2. Expresiones Algebraicas: Una expresión algebraica
contiene letras, números y signos. La manipulación de
expresiones algebraicas tiene las mismas propiedades
que la manipulación de expresiones numéricas, ya que
las letras se comportan como si fuesen números
Ante cualquier expresión, lo primero que debe hacerse es
simplificarla, utilizando las propiedades de las expresiones, que
son equivalentes a las propiedades de los números. En el caso del
ejemplo, deben agruparse los términos con las mismas letras. Por
un lado, debemos sumar 3x23x2 y −x2−x2 y, por el otro, se tienen
que sumar 4x4x y 7x7x: 3x2−x2=2x23x2−x2=2x2
4x+7x=11x4x+7x=11x Así pues, la expresión de segundo grado
3x2+4x−2−x2+7x3x2+4x−2−x2+7x es igual a 2x2+11x−22x2+11x−2.
3. El valor numérico de una expresión algebraica se halla sustituyendo la letra
por un número de terminado. Por ejemplo, el valor numérico de
2x2+11x−22x2+11x−2 cuando x=3x=3 es igual a
2⋅32+11⋅3−2=18+33−2=49.2·32+11·3−2=18+33−2=49. El grado de una
expresión algebraica con una única letra es el exponente máximo de esta letra
en la expresión. Por ejemplo, el grado de 2x2+11x−22x2+11x−2 es 22.
• Suma de expresiones algebraicas: En álgebra la suma es una de
las operaciones fundamentales y la más básica, sirve para sumar
monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el
valor de dos o más expresiones algebraicas.
X+4x•2²-(3/x)
Explicación:
X: Variable
4x: Coeficiente +
• : Operadores ²: Exponente
(): Paréntesis
4. • Resta de expresiones algebraicas: Con la resta algebraica sustraemos el
valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están
compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes. Cuando las
expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo
negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo.
Para no tener confusión, escribimos los números con signo negativo, o
incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x) (-2ª³b⁴) – (4ª³b⁴)
= 2ª³b⁴
• Valor de las expresiones Algebraicas: Es el número que resulta de
sustituir las letras por números y realizar a continuación las
operaciones que se indican. Por ejemplo, si el valor de X es 5,
entonces, el valor de 2X es 10, esto es: 2 ×= 2.5 = 10
5. 2. Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicación de dos
monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de los
signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales
se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son
diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente.
Ejemplo multiplicar 3𝑥3 𝑦2 por 7𝑥4 (3𝑥3 𝑦2 )(7𝑥4 ) Se realiza de la
siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la
suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en
uno de los factores se escribe y con su propio exponente. (3)(7)𝑥3 +4 𝑦
2 21𝑥7 𝑦2
• División de expresiones algebraicas: En esta operación se vuelve aplicar la regla de los
signos, en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los
coeficientes, si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el
numerador como en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la
literal en el numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador,
en caso contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del
numerador
6. Dividir 9𝑥³ 𝑦² entre 3𝑥²w 9𝑥³𝑦²/ 3𝑥²w 9𝑥³ 𝑦² / 3𝑥²𝑤 = 3𝑥𝑦² /𝑤 •
Factorización: Es descomponer una expresión algebraica en factores
cuyo producto es igual a la expresión propuesta. La factorización se
considera la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de
ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en
la factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Factorización por productos notables: Se establecen los principales
productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la
expresión a factorizar. Particularmente se trabaja con el trinomio que
puede ser identificado con el desarrollo del producto (x + a )(x + b ) con a
y b números enteros. • Así como los números naturales pueden ser
expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden
ser expresadas como el producto de dos o más factores algebraicos
7. • Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más
números, los polinomios pueden ser expresadas como el producto de dos o más factores
algebraicos.
• Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en
que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1
por la expresión original.
• Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina
factorización.
• El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de
multiplicar. • Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos
los términos y agruparlos
8. Factorización por resolvente cuadrática: Cuando un polinomio es igual a cierto valor
(ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que
puede ser escrita de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Podemos
resolver estas ecuaciones cuadráticas usando las reglas del álgebra, aplicando
técnicas de factorización donde sea necesario, y usando la Propiedad Cero de la
Multiplicación. • Uso del cambio de variable: Hay otro camino para poder hacer
estas factorizaciones mediante un pequeño “truco” para evitar los coeficientes
fraccionarios
Simplificación algebraicas: Para simplificar una fracción algebraica se divide el
numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común
de ambos.
• Suma y resta de fracciones algebraicas: Para sumar o restar fracciones algebraicas
se procede de igual manera que con la fracciones aritméticas: se encuentra el mínimo
común denominador y se realizan las operaciones de forma similar.
