Berisi tentang definisi, sifat, dan contoh soal dari rotasi.

2. Rotasi adalah transformasi yang memetakan setiap titik pada bidang ke titik
lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu.
Rotasi atau perputaran pada bidang data ditentukan oleh hal-hal berikut.
1.Pusat perputaran
2.Arah perputaran
3.Besar sudut perputaran
Sifat rotasi 1 :
Bangun yang diputar (rotasi) tidak mengalami perubahan bentuk dan ukuran.
Sifat rotasi 2 :
Bangun yang diputar (rotasi) mengalami perubahan posisi.
Definisi dan Sifat Rotasi

3. Pusat perputaran suatu rotasi terdiri atas dua, yaitu di titik O (0,0) dan di
titik A (x,y). Sementara itu, arah perputaran suatu rotasi dapat berlawanan
arah jarum jam yang disebut rotasi positif (+) dan dapat pula searah jarum
jam yang disebut rotasi negatif (-).

5. Bayangan dari rotasi suatu titik dapat ditentukan sebagai berikut.
1. Rotasi terhadap titik pusat O (0,0).
a. Jika P(a,b) diputar sebesar α berlawanan arah jarum jam
(berotasi positif), dengan pusat rotasi di O (0,0), maka bayangan
yang terjadi sebagai berikut.
𝑃 𝑎, 𝑏
R (0,α)
𝑃′ 𝑎′, 𝑏′
𝑎′ = 𝑎 cos α − 𝑏 sin 𝛼
𝑏′ = 𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼
𝑃 𝑎, 𝑏
R (0,α)
𝑃′ 𝑎′, 𝑏′ = P’ (a cos α – b sin α, a sin α + b cos α)

6. b. Jika P(a,b) diputar sebesar α searah arah jarum jam
(berotasi negatif), dengan pusat rotasi di O (0,0), maka
bayangan yang terjadi sebagai berikut.
𝑃 𝑎, 𝑏
R (0,α)
𝑃′ 𝑎′, 𝑏′
𝑎′ = 𝑎 cos α + 𝑏 sin 𝛼
𝑏′ = −𝑎 sin 𝛼 + 𝑏 cos 𝛼
𝑃 𝑎, 𝑏
R (0,α)
𝑃′ 𝑎′, 𝑏′ = P’ (a cos α + b sin α,-a sin α + b cos α)

7. 2. Rotasi terhadap titik A (x,y)
Jika P (a,b) diputar sebesar α dengan pusat rotasi di A (x,y),
maka bayangan yang terjadi sebagai berikut.
𝑷 𝒂, 𝒃
R (𝐀,𝜶)
𝑷′
𝒂′
, 𝒃′
𝑷 𝒂, 𝒃
R (𝐀,𝜶)
𝑷′
𝒂′
, 𝒃′
= 𝑷′
𝒂 − 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝜶 − 𝒃 − 𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝒙, 𝒂 − 𝒙 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + 𝒃 − 𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + 𝒚

8. Misalkan suatu transformasi T memetakan titik P(a,b)
menjadi 𝑷′ 𝐚′, 𝐛′ dimana hubungan antar titik dan
bayangannya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan :
𝒂′ = 𝒑𝒂 + 𝒒𝒃
𝒃′ = 𝒓𝒂 + 𝒔𝒃
dalam bentuk matriks menjadi 𝒂′
𝒃′ =
𝒑 𝒒
𝒓 𝒔
𝒂
𝒃
Bentuk dari
𝒑 𝒒
𝒓 𝒔
disebut dengan istilah matriks
traformasi. Berikut matriks transformasi yang bersesuaian
dengan operasi transformasi :
Matriks Yang Bersesuaian dengan
Transformasi

9. No. Transformasi Pemetaan Matriks yang
bersesuaian
1. Rotasi terhadap titik
O(0,0) sebesar α
(a,b) → (a’,b’)
a’ = x cos α – y sin α
b’= x sin α + y cos α
2. Rotasi terhadap titik
O(0,0) sebesar
(a,b) → (-b,a)
3. Rotasi terhadap titik
O(0,0) sebesar
(a,b) → (-a,-b)
4. Rotasi terhadap titik
O(0,0) sebesar -
(a,b) → (-b,-a)
Matriks Rotasi Berpusat Dititik O(0,0)

10. Matriks Rotasi Berpusat Dititik A(X,Y)
Rotasi Sebesar 𝜶 Dengan Pusat Di Suatu Titik A
(X,Y)

11. Tentukan bayangan A(3,-5) jika dirotasi 90˚ dengan pusat rotasi di P (1,2)
dilengkapi dengan gambarnya!
𝐴(3, −5) = 𝐴 (𝑎, 𝑏)
𝑃(1,2) = 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑎′ = 𝑎 − 𝑥 cos 𝛼 − 𝑏 − 𝑦 sin 𝛼 + 𝑥
𝑏′ = 𝑎 − 𝑥 sin 𝛼 + 𝑏 − 𝑦 cos 𝛼 + 𝑦
𝑃 𝑎, 𝑏
R (P,α)
𝑃′ 𝑎′, 𝑏′
𝑎′ = 3 − 1 cos 90° − −5 − 2 sin 90° + 1
= 0 + 7 + 1
= 8
𝑏′ = 3 − 1 sin 90° + −5 − 2 cos 90° + 2
= 2 + 0 + 2
= 4
Jadi, bayangan A(3,5) adalah A’(8,4).
Penyelesaian :

12. Cara matriks :
𝑎′
𝑏′ =
cos 𝛼 − sin 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
𝑎−𝑥
𝑏−𝑦
+ 𝑥
𝑦
𝑎′
𝑏′ =
cos 90° − sin 90°
sin 90° cos 90°
3−1
−5−2
+ 1
2
𝑎′
𝑏′ =
0 −1
1 0
2
−7
+ 1
2
𝑎′
𝑏′ = 0+7
2+0
+ 1
2
𝑎′
𝑏′ = 7
2
+ 1
2
𝑎′
𝑏′ = 8
4
Jadi, bayangan A(3,5) adalah A’(8,4).

