Ejercicio de Matrices asociadas a aplicaciones lineales

2. Dada la transformación lineal
𝑓: 𝑅2
→ 𝑃2 𝑡
Donde: 𝐵1= 1, −1 , 1,1 ,
𝐵2= 1 − 𝑡, 2,1 + 𝑡 − 𝑡2
,
Son bases de 𝑅2
y 𝑃2 𝑡 respectivamente.
Además, C representa las bases canónicas
de 𝑅2
y 𝑃2 𝑡

3. a) Determinar 𝑓 explícitamente si 𝑓 𝑐
𝑐
=
1 −1
2 −2
0 −1𝑓: 𝑅2 → 𝑃2 𝑡
𝐶1= 1,0 , 0,1 𝐶2= 1, 𝑡, 𝑡2
(1,0)=𝛼 1 + 𝛽 𝑡 + 𝛾(𝑡2) ⟹ 1 1 + 2 𝑡 + 0(𝑡2) = 1+2𝑡
(0,1)=𝛼 1 + 𝛽 𝑡 + 𝛾(𝑡2) ⟹ −1 1 − 2 𝑡 − 1(𝑡2) = -1-2𝑡-𝑡2
(a,b)=𝛼 1,0 + 𝛽 0,1 𝛼 = a 𝛽 = b
𝑓(a,b)=𝛼𝑓 1,0 + 𝛽𝑓 0,1
𝑓(a,b)= 𝑎(1+2t)+ 𝑏(-1-2t-t2) ⟹ 𝑎 + 2𝑎𝑡 − 𝑏 − 2𝑏𝑡 − 𝑏𝑡2
𝑓: 𝑅2
→ 𝑃2 𝑡
𝑎, 𝑏 → 𝑓 𝑎, 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 + 2𝑎 − 2𝑏 𝑡 + 𝑏𝑡2

4. b) Encontrar 𝑓 𝐵2
𝐵1
𝑓 𝐵2
𝐵1
= 𝐼𝑑 𝐵2
𝐶2
𝑓 𝐶2
𝐶1
𝐼𝑑 𝐶1
𝐵1
Dato: 𝑓 𝐶2
𝐶1
=
1 −1
2 −2
0 −1
𝑓 1, −1 = 𝛼 1,0 + 𝛽 0,1 ⟹ 𝛼 = 1 𝛽 = −1
𝑓 1,1 = 𝛼 1,0 + 𝛽 0,1 ⟹ 𝛼 = 1 𝛽 = 1
𝐼𝑑 𝐶1
𝐵1
=
1 1
−1 1

5. 𝑓 1 + 0𝑡 + 0𝑡2
= 𝛼 1 − 𝑡 + 𝛽 2 + 𝛾(1 + 𝑡 − 𝑡2
)
𝑓 0 + 𝑡 + 0𝑡2
= 𝛼 1 − 𝑡 + 𝛽 2 + 𝛾(1 + 𝑡 − 𝑡2
)
𝑓 0 + 0𝑡 + 𝑡2
= 𝛼 1 − 𝑡 + 𝛽 2 + 𝛾(1 + 𝑡 − 𝑡2
)
1 2 1
−1 0 1
0 0 −1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
≈
1 2 1
0 2 2
0 0 1
1
1
0
0
1
0
0
0
−1
≈
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
0
1 2
0
−1
1 2
0
0
0
−1
≈
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0
1 2
0
−1
1 2
0
−1
1
−1
𝛼 = 0 𝛽 =
1
2
𝛾 = 0 𝛼 = −1 𝛽 =
1
2
𝛾 = 0 𝛼 = −1 𝛽 = 1 𝛾 = −1
𝐼𝑑 𝐵2
𝐶2
=
0 −1 −1
1/2 1/2 1
0 0 −1
𝑓 𝐵2
𝐵1
=
0 −1 −1
1/2 1/2 1
0 0 −1
1 −1
2 −2
0 −1
1 1
−1 1
=
−5 1
4 −1
−1 1

6. c)Encontrar 𝑓 𝐶
𝐵1
𝑓 1, −1 = 2 + 4𝑡 − 𝑡2
𝑓 1,1 = 0 + 0𝑡 − 𝑡2
2 + 4𝑡 − 𝑡2 = 𝛼 1 − 𝑡 + 𝛽 2 + 𝛾(1 + 𝑡 − 𝑡2)
0 + 0𝑡 − 𝑡2 = 𝛼 1 − 𝑡 + 𝛽 2 + 𝛾(1 + 𝑡 − 𝑡2)
1 2 1
−1 0 1
0 0 −1
2
4
1
0
0
−1
≈
1 2 1
0 2 2
0 0 1
2
6
−1
0
0
1
≈
1 0 −1
0 1 1
0 0 1
−4
3
−1
0
0
1
≈
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
4
1
0
0
1
𝛼 = 2 𝛽 = 4 𝛾 = 1 𝛼 = 0 𝛽 = 0 𝛾 = −1
𝑓 𝐶
𝐵1
=
2 0
4 0
1 −1

7. c)Determinar si 𝑓 es Biyectiva
𝑥 − 𝑦 + 2𝑥 − 2𝑦 𝑡 + 𝑦𝑡2 = 0 𝑃2
𝑡
𝑥 − 𝑦 = 0
2𝑥 − 2𝑦 = 0
𝑦 = 0
1 −1
2 −2
0 1
≠0 ⟹ 0=0
Por lo tanto no es Inyectiva → no es Biyectiva