Administracion y programacion de proyectos

OPERACIONES 2
Proyectos y Redes

Profesor: Pablo Diez Bennewitz
Ingeniería Comercial – U.C.V.

SISTEMATIZACIÓN DE LA ADMINISTRACION DE
OPERACIONES - EL MODELO
Tomado y adaptado de “Administración de Producción y las Operaciones”. Adam y Ebert
PLANIFICACION

MODELOS

PLANIFICACION
(DISEÑO) DE LOS SISTEMAS DE CONVERSION:
• ESTRATEGIAS DE OPERACION
• PREDICCION (PRONOSTICOS)
• ALTERNATIVAS DISEÑO PRODUCTOS/PROCESOS
• CAPACIDAD DE OPERACIONES
• PLANEACION UBICACION INSTALACIONES
• PLANEACION DISTRIBUCION FISICA

ORGANIZACION

ORGANIZACION PARA LA CONVERSION

M

• DISEÑO DE PUESTOS DE TRABAJO
• ESTANDARES DE PRODUCCION / OPERACIONES
• MEDICION DEL TRABAJO
• ADMINISTRACION DE PROYECTOS

PROGRAMACION SISTEMAS CONVERSION

• PROGRAMACION SISTEMAS Y PLANEACION AGREGADA
• PROGRAMACION OPERACIONES

INSUMOS

MODELOS

M

PROCESO de CONVERSION
SEGUIMIENTO
CONTROL

PRODUCTOS

CONTROL

• CONTROL DEL SISTEMA DE CONVERSION
• CONTROL DE INVENTARIO
• PLAN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES
• ADMNISTRACION PARA LA CALIDAD
• CONTROL DE CALIDAD

RETROALIMENTACION

MODELOS

M

• Productos
• Servicios
• Información

RESULTADOS

PLANIFICACION Y
PROGRAMACION DE PROYECTOS
Un proyecto es cualquier empresa humana con
un claro principio y un claro final
Administrar un proyecto implica planificar, dirigir
y controlar los recursos (personas, equipos y
materiales) para cumplir con las restricciones
técnicas, de costos y de tiempo para el proyecto

ELEMENTOS COMUNES
DE LOS PROYECTOS
Siempre hay en cada proyecto:
• Una combinación de actividades
• Una relación secuencial entre algunas actividades
• Una preocupación por los recursos:
Completar el proyecto dentro del
presupuesto y del plazo establecido

PLANIFICACION Y
PROGRAMACION DE PROYECTOS
Planificación
del Proyecto

• Desglosar el proyecto en
actividades
• Estimar los recursos y el
tiempo para cada actividad
• Describir interrelaciones
entre actividades

Programación
del Proyecto

• Detallar las fechas de inicio
y de término para cada
actividad

ESTRUCTURA DE LA
DIVISION DEL TRABAJO
Es clave para administrar proyectos, dado que
permite abordar las distintas etapas del proyecto
en términos jerárquicos
La división del trabajo se realiza considerando los
siguientes aspectos:
• Independencia sobre las distintas etapas del proyecto
• Proporcionar la autoridad para desarrollar el programa
• Supervisar y medir el programa
• Proporcionar los recursos requeridos

CARTA GANTT
Es una representación gráfica de actividades a
través del tiempo. Es muy fácil de usar y flexible
para la administración de proyectos, sirviendo
como herramienta de planificación y control
En el lado izquierdo se encuentra la lista de las
actividades del proyecto. El tiempo se muestra
horizontalmente, generalmente abajo de la carta.
Entonces, la duración de cada actividad se da
como una barra desde la fecha de inicio hasta la
fecha de término

CARTA GANTT
Ejemplo: Instalación de un local comercial
1 : Negociación de arriendo para un local comercial
2 : Contacto con proveedores (cotizaciones, servicio)
3 : Estudio de mercado (demanda de consumidores)
4 : Estudio técnico (mobiliario, luces, estantes, baño)
5 : Estudio legal (inscripción, patente, derechos)
6 : Firma del contrato de arriendo
7 : Inversiones técnicas (compra muebles, arreglos)
8 : Inscripciones legales (timbrar boletas, permisos)
9 : Contratación de personal
10: Operación del negocio (ciclo compras - ventas)

CARTA GANTT
Ejemplo: Instalación de un local comercial
Actividades
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

La longitud
de cada barra
de actividad
representa el
100% de su
realización
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

Tiempo
(semanas)

MEDICION DEL GRADO DE AVANCE
Se representa mediante el achuramiento de las
barras de programación previas, permitiendo el
control de la carta gantt
Por ejemplo:

Actividad
x
y
z
Marzo Abril Mayo
Hoy

tiempo
(meses)

La actividad x lleva 50% de avance y está retrasada
La actividad y lleva 50% de avance y está adelantada
La actividad z lleva 25% de avance y va a al día

OTRAS SIMBOLOGIAS DE LA
CARTA GANTT
• Indicación de Tiempo Ocioso >>>>
A veces los procesos requieren un tiempo de
espera, el que no se indica como una actividad en
la carta gantt, puesto que no se emplean recursos
• Permiso para Inicio Anticipado de Actividad <<<<
Permite que una actividad pueda empezar antes
de lo previsto en la secuencia de la carta gantt
• Carga Residual
Significa que hay una tarea pendiente, la que
corresponde a proyectos anteriores inconclusos

VENTAJAS DE LA CARTA GANTT
• Simplicidad y facilidad para entenderla
• Obliga a realizar un ejercicio de planificación
muy provechoso
• Sencillez en actualizar la gráfica para mostrar
el estado actual para propósitos de control

DESVENTAJA DE LA CARTA GANTT
• Dificultad para mostrar las relaciones entre las
actividades: la secuencia de actividades no es
siempre del todo clara

DIAGRAMA DE BARRAS
Se construyen por debajo de la carta gantt para
conocer las cantidades específicas de los
recursos relevantes, requeridos y utilizados, a lo
largo del tiempo
Se hacen tantos diagramas de barras como
recursos que se deseen analizar para:
• Saber cuántos recursos se requieren
en cada instante de tiempo
• Determinar la dotación de recursos de
capacidad estable más conveniente

DIAGRAMA DE BARRAS
Carta Gantt

tiempo
Recurso 1 (Mano de obra)
tiempo
Recurso 2 (Capital: UF)
tiempo
Recurso 3 (Energía, Materiales, Información, etc ....)

