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Formulario estadistica
- 1. ESTADÍSTICA GENERAL Y APLICADA FORMULARIO Semana 1: Tabla de frecuencias por intervalos Paso 1: Calcule el rango (R): 𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏 Paso 2: Calcule el número de clases o intervalos (k) utilizando la regla de Sturges: 𝒌 = 𝟏 + 𝟑. 𝟑 𝒍𝒐𝒈 𝒏 Paso 3: Calcule la amplitud del intervalo de clase (c): 𝒄 = 𝑹 𝒌 Semana 2: Medidas de tendencia central (datos no agrupados) Media aritmética 𝑿 ̅ = ∑ 𝑿𝒊 𝒏 Propiedades de la media aritmética Nueva Variable Nueva Media 𝒚𝒊 = 𝒙𝒊 ± 𝒃 𝒚 ̅ = 𝒙 ̅ ± 𝒃 𝒚𝒊 = 𝒄 𝒙𝒊 𝒚 ̅ = 𝒄𝒙 ̅ 𝒚𝒊 = 𝒄𝒙𝒊 ± 𝒃 𝒚 ̅ = 𝒄𝒙 ̅ ± 𝒃 Mediana Impar: 𝑴𝒆 = 𝒙( 𝒏+𝟏 𝟐 ) Par: 𝑴𝒆 = 𝒙 ( 𝒏 𝟐 ) +𝒙 ( 𝒏 𝟐 +𝟏) 𝟐 Moda (Dato más frecuente) Medidas de tendencia no central (datos no agrupados) Cálculo de percentiles 1. Ordenar los datos en forma ascendente. 2. Hallar la posición (j) del percentil (Pk) a partir de la siguiente expresión: 𝒋 = 𝒌(𝒏 + 𝟏) 𝟏𝟎𝟎 3. Ubicar el percentil en la posición hallada si “j” es un número entero; caso contrario, el percentil se calcula con la siguiente fórmula: 𝑷𝒌 = 𝑳𝒊 + 𝒅𝒆𝒄 × (𝑳𝒅 − 𝑳𝒊)
- 2. Semana 3: Medidas de variabilidad Rango: 𝑹 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 − 𝑿𝒎𝒊𝒏 Rango Intercuartilico: 𝑹𝑰 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 Varianza: 𝒔𝟐 = ∑ 𝑿𝒊 𝟐 −𝒏𝑿 ̅𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏−𝟏 Desviación Estándar: 𝒔 = √𝒔𝟐 Coeficiente de Variación 𝑪𝑽 = 𝑺 𝑿 ̅ × 𝟏𝟎𝟎 Propiedades de la Varianza Nueva Variable Nueva Media Nueva varianza Nueva desviación estándar 𝒚𝒊 = 𝒙𝒊 ± 𝒃 𝒚 ̅ = 𝒙 ̅ ± 𝒃 𝒔𝒚 𝟐 = 𝒔𝒙 𝟐 𝒔𝒚 = 𝒔𝒙 𝒚𝒊 = 𝒄 𝒙𝒊 𝒚 ̅ = 𝒄𝒙 ̅ 𝒔𝒚 𝟐 = 𝒄𝟐 𝒔𝒙 𝟐 𝒔𝒚 = 𝒄𝒔𝒙 𝒚𝒊 = 𝒄𝒙𝒊 ± 𝒃 𝒚 ̅ = 𝒄𝒙 ̅ ± 𝒃 𝒔𝒚 𝟐 = 𝒄𝟐 𝒔𝒙 𝟐 𝒔𝒚 = 𝒄𝒔𝒙 Medidas de Forma Coeficiente de Asimetría 𝑨𝒌 = 𝟑(𝑿 ̅ − 𝑴𝒆) 𝑺 Medidas de Concentración Coeficiente de Curtosis. 𝑲𝒖 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 𝟐(𝑷𝟗𝟎 − 𝑷𝟏𝟎) = 𝑷𝟕𝟓 − 𝑷𝟐𝟓 𝟐(𝑷𝟗𝟎 − 𝑷𝟏𝟎) Semana 4: Probabilidad Experimento aleatorio Espacio muestral: (Ω) Eventos: A, B, C… Operaciones entre eventos. Unión: 𝑨 ∪ 𝑩 Intersección: 𝑨 ∩ 𝑩 Eventos mutuamente excluyentes 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ Probabilidad de un evento: 𝑷(𝑨) = 𝒏 (𝑨) 𝒏(𝜴) Probabilidad condicional 𝑷(𝑨/𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 𝑷(𝑩) Principio de adición para 2 eventos 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
