G, o lenguaje generado por G, o lenguaje descrito por G, al conjunto :
L(G) = { x / S * x and x  T * }
Conjunto de todas las sentencias de la gramática.
 Ya que la teoría de gramáticas formales (Chomsky), junto con la
notación BNF, proporciona una forma de describir lenguajes, esta
simbología se considera como un metalenguaje (lenguaje para
describir lenguajes)
LENGUAJE ASOCIADO A UNA
GRAMÁTICA

12. o Ejemplo Castellano: La sintaxis del castellano se define mediante
reglas:
1. Un oración consta de sujeto y predicado y termina con un punto.
2. Un sujeto es una frase nominal.
3. Una frase nominal es un grupo nominal seguido de un calificativo
(que puede faltar)
4. …
Podemos usar producciones para representar estas reglas:
<oración>::=<sujeto> <predicado>.
<sujeto>::=<frase_nominal>
<frase_nominal>::=<grupo_nominal> <calificativo>
<frase_nominal>::=<grupo_nominal>
MOTIVACIÓN

13.  Podemos analizar si una palabra del lenguaje (en castellano son frases)
es “gramaticalmente correcta”:
<oración>
<sujeto>
<frase nominal>
. ”juega
<calificativo>
".”
<grupo nominal>
<predicado>
pequeño“El gato

14. Esta gramática da lugar a un lenguaje formal que consiste en el conjunto
de todas las cadenas de caracteres que pueden ser generadas por medio
ellas. Por ejemplo: bbbc, bbbbbbbbc, c, bc, etc.
Para comprender mejor la idea, podemos considerar un modelo de
reescritura para el español:
1. O → SUJ PRED (Oración → Sujeto Predicado)
2. SUJ → Det N (Sujeto → Determinante Nombre)
3. PRED →V COMP (Predicado →Verbo Completo)
4. Det → el
5. N → niño, (hombre, anciano)
6. V → duerme, (ríe, come)
7. COMP → plácidamente, (intranquilo)

15. Estas reglas pueden utilizarse para generar la frase "el niño
duerme plácidamente", así:
1. O (símbolo inicial)
2. UJ(ETO) PRED(ICADO) (por la regla 1)
3. Det(erminante) N(OMBRE) PRED(ICADO) (por la regla 2)
4. Det(erminante) N(OMBRE)V(ERBO) COMP(LEMENTO) (por
la regla 3)
5. el N(OMBRE)V(ERBO) COMP(LEMENTO) (por la regla 4)
6. el niñoV(ERBO) COMP(LEMENTO) (por la regla 5)
7. el niño duerme COMP(LEMENTO) (por la regla 6)
8. el niño duerme plácidamente (por la regla 7)

16. Vemos que existen unas definiciones especiales como FRASE, SUJETO,
etc. que no aparecen en la frase final formada. Son unas entidades
abstractas denominadas "categorías sintácticas" que no son utilizables en
una oración (tienen un papel similar al de las categorías gramaticales de
las lenguas naturales). E igualmente el mismo sistema permite derivar
otras oraciones similares usando formas las formas léxicas entre
paréntesis:
Det. N V COMP
El
niño
hombre
anciano
duerme
ríe
come
plácidamente
intranquilo

17. Las categorías sintácticas definen la estructura del lenguaje
representando porciones más o menos grandes de las frases.
Existe una jerarquía interna entre las categorías sintácticas.
La categoría superior sería la FRASE que representa una oración
válida en lengua castellana.
Por debajo de ella se encuentran sus componentes. Ninguna de
estas categorías dan lugar a frases válidas solo la categoría
superior.
Al finalizar toda la jerarquía llegamos a las palabras que son las
unidades mínimas con significado que puede adoptar una frase.
Aplicando las jerarquías y sustituyendo elementos, llegamos al
punto en donde todas las categorías sintácticas se han convertido
en palabras, obteniendo por tanto una oración válida; como por
ejemplo: El niño corre. Este proceso se llama producción o
generación.