EJEMPLO DE DIAGRAMA DE BARRAS
Personas
5 -4 -3 -2 -1 -1

Máquinas

2

3

4

5

6

7

3 -2 -1 -1

2

3

4

5

6

7

tiempo

tiempo

Esto indica que, por ej, para cumplir las actividades
la 3ª semana, se necesitan 3 personas y 2 máquinas

DOTACION OPTIMA DE RECURSOS
Mediante un análisis económico de costos se
determina la dotación de cada recurso relevante,
ponderando también los factores cualitativos

+ Dotación de
Recursos
-

Aumento de Costos por
Mayor Capacidad Ociosa
recursos subutilizados

Aumento de Costos por
Dotación de
Contratación de Recursos
Recursos
Adicionales
mano de obra extraordinaria,
trabajo en turno extraordinario, etc

EJEMPLO DE DIAGRAMA DE BARRAS
Personas
5 -4 -3 -2 -1 -1

Máquinas

2

3

4

5

6

7

3 -2 -1 -1

2

3

Evaluación de dotación
óptima de recursos

4

5

Mín

6

Costos

7

+

tiempo

tiempo
Costos

RELACION ENTRE
ACTIVIDADES Y RECURSOS
Una actividad generalmente tiene varios recursos
asociados. Lo importante es tener un gráfico de
barras por cada recurso relevante
Los recursos normalmente son
variables discretas (personas,
máquinas, herramientas, fondos
financieros, UF), no obstante también
suelen ser variables continuas
(m 2 de espacio, combustible, energía)

RUTA CRITICA
Es aquella secuencia de actividades que no
posee holguras de tiempo, entre el inicio de la
primera actividad y el término de la última
actividad, definiendo así la ruta más larga a
través de una red
En otras palabras, si al
menos alguna de las
actividades en la ruta
crítica se retrasa, todo
el proyecto se retrasa

EJEMPLO DE RUTA CRITICA

2

3
1

4

8
5

3

Precedente Posterior Tiempo
1
2
3
1
3
4
2
4
8
3
4
5
3
5
6
4
5
10

4
6

Ruta 1 - 2 - 4 - 5 : 21 (días)
Ruta 1 - 3 - 4 - 5 : 19 (días)
Ruta 1 - 3 - 5 : 10 (días)

10
5
Ruta Crítica: 1 - 2 - 4 - 5

CARACTERISTICAS DE LAS
ACTIVIDADES EN LOS PROYECTOS
• Son tareas o trabajos bien definidos, cuya
conclusión conjunta marca el término del proyecto
• Las tareas o trabajos son independientes: deben
iniciar, llevarse a cabo y detenerse por separado,
con una asignación específica de recursos
• Ordenamiento de las tareas o trabajos, siguiendo
una a otra según determinadas secuencias
(las tareas son dependientes según las secuencias)

TECNICA DE REDES O MALLAS
( PERT - CPM )
Es un conjunto de técnicas gráficas que se
utilizan en la planificación y el control de los
proyectos
En cualquier proyecto hay 3 factores importantes:

P rogress
E valuation
R eview
T echnique

• Tiempo
• Costos
• Disponibilidad de Recursos
C ritical
P ath
M ethod

TECNICA DE REDES (PERT - CPM)
Una razón importante para dibujar las redes de
proyectos es localizar la ruta crítica. Esto no
puede hacerse en una gráfica de gantt, excepto
en casos triviales
Así, las redes poseen la ventaja
de proporcionar una estructura
de prioridades dentro del
proyecto, en atención a las
secuencias de actividades y a la
ruta crítica

REQUISITO GRAFICO EN LAS
TECNICAS PERT - CPM
“Necesidad de que siempre se inicie y
se termine una malla Pert con un nodo”
Como debe existir un único nodo de inicio y un
único nodo de término, esto implica en ocasiones
crear actividades virtuales
Existen dos tipos de notaciones para las
representaciones gráficas de las redes:
Notación Pert y notación CPM

NOTACION CPM
( DIAGRAMA DE PRECEDENCIAS )
Actividad

La que tiene asociado un
tiempo de duración y el
uso de determinada
dotación de recursos

Actividad Virtual: Es ficticia, no tiene recursos y no
consume tiempo alguno. Es
posible crear varias actividades
virtuales, las que facilitan el
ordenamiento de las redes

EJEMPLO DE MALLA CPM
Actividad
1

Actividad
2

Actividad
6
Actividad
3

Actividad
5

Actividad
7

Actividad
4

Se deben crear 2 actividades virtuales, cada una de
ellas con tiempo cero y sin recursos involucrados

EJEMPLO DE MALLA CPM
1

6

5

3

7

2
4

NOTACION PERT
( DIAGRAMA DE FLECHAS )
Actividad

La que tiene asociado un
tiempo de duración y el uso
de determinados recursos

Nodo Son eventos, instantes en el tiempo,
que permiten ordenar la secuencia
de actividades: indican que ya han
finalizado las actividades previas y,
a la vez, es posible comenzar a
realizar las actividades posteriores
Actividad Virtual

EJEMPLO DE MALLA PERT
1

idad
Acti
v

5

2

ad

iv
id
ad

v id

Ac
t

tividad 6
Ac

ti
Ac

3

Activida
d

vidad 4
Acti

ct
A

ida
iv

7
d

Es el mismo ejemplo mostrado en la notación CPM

EJEMPLO DE MALLA PERT
Solo falta crear las actividades virtuales, cada una
de ellas sin tiempo ni recursos involucrados