- 3. Semana 5: Principio de multiplicación para n eventos 𝑷(𝑨𝟏 ∩ 𝑨𝟐 ∩ … ∩ 𝑨𝒏) = 𝑷(𝑨𝟏) 𝑷(𝑨𝟐/𝑨𝟏) … 𝑷(𝑨𝒏/𝑨𝟏 ∩ … ∩ 𝑨𝒏−𝟏) Eventos independientes para 2 eventos 𝑷(𝑨/𝑩) = 𝑷(𝑨) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩) Teorema de probabilidad total 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨𝟏) × 𝑷(𝑨/𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐) × 𝑷(𝑨/𝑨𝟐) + ⋯ + 𝑷(𝑨𝒏) × 𝑷(𝑨/𝑨𝒏) Teorema de Bayes 𝑷(𝑨𝒊/ 𝑨) = 𝑷(𝑨𝒊 ∩ 𝑨) 𝑷(𝑨) 𝑷(𝑨𝒊/ 𝑨) = 𝑷(𝑨𝒊) × 𝑷(𝑨/𝑨𝒊) 𝑷(𝑨𝟏) × 𝑷(𝑨/𝑨𝟏) + 𝑷(𝑨𝟐) × 𝑷(𝑨/𝑨𝟐) + ⋯ + 𝑷(𝑨𝒏) × 𝑷(𝑨/𝑨𝒏) ; 𝒊 Semana 6: Distribución Binomial Función de probabilidad de la distribución Binomial. 𝑷(𝑿 = 𝒙) = ∁𝒙 𝒏 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝒏−𝒙 Medidas de resumen. Esperanza Matemática 𝑬(𝑿) = 𝒏 𝒑 Varianza 𝑽(𝑿) = 𝒏 𝒑(𝟏 − 𝒑) Distribución Poisson Función de probabilidad de la distribución Poisson. 𝑷(𝑿 = 𝒙) = 𝒆−𝝀 × 𝝀𝒙 𝒙! Medidas de resumen. Esperanza Matemática 𝑬(𝑿) = 𝝀 Varianza 𝑽(𝑿) = 𝝀 Semana 7: Distribución normal Estandarización 𝒁 = 𝑿 − 𝝁 𝝈 ESTADISTICA APLICADA Semana 1: Estimación por intervalo para la media o promedio poblacional 𝝁: Caso I: Cuando σ2 es conocido: 𝑰𝑪(𝝁) = 〈𝒙 ̅ ± 𝒁𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ 𝝈 √𝒏 〉 Caso II: Cuando σ2 es desconocido (n≤ 30) 𝑰𝑪(𝝁) = 〈𝒙 ̅ ± 𝒕𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ ;𝒏−𝟏 𝑺 √𝒏 〉 Caso III: Cuando σ2 es desconocido (n> 30) 𝑰𝑪(𝝁) = 〈𝒙 ̅ ± 𝒛𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ 𝑺 √𝒏 〉
- 4. Estimación por intervalo para la proporción poblacional 𝝅: 𝑰𝑪(𝝅) = 𝒑 ± 𝒁𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ √ 𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝒏 Estimación por intervalo para la varianza poblacional 𝝈𝟐 : (𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐 𝝌𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ ;𝒏−𝟏 𝟐 ≤ 𝝈𝟐 ≤ (𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐 𝝌𝜶 𝟐 ⁄ ;𝒏−𝟏 𝟐 Tamaño de muestra Media 𝒏𝟎 = 𝒛𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ 𝟐 × 𝝈𝟐 𝜺𝟐 Proporción: 𝒏𝟎 = 𝒛𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ 𝟐 𝒑(𝟏 − 𝒑) 𝜺𝟐 Factor de corrección si se conoce la población 𝒏 = 𝒏𝟎 𝟏 + 𝒏𝟎 𝑵 Semana 2: Intervalo de confianza para el cociente de varianzas (𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 ⁄ ) 〈 𝒔𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 × 𝟏 𝑭𝜶 𝟐 ⁄ , 𝒏𝟏−𝟏; 𝒏𝟐−𝟏 ≤ 𝝈𝟏 𝟐 𝝈𝟐 𝟐 ≤ 𝒔𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 × 𝑭𝜶 𝟐 ⁄ , 𝒏𝟐−𝟏; 𝒏𝟏−𝟏〉 Intervalo de confianza para las diferencias de medias poblacionales (𝝁𝟏 − 𝝁𝟐) Caso 1: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas 𝑰𝑪(𝝁𝟏 − 𝝁𝟐) : (𝒙 ̅ − 𝒚 ̅) ± 𝒛𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ √ 𝝈𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝝈𝟐 𝟐 𝒏𝟐 Caso 