18.  Un conjunto de todas las palabras sobre {a,b}.
 La Numeración de Gödel {an : a es un número
primo y n un número de Gödel}.
 El conjunto de todos los programas
sintácticamente válidos en un determinado
lenguaje de programación.
 El conjunto de todas las fórmulas bien formadas
en la lógica de primer orden.
LENGUAJES FORMALES

19. Los lenguajes formales se pueden especificar de una amplia
variedad de formas, como por ejemplo:
(Si el lenguaje es regular)
 Cadenas producidas por una gramática formal (véase la
jerarquía de Chomsky).
 Cadenas descriptas por una expresión regular.
 Cadenas aceptadas por un autómata, tal como una máquina
deTuring.
Las cadenas están formadas por un conjunto de símbolos que
pertenecen a un mismo lenguaje, existen dos formas de componer
una sentencia o función con los símbolos:
• Sintaxis
• Semántica
ESPECIFICACIÓN DE LENGUAJES
FORMALES

20. En la formalización clásica de gramáticas generativas primero
propuesto por Noam Chomsky en la década de 1950, una gramática
T consta de los siguientes componentes:
 Un conjunto finito N de símbolos no terminales, ninguno de los
que aparecen en las cadenas forman a partir de G.
 Un conjunto finito de símbolos terminales que es disjunta de N.
 Un conjunto P finito de reglas de producción, cada regla de la
forma donde es el operador estrella Kleene y denota establecer la
unión. Eso es, cada uno de producción mapas de reglas de una
cadena de símbolos a otra, donde la primera cadena contiene un
número arbitrario de símbolos proporcionados al menos uno de
ellos es un no terminal. En el caso de que la segunda cadena
consiste únicamente de la cadena vacía - es decir, que no
contiene símbolos en absoluto - puede ser denotado con una
notación especial con el fin de evitar la confusión.
LA SINTAXIS DE LAS GRAMÁTICAS

21.  Un distinguido símbolo que es el símbolo inicial.Una
gramática se define formalmente como la dupla.Tal
gramática formal a menudo se llama un sistema de
reescritura o una gramática sintagmática en la literatura.

22. La operación de una gramática puede ser definido en términos de
relaciones en las cadenas:
 Dada una gramática, la relación binaria en cadenas en se define
por: la relación se define como la clausura transitiva reflexiva de
una forma proposicional es miembro de que se pueda obtener en
un número finito de pasos del símbolo de inicio, es decir, una
forma proposicional es un miembro de. Una forma proposicional
que no contiene símbolos no terminales se llama una oración.
 El lenguaje de, denotado como, se define como todas aquellas
frases que se pueden derivar en un número finito de pasos del
símbolo de inicio, es decir, el conjunto.
LA SEMÁNTICA DE GRAMÁTICAS

23. Se pueden utilizar varias operaciones para producir nuevos
lenguajes a partir de otros dados. Supóngase que L1 y L2 son
lenguajes sobre un alfabeto común. Entonces:
 La concatenación L1L2 consiste de todas aquellas palabras de la
forma vw donde v es una palabra de L1 y w es una palabra de L2
 La intersección L1&L2 consiste en todas aquellas palabras que
están contenidas tanto en L1 como en L2
 La unión L1|L2 consiste en todas aquellas palabras que están
contenidas ya sea en L1 o en L2
 El complemento ~L1 consiste en todas aquellas palabras
producibles sobre el alfabeto de L1 que no están ya contenidas
en L1
OPERACIONES

24.  El cociente L1/L2 consiste de todas aquellas palabras v para las
cuales existe una palabra w en L2 tales que vw se encuentra
en L1
 La estrella L1*(Llamada también clausura de Kleene del
lenguaje L1) consiste de todas aquellas palabras que pueden ser
escritas de la formaW1W2...Wn donde todo Wi se encuentra en
L1 y n ≥ 0. (Nótese que esta definición incluye a λ en cualquier
L*)
 La Clausura positiva L1
+ consiste de todas aquellas palabras que
pueden ser escritas de la forma W1W2...Wn donde todo Wi se
encuentra en L1 y n > 0. (Difiere de la clausura de Kleene ya que
contiene a λ si y sólo si L1 contiene a λ)
 La intercalación L1*L2 consiste de todas aquellas palabras que
pueden ser escritas de la forma v1w1v2w2...vnwn; son palabras
tales que la concatenaciónv1...vn está en L1, y la
concatenación w1...wn está en L2.