5

Act 4

t6
Ac

t
Ac

Act 2

1

Ac
t3

Ac
t

Act 7

INSTANTES DE TIEMPO POSIBLES
EN UN NODO (SEGUN HOLGURAS)
Volviendo al mismo ejemplo de malla Pert señalado
en ruta crítica:
2=3
t1

1

t13 =

2

t24 = 8
=5
4

4

t3

3

4
t35 = 6

t45

=1
0

5

En general, los nodos que conectan actividades
donde todas éstas no pertenecen a la ruta crítica,
poseen varias opciones de fecha de realización

TIEMPO EARLY ( tE )
Es el tiempo más temprano posible en el que un
nodo se escenifica. Esta situación describe una
realización óptima de todas las actividades
predecesoras al nodo, sin retrasos observados
Para dar inicio a la realización de
actividades que vienen después de
un nodo, es necesario que estén
terminadas todas las actividades
predecesoras o que nutren al nodo en
cuestión

TIEMPO LATE ( tL )
Es el tiempo más tardío posible en el que un nodo
se escenifica. Es decir, es el tiempo más tardío
posible en el que deben estar finalizadas todas las
actividades predecesoras del nodo, para así iniciar
la realización de las actividades siguientes al nodo
Es el tiempo más tardío posible,
pero cuidando que no signifique un
retraso del tiempo preestablecido
(según la ruta crítica) para el
término del proyecto

HOLGURAS EN UNA ACTIVIDAD
Existe holgura en el tiempo de realización
secuencial entre las actividades si ocurre:
tE2 = 3

1
tL1 = 0

tE4 = 11
4

tL2 = 3
t13
=4
tE3 = 4

=5

2
t34

tE1 = 0

t12

=3

t24 = 8

3
tL3 = 6

tEi = tLi

t4

tL4 = 11
t35 = 6

5=

10

tE5 = 21
5
tL5 = 21

HOLGURAS
Existen 3 tipos de holguras, definidas como:
• ST : Holgura Total
• SS : Holgura de Seguridad
• SL : Holgura Libre

tEi

Dado el esquema:
i

=
SSij =
SLij =
STij

tLj - tEi - tij
tLj - tLi - tij
tEj - tEi - tij

tLi

tEj

tij

j
tLj

HOLGURAS
Conceptualmente se puede observar que los 3
tipos de holgura corresponden a la nomenclatura:

-

-

Tiempo Llegada Tiempo Partida Tiempo Duración
Nodo Final
Nodo Inicial
de la Actividad
Ejemplo: (malla anterior)
tE4 = 11

tE3 = 4
3
tL3 = 6

t34 = 5

4
tL4 = 11

ST34 = 11 - 4 - 5 = 2
SS34 = 11 - 6 - 5 = 0
SL34 = 11 - 4 - 5 = 2

HOLGURA TOTAL ( HT )
Es el concepto genérico importante para la
programación de actividades y recursos
Lo importante es no modificar (atrasar) el tiempo
de duración para la culminación del proyecto
Es la cantidad de tiempo
que es posible
“farrearse” en una
actividad, sin alterar el
cumplimiento de la fecha
de término del proyecto

HOLGURA LIBRE ( HL )
Es el tiempo que se permite desperdiciar en una
actividad sin molestar a las actividades sucesoras,
sin atrasar a las actividades que vienen después
Supone que el nodo previo a la actividad respectiva
se realiza en su tiempo óptimo, y que se alcanza el
nodo de llegada en su tiempo óptimo

HOLGURA DE SEGURIDAD ( HS )
Si el nodo de origen se efectua en el último tiempo
posible, entonces haya seguridad de terminar la
actividad en cuestión, aunque sea arribando al
nodo de llegada en su tiempo más tardío posible

RELACIONES TECNICAS PERT-CPM
1) CPM supone que la duración de actividades es
determinística, asumiendo que la varianza del
tiempo de duración de las actividades es cero
Mientras tanto, Pert asume que la duración de las
actividades es probabilística, se considera que la
varianza del tiempo de duración de las actividades
es distinta de cero
CPM
Pert

2
2

=

0

∈ IR

CPM es un caso particular de Pert, con varianza = 0

RELACIONES TECNICAS PERT-CPM
2) CPM da un valor final y Pert da distintos valores
finales para el tiempo de duración del proyecto
CPM es determinístico, mientras que Pert es
probabilístico
Cada actividad pert tiene su
tiempo de realización
probabilístico, en virtud de lo
cual el proyecto que engloba a
todo un conjunto de actividades,
también posee tiempo de
duración probabilístico

TIEMPO DE REALIZACION DE UNA
ACTIVIDAD EN UNA MALLA PERT
Diversos estudios empíricos realizados en distintos
tipos de proyectos, demuestran que el tiempo de
realización de cada actividad sigue una función de
distribución de probabilidades betta, que posee la
siguiente forma:
Frecuencia

to

tm

tp

tiempo

DISTRIBUCION DE
PROBABILIDADES BETTA
Se caracteriza por que el mejor caso para una fecha
de término anticipado de una actividad (tiempo
optimista) es una variación de tiempo mucho
menor en comparación con el peor caso para fecha
de término retrasado (tiempo pesimista), en una
misma actividad y en relación a su tiempo más
probable de realización
• to : Tiempo optimista
• tm : Tiempo más probable
to < tm << tp
• tp : Tiempo pesimista

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
fi (X)

n > 30

8

Cuando hay muchas
actividades (n
)
la suma de variables
independientes entre
sí es aproximable a la
distribución normal

En la programación de proyectos puede aplicarse
el teorema del límite central, siempre que existan
por lo menos 30 actividades independientes en
términos de recursos y tiempo de duración

