1. Barquisimeto, 09 Noviembre 2013

2. INTEGRANTES
Rangel, Luis
Pérez, José
Pinto Herling
Urdaneta, Ariadny
¿Cómo utilizar tu revista
digital?
Esta revista posee material teórico – práctico sobre
los tópicos que se refieren a las aplicaciones de la
derivada.
Primeramente debes leer los contenidos teóricos
con los ejemplos allí explicados, debes comprenderlo a
total cabalidad, para luego pasar a las secciones de
ejercicios prácticos, donde los temas se encuentran
mezclados.

3. La teoría allí manejada se encuentra plasmada de la
manera mas sencilla y fresca posible, que le permite al
estudiante comprender un poco mejor los temas que
aprende de los libros de texto.
No queda más nada que invitarte a estudiar este
tema, el cual es muy interesante ya que plasma las
verdaderas aplicaciones de uno de los contenidos más
estudiados en calculo….LA DERIVADA…
1. Máximos y mínimos
En muchos casos de la vida cotidiana nos toca enfrentarnos a
problemas donde deseamos maximizar o minimizar una función, por
ejemplo, un granjero puede necesitar escoger la mezcla de cultivos que
sea la más apropiada y que genere la mayor ganancia, o un medico
puede necesitar conocer la mínima cantidad de una droga para curar una
enfermedad.
En todos estos casos, los métodos de cálculo proporcionan una
herramienta poderosa para resolver el problema.

4. Para conseguir los puntos máximos y mínimos de una función, se
realizan los siguientes pasos:
1. Se encuentran los puntos críticos de f en el intervalo dado, lo cual
se logra sacando la derivada, y observando para que valores de x
la misma es cero, asimismo los extremos del intervalo dado
también son puntos críticos.
2. Luego cada uno de estos puntos críticos se evalúan en la función
original, la imagen que sea mayor corresponderá al máximo de la
función, y la que sea menor corresponderá al mínimo de la función.
Ejemplo 1:
Sea
, determinar el punto máximo y el punto
mínimo de esta función en el intervalo [-1/2 , 2].
Siguiendo los pasos anteriormente explicados, primero calculamos la
derivada de la función:
Al sacar factor común 6x tenemos:
Por ende los puntos críticos de la función son x=0 y x=1, así como
también los extremos x=-1/2 y x=2.
NOTA: Si los puntos críticos obtenidos se encuentran fuera del intervalo
especificado, los mismos se deben descartar.
Luego siguiendo el paso 2, debemos evaluar estos dos números en la
función original, así:

5. De los resultados anteriormente obtenidos, se puede apreciar que el
valor máximo que alcanza la función es 1, el cual se alcanza en x=1 y x=1/2, y el valor mínimo de la función es -4 el cual se alcanza en x=2.
Ejemplo 2
Determinar los valores máximo y mínimo de
en el
intervalo
La derivada de la función es:
, para que esta función sea
cero, el sen(x) debe ser igual a ½, en el intervalo dado los únicos valores
que satisfacen esa condición son
y
.
Tomando en cuenta los valores donde la derivada es cero, y los
extremos del intervalo dado, los puntos críticos de la función serán
,
y
,
.
Al sustituir estos valores de x en la función original tenemos que:
Por lo tanto, la función alcanza un valor máximo de 8.28 cuando x=2π, y
alcanza una valor mínimo de -5.14 cuando x =-π

6. 2. Monotonía y concavidad
Al momento de observar la grafica de una función, se puede
observar fácilmente donde esta es creciente o decreciente, así como
también podemos determinar visualmente donde la misma es cóncava
hacia abajo, o donde es cóncava hacia arriba. Sin embargo, al no
conocer la gráfica de una función, existen herramientas matemáticas
que me permiten saber estos hechos, las mismas están basadas en las
derivadas de una función, y forma parte de las aplicaciones de la
derivada.
Teorema de la monotonía:
Si f es continua en un intervalo I, y es derivable en todo punto de I,
entonces:
1. Si f´(x)>0, para toda x en I, entonces f(x) es creciente en I
2. Si f´(x)<0, para toda x en I, entonces f(x) es decreciente en I
Una manera más sencilla de interpretar este teorema es a través
de los siguientes pasos:
1. Hallar la derivada de la función, y encontrar los puntos críticos.
2. Establecer intervalos entre estos puntos críticos.
3. Evaluar la derivada en el interior de estos intervalos.
4. Donde la derivada de un numero positivo la función es
creciente, si por el contrario arroja un numero negativos es
decreciente.
Ejemplo 1
Sea
, hallar donde f es decreciente y donde f es
creciente.
Utilizando los pasos explicados previamente:

7. 1. La derivada de la función es
, al utilizar la
ecuación de segundo grado podemos determinar que la derivada
se hace cero en x=-1 y en x=2.
2. Estos puntos críticos dividen el eje de las x en 3 intervalos, como
se muestra a continuación:
Intervalo 1
-∞
Intervalo 2
-1
Intervalo 3
2
+∞
3. Luego debemos evaluar la derivada en cualquier número que se
encuentre internamente en cada intervalo.
a. En el intervalo 1 evaluaremos en el número más cercano al
extremo x=-2, así f’(-2)=24, por tanto la derivada es positiva.
b. En el intervalo 2 evaluaremos en el cero, el cual es el
número más sencillo de evaluar y se encuentra dentro del
intervalo, así f´(0)=-12, la derivada en este intervalo es
negativa.
c. En el intervalo 3, evaluaremos en x=3, así f´(3)=24, la
derivada en este intervalo es positiva.
4. Luego aplicando el teorema tenemos que:

8. a. En el intervalo 1 (-∞,-1), la función es creciente ya que la
derivada es positiva.
b. En el intervalo (-1,2), la función es decreciente ya que la
derivada es negativa.
c. En el intervalo (2,+∞), la función es creciente ya que la
derivada es positiva.
Teorema de la concavidad
Sea f dos veces derivable en un intervalo I
1. Si f´´(x)>0 en toda x en I, entonces la función es cóncava hacia
arriba.
2. Si f´´(x)<0 en toda x en I, entonces la función es cóncava hacia
abajo
La explicación de este teorema es similar al de la monotonía, solo que
hay que derivar dos veces, así al seguir los siguientes pasos se tiene una
idea más clara de cómo saber la concavidad de una función:
1. Hallar la derivada de segundo orden la función, y encontrar los
puntos donde esta se hace cero.

9. 2. Establecer intervalos entre estos puntos encontrados.
3. Evaluar la derivada de segundo orden
en el interior de estos
intervalos.
4. Donde la derivada de un numero positivo la función es cóncava
hacia arriba, si por el contrario arroja un numero negativos es
cóncava hacia abajo.
Ejemplo 2: Determinar los intervalos donde
es cóncava hacia
arriba o hacia abajo.
Utilizando los pasos explicados previamente:
1. La derivada de primer orden de la función es:
; así la
derivada de segundo orden de la función es
. Como el
denominador siempre será positivo solo se necesita resolver el
numerados, los puntos donde se hace cero esta derivada son x=0,
x=
Intervalo 1
y x=-
2. Estos puntos dividen el eje x en 4 intervalos como se observa en la
siguiente figura:
Intervalo 2
-∞
Intervalo 3
Intervalo 4
0
+∞
3. Al evaluar la segunda derivada en números que se encuentren
dentro en cada intervalo, se determino que f´´(x) es positiva en los
intervalos 2 y 4, y es negativa en los intervalos 1 y 3.
4. Así podemos concluir que la función es cóncava hacia arriba en los
intervalos 2 y 4 y es cóncava hacia abajo en los intervalos 1 y 3.

10. Ejercicio de Aplicación
Una caja de cartón se fabrica con una pieza de cartón la cual tiene 24
cm de largo por 9 cm de ancho, de la misma se cortan cuatro cuadro
idénticos a partir de las cuatro esquinas y se doblan los lados hacia
arriba como se muestra en la siguiente figura.
Determinar las dimensiones de la caja de volumen máximo, ¿Cuál es
este volumen?
El volumen de una caja rectangular es igual a V=l1*l2*h, donde l1 y l2
son los dos lados del rectángulo de abajo, y h es la altura de la caja,
para este ejercicio queda de la siguiente manera:
Donde l1=24-2x, l2=9-2x, y h=x, así la formula nos queda:

11. El lado más pequeño de la caja es 9-2x, como esta expresión no puede
ser mayor que 9 ya que no quedaría material, el valor máximo que puede
tomar x es 4.5, así como el valor mínimo es cero ya que las dimensiones
no pueden ser negativas, es por ello que debemos buscar el máximo de
esta función en el intervalo [0,4.5]
Para conseguir el máximo debemos primer conseguir los números
críticos, para ello derivamos la función, lo cual nos queda:
Por ende, los números críticos son x=9, y x=2, pero como x=9 no está en
el intervalo vemos que solo hay 3 puntos críticos x=0, x=2, x=4.5
Ahora debemos evaluar la ecuación original del volumen en los tres
puntos:
Por lo tanto el volumen máximo es 200
, y con x =valor de 2cm las
dimensiones de la caja para este volumen máximo son

12. Ejemplo 2
Un granjero tiene 100 metros de cerca de alambre, con la cual planea
construir
dos
corrales
adyacentes,
¿Cuáles
son
las
dimensiones
máximas de estos corrales?
Sea “x” el ancho y “y” el largo del área toral encerrada, ambas en
metros, tenemos que

13. Por otro lado, el área total del cuadrado está dada por:
Como deben haber 3 lados del corral con longitud x, quiere decir que el
máximo valor de x es 100/3 y el mínimo valor es 0 ya que las
dimensiones no pueden ser negativas, así que buscaremos el máximo de
la función en el intervalo [0,100/3]
Al derivar la función tenemos;
Cuando igualamos a cero la derivada del área, tenemos que x =50/3, así
que existen tres puntos críticos x=0, x=50/3 y x=100/3 al evaluar en la
función del área tenemos:
Así que las dimensiones deseadas para maximizar los corrales son,
x=50/3=16.67 metros y y=25 metros.