25.  Una pregunta que se hace típicamente sobre un
determinado lenguaje formal L es cuán difícil es decidir si
incluye o no una determinada palabra v. Este tema es del
dominio de la teoría de la computabilidad y la teoría de la
complejidad computacional.
 Por contraposición al lenguaje propio de los seres vivos y
en especial el lenguaje humano, considerados lenguajes
naturales, se denomina lenguaje formal a los lenguajes
«artificiales» propios de las matemáticas o la
informática, los lenguajes artificiales son llamados
lenguajes formales (incluyendo lenguajes de
programación). Sin embargo, el lenguaje humano tiene
una característica que no se encuentra en los lenguajes
de programación: la diversidad.

26. La idea consiste en definir un lenguaje mediante reglas de
producción.
Ejemplo lenguaje formal 1
Σ={S,A,a,b}
P={S::=Ab, A::=aAb, A::=λ}
¿Cuáles son todas las posibles derivaciones (irreducibles) desde
S?
S→Ab→b
S→Ab→aAbb→abb
S→Ab→aAbb→ aaAbbb→aabbb
…
{x|S→*x y x es “irreducible”}={anb n+1|n>=0}

27. Ejemplo lenguaje formal 2
Σ={S,a,b}
P={S::=λ, S::=aSb}
¿ {x|S→*x y x es “irreducible”}?
Se puede considerar que los elementos de Σ tienen distinta
funcionalidad:
S y A – variables (“símbolos no terminales”)
a y b – “símbolos terminales”
S – símbolo no terminal de partida (“axioma”)

28.  Una gramática formal es un modelo matemático (más
exactamente una estructura algebraica) compuesto por una
serie de categorías sintácticas que se combinan entre sí por
medio de unas reglas sintácticas que definen cómo se crea una
categoría sintáctica por medio de otras o símbolos de la
gramática. Existen varios tipos de gramáticas formales
históricamente importantes:
Las gramáticas formales categoriales (C-gramáticas) que
usan un análisis de abajo a arriba y requieren el uso de
etiquetas de categoría para cada secuencia formada
o constituyente sintáctico propiamente dicho. Existe una
única categoría superior que denota cadenas completas y
válidas.
GRAMATICAS FORMALES EN
LINGÜÍSTICA TEÓRICA

29.  Las gramáticas de estructura sintagmática (ES-gramáticas, en
inglésPS-grammars) basadas en reglas de reescritura y con un
análisis de arriba abajo.Al igual que las C-gramáticas se basan en la
noción de constituyente sintáctico.
REGLAS DE REECRITURA
• Todas las oraciones excepto las impersonales (oraciones
referentes al tiempo) se desglosan en dos partes, un Sintagma
nominal y un Sintagma verbal. El sintagma nominal hace
referencia al sujeto de la oración, y el sintagma verbal al
predicado.
O → SN + SV
• Un sintagma nominal siempre está compuesto por un
determinante, un núcleo y un complemento.
SN → det + N + C
• Un sintagma verbal siempre está compuesto por el auxiliar y el
grupo verbal.
SV → Aux.( voz, modo, etc) + G.V

30. • El GrupoVerbal es el verbo en infinitivo. Puede ser un verbo
predicativo o copulativo.
G.V. →V [+Complementos]
ó
G.V. → Copula + Atributo [ + Complementos ]
• Los complementos pueden ser del nombre, directos, indirectos y/o
circunstanciales.
• Completo Directo (CD). Puede tratarse de un Sintagma Nominal,
o un Sintagma Preposicional.
CD → SN → det + N +C
ó
CD = S.Prep. → R + SN
(R = Refuncionalizador )

31. • Complemento indirecto (CI). Es siempre un sintagma
preposicional (Un sintagma nominal precedido de una
preposición)
CI → S.Prep. → R + SN
• Complemento del nombre (CN). Son adjetivos que
complementan a un nombre en un SN. Pueden ser formales
(estructura de un SN) o funcionales (estructura de un S. Prep.).
Ejemplo: La casa verde. (verde es un adjetivo formal)
det La
N casa
SN det 0
C N verde
C 0