X

PERT TIEMPO
Se evalúa el nivel de confianza asociado a cada
diferente fecha de término probable para un
proyecto, asumiendo la forma pert, donde el tiempo
de realización de cada actividad es variable y, por
lo tanto, existen distintas fechas posibles para
culminar un proyecto
Cada probable fecha de
culminación para un
proyecto se asocia a un
porcentaje de confianza
específico

PERT TIEMPO
Si no se cumple el plazo fi (t)
de término comprometido
en un proyecto, pueden
ocasionarse dificultades:
Multas, cobro de boletas
depositadas en garantía,
retraso en iniciar ciclo de
operación del negocio

3 meses

t

Si Pert dice que la fecha de término es de 3 meses,
entonces significa que solamente con un 50% de
confianza el proyecto terminaría dentro de 3 meses

PERT TIEMPO

Para una licitación o un
contratista, el 50% de
fi (t)
confianza no sirve, pues
asume un alto riesgo de
incumplimiento. Luego,
se requiere evaluar la
fecha de entrega de un
proyecto con a lo menos
un 80% de confianza

1-

α

Grado de confianza
para cumplir con el
término del proyecto

En Pert la fecha de término se puede retrasar
y también se puede adelantar, debido a la
variabilidad que presenta el tiempo de
duración para cada una de las actividades

t

PERT TIEMPO
El tiempo de realización de cada actividad presenta
variabilidad
Aún en las mejores circunstancias de planificación,
surgen factores que causan incertidumbres en las
estimaciones de tiempo de duración de cada
actividad, causando desviaciones del plan original
Pert-tiempo ocupa 3 estimaciones de tiempo, las
que se combinan estadísticamente para llegar a las
estimaciones probabilísticas de culminación del
proyecto:
• to : Tiempo optimista
• tm : Tiempo más probable
to < tm << tp
• tp : Tiempo pesimista

PERT TIEMPO
El tiempo promedio está mucho más cercano del
tiempo optimista que del tiempo pesimista, por lo
que el tiempo de realización de cada actividad (tij)
tiene una distribución de probabilidades betta
to
tm
tp

tij

betta (to, tm, tp)
Frecuencia

to tm

tp

tiempo

PERT TIEMPO
8

No obstante, cuando se suman muchas actividades
(n
), con criterio de n > 30, se aplica el teorema
del límite central y, en tal caso, se supone que:
tij

Normal (to, tm, tp)

Donde es posible aproximar las siguientes
fórmulas, válidas para cada actividad betta:
tij

=

to + 4tm + tp
6

2
ij

=

( tp - to ) 2
36

PERT COSTO
Se busca evaluar diferentes condiciones de
realización para un proyecto, asumiendo que si
se inyectan recursos adicionales al proyecto, se
lograría disminuir el plazo de término del mismo
Proyecto A
(Original)

+ RR

Proyecto A
(Alternativo)

dotación de
recursos:
RRA

$$$

dotación de
recursos:
RRA + RR

Tiempo total
de ejecución

tA

Tiempo total
de ejecución

tA -

t

EVALUACION PERT COSTO
Añadiendo recursos extras, disminuye el tiempo
de culminación del proyecto, sin embargo falta
saber cuáles son las actividades a las que se les
inyectarán recursos adicionales ( +RR ), además
de cuánto cuestan tales recursos adicionales $$$
Desde luego, la inyección de recursos
adicionales es conveniente sólo en la
medida de que así el proyecto obtenga
beneficios adicionales superiores a
los costos incurridos $$$

MODELAMIENTO DE ACTIVIDADES
EN EL PERT COSTO
El siguiente gráfico representa el comportamiento
de cada actividad en forma independiente
Costos (Recursos)

: Comportamiento real

CA

: Modelo Pert Costo

CN
tA

tN

Tiempo de duración
de la actividad (tij)

EN EL PERT COSTO
: Comportamiento real
Tiene una forma convexa debido al diferencial
de costos creciente que se produce al reducir
sucesivamente el tiempo de ejecución de cada
actividad
: Modelamiento Pert Costo
Establece una relación lineal entre el término
anticipado de cada actividad y la inyección de
recursos requerida

EN EL PERT COSTO
tN Tiempo normal de la actividad
Es el tiempo promedio normal, que tiene
asociado un costo (CN), llamado costo normal
tA Tiempo acelerado de la actividad
Es el tiempo resultante al aplicar un mayor
esfuerzo en la actividad, gracias a la inyección
de recursos adicionales, que implica un mayor
costo asociado (CA), llamado costo acelerado

OBSERVACION
No existe relación alguna entre el tiempo
acelerado ( tA ) y el tiempo optimista (to)
Son conceptos diferentes
El tiempo acelerado es el tiempo promedio mínimo
(gracias a la incorporación de recursos extras),
mientras que el tiempo optimista es un tiempo
probabilístico, un dato aislado obtenido mediante
la estimación del tiempo de realización de una
actividad, en un proyecto con condiciones normales

PENDIENTE DEL PERT COSTO
Costos (Recursos)
CA

m

CN
tA

tN

=

Costo
Tiempo

=

C
t

Tiempo de duración
de la actividad (tij)

La pendiente del Pert - Costo es el diferencial de
costos o inyección de recursos necesaria para
anticipar el término de una actividad

ELECCION DE LA RED OPTIMA
TIEMPO - COSTO
Con las estimaciones dobles (normal y acelerada),
Pert - Costo incluye 2 redes extremas y algunas
variaciones intermedias
En un extremo se tiene la red con todo normal, la
que lleva el tiempo más largo y el costo más bajo
para el proyecto. En otro extremo, está la red con
todo intensivo, que tiene el tiempo más corto y el
costo más alto para el proyecto, sin embargo,
algunas de las actividades de la red todo intensivo
no necesitan hacerse intensivas o aceleradas