13. Tentukan bayangan titik A ( -6, 2) jika dirotasikan dari titik pusat
sejauh 90°
Dengan cara matriks : 










 











 






2
6
01
10
01
10
y'
'x
y
x
 














06
210
y'
'x














6
2
y'
'x
Maka A’ = ( -2, -6)
Cara bayangan (x,y)
   xy,A'yx,A 90R
  
   62,-A',26-A 90R
  
Titik
Penyelesaia
n :

14. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada
pangkal koordinat dengan sudut putaran + 900 adalah . . .
-x'ymaka-yx' 
y'xmakaxy' 
Substitusikan ke persamaan x + y = 6
x + y = 6
  6y'atau x'6x'-y' 
Jadi bayangannya : x – y = -6
Garis
Penyelesaian :

15. Jadi, bayangannya adalah x = -5y +4
X’ = y ↔ y = x’
y’ = -x ↔ x = -y’
Disubstitusikan ke y = 5x + 4
x’ = 5(-y’) + 4
↔ x’ = -5y’ +4
Tentukan bayangan garis y= 5x + 4 oleh rotasi R(O,-90) !
Contoh SoalGaris
Penyelesaian :

16.  1,2P
 3,0Q
 1,-2R
Gambar tersebut menunjukkan segitiga
PQR dipetakan ke bayangannya ke
segitiga P’Q’R’ oleh suatu rotasi 180°
pada titik T(-1,-2). Koordinat
P(1,2),Q(3,0) dan R(1,-2).
Tentukan koordinat-koordinat titik P’, Q’
dan R’ !
Bidan
g

17.  1,2P
 3,0Q
 1,-2R
 63,--P'
b
a
b-y
a-x
cossin
sincos
y'
x'
)(P' 
















 









  




















 







2
1
22
11
180cos180sin
180sin180cos
y'
'x
P'
  






























2
1
22
11
10
01
y'
'x
P'
  














6
3
y'
'x
P'
  














4
5
y'
'x
Q'
  






























2
1
20
13
10
01
y'
'x
Q'
  




















 







2
1
20
13
180cos180sin
180sin180cos
y'
'x
Q'
 3,-2-'R
 5,-4-'Q

18.   














2
3
y'
'x
R'
  






























2
1
22
11
10
01
y'
'x
R'
  




















 







2
1
22
11
180cos180sin
180sin180cos
y'
'x
R'
Jadi segitiga P’Q’R’ titik koordinatnya P(-3,-6),Q(-5,-4) dan R(-3,-2).

19. 1. Persamaan bayangan garis 2x – y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal
koordinat dengan sudut putaran -900 adalah . . .
2. Tentukan persamaan bayangan garis y = 5x + 2 jika dirotasikan dari pusat O
sejauh 90°!
3. Diketahui sebuah garis dengan persamaan 2x + 5y = 12
Tentukan bayangan garis tersebut jika diputar dari titik pusat P(3,1) sejauh 90°!

20. Jadi bayangannya : x + 2y– 6 = 0
  06'y'-2  x
06'2'  yx
-x'ymaka-yx' 
y'xmakaxy' 
Substitusikan ke persamaan 2x – y + 6 = 0
2x – y + 6 = 0
1. Persamaan bayangan garis 2x – y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal
koordinat dengan sudut putaran -900 adalah . . .

21. 










 






y
x
01
10
y'
'x












x
y
y'
'x
Atau y = -x’ dan x = y’ disubsitusikan ke pers y = 5x+2 sehingga menjadi :
y = 5x + 2
-x’ = 5 (y’) +2
-x’ – 5y’ = 2
x’ + 5y’ = -2
Jadi persamaan bayangan garis adalah x + 5y = -2
2. Tentukan persamaan bayangan garis y = 5x + 2 jika dirotasikan dari pusat O
sejauh 90°!

22. 












 






1
3
01
10
y'-b
'-ax
y
x




















1
3
3
1
y'
'x
x
y














2
4
y'
'x
x
y
Maka
x’ = -y + 4 → y = -x’ + 4 …………. (1)
y’ = x -2 → x = y’ + 2 ……………(2)
persamaan (1) dan (2) di subtitusikan ke persamaan 2x + 5y = 12
sehingga :
2x + 5y = 12
2 (y’ + 2 ) + 5 (-x’ + 4 ) = 12
2y’ + 4 – 5x’ + 20 = 12
2y’ – 5x’ + 12 = 0
-5x’ + 2y’ = 12 x (-)
5x’ – 2y’ = 12
Jadi persamaan bayangan adalah 5x – 2y = 12
3. Diketahui sebuah garis dengan persamaan 2x + 5y = 12
Tentukan bayangan garis tersebut jika diputar dari titik pusat P(3,1) sejauh 90°!

23. TERIMAKASIH ATAS
PERHATIANNYA DAN
APA ADA PERTANYAAN