32.  Las gramáticas asociativas (por la izquierda) (A-gramáticas, en
inglésLA-grammars), que usa usa un análisis de abajo a arriba, que
permiten un análisis en de complejidad lineal, aunque ignoran el
concepto de constituyente sintáctico.
Los dos primeros tipos tienen puntos de conexión obvia con la noción
de constituencia sintáctica y el análisis mediante árboles
sintácticos. Sin embargo, los analizadores sintácticos para las
oraciones formadas según ellas no pueden basarse en las reglas de
generación (asimetría hablante-oyente), lo cual sugiere que no
puedan ser buenos modelos de la intuición de los hablantes. Además
los modelos de lengua natural basados en ellas parecen tener
una complejidad polinómica o exponencial, lo cual no parece
avenirse con la velocidad con que los hablantes procesan las lenguas
naturales.

33. Por contra lasA-gramáticas en general tienen complejidad lineal,
simetría entre hablantes y oyentes, sin embargo, ignoran los
constituyentes clásicos del análisis sintáctico. Sin embargo, siguen
siendo usadas para los analizadores sintácticos usados en
computación.
Por medio de estos elementos constituyentes se define un
mecanismo de especificación consistente en repetir el mecanismo
de sustitución de una categoría por sus constituyentes en función de
las reglas comenzando por la categoría superior y finalizando
cuando la oración ya no contiene ninguna categoría. De esta forma,
la gramática puede generar o producir cada una de las cadenas del
lenguaje correspondiente y solo estas cadenas.

34. Una gramática categorial o C-gramática es una basada en
categorías gramaticales. Las formas léxicas y secuencias formadas
a partir de ellas están etiquetadas con categorías que indican el tipo
de entidad formada y sus posibilidades combinatorias (por ejemplo
en una lengua nominal una secuencia de palabras puede constituir
un sintagma nominal lo cual especifica con qué otro tipo de
categorías puede combinarse este sintagma para formar otro
sintagma mayor).
Las gramáticas categoriales se pueden definir como una estructura
formal algebraica.Una gramática categorial es un quíntupla ( W, C,
LX, R, CE)
DEFINICIÓN DE UNA C-GRAMÁTICA

35. En la definición clásica que dio Noam Chombsky en la década de
1950, unagramática formal de estructura sintagmática (ES-
gramática) es una cuádrupla G = (N,T,S,P) donde:
• N es un conjunto finito de símbolos no terminales (variables).
• T es un conjunto finito de símbolos terminales
(constantes), disjunto con N.
• S es un símbolo distinguido de N, el símbolo inicial.
• P es un conjunto finito de reglas de producción, cada una de la
forma:
( NU T ) * N( N UT ) → ( N U T) *
DEFINICIÓN DE UNA ES-GRAMÁTICA

36. Las ES-gramáticas como la usada en los primeros
modelos de gramática generativa requieren ciertas
restricciones para ser computacionalmente tratables.
Para entender esa restricción debe considerarse la
interacción entre un hablante y un oyente, el primero
genera una oración o secuencia de acuerdo con las reglas
de la gramática, el segundo para entender dicha
secuencia debe analizar la secuencia para entenderla,
encontrando los elementos formantes, interpretándolos y
reconstruyendo la relación hay entre ellos (estructura
interna).
LIMITACIÓN DE LAS GRAMÁTICAS
FORMALES

37. Para que eso segundo sea posible se requiere que la estructura
interna tenga una estructura suficientemente simple como poder
analizar sintácticamente las secuencias con un bajo grado de
ambigüedad. Pues bien computacionalmente se ha encontrado
que la clase de complejidad frente al análisis inverso de ciertas
gramáticas es excesiva. Para ES-gramáticas basadas en reglas de
reescritura se tiene:
Restricciones
en las reglas
Tipo de
ES-gramática
Tipo de
lenguaje
Grado de
complejidad
tipo 3 Gramática ES regular lenguajes regulares lineal
tipo 2
Gramática ES
libre de contexto
lenguajes libres
de contexto
polinómica
tipo 1
Gramática ES
dependiente del contexto
lenguajes dependientes
del contexto
exponencial
tipo 0
Gramática ES
no restringida
lenguajes recursivamente
enumerables
indecidible

38. • Chomsky clasificó las gramáticas en cuatro grandes grupos : G0,
G1, G2 y G3. Cada uno de estos grupos incluye las gramáticas del
siguiente, e acuerdo con el siguiente esquema:
G3  G2  G1  G0
1. Gramáticas tipo 0
• Las reglas de producción tienen la forma
u ::= v
donde u   + , v  *, u = xAy con x  *, y  *, A  N sin
otra restricción.
• En las reglas de producción:
• La parte izquierda no puede ser la palabra vacía.
• En la parte izquierda (u) ha de aparecer algún símbolo no
terminal.