ELECCION DE LA RED OPTIMA
TIEMPO - COSTO
Red Todo Normal
Red Todo Intensivo

Tiempo
Máximo
Mínimo

Costo
Mínimo
Máximo

En la medida que las disminuciones de tiempo en
el plazo del proyecto lleven asociadas un
beneficio económico, entonces es posible evaluar
la conveniencia acerca de efectuar algunas
actividades en sus tiempos acelerados
El algoritmo de decisión implica comenzar con la
ruta crítica de la red todo normal e ir evaluando el
costo mínimo asociado a las reducciones de
tiempo, si es que ésto conviene económicamente

METODOLOGIA PERT COSTO
Efectuar en sucesivos pasos (cortes) reducciones
de tiempo en actividades de la ruta crítica que
signifiquen el menor costo, sin sobrepasar el
tiempo acelerado de las actividades al reducir su
tiempo y sin alterar la ruta crítica
Si ocurre cualquiera de éstas
dos últimas situaciones, deben
realizarse sucesivos nuevos
cortes para analizar dónde
resulta menos costosa la
nueva reducción de tiempo

EJERCICIO DE REDES PERT
En proyecto de obra vial para Viña del Mar, tiene
los siguientes tiempos de duración estimados (en
días) y costos (en millones de pesos), según:
Nodo i Nodo j
0
1
0
2
1
3
1
4
2
4
2
5
3
6
3
7
4
7
5
7
6
8
7
8

to
5
2
4
1
2
4
3
2
4
2
1
3

tm
7
5
8
2
3
6
6
4
9
3
3
7

tp
15
20
18
3
10
8
15
12
25
4
5
23

ta
3
4
5
1
2
4
5
2
7
2
2
7

Cn
100
80
120
10
50
70
80
50
150
60
40
100

Ca
190
122
172
20
82
94
100
83
210
77
55
140

EJERCICIO DE REDES PERT
Se pide:
• Dibujar la malla Pert y determinar la ruta crítica
• Fecha de término del proyecto con 95% confianza
• ¿ Cuál sería la probabilidad de finalizar el
proyecto a más tardar el día 36 ?
• Diseñe la carta gantt del proyecto, asumiendo que
todas las actividades con holguras de tiempo, se
realizan en sus tiempos late. Además, muestre los
avisos de inicio anticipado, si éstos son posibles
• Si le ofrecen M$120 de premio por terminar las
obras al día 26 ¿ Conviene aceptar la oferta ?

SOLUCION DE EJERCICIO PERT
Antes de obtener la malla Pert y la ruta crítica, se
requiere obtener el tiempo de duración de cada
actividad, pudiendo utilizarse las fórmulas:
tij

=

to + 4tm + tp
6

Nodo i Nodo j tij
0
0
1
1
2
2

1
2
3
4
4
5

8
7
9
2
4
6

ij 2
2,78
9
5,44
0,11
1,78
0,44

2
ij

=

( tp - to ) 2
36

Nodo i Nodo j tij
3
3
4
5
6
7

6
7
7
7
8
8

7
5
11
3
3
9

ij 2

4
2,78
12,25
0,11
0,44
11,11

SOLUCION DE EJERCICIO PERT
Es imprescindible que cuando cada alumno
responda sus pruebas, coloque el siguiente
cuadro:
Aunque no se dispone de un mínimo de 30
actividades, se emplea el teorema del límite
central para obtener el tiempo de duración
de cada actividad, según acuerdo solemne
establecido entre el profesor y los alumnos

MALLA PERT ( EJERCICIO )
1

8
0

7

4

9

7

3

2
4

2

6

Rutas Inicio - Término:
En este caso, hay
2 rutas críticas

5
11
5

3

3

6
9

8

7

0-1-3-6-8:
0-1-4-7-8:
0-1-3-7-8:
0-2-4-7-8:
0-2-5-7-8:

27 días
30 días
31 días
31 días
25 días

RUTA CRITICA ( EJERCICIO )
tE1 = 8
1
8

tL1 = 8

tE0 = 0
0
tL0 = 0

7

4

tE2 = 7
2
tL2 = 7

9

tE3 = 17
7

3
tL5 = 17

2
tE4 = 11
4
tL4 = 11
6

11

5

tE6 = 24
6

3
tL6 = 28 tE8 = 31
tE7 = 22 9
7

8
tL8 = 31

3
tL7 = 22
tE5 = 13
Rutas Críticas:
5
0-1-3-7-8
tL5 = 19
0-2-4-7-8

PLAZO DEL PROYECTO CON 95%
DE CONFIANZA ( EJERCICIO )
fi (t)

La probabilidad de terminar el
proyecto en 31 días es del 50%
Para nivel de confianza 95%:
0,95

P ( t < t 0,95 ) = 0,95

tiene distribut
ción normal cuando hay
31 t 0,95
muchas actividades en la
ruta crítica
No se puede aproximar a la distribución
normal, porque se requiere un mínimo
de 30 actividades. Pero, profesor da Ok

Si bien las actividades no son independientes
(dependen unas de otras según una secuencia), los
tiempos de duración de las actividades sí son
independientes, por lo tanto:
t
N ( µ ; 2)
t

N ( 31 ;

)

Cuando hay más de una ruta
crítica, se escoge la mayor de las
varianzas entre las rutas críticas

2
RC 0-1-3-7-8

=

2,78 + 5,44 + 2,78 + 11,11

=

22,11

2
RC 0-2-4-7-8

=

9 + 1,78 + 12,25 + 11,11

=

34,14

t
z =

N ( 31 ; 34,14 ) falta llevar a N (0,1)

t -µ

P ( t < t 0,95 )

N (0,1)

=

0,95

t 0,95 - µ )
P(z<

= 0,95

Viendo tablas N (0,1)
Zo = 1,645

t 0,95 - µ
t 0,95 - 31
34,14

despejando:

t 0,95

=

0,95

=

1,645

=

40,61

Por lo tanto, el proyecto necesita 41 días
para ser terminado con un 95% de confianza

