1. ใบความรู้ ที่ 11
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 11
1. กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ในชีวตประจาวันเรามักจะพบปั ญหาเกี่ยวกับการนับจานวนวิธีท้ งหมดที่เหตุการณ์
ิ ั
อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็ นไปได้ หรื อจานวนวิธีในการจัดชุดของสิ่ งต่าง ๆ เช่น การจัดการแข่งขัน
กีฬา การจัดชุดเสื้ อผ้า การจัดชุดอาหาร เป็ นต้น การคานวณเพื่อหาคาตอบสาหรับปั ญหาประเภท
ต่าง ๆ ดังกล่าว จะทาได้ง่ายและสะดวกรวดเร็ วขึ้นถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อซึ่ งเรี ยกว่า หลักมูลฐาน
เกี่ยวกับการนับ
กฎข้ อที่ 2 ถ้างานอย่างแรกมีวธีทาได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธีเลือกทางานอย่างแรก
ิ
มีวธีที่จะทางานอย่างที่สองได้ n2 วิธี ในแต่ละวิธีท่ีเลือกทางานอย่างแรก และทางานอย่างที่สอง
ิ
มีวธีที่จะทางานอย่าที่สามได้ n3 วิธี
ิ
จานวนวิธีท้ งหมดที่จะเลือกทางาน k อย่าง เท่ากับ n1  n2  n3 . . .  nk วิธี
ั
ตัวอย่างที่ 1 มีบตร 4 ใบ คือ
ั 1 2 3 4 นาบัตรเหล่านี้มาเรี ยงเป็ น
จานวนที่มีสองหลัก ได้กี่จานวน
วิธีทา จานวนวิธีที่เลือกบัตร 4 ใบ วางในหลักสิ บได้ 4 วิธี
จานวนวิธีที่เลือกบัตร 3 ใบ วางในหลักหน่วย 3 วิธี
 จานวนที่มีสองหลักเท่ากับ 4  3 = 12 จานวน
หรื ออาจเขียนเป็ นแผนภาพต้นไม้ ได้ดงนี้
ั
2 1 1 1
1 3 2 3 3 2 4 2
4 4 4 3
จานวนที่มีสองหลัก คือ 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43
 จานวนที่มี 2 หลักเท่ากับ 12 จานวน

2. ตัวอย่างที่ 2 จงนาอักษรจากคาว่า SPECIAL มาจัดเป็ นคาใหม่ โดยไม่คานึงถึง
ความหมาย จะจัดเป็ นคาที่แตกต่างกันได้กี่จานวน
วิธีทา ตาแหน่งที่ 1 2 3 4 5 6 7
ตัวอักษร S P E C I A L
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 7 ตัว วางในตาแหน่งที่ 1 ได้ 7 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 6 ตัว วางในตาแหน่งที่ 2 ได้ 6 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 5 ตัว วางในตาแหน่งที่ 3 ได้ 5 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 4 ตัว วางในตาแหน่งที่ 4 ได้ 4 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 3 ตัว วางในตาแหน่งที่ 5 ได้ 3 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 2 ตัว วางในตาแหน่งที่ 6 ได้ 2 วิธี
เลือกตัวอักษร 1 ตัว จาก 1 ตัว วางในตาแหน่งที่ 7 ได้ 1 วิธี
 จานวนวิธีที่เลือกตัวอักษรจาก SPECAIL มาเรี ยงเป็ นคาได้ท้ งหมด
ั
7  6  5  4  3  2  1 = 5040 จานวน
ตัวอย่างที่ 3 บริ ษทผูผลิตเสื้ อผ้าสาเร็ จรู ปบริ ษทหนึ่ง ผลิตเสื้ อ 4 แบบ แต่ละแบบมี 6 สี แต่ละสี
ั ้ ั
มีขนาดต่างกัน 3 ขนาก ถ้าจะจัดเข้าตูโชว์หน้าร้านให้ครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด จะต้องใช้
้
เสื้ อทั้งหมดกี่ตวั
วิธีทา ขั้นที่ 1 จัดแบบเสื้ อได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 2 จัดสี เสื้ อได้ 6 วิธี
ขั้นที่ 3 จัดขนาดเสื้ อได้ 3 วิธี
 จะจัดเข้าตูโชว์หน้าร้านได้ท้งหมด 4  6  3  72 วิธี
้ ั
ดังนั้น ถ้าจะจัดเสื้ อเข้าตูโชว์หน้าร้านให้ครบทุกแบบ สี และขนาด จะต้องใช้เสื้ อทั้งหมด
้
72 ตัว

3. แบบฝึ กทักษะที่ 11
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 11
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง
1. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ คาถาม คาตอบ
1 มีบตร 4 ใบ คือ 1
ั 2 3 4 นาบัตรเหล่านี้มาเรี ยง
เป็ นจานวนที่มีสามหลักได้กี่จานวน
2 จะมีกี่วธีที่แตกต่างกันในการใช้สี 6 สี ทาลูกเต๋ าหน้าละสี
ิ
3 ในการสอบวิชาภาษาซึ่งมีขอสอบแบบถูก-ผิด อยู่ 10 ข้อ นักเรี ยน
้
จะเลือกตอบข้อสอบทั้ง 10 ข้อ ดังกล่าวได้กี่วธี ิ
4 สมชายมีเสื้ อ 6 ตัว สี ต่างกัน กางเกง 4 ตัว สี ต่างกัน และรองเท้า
2 คู่ สี ต่างกัน จงหาจานวนวิธีท้ งหมดที่สมชายสวมเสื้ อ กางเกง
ั
และรองเท้าเป็ นชุดต่าง ๆ กัน
5 มีหนังสื อ 6 เล่ม ต้องการนามาจัดเรี ยงกันเป็ นแถวบนชั้นหนังสื อ
ซึ่ งวางได้ครั้งละ 3 เล่ม จะมีวธีจดเรี ยงหนังสื อเหล่านี้ได้กี่วธี
ิ ั ิ