39. • Los lenguajes representados por estas gramáticas reciben el
nombre de lenguajes sin restricciones. Puede demostrarse que
todo lenguaje representado por este tipo de gramáticas pueden
ser descritos también por un grupo de gramáticas un poco más
restringido (llamado de gramáticas de estructura de frases),
cuyas producciones tienen la forma xAy ::= xvy, donde x, y, v 
*, siendoA un símbolo no terminal.
• Ya que v puede ser la palabra vacía, se sigue que en estas reglas
podemos encontrar situaciones en que la parte derecha sea más
corta que la izquierda. Las reglas en que ocurre esto se
denominan compresoras. Una gramática que contenga al
menos una regla compresora se denomina gramática
compresora.
• En las gramáticas compresoras, las derivaciones pueden ser
decrecientes, ya que la longitud de las palabras puede disminuir
en cada uno de los pasos de derivación.

40.  Ejemplo: sea G = ({a, b}, {A, B, C}, A, P), donde P:
A ::= aABC | abC
CB ::= BC
bB ::= bb
bC ::= b
 Esta gramática es de tipo 0, no es de estructura de frases por la
regla CB ::= BC
 Formas de considerarla:
 Considerando x = ,A = C, y = B. Estaría formada la parte
izquierda de la producción, pero la derecha será vB y sea cual
sea v, no podrá ser BC
 Considerando x = C, A = B, y = .Así tendríamos formada la
parte izquierda de la regla, pero en la derecha tendríamos Cv,
y sea v lo que sea no podremos obtener CB.

41.  Ya no es posible hacer ninguna otra descomposición, por lo
que esta regla no pertenece al esquema de reglas visto para
las gramáticas de estructura de frases.
 Para la producción : A ::= aABC:
 A = A, x= , y =. Si hacemos v = aABC, la regla se ajusta al
formato considerado.
 Sin embargo la regla CB ::= BC puede descomponerse en las
cuatro reglas siguientes, que permiten obtener las mismas
derivaciones con más pasos, pero ajustándose a las condiciones
exigidas para que la gramática sea de estructura de frases.
CB ::= XB
XB ::= XY
XY ::= BY
BY ::= BC

42. La gramática resultante, tendrá 3 reglas de producción más
y dos símbolos adicionales (X,Y) en el alfabeto de símbolos
no terminales.
 Veamos la derivación de la sentencia aaabbb, mediante
la gramática original :
A  a(A)BC  aa(A)BCBC  aaab(CB)CBC 
aaa(bB)CCBC  aaab(bC)CBC  aaab(bC)BC 
aaab(bB)C  aaabb(bC)  aaabbb
 Se observa también que la gramática es compresora,
debido a la presencia de la regla bC ::= b.
 Puede comprobarse que el lenguaje generado por esta
gramática es {anbn|n=1,2,..}

43.  Las reglas de producción de esta gramática tienen la forma:
xAy ::= xvy
donde x, y  *, v   + y A ha de ser un símbolo no terminal. (A
puede transformarse en v sólo si aparece en el contexto definido
por x e y)
 Ya que v no puede ser la palabra vacía, se deduce de aquí que
este tipo de gramáticas no pueden tener reglas compresoras.
Se admite una excepción en la regla S ::=  (siendo S el axioma
de la gramática).Como consecuencia se tiene que la palabra
vacía pertenece al lenguaje generado por la gramática sólo si
contiene esta regla.
 Los lenguajes generados por este tipo de gramáticas se
denominan “dependientes del contexto”.
GRAMÁTICAS TIPO 1