2: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero homogéneas 𝑰𝑪(𝝁𝟏 − 𝝁𝟐) : (𝒙 ̅ − 𝒚 ̅) ± 𝒕𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ ;𝒏𝟏+𝒏𝟐−𝟐 √( (𝒏𝟏 − 𝟏)𝒔𝟏 𝟐 + (𝒏𝟐 − 𝟏)𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ) ( 𝟏 𝒏𝟏 + 𝟏 𝒏𝟐 ) Caso 3: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no homogéneas 𝑰𝑪(𝝁𝟏 − 𝝁𝟐) : (𝒙 ̅ − 𝒚 ̅) ± (𝒕𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ ; 𝒈 ) √ 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 Grados de libertad 𝒈 = [ 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 ] 𝟐 [ 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 ] 𝟐 𝒏𝟏 + 𝟏 + [ 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 ] 𝟐 𝒏𝟐 + 𝟏 − 𝟐 Intervalo de confianza para la diferencia de 2 proporciones poblacionales (𝝅𝟏 − 𝝅𝟐)
- 5. 𝑰𝑪(𝝅𝟏 − 𝝅𝟐) : (𝒑 𝟏 − 𝒑𝟐) ± 𝒛𝟏−𝜶 𝟐 ⁄ √ 𝒑𝟏(𝟏 − 𝒑𝟏) 𝒏𝟏 + 𝒑𝟐(𝟏 − 𝒑𝟐) 𝒏𝟐 Semana 3: PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS Paso 1 (Plantee las hipótesis de prueba) Paso 2 (Establezca el nivel de significancia) α Paso 3 (Calcule el valor del estadístico de prueba) La decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula, se hace en base al valor del estadístico de contraste (estadístico de prueba), este valor se obtiene con los datos de la muestra. Paso 4 Regla de decisión La región de rechazo, también conocida como región crítica, se establece a partir del nivel de significancia α. Paso 5 (Concluya de acuerdo al enunciado del problema) Si el valor del estadístico de prueba cae en la región de rechazo, se rechaza la hipótesis nula (H0), caso contrario no se rechaza. Prueba de Hipótesis para la media poblacional: CASO 1: Cuando σ es conocido 𝒁𝒄𝒂𝒍 = 𝒙 ̅ − 𝝁𝟎 𝝈 √𝒏 ~𝑵(𝟎, 𝟏) CASO 2: Cuando σ es desconocido y n ≤ 30 𝑻𝒄𝒂𝒍 = 𝒙 ̅ − 𝝁𝟎 𝒔 √𝒏 ~𝒕𝒏−𝟏 CASO 3: Cuando σ es desconocido y n > 30 𝒁𝒄𝒂𝒍 = 𝒙 ̅ − 𝝁𝟎 𝒔 √𝒏 ~𝑵(𝟎, 𝟏) Prueba de Hipótesis para la proporción poblacional: 𝒁𝒄𝒂𝒍 = 𝒑 − 𝝅𝟎 √𝝅𝟎(𝟏 − 𝝅𝟎) 𝒏 ~𝑵(𝟎, 𝟏) 𝒑 = ∑ 𝑿𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ 𝑿𝒏 𝒏 Prueba de Hipótesis para la varianza poblacional: 𝝌𝒄𝒂𝒍 𝟐 = (𝒏 − 𝟏)𝒔𝟐 𝝈𝟎 𝟐 ~𝝌𝒏−𝟏 𝟐
- 6. Semana 4: Prueba de hipótesis para el cociente de varianzas poblacionales: 𝑭𝒄𝒂𝒍 = 𝒔𝟏 𝟐 𝒔𝟐 𝟐 ~𝑭𝒏𝟏−𝟏, 𝒏𝟐−𝟏 Prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales: Caso 1: Cuando las varianzas poblacionales son conocidas 𝒁𝒄𝒂𝒍 = (x ̅1 − x ̅2) − μ0 √ 𝜎1 2 𝑛1 + 𝜎2 2 𝑛2 Caso 2: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero homogéneas 𝒕𝒄𝒂𝒍 = (𝒙 ̅𝟏 − 𝒙 ̅𝟐) − 𝝁𝟎 √ (𝒏𝟏 − 𝟏)𝑺𝟏 𝟐 + (𝒏𝟐 − 𝟏)𝑺𝟐 𝟐 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐 ( 𝟏 𝒏𝟏 + 𝟏 𝒏𝟐 ) Caso 