Informe Unidad I Matemática Inicial UPTAEB

1. Unidad 1
Expresiones Algebraicas,
Factorización y Radicación
María de los Ángeles Pérez Pérez
CI. 18.486.195
Matemática Inicial
Grupo B
PNF Informática
Barquisimeto, 06 de diciembre de 2022
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL DE LARA
ANDRÉS ELOY BLANCO

2. ¿Qué son expresiones algebraicas?
También podemos encontrar definiciones como, una expresión algebraica es una combinación de
números, variables (o símbolos) y operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y
radicación).
En el libro Álgebra de Baldor, se define una expresión algebraica como la
representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones
algebraicas.
Las siguientes expresiones son ejemplos de expresiones algebraicas:
a , 3xy, (a+b)4, (8x-y+x4y2 ) , 4x/xy2
Otra definición que debemos conocer es término, un término es cada uno de los elementos que
conforman una expresión algebraica siempre y cuando estén separados por los signos + o -.
Las siguientes expresiones son ejemplos de términos
3b, -5x4y2 , 8x , 18x7/4x

3. Para sumar y restar expresiones algebraicas debemos tener en cuenta dos cosas, los términos semejantes y
la ley de los signos para suma y resta.
Para resolver estos casos no tenemos más que sumar o restar los términos semejantes teniendo en cuenta
los signos de cada uno de los términos.
Suma y resta de expresiones algebraicas
Ley de los signos para
Suma y Resta nos indica
que los signos iguales se
suman y se coloca el
mismo signo y cuando
tenemos signos opuestos
se resta y se coloca el
signo del mayor.
Ejemplo:
➢ 5 + 6 = 11
➢ -4 - 10 = -14
➢ 5 - 2 = 3
➢ 8 - 12 = -4
Ejemplo 1
Dado xy2 - 4xy2 + 16xy2
Sumando términos semejantes
tenemos que
xy2 - 4xy2 + 16xy2 = 13xy2
Ejemplo 2
Dado xy2 + y2 - 4xy2 + 16 - x2
Sumando términos semejantes tenemos que
xy2 + y2 - 4xy2 + 16 - x2 = -x2 - 3xy2 +y2 + 16
Notemos que sumamos o restamos los coeficientes de cada término, no las
variables ni los exponentes.

4. El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las variables o
letras por algún valor numérico dado y luego realizar las operaciones indicadas (suma, resta,
multiplicación… )
Se debe aclarar que una sola expresión algebraica puede tener más de un valor numérico, depende de
los valores a sustituir.
Valor Numérico
Ejemplo 1
Dado xy2 - 4xy2 + 16xy2 obtener el valor
numérico cuando x = 1 y y = 2
Simplificando la operación y sustituyendo
los valores dados en nuestra expresión
tenemos que:
xy2 - 4xy2 + 16xy2 = 13xy2
= 13*(1)*(2)2
= 52
Ejemplo 2
Dado 4x2 + 3x4 - 16x obtener el valor
numérico cuando x = 1 y cuando x = 2
a. Cuando x = 1,
sustituyendo el valor en nuestra expresión
tenemos que:
4x2 + 3x4 - 16x = 4(1)2 + 3(1)4 - 16(1)
= 4(1)2 + 3(1)4 - 16(1)
= 4 + 3 - 16
= -9
b. Cuando x = 2,
sustituyendo el valor en nuestra expresión
tenemos que:
4x2 + 3x4 - 16x = 4(2)2 + 3(2)4 - 16(2)
= 4(4) + 3(16) - 16(2)
= 23
Con este ejemplo podemos notar como la misma
expresión algebraica obtiene dos resultados totalmente
distintos dependiendo del valor que tome la variable

5. Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de expresiones algebraicas es una operación matemática que consiste en multiplicar dos factores
(multiplicando y multiplicador) para obtener como resultado una nueva expresión algebraica llamada producto.
El proceso consiste en multiplicar todos los términos del primer factor por cada uno de los términos del segundo factor,
pero también debemos tener en cuenta las leyes de los signos para la multiplicación, leyes de exponentes para la
multiplicación, así como las leyes asociativas, distributivas y conmutativa.
Ejemplo 2
Dados 5x2 y x2 - 4x4 + x - 10
Aplicando distributiba y leyes de los
exponentes tenemos que:
5x2 ( x2 - 4x4 + x - 10 )
= 5x2(x2) - 5x2(4x4) + 5x2(x) - 5x2(10)
= 5x4 - 20x6 + 5x3 - 50x2
Ejemplo 1
Dados 4x + 3 y 2x - 1 realice la
multiplicación
Aplicando propiedad distributiva, leyes de
los exponentes y luego suma de términos
semejantes tenemos que:
(4x + 3) (2x - 1) = 4x(2x - 1) + 3 (2x - 1)
= 8x2 - 4x + 6x - 3
= 8x2 + 2x - 3
La Ley de los signos para
la multiplicación nos
indica que la multiplicación
de signos iguales siempre
da como resultado una
expresión positiva y la
multiplicación de signos
diferentes siempre da
como resultado una
expresión negativa.
Ejemplo:
➢ 5 * 6 = 30
➢ -4 * (-10) = 40
➢ 5 * (-2) = -10
➢ 8 * ( -12) = -96

6. División de expresiones algebraicas
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas (dividendo y divisor) que da como
resultado una nueva expresión llamada cociente.
Al dividir polinomios debemos tener en cuenta que el mayor exponente de algún término del dividendo debe ser
mayor o igual al mayor exponente de algún término del divisor. También es común hacer uso de las leyes de los
signos para la división y las leyes de los exponentes para la división.
Donde
D: Dividendo q: cociente
d: Divisor R: resto
El resultado de las divisiones pueden ser
comprobados mediante el uso de la siguiente fórmula
La Ley de los signos para
la división nos indica que
la división de signos
iguales siempre da como
resultado una expresión
positiva y la división de
signos diferentes siempre
da como resultado una
expresión negativa.
Ejemplo:
➢ 4 / 2 = 2
➢ -16 / 4 = -4
➢ 20 / (-2) = -10
➢ -8 / -2 = 4
Existen dos tipos de
división:
➢ La división exacta: es
la división en la que el
resto es igual a cero
(0).
➢ La división inexacta:
es aquella en la que el
resto es distinto a cero.
El esquema clásico para la división de polinomios
con varios término es:

7. División de expresiones algebraicas
Ejemplo 2
Dados 18x4 y 6x2
Tenemos que:
18x4 / 6x2 = (18/6) x4-2
= 3x2
Ejemplo 1
Dados -25x6 y 5x2
Tenemos que el resultado será la división de los
coeficientes de las variables y por ley de los
exponentes sabemos que estos se restan ya
que la base es la misma
-25x6 / 5x2 = (- 25/5) x6-2
= -5x4
Dado que los ejemplos anteriores son exactos podemos comprobar los
resultados mediante la utilización de la fórmula vista anteriormente
Comprobación ejemplo1
D = ? d = 5x2
C = -5x4 R = 0
Entonces
D(x) = 5x2 * (-5x4) + 0 = -25 x2+4 = -25x6
Comprobación ejemplo2
D = ? d = 6x2
C = 3x2 R = 0
Entonces
D(x) = 6x2 (3x2) + 0 = 18x4

8. Productos notables de expresiones algebraicas
Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas los cuales cuentan con ciertas
características especiales que los catalogan como notables.
Para que un producto sea notable su resultado debe ser obtenido mediante una simple observación de la
expresión, sin tener la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.
Algunos productos notables son:
➢ Binomio al cuadrado:
para la suma: (a + x ) 2 = a2 + 2ax + x2
para la resta: (a - x ) 2 = a2 - 2ax + x2
➢ Binomio al cubo:
para la suma: (a + x)3 = a3 + 3a2x + 3ax2 + x3
para la resta: (a - x )3 = a3 - 3a2x + 3ax2 - x3
➢ Diferencia de cuadrados:
a2 - x2 = (a + x ) (a - x )
➢ Diferencia de cubos:
a3 - x3 = (a - x ) (a2 + ax + x2 )
➢ Suma de cubos:
a3 + x3 = (a + x ) (a2 + ax + x2 )
➢ Trinomio al cuadrado:
(a + x + y )2 = a2 + x2 + y2 + 2(ax + xy + ay)

9. Productos notables de expresiones algebraicas
Ejemplo: Binomio al cuadrado
1. Dado (m + 2)2
Tenemos que:
(m + 2)2 = m2 + 2(m)(2) + 22
= m2 + 4m + 4
2. Dado (m - 2)2
Tenemos que:
(m + 2)2 = m2 - 2(m)(2) + 22
= m2 - 4m + 4
Ejemplo: Diferencia de cuadrado
1. Dado (m + n)(m - n)
Tenemos que:
(m + n)(m - n) = m(m -n) + n(m-n)
= m2 -mn + mn - n2
= m2 - n2
2. Dado (x + 1)(x - 1)
Tenemos que:
(x + 1)(x - 1) = x(x - 1) + 1(x-1)
= x2 -x + x - 12
= x2 - 1