44.  Evidentemente todas las gramáticas de tipo 1 son también de
tipo 0, y así, todos los lenguajes dependientes de contexto serán
también lenguajes sin restricciones.
 Ejemplo : G = ({S, B, C}, {a, b, b}, S,P), donde P es:
S ::= aSBc | aBC
bB ::= bb
bC ::= bc
CB ::= BC
cC ::= cc
aB ::= ab

45. o Las reglas de estas gramáticas se ajustan al siguiente esquema:
A ::= v
donde v  *, y A  N En concreto v puede ser .
o Para toda gramática de tipo 2 existe una gramática equivalente
desprovista de reglas de la forma A ::= , que generará el mismo
lenguaje que la de partida, excepto la palabra vacía. Si se le añade a
la segunda gramática la regla S ::= , las gramáticas generarán el
mismo lenguaje.
o Por lo tanto, se pueden definir las gramáticas de tipo 2 de una forma
más restringida, en el que las reglas de producción tendrán la
siguiente forma:
A ::= v donde v   + , y A  N . Además podrán contener regla
S ::= 
GRAMÁTICAS TIPO 2

46. o Los lenguajes generados por este tipo de gramáticas se
denominan independientes de contexto, ya que la
conversión de A en v puede realizarse independientemente
del contexto en que aparezcaA.
o La mayor parte de los lenguajes de programación de
ordenadores pueden describirse mediante gramáticas de este
tipo.
o Ejemplo : sea la gramáticaG = ({a, b}, {S}, S, { S ::= aSb | ab}).
Es una gramática de tipo 2. La derivación de la palabra
aaabbb será: S  aSb  aaSbb  aaabbb
Puede verse que el lenguaje definido por esta gramática es
{anbn | n=1, 2, ...}
o Un mismo lenguaje puede generarse por muchas gramáticas
diferentes. Sin embargo, una gramática determinada describe
siempre un lenguaje único.

47. Estas gramáticas se clasifican en los dos grupos siguientes:
 Gramáticas lineales por la izquierda, cuyas reglas de producción
pueden tener una de las formas siguientes:
A ::= a
A ::=Va
S ::= 
donde a  T , A,V  N, y S es el axioma de la gramática.
 Gramáticas lineales por la derecha, cuyas reglas de producción
tendrán la forma:
A ::= a
A ::= aV
S ::= 
donde a  T , A,V  N, y S es el axioma de la gramática.
GRAMÁTICAS TIPO 3

48. Los lenguajes representados por este tipo
de gramáticas se denominan lenguajes
regulares.
G1 = ({ 0, 1}, {A, B}, A, { A ::= B1 | 1, B ::= A0})
Gramática lineal por la izquierda que
describe el lenguaje:
L1 = { 1, 101, 10101, ... } = {1(01)n | n = 0, 1, 2,
...}
G2 = ({ 0, 1}, {A, B}, A, { A ::= 1B | 1, B ::= 0A})
Gramática lineal derecha que genera el
mismo lenguaje que la gramática anterior.

49. Dentro del enfoque formalista y axiomático de
las matemáticas se concibió que ciertas áreas de
las matemáticas podían concebirse como un
sistema lógico-deductivo de fórmulas sujetas a
restricciones de manipulación. La gramática
formal de esos sistemas sería el conjunto de
reglas combinatorias acordes a ciertos principios
deductivos.
GRAMÁTICAS FORMALES EN
MATEMÁTICAS Y LÓGICA

50. Un lenguaje formal en lógica o matemáticas es una tripleta (A, RF ,A,D)
donde A denota el alfabeto o conjunto de signos usados, el conjunto de
reglas RF explica qué combinaciones de signos están bien definidas y
permite definir lo que es una fórmula bien formada (en ese sentido RF
define la morfología de las palabras de la lengua formal). El conjunto de
fórmulas bien formadas constituyen el vocabulario o léxico, mientras el
par (A,D) describe el conjunto de axiomas y el conjunto de reglas de
deducción válidas. Estas dos últimas permiten establecer secuencias de
fórmulas bien formadas (palabras del lenguaje formal) que constituyen
demostraciones válidas dentro del sistema formal (son de alguna
manera el equivalente a la sintaxis de la lengua formal).