9. Suma y resta de fracciones con igual denominador: Para sumar o restar
fracciones algebraicas con igual denominador se escribe el mismo
denominador y se suman los numeradores.
. Multiplicación de fracciones algebraicas: Para multiplicar y dividir fracciones
algebraicas se opera de la misma forma que con fracciones numéricas. La
multiplicación de fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo
numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el
producto de los denominadores.
Factorización por el método de Ruffini: Éste es un
método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite
con su aplicación, encontrar las diferentes raíces de
cualquier polinomio. Es ideal para aquellos polinomios
que tienen un grado mayor que dos
11. Multiplicación.
x²-1 2x-10 (x+1) • (x-1) 2 (x-5)
___ • ____ = ___________=
______ x-5 x-1 x-5 x-1 = 2
(x+1) = 2x +2
• Ejercicio 2:
División: x² -4x +4 x² -4
_______ + _____ X
+1 3x +3 = x² -4x +4 3x
+4 _________ •
_____ X+1 x² -4 = (x -
2) • (x-2) 3 (x +1)
______________ •
_________ X+1 (x+2)
• (x-2) = 3• (x -2) = 3x -6
• Ejercicio 3: Productos Notables. –
Desarrolle (x+10)2. -Cuadrado del primer
término:
x2. - veces el primero por el segundo:
2(x)(10)=20x. -Cuadrado del segundo
término: 102=100. - Respuesta: (x + 10)² =
x² + 20x +100
• Ejercicio 4: Productos Notables.
-Desarrolle (7 a²+5x3)2. -
Cuadrado del primer término:
72(a²)2=49 a⁴ -Dos veces el
primero por el segundo: 2(7
a²)(5x3)= 70 a²x3. -Cuadrado del
segundo término:
(5)2(x3)2=25x6. - Respuesta: (7
a² + 5 x³)² = 49⁴ + 70 a² x³ +
25x⁶
12. PUNTO N° 3:
•Ejercicio 1: Factorización por Productos notables.
4) ¿Cuáles de estos polinomios puede ser factorizado
identificando con el desarrollo del producto (x+a) (x+b) con
a y b números enteros? Factorice los polinomios en que se
pueda identificar con el desarrollo del producto (x+a) (x+b)
4.1) x2+2x–15 4.2) y2–2y–15 4.3) x2–4x+3 4.4) z2+2z–4
Respuestas: 4.1) (x+5)(x–3) 4.2) (y–5)(y+3) 4.3) (x–3)(x–1)
4.4) No hay dos números enteros que multiplicados den –4 y
sumados 2.
• Ejercicio 2: Factorización por resolvente
cuadrática.
Resuelve la ecuación x^2+5x+6=0x
Factorizando el lado izquierdo de la ecuación,
tenemos: X²+5x+6=0 (x+2)(x+3)=0 X+2=0 o
x+3=0 X=-2 o x=-3 Las soluciones de la
ecuación son x=-2 y x=-3
13. • Ejercicio 3: Factorización por resolvente cuadrática.
Encuentra las soluciones de la ecuación x²+2x-8=0
Vamos a factorizar el lado izquierdo de la ecuación y
luego formamos ecuaciones con los factores para
encontrar las soluciones: X²+2x−8=0 (x+4)(x−2)=0
X+4=0 o x−2=0 X=−4 o x=2 Las soluciones de la
ecuación son x=-4 y x=2
• Ejercicio 4: Factorización por
cambio de variables. Resolvamos la
siguiente ecuación: 6x² - 7x +2 = 0
36x² -7 (6x) + 12=0 Z² -7z +12 =0 Z² -
7z + 12 = (z -3) (z -4) (6x -3) (6x -4)
36x² -7(6x) +12 = (6x -3) (6x -4) (6x -
3) (6x -4) = 0
Resolvamos cada ecuación lineal: 6x -
3 =0 y 6x -4 =0 X1= 3/6 = 1/2 X2=
4/6 = 2/3
PUNTO N° 4: • Ejercicio 1:
Simplificación de Fracciones
algebraicas: Simplifica la
siguiente fracción: 5x² + 10x
/11x 5x (x+2) / 11x Luego
eliminamos los factores que se
repiten y queda así: 5 (x+2) /11
• Ejercicio 2: Simplificación
de Fracciones algebraicas: X²
-4 / x² +2x -8 (X -2) (x+2) /
(x -2) (x +4) Se eliminan los
factores que se repiten y
queda así: x+2 / x+4