PERT TIEMPO ( EJERCICIO )
Probabilidad de finalizar proyecto en 36 o menos días:

tx -

tx = 36

µ

36 - 31
34,14
Viendo las tablas
P ( z < tx -

µ

)

=

Zo

=

Zo

Zo = 0,856

N (0,1)
P ( 0,856 < 36 - 31 )
34,14

=

0,804

La probabilidad de terminar en 36 días o menos es 80,4%

CARTA GANTT ( EJERCICIO )
Actividades
0-1
0-2
1-3
1-4
2-4
2-5
3-6
3-7
4-7
5-7
6-8
7-8

<
<< < < < <

<<<<

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

CARTA GANTT ( EJERCICIO )
Las actividades 1-4, 2-5, 3-6, 5-7 y 6-8 se
realizan en sus tiempos late, debido a que
poseen holguras de tiempo ( tE = tL )
Sin embargo, el aviso para inicio anticipado de las
actividades sólo es válido para 1-4, 2-5 y 3-6. No se
puede ocupar en 5-7 ni en 6-8, ya que en ambos
casos se impediría la realización de sus
actividades pre-requisitos (2-5 y 3-6
respectivamente) en sus tiempos late

PERT COSTO ( EJERCICIO )
Se evalúa la conveniencia para anticipar la
culminación del proyecto en 5 días
Para realizar el análisis Pert - Costo,
es necesario calcular las pendientes
m

=

C
t

=

CN - CA
tN - tA

donde tN viene siendo el tiempo esperado de cada
actividad
to + 4tm + tp
tN = tij =
6

Por ejemplo

m01

=

190 - 100
8-3

=

18

Así sucesivamente se calculan todas las pendientes
m01 = 18
m02 = 14
m13 = 13
m14 = 10
m24 = 16
m25 = 12

m36 = 10
m37 = 11
m47 = 15
m57 = 17
m68 = 15
m78 = 20

Luego, se debe seguir
el algoritmo de
resolución de Pert Costo, que requiere
mucho orden, cuidado
y atención en cada
paso (cada corte)

Para facilitar el tratamiento de la información útil,
se colocan 2 valores importantes en la malla Pert:
• Simbología

• Simbología

Indica el costo asociado a la
reducción de una unidad de
tiempo en cada actividad

$

6

Señala el tiempo acelerado
de cada actividad, que es
fundamental pues no puede
sobrepasarse

Costo Total del Proyecto:

Σ CN

=

910 (M $)

ACELERACION DE MALLA PERT
Permite determinar la inyección de recursos
adicionales requeridos para posibilitar el término
anticipado de un proyecto
Así, es posible evaluar la
conveniencia económica de añadir
recursos extras al proyecto, en caso
que se obtengan beneficios
superiores (premios o bonos por
término anticipado, evitar pago de
multas o cobro de boletas de
garantía, captación de clientes, etc)
a los costos adicionales incurridos

METOLODOLOGIA PARA LA
1) Disponer la Red Todo Normal
2) Identificar la Ruta Crítica
3) Reconocer aquella actividad de la ruta crítica
que tenga el menor costo asociado para su
reducción de tiempo (menor pendiente CMg)
4) Acelerar (reducir el tiempo de realización) la
actividad con menor CMg en la ruta crítica,
inyectando recursos extras, la mayor cantidad
de tiempo posible, hasta que:
• No surja una nueva ruta crítica
• No se agote el tiempo acelerado de la actividad

5) Una vez realizado el corte de aceleración
descrito en el paso anterior, volver a la etapa 1)
y seguir con sucesivos cortes de aceleración,
mientras:
• Exista presupuesto para inyectar recursos
• No se alcance la fecha de anticipación prevista
para la evaluación económica del proyecto
Observación: Si hay 2 o más rutas críticas, los
cortes sucesivos deben atravesarlas a todas éstas

MALLA PERT ( EJERCICIO )

