1. Il test consiste nel formulare una ipotesi (ipotesi nulla) e nel verificare se con i dati a disposizione è possibile rifiutarla o no . L’ipotesi che viene formulata è l’ipotesi nulla (Ho) e rappresenta di solito lo stato di fatto Se il campione fornisce risultati fortemente in contrasto con Ho, questa viene rifiutata a favore dell’ ipotesi alternativa (H 1 ). Test delle ipotesi

2. Test della media di una popolazione Eseguiamo il test H 0 :  =  0 Ipotesi nulla (H 0 ): la media  della popolazione da cui abbiamo estratto il campione è =  0 Ipotesi alternativa (H 1 ): la media  della popolazione è   0 Verifichiamo quindi se la deviazione della media campionaria da  0 è compatibile con l’ipotesi nulla. Confrontando la media del campione con  0

3. Test delle ipotesi Usando una distribuzione campionaria identifichiamo un range di valori che hanno bassa probabilità di accadere se l’ipotesi nulla è vera. Questo range di valori costituisce la cosiddetta regione critica o regione di rifiuto dell’ipotesi nulla. Dalla distribuzione campionaria della statistica posso conoscere le probabilità di ottenere determinati valori, e sulla base di queste definire la regione di rifiuto.

4. Ho:  =  o H 1 :    o ESEMPIO test media di una popolazione Popolazione: Medie campionarie: Distribuzione delle medie campionarie Verifico l’ipotesi che  o = 10 i n una popolazione con  = 6 estraendo a caso un campione di n = 9. Con:

5. 10 ESEMPIO test media di una popolazione Popolazione: Medie campionarie: La regione di rifiuto ha probabilità  (livello di significatività) È la probabilità di rifiutare H 0 quando H 0 è vera Ho:  =10 H 1 :   10 Se  = 0,05 Rifiuto H 0 se la media campionaria è al di fuori dei limiti  0  1.96 (  /  n)

6. 10 ESEMPIO test media di una popolazione Ho:  = 10 H 1 :   10 Popolazione: Medie campionarie: Distribuzione delle medie campionarie (sono noti  =6 e n=9)

7. Ho:  =10 H 1 :   10 10 ESEMPIO test media di una popolazione Se  = 0,05 Rifiuto H 0 se la media campionaria è al di fuori dei limiti  0  1.96 (  /  n) Quindi: 10  1.96 ·2 6,08 13,92 6,08 13,92

11. Significatività e potenza del test

12. 10 Ho:  =10 H 1 :   10 SIGNIFICATIVITÀ E POTENZA DEL TEST 1-  1-   A parità di n (numerosità campionaria) se diminuisco la probabilità dell’errore di I specie (  ) aumento la probabilità dell’errore di II specie (  ). Diminuisce la potenza del test (1-  ).  /2  /2

13. Test a una o due code Se siamo interessati a rifiutare Ho solo se la differenza è in un senso o nell’altro, eseguiamo il test ad una coda, o test unilaterale. L’ipotesi alternativa sarà H 1 :  >  o ovvero H 1 :  <  o Il vantaggio è che la potenza del test aumenta andando verso H 1 ma è praticamente 0 dall’altra parte. 1-  1-   

14. Se  non è noto si utilizza la sua stima s e la relativa stima dell’errore standard: La statistica da usare per il test è t con (n-1) gradi di libertà (GL). Test della media di una popolazione (  ignoto) - Rifiuto l’ipotesi nulla se  t  > t  , (n-1) - Ovvero calcolo la probabilità p di trovare t

15. Test della media di una popolazione (  ignoto) - Rifiuto l’ipotesi nulla se  t  > t  , (n-1) - Ovvero calcolo la probabilità p di trovare il t calcolato sotto ipotesi nulla L’ipotesi è sempre Ho:  =  o contro H 1 :    o Calcolo t: In pratica per il test al livello di significatività del 5%:

16. Esempio test della media di una popolazione (  ignoto) Si afferma che con l’applicazione di una certa dieta dimagrante si perdono 3 kg in un mese. Vengono sottoposte a dieta 64 persone e dopo un mese si verificano i risultati: perdita di peso media = 2,6 kg deviazione standard del campione: 1,2 kg Al livello  = 0.05, il campione è significativamente diverso dall’atteso?

17. Soluzione Le ipotesi sono: H 0 :  = 3 H 1 :   3 - P(  t  >2,667) = 0,0097 Rifiuto l’ipotesi nulla. Il metodo non funziona come promesso (test a due code) - Rifiuto Ho se  t  >

18. Esempio test della media di una popolazione (  ignoto) Un acquirente è interessato all’acquisto di grosse partite di formaggio provenienti dagli alpeggi, ma richiede che le forme siano di peso mediamente superiore ai 2.5 kg Viene scelto casualmente un campione di 12 forme che vengono pesate Media campionaria: m=2.758 Stima deviazione standard s=0.3942 Al livello di  = 0.1, il campione è significativamente superiore (test a una coda) a 2.5 Kg?

19. P(t >2,267)=0,022 L’ipotesi nulla è rifiutata. Soluzione Le ipotesi sono: H 0 :  = 2,5 H 1 :  > 2,5 (test a una coda) - Rifiuto Ho se t >

20. Test di una proporzione Una distribuzione binomiale, se ci si riferisce alle proporzioni di successi, è caratterizzata da: Media (valore atteso):  = p Varianza:  2 = p (1- p ) La proporzione di successi del campione, se n è sufficiente, è una variabile casuale con distribuzione approssimativamente normale e: Media = p Varianza = p (1- p )/ n

21. Posso definire le ipotesi: Ho: p=p o e H 1 : p  p o La statistica per il test sarà: Dove è la proporzione campionaria di successi, trovata con un campione di numerosità n. Se n è sufficientemente grande la distribuzione è proprio quella della normale standardizzata. Posso quindi calcolare i valori critici di z (per significatività prefissate) da confrontare con lo z trovato oppure il p value. Test di una proporzione

22. Esempio test di una proporzione Ho: p= 0,8 e H 1 : p  0,8 In un campione di 100 osservazioni i successi risultano 75. Posso rifiutare l’ipotesi nulla a livello  =0,05? - P(Z >  z  )=P(Z>1,25) = 0,0528 - Rifiuto l’ipotesi nulla se  z  >1.96. L’ipotesi nulla non è rifiutata