10. Productos notables de expresiones algebraicas
Ejemplo: Binomio al cubo
Dado (2m + 3y)3
Tenemos que:
(2m + 3y)3 = (2m)3 + 3(2m)2 (3y) +3(2m)(3y)2 + (3y)3
= 8m3 + 36m2y + 54my2 + 27y3
Ejemplo: Trinomio al cuadrado
1. Dado (x2 - x + 1)2
Tenemos que:
(a + x + y )2 = a2 + x2 + y2 + 2(ax + xy + ay)
(x2 - x + 1)2 = (x2)2 +(-x)2 +12 + 2[ (x2)(-x) + (x2)(1) + (-x)(1)]
= x4 + x2 + 1 + 2(-x3 + x2 - x)
= x4 + x2 + 1 - 2x3 + 2x2 - 2x
= x4 + 3x2 + 1- 2x3 - 2x
= x4 - 2x3+ 3x2 -2x + 1

11. Factorización
Es el proceso mediante el cual se expresa una suma o diferencia de términos como el producto de dos o más
factores. Se puede considerar que es la operación inversa a la multiplicación.
Existen varios tipos de factorización.
➢ Factor común: Consiste en obtener el factor común entre todos los términos que conforman la
expresión, este factor es el máximo común divisor de los coeficientes numéricos y la variable de menor
potencia.
➢ Inspección o tanteo: Este método se utiliza en los trinomios con la forma ax2 + x + c donde a,b,c son
cualquier número real
El trinomio es factorizable por este método sí y solo sí △ = b2 - 4ac >= 0
➢ Diferencia de cuadrados: En este método es necesario hacer uso del producto notable visto
anteriormente a2 - x2 = (a + x ) (a - x )
➢ Suma y resta de cubos: Este método está conformado por un binomio y un trinomio y hace uso de los
productos notables suma o diferencia de cubos.

12. Ejemplo: Factorización por factor común
Dado 12x3 3y2z - 42z2y4x2
Tenemos que:
las variables comunes de menor potencia son
x2y2z
Los factores de 12 son 1,2,3,4,6,12
Los factores de 42 son 1,2,3,6,7,14,21,42
Por tanto el factor con mayor valor común entre ambos es 6
Así tenemos que el factor común de ambas expresiones es 6x2y2z
Por lo que podemos decir que
12x3 3y2z - 42z2y4x2 = 6x2y2z(2x - 7y2z)
Factorización
Ejemplo: Factorización por inspección
Dado x2 + 2x - 8
Tenemos que:
Los valores de los coeficientes son a = 1, b = 2, c = -8
Obtenemos el determinante △ = (2)2 - 4(1)(-8) = 36 > 0
Ahora debemos obtener dos valores que sumados den
el valor de b (2) y multiplicados den el valor de c (-8)
Estos valores son 4 y -2
Por tanto podemos decir que:
x2 + 2x - 8 = (x+4)(x-2)

13. Ejemplo: Factorización por diferencia de cuadrados
Dado 25y2 - 49
Debemos verificar que se puede aplicar la diferencia de cuadrados obteniendo la raíz
cuadrada de cada uno de los términos
(25y2 )1/2 = 5y
(49)1/2 = 7
Por lo que podemos decir que
25y2 - 49 = (5x + 7)(5x - 7)
Factorización

14. Bibliografía
- Baldor, A (2020). Álgebra de Baldor (4ta ed). México, Grupo Patria Cultural.
- Campo, O (2010). Soluciones prácticas de matemáticas (1ra ed). Venezuela, Editorial
Biosfera.
- Blog Ciencias basicas, operaciones algebraicas, https://ciencias-basicas.com/operaciones-
algebraicas/
- Universidad Pontificia Javeriana de Cali, Fundamentos de la matemáticas
https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/Expr
esiones/Cap2/
- Universidad Técnica Nacional, Factorización de expresiones algebraicas
http://ftp.campusvirtual.utn.ac.cr/calculo/Factorizacion.pdf
- Blog expresiones algebraicas
https://sites.google.com/site/expresionesalgebraicasalex/contenido/lenguaje-algebraico