3

6
$1

4
$1
4

2

6
4

$12

$20

9

11 $15
7

4

2

2

7

17
$

3

$1

7

4

2

5

5
$1

0
$1

0

6 3

5

5

5

2

1

8

3

1
$1

8

1

7 $10

2

9 $13

7

8

1er. Corte
8

1

9 $13

7

3

$1

2

2

3

1
$1

8

0
7

4

2

11 $15

6

7
2

3

$1

4
$1
4

4

6

3

5

5

6

5

9

7

$20
7

8


8

1

9 $13

7

3

$1

1
$1

2

3

2

8

0
7

4

2

11 $15

9

7

6

7
2

3

$1

4
$1
4

4

6

3

5

5

6

5
$20

$20

8

7

1er. Corte:
7-8
t = 2 días
C = 40 M$

2do. Corte
8

1

9 $13

7

3

$1

2

2

3

1
$1

8

0
7

4

2

11 $15

6

7
3

$1

4
$1
4

4

2

6

3

5

5

6

5

7∗

7

7

8


8

1

9 $13

7

3

$1

2

2

3

1
$1

8

0
7

4

2
$25

11 $15

6

7
3

$1

4
$1
4

4

2

6

3

5

5

6

5

7∗

7

8

7

2do. Corte:
3-7 y 0-2
t = 1 día
C = 25 M$

3er. Corte

3

2

6

4

2

11 $15

6

7
3

$1

4
$1
4

4

1
$1

0

2

6

6

3

4

0
$1

1

8

7

3

5

2

$1

8

1

9 $13

5

7∗

7

7

8


3

2

6

4

2

11 $15

6

3

2

6

3

7∗

7

7

$1

4
$1
4

4

1
$1

0

6

4

0
$1

1

8

7

3

5

2

$1

8

1

9 $13

5
$26

8

7

3er. Corte:
3-7 y 4-7
t = 1 día
C = 26 M$

4to. Corte

10 $15

$1

3

6
6

3

4

$1

4
$1

7
2

6

5

3

6

5

2

1
$1

2

4

2

3

0
$1

0

4

3

5

2

1

8

7 $10

5
$1

8

1

9 $13

7∗

7

7

8


$1

2

6

4

10 $15

6

4

3

4

$1

4
$1

7
2

6
$28

5

3

6

5

2

1
$1

3

3

0
$1

0

2

3

5

2

1

8

7 $10

5
$1

8

1

9 $13

7∗

7

8

7

4to. Corte:
1-3 y 4-7
t = 1 día
C = 28 M$

Malla Final

$15

9

$1

3

6
6

3

4

$1

4
$1

7
2

6

5

3

6

5

2

1
$1

2

4

2

3

0
$1

0

4

3

5

2

1

8

7 $10

5
$1

8

1

8 $13

7∗

7

7

8

Síntesis del análisis de Pert - Costo:
• 1er Corte : 2 días, pues se llega al tiempo acelerado
• 2do Corte: 1 día, pues se modifica la ruta crítica
• 3er Corte : 1 día, pues se modifica la ruta crítica
• 4to Corte : 1 día, pues se analiza recorte de 5 días
Costos (Inyección Recursos) = 40 + 25 + 26 + 28
Costos (Inyección Recursos) = 119 (M $)
Como 119 < 120
Entonces, Sí conviene reducir el proyecto a 26 días
Costo Total (26 días)

=

M$ 1029

(910 + 119)

EJERCICIO DIAGRAMA DE BARRAS
Se pide:
A partir de la carta gantt del proyecto, asumiendo
que todas las actividades con holguras de tiempo,
se realizan en sus tiempos late, determine la
dotación estable óptima del recurso trabajador (L),
sabiendo que
• Cada L tiene un sueldo bruto diario de $3.200
• Si L no trabaja, hay un costo diario extra de $500
• Contratar un L adicional cuesta $9.000 cada día
• Cada actividad requiere la siguiente cantidad de L:
Act. 0-1 0-2 1-3 1-4 2-4 2-5 3-6 3-7 4-7 5-7 6-8 7-8
L
3 4 5 2 3 6 4 3 7 3 5 2

L 7 7 7 7 7 7 7 6 8 10 10 12 12 18 18 18 18 16 16 13 13 17 6 6 6 6 6 6 7 7 7
0-1 3 3 3 3 3 3 3 3
0-2 4 4 4 4 4 4 4
55 5 55 55 55
1-3
<2 2
1-4
33 3 3
2-4
2-5
<< < < < < 6 6 6 6 6 6
3-6
<<<< 4 4 4 4 4 4 4
333 3 3
3-7
7 7 7 77 7 77 7 7 7
4-7
333
5-7
6-8
555
22 222 222 2
7-8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

L: Trabajadores
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Se reconocen tres categorías de costos:
• Costos de Mano de Obra Fijo
(CMOF)
• Costos de Mano de Obra Variable (CMOV)
• Costos de Mano de Obra Ociosa (CMOS)
CMOF = 3.200*F*31 ($)
CMOV =

F: Número de trabajadores
de planilla laboral estable

Σ 9.000*(L - F) ($) ,

si L > F

CMOS = Σ 500*(F - L) ($) , si L < F

El algoritmo de solución itera diferentes
configuraciones del tamaño de la planilla laboral
estable (F), evaluando el costo total (CT) asociado
para cada configuración
CT = CMOF + CMOV + CMOS
Aquel valor de F que tenga
asociado el mínimo costo
total determina la dotación
óptima estable del recurso
trabajadores

La estructura de costos para la elección de la
dotación óptima de recursos reconoce el siguiente
comportamiento (asumiendo funciones lineales)
Costos

CT
CMOF
CMOS
CMOV
F*

F

Ya que CMOF y CMOS poseen una relación lineal
directa entre la dotación del recurso estable (F) y
los costos, mientras que CMOV presenta una
relación lineal inversa entre la dotación del
recurso estable (F) y los costos
Por lo tanto, la función de costos totales obtiene
una forma convexa, donde existe un único mínimo.
Luego, para hallar la dotación estable óptima basta
comparar configuraciones aledañas, por ejemplo
CT (F = 9) V/S CT (F = 10), descartando el valor de F
con mayor costo total, siguiendo la comparación
hacia el otro extremo, hasta encontrar F * óptimo

L

Suponiendo F = 9

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Suponiendo F = 9
CMOF = 3.200*9*31 = 892.800 ($)
CMOV = 9.000*74
CMOS =

= 666.000 ($)

500*42 =

21.000 ($)

CT (F = 9) = 892.800 + 666.000 + 21.000
CT (F = 9) = 1.579.800 ($)

L

Suponiendo F = 10

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Suponiendo F = 10
CMOF = 3.200*10*31 = 992.000 ($)
CMOV = 9.000*61

= 549.000 ($)

CMOS =

=

500*60

30.000 ($)

CT (F = 10) = 992.000 + 549.000 + 30.000
CT (F = 10) = 1.571.000 ($)
Como CT (F = 10) < CT (F = 9), entonces solo requiere
evaluarse CT (F = 11), no se necesita CT (F = 8)

L

Suponiendo F = 11

18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Suponiendo F = 11
CMOF = 3.200*11*31 = 1.091.200 ($)
CMOV = 9.000*50

=

450.000 ($)

CMOS =

=

40.000 ($)

500*80

CT (F = 11) = 1.091.200 + 450.000 + 40.000
CT (F = 11) = 1.581.200 ($)
Como CT (F = 10) < CT (F = 11), entonces la dotación
óptima estable es con F = 10, no se necesita CT (F = 12)

