1) O documento explica o que é a raiz quadrada de um número positivo e como calculá-la, além de afirmar que não existe raiz quadrada de números negativos.
2) Apresenta operações com radicais como multiplicação, divisão, adição e subtração, além de simplificação e racionalização de radicais.
3) Fornece exemplos detalhados de como aplicar essas operações com radicais.
1. Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2
= A.
A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32
= 9.
Escrevemos 39
Não existe a raiz quadrada de um número negativo.
Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) que
elevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou
igual a zero.
Está errado!
Os alunos escrevem bastantes vezes:
39
Isto está errado porque 9333 2
Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
99
9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
39
Raiz quadrada e potências
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 2
1
25 . O valor é 5. Se
experimentares elevar outros números positivos a
2
1
verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2
1
aa , para qualquer valor de a não negativo.
Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
babababa 2
1
2
1
2
1
, a e b não negativos. O produto de raízes quadradas é igual à
raiz quadrada do produto.
Exemplo: 10100205205
77777
Albino Linhares
Setembro de 2005
2. Divisão:
b
a
b
a
b
a
b
a
2
1
2
1
2
1
, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz
quadrada do quociente.
Exemplo: 636
2
72
2
72
Adição e subtracção:
Será que
20416 ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
...47,420
24
416
Concluímos então que 20416
De um modo geral, para quaisquer números positivos,
baba
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
595725752
5238 não se pode somar.
6
77
6
79
6
72
2
73
3
7
Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.
Para qualquer número positivo temos:
aa 2
Exemplos: 52552
; 3932
3. Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica. 2
)5( não é -5 mas sim 5.
Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os
seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:
Por exemplo, para simplificar 180
1º Decompor 180 em factores primos.
1
55
315
345
290
2180
532180 22
2º Temos então 56532532532180 2222
Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.
Mais exemplos:
120
1
55
315
230
260
2120
30253225322120 2
Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.
***********
4. 32
1
22
24
28
216
232
24222222232 225
Racionalização de denominadores:
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à
eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
Exemplo 1
3
3
neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter aa
n n
de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 .
3
3
33
3
33
33
33
3
3
2
então, 3
3
3
Exemplo 2:
72
5
temos que multiplicar o denominador e o numerador por 7 .
14
75
72
75
72
75
772
75
72
5
2
então,
14
75
72
5
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Exemplo 1:
102
3
Se o denominador é da forma cba multiplicámos o numerador e o denominador por cba de modo a
obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,
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