4. 2. จงหาว่า จากเลขโดด 0 – 9 จะมีวธีเขียนตัวเลขแสดงจานวนต่อไปนี้ได้กี่วธี โดยให้เลขโดดใน
ิ ิ
แต่ละหลักซ้ ากันได้
2.1 จานวนเต็มบวกที่มีสี่หลัก
2.2 จานวนคี่ที่มีสี่หลัก
2.3 จานวนที่มีสี่หลักที่หลักหน่วยเป็ นศูนย์

5. เฉลยแบบฝึ กทักษะที่ 11
เรื่อง กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้ ่
ประกอบแผนการจัดการเรียนรู้ ที่ 11
ชื่อ…………………………………………..ชั้ น………………..เลขที่…….
คาชี้แจง
1. ให้นกเรี ยนเติมคาตอบลงในช่องว่างให้ถูกต้องสมบูรณ์
ั
ข้ อที่ คาถาม คาตอบ
1 มีบตร 4 ใบ คือ 1
ั 2 3 4 นาบัตรเหล่านี้มาเรี ยง
24 วิธี
เป็ นจานวนที่มีสามหลักได้กี่จานวน
2 จะมีกี่วธีที่แตกต่างกันในการใช้สี 6 สี ทาลูกเต๋ าหน้าละสี
ิ 720 วิธี
3 ในการสอบวิชาภาษาซึ่งมีขอสอบแบบถูก-ผิด อยู่ 10 ข้อ นักเรี ยน
้
1,024 วิธี
จะเลือกตอบข้อสอบทั้ง 10 ข้อ ดังกล่าวได้กี่วธี ิ
4 สมชายมีเสื้ อ 6 ตัว สี ต่างกัน กางเกง 4 ตัว สี ต่างกัน และรองเท้า
2 คู่ สี ต่างกัน จงหาจานวนวิธีท้ งหมดที่สมชายสวมเสื้ อ กางเกง
ั 48 วิธี
และรองเท้าเป็ นชุดต่าง ๆ กัน
5 มีหนังสื อ 6 เล่ม ต้องการนามาจัดเรี ยงกันเป็ นแถวบนชั้นหนังสื อ
60 วิธี
ซึ่ งวางได้ครั้งละ 3 เล่ม จะมีวธีจดเรี ยงหนังสื อเหล่านี้ได้กี่วธี
ิ ั ิ

6. 2. จงหาว่า จากเลขโดด 0 – 9 จะมีวธีเขียนตัวเลขแสดงจานวนต่อไปนี้ได้กี่วธี โดยให้เลขโดดใน
ิ ิ
แต่ละหลักซ้ ากันได้
2.1 จานวนเต็มบวกที่มีสี่หลัก
วิธีทา จากโจทย์แบ่งได้ 9 ขั้น ในการเขียนตัวเลข ดังนี้
ขั้นที่ 1 จัดตัวเลขหลักพันได้ 9 วิธี ( เลือก 1 –9 )
ขั้นที่ 2 จัดตัวเลขหลักร้อยได้ 10 วิธี ( เลือก 0 –9)
ขั้นที่ 3 จัดตัวเลขหลักสิ บได้ 10 วิธี ( เลือก 0 –9)
ขั้นที่ 4 จัดตัวเลขหลักหน่วยได้ 10 วิธี ( เลือก 0 –9)
ดังนั้น สามารถเขียนตัวเลขจานวนเต็มบวกที่มีสี่หลักได้ท้ งหมด
ั
9  10  10  10  9,000 จานวน
2.2 จานวนคี่ที่มีสี่หลัก
วิธีทา จากโจทย์แบ่งได้ 4 ขั้น ในการเขียนตัวเลข ดังนี้
ขั้นที่ 1 จัดตัวเลขหลักหน่วยได้ 5 วิธี ( เลือก 1,3,5,7, 9 )
ขั้นที่ 2 จัดตัวเลขหลักพันได้ 9 วิธี ( เลือก 1 –9)
ขั้นที่ 3 จัดตัวเลขหลักร้อยได้ 10 วิธี ( เลือก 0 –9)
ขั้นที่ 4 จัดตัวเลขหลักสิ บได้ 10 วิธี ( เลือก 0 –9)
ดังนั้น สามารถเขียนจานวนคี่ซ่ ึ งมีสี่หลักได้ท้ งหมด
ั 5  9  10  10  4,500 จานวน
2.3 จานวนที่มีสี่หลักที่หลักหน่วยเป็ นศูนย์
วิธีทา จากโจทย์แบ่งได้ 4 ขั้น ในการเขียนตัวเลข ในการเขียนตัวเลข ดังนี้
ขั้นที่ 1 จัดตัวเลขหลักหน่วยได้ 1 วิธี ( เลือกจาก 0 )
ขั้นที่ 2 จัดตัวเลขหลักพันได้ 9 วิธี ( เลือกจาก 1 –9)
ขั้นที่ 3 จัดตัวเลขหลักร้อยได้ 10 วิธี ( เลือกจาก 0 –9)
ขั้นที่ 4 จัดตัวเลขหลักสิ บได้ 10 วิธี ( เลือกจาก 0 –9)
ดังนั้น สามารถเขียนจานวนที่ส่ี หลักที่หลักหน่วยเป็ นศูนย์ได้ท้ งหมด
ั
1  9  10  10  900 จานวน