EJERCICIO DESACELERACION PERT
Se pide:
Para el proyecto de obra vial en Viña del Mar, a
partir de su malla pert con tiempo acelerado,
determine:
• Costo óptimo total del proyecto
• Máximo Ahorro por finalizar en 26 días

DESACELERACION MALLA PERT
Permite determinar el ahorro obtenido tras retrasar
la fecha de entrega de un proyecto, a partir de la
red todo intensivo con el mínimo tiempo posible
Es un aspecto interesante del modelamiento pert,
que en relación con la aceleración de la malla pert,
invierte objetivos, criterios y el procedimiento

1) Disponer la Red Todo Intensivo
2) Identificar la Ruta Crítica
3) Desacelerar las secuencias de actividades que
no están en la ruta crítica, identificando
aquella(s) actividad(es) en tales secuencias que
tenga(n) el mayor ahorro asociado por su
aumento de tiempo (mayor pendiente CMg).
Esta desaceleración (previa a los cortes) se
hace mientras no se sobrepase el tiempo de la
ruta crítica en la red todo intensivo

4) Desacelerar (aumentar el tiempo de realización)
la actividad con mayor CMg en cada una de las
secuencias que constituyan rutas críticas,
realizando los cortes de desaceleración por la
mayor cantidad de tiempo posible, hasta que:
• Se alcance el tiempo normal en una actividad
5) Una vez realizado el corte de desaceleración
descrito en el paso anterior, seguir con
sucesivos cortes de desaceleración


5

3

4
4

2

5

2

1

0

6

3

2

7

2

7
5

8

7

2

1

4
Rutas Inicio - Término:
Con malla acelerada,
hay 1 ruta crítica

0-1-3-6-8:
0-1-4-7-8:
0-1-3-7-8:
0-2-4-7-8:
0-2-5-7-8:

15 días
18 días
17 días
20 días
17 días


3

6
$1

4
$1
4

2

6
4

$12

$20

9

11 $15
7

4

2

2

7

17
$

3

$1

7

4

2

5

5
$1

0
$1

0

6 3

5

5

5

2

1

8

3

1
$1

8

1

7 $10

2

9 $13

7

8


Actividad Pendiente

Costo x Actividad

Holgura (proyecto semana 20)

0-1

18

1

190 - (1x18) = 172

0-2

14

0

122

1-3

13

1

172 - (1x13) = 159

1-4

10

1

2-4

16

0

2-5

12

2

94 - (2x12) =

70

3-6

10

2

100 - (2x10) =

80

3-7

11

1

83 - (1x11) =

72

4-7

15

0

5-7

17

1

77 - (1x17) =

60

6-8

15

1

55 - (1x15) =

40

7-8

20

0

20 - (1x10) =

10
82

210

140

Costo
Optimo
Proyecto
(20 días)
M$ 1217

9 $13

3

$1

2

4

2

∗

0
7

4

2

6

2

6
6

∗

3

$20

9

11 $15

7

∗

7

$1

4
$1
4

4

3

7

3

8

5

6

5

3

6

1
$1

8

1

∗

7

3

1er. Corte

7

∗
8

3

$1

3

$1

4
$1

6

7
4

2
$34

∗
6

9

7

∗

7
2
6

$20

11 $15

4
4

3

5

3

0

3

6

7

3

2

4

2

∗

5

6

8

∗

7

1
$1

8

1

9 $13

∗
8

7

1er. Corte:
0-1 y 2-4
t = 2 días
A = 68 M$

9 $13

6

7

4
$1
4

2

4

3

4

∗
4

6
6

∗

3

$20

9

11 $15

7

∗

7
5

3

6

7

3

$1

2

0

5

2

6

∗

8

3

1
$1

8

1

∗

7

3

2do. Corte

7

∗
8

9 $13

6
6

∗

$20

9

7

∗
3

6

4
$1

4

3

11 $15
7
5

3

6

7

3

$1

7
4

2

4

3

4

∗

5

2

2

0

$32

6

∗

8

3

1
$1

8

1

∗

7

∗
8

7

2do. Corte:
0-1 y 0-2
t = 2 días
A = 64 M$


8

7

4
$1
6

2

4

3

4

∗
4

6
6

∗

7

3

$20

9

11 $15

7

∗

7
5

3

6

1
$1

6

∗

2

0

3

5

∗

∗

7

3

1

2

8

9 $13

3

3er. Corte

7

∗
8


4
$1

∗
6

6

3

$20

9

11 $15

∗
$28

7

∗

7
4

7

3

8

7
6

2

4

3

4

5

3

6

1
$1

6

∗

2

0

3

5

∗

∗

7

3

1

2

8

9 $13

∗
8

7

3er. Corte:
1-3 y 4-7
t = 2 días
A = 56 M$


4
$1

∗
6

6

∗

3

$20

9

11 $15

7

∗

9
4

7

3

8

7
6

2

4

3

4

5

3

6

1
$1

8

∗

2

0

3

5

∗

∗

7

3

1

2

8

9 $13

7

∗
8

Síntesis del análisis de Pert - Costo:
• 1er Corte : 2 días, pues se alcanza tiempo normal
• 2do Corte: 2 días, pues se alcanza tiempo normal
• 43er Corte : 2 días, pues se analiza plazo de 26 días
Ahorros (Desaceleración) = 68 + 64 + 56
Ahorros (Desaceleración) = 188 (M $)
Costo Total del Proyecto (26 días)

= M$ 1029
(1217 - 188)

TAREA
Para el mismo ejemplo del proyecto de obra vial en
Viña del Mar, se desarrolló tanto la aceleración para
finalizar en el día 26 así como la desaceleración
para culminar en el día 26
El costo total de ambas aplicaciones de pert – costo
es igual ¿ Puede generalizarse esta situación ?
Costo Total (26 días)

= M$ 1029

Desaceleración: Costo Total (26 días)

= M$ 1029

Aceleración:

¿ POR QUE ? Piense, reflexione y justifique

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