3: Cuando las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no homogéneas 𝒕𝒄𝒂𝒍 = (x ̅1 − x ̅2) − μ0 √ 𝑆1 2 𝑛1 + 𝑆2 2 𝑛2 Grados de libertad 𝒈 = ( 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 + 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 ) 𝟐 ( 𝒔𝟏 𝟐 𝒏𝟏 ) 𝟐 𝒏𝟏 + 𝟏 + ( 𝒔𝟐 𝟐 𝒏𝟐 ) 𝟐 𝒏𝟐 + 𝟏 − 𝟐 Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones (𝝅𝟏 − 𝝅𝟐) = 𝝅𝟎 Prueba de hipótesis para la igualdad de proporciones Zcal = 𝑝1 − 𝑝2 √𝑝̂(1 − 𝑝̂) ( 1 𝑛1 + 1 𝑛2 ) 𝑝̂ = 𝑛1𝑝1 + 𝑛2𝑝2 𝑛1 + 𝑛2 Prueba de hipótesis para la diferencia de proporciones diferentes de cero 𝒁𝒄𝒂𝒍 = (𝒑𝟏 − 𝒑𝟐) − 𝝅𝒐 √ 𝒑𝟏(𝟏 − 𝒑𝟏) 𝒏𝟏 + 𝒑𝟐(𝟏 − 𝒑𝟐) 𝒏𝟐
- 7. Semana 5: Análisis de varianza (ANOVA) 𝐻0:𝜇1 = 𝜇2 = 𝜇3 = ⋯ = 𝜇𝑘 𝐻1:𝐴𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝜇𝑖 es diferente Fcal = CMTra CME ~ 𝐹𝑘−1; 𝑛−𝑘; 𝛼 Cuadro ANOVA Fuente de variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrados medios Fcal Tratamiento k – 1 SCTra = ∑ T.j 2 𝑛𝑗 − T.. 2 𝑛 k j=1 CMTra = SCTra 𝑘 − 1 Fcal = CMTra CME Error n – k SCE = SCT − SCTra CME = SCE 𝑛 − 𝑘 Total n – 1 SCT = ∑ ∑ 𝑦ij 2 𝑟 i=1 𝑘 j=1 − T.. 2 𝑛 Semana 6: Prueba de Independencia 𝜒𝑐𝑎𝑙 2 = ∑ ∑ (𝑜𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)2 𝑒𝑖𝑗 𝑐 𝑗=1 𝑟 𝑖=1 ~ 𝜒[1−𝛼; (𝑟−1)×(𝑐−1)] 2 r=Número de categorías de la variable X c=Número de categorías de la variable Y Frecuencia esperada 𝒆𝒊𝒋 = 𝒏𝒊. × 𝒏.𝒋 𝒏.. Coeficiente de contingencia 𝐶 = √ 𝜒𝑐𝑎𝑙 2 𝜒𝑐𝑎𝑙 2 + 𝑛 Prueba de homogeneidad 𝜒𝑐𝑎𝑙 2 = ∑ ∑ (𝑜𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗)2 𝑒𝑖𝑗 𝑘 𝑗=1 𝑟 𝑖=1 ~ 𝜒[1−𝛼, (𝑟−1)×(𝑘−1)] 2 r=Número de categorías de la variable k=Número de poblaciones
- 8. Semana 7: Regresión lineal simple 𝑺𝑪(𝒙) = ∑ 𝒙𝟐 − 𝒏𝒙 ̅𝟐 𝑺𝑪(𝒚) = ∑ 𝒚𝟐 − 𝒏𝒚 ̅𝟐 𝑺𝑷(𝒙𝒚) = ∑ 𝒙𝒚 − 𝒏 𝒙 ̅ 𝒚 ̅ Estimación de los parámetros del modelo de regresión lineal simple 𝒀 ̂ = 𝒃𝟎 + 𝒃𝟏𝑿 𝜷 ̂𝟏 = 𝒃𝟏 = 𝑺𝑷(𝒙, 𝒚) 𝑺𝑪(𝒙) 𝜷 ̂𝟎 = 𝒃𝟎 = 𝒚 ̅ − 𝒃𝟏𝒙 ̅ Prueba de hipótesis para validar el modelo Paso 1 (Plantee las hipótesis de prueba) 𝑯𝟎: 𝜷𝟏 = 𝟎 (La recta de regresión no es significativa) 𝑯𝟏: 𝜷𝟏 ≠ 𝟎 (La recta de regresión es significativa) Paso 2 (Establezca el nivel de significancia) α Paso 3 (Calcule el valor del estadístico de prueba) 𝑻𝒄𝒂𝒍 = 𝒃𝟏 𝑺𝒃𝟏 ~𝒕𝒏−𝟐 𝑺𝒃𝟏 = 𝑺𝒆 √𝑺𝑪(𝑿) 𝑺𝒆 = √ ∑ 𝒚𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 − 𝒃𝟎 ∑ 𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 − 𝒃𝟏 ∑ 𝒙𝒊𝒚𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 − 𝟐 Coeficiente de correlación: 𝑟 = 𝑆𝑃(𝑥, 𝑦) √𝑆𝐶(𝑥) √𝑆𝐶(𝑦) ; −1 ≤ 𝑟 ≤ 1 Coeficiente de determinación 𝑅2 = 𝑏1𝑆𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑆𝐶(𝑦) ; 0 ≤ 𝑅2 ≤ 1