Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски

Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

Независимые множества и клики
• Клика в графе — это полный подграф
• Независимое множество — это подмножество вершин,
порождающее пустой подграф

Независимые множества и клики
• Число независимости 훼 퐺 — это размер максимального
независимого множества
• Кликовое число 휔 퐺 — это максимальный размер клики в графе

Двудольные графы
• Двудольный граф — это граф, вершины которого можно разбить
на два независимых множества
• Полный двудольный граф 퐾푚,푛 — это двудольный граф со всеми
возможными рёбрами между долями (푚 и 푛 — мощности долей)
퐾3,3

Раскраски вершин и рёбер
• Раскраска вершин графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение
휙: 푉 퐺 → 1,2, … , 푘
• Вершинная раскраска 휙 называется правильной, если
∀푣′∀푣′′ 푣′푣′′ ∈ E 퐺 ⇒ 휙 푣′ ≠ 휙 푣′′
Правильная раскраска вершин графа
в 푘 цветов задаёт разбиение
множества вершин графа
на 푘 независимых множеств.

Раскраски вершин и рёбер
• Раскраска рёбер графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение
휓: 퐸 퐺 → 1,2, … , 푘
• Рёберная раскраска 휓 называется правильной, если
∀푒′∀푒′′ 푒′ ∩ 푒′′ ≠ ∅ ⇒ 휓 푒′ ≠ 휓 푒′′
Правильная раскраска рёбер графа
в 푘 цветов задаёт разбиение
множества рёбер графа
на 푘 паросочетаний.

Примеры задач о раскраске
• Сотовый оператор установил в городе свои антенны. Некоторые
пары антенн расположены близко друг к другу и вынуждены
использовать разные частоты.
Сколько радиочастот придётся выкупить сотовому оператору у
городских властей?
• Лидеры стран G-20 собрались на саммит. Некоторые пары
участников хотят побеседовать друг с другом наедине. У каждого
участника на одну такую беседу уходит один день.
Во сколько дней можно уложить саммит?

Исторически первая задача о раскраске:
• Сколько цветов достаточно использовать в типографии, чтобы
можно было напечатать любую географическую карту (так, чтобы
граничащие друг с другом страны не сливались на карте)?

Задачу о раскраске карт можно переформулировать на языке
раскрасок, рассмотрев планарный граф,
двойственный карте:
• Сколькими цветами можно правильно раскрасить любой
планарный граф?

Хроматическое число
• Хроматическое число 휒 퐺 — это минимальное число цветов, в
которое можно правильно раскрасить вершины графа 퐺.
• Хроматический индекс 휒′ 퐺 — это минимальное число цветов, в
которое можно правильно раскрасить рёбра графа 퐺.
Рассмотренные ранее «жизненные» задачи сводятся к
нахождению хроматического числа или хроматического индекса
некоторых графов.

Списочное хроматическое число
Пусть для каждой вершины 푣 графа 퐺 указан конечный список
퐿푣 ⊆ ℕ — цвета, в которые разрешается красить 푣.
Правильная списочная раскраска графа 퐺 (для набора списков
퐿푣 푣∈푉 퐺 ) — это отображение 휙: 푉 퐺 → ℕ, которое
• является правильной раскраской в обычном понимании,
• каждая вершина покрашена в цвет из своего списка: 휙 푣 ∈ 퐿푣

Списочное хроматическое число графа 퐺 — это такое
минимальное 푘, что правильная списочная раскраска 퐺 существует
для любого набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 , удовлетворяющего условию
∀푣 퐿푣 = 푘.
Обозначение: 휒푙 퐺 .
Очевидно, 휒푙 퐺 ≥ 휒 퐺 (поскольку можно взять все списки
равными 1,2, … , 푘 ).

Пример графа 퐺, для которого 휒푙 퐺 > 휒 퐺 :
1,3 1,2 2,3
2,3 1,2 1,3

Теорема. При любом 푘 ∈ ℕ существует граф 퐺, для которого
휒 퐺 = 2 и 휒푙 퐺 > 푘.
Доказательство:
Рассмотрим полный двудольный граф 퐺, у которого вершинам
каждой доли приписаны всевозможные подмножества мощности 푘
множества 1,2, … , 2푘 − 1 :
…
…
1, … , 푘
1, … , 푘
푘, … , 2푘 − 1
푘, … , 2푘 − 1

Допустим, что у 퐺 есть правильная списочная раскраска в цвета
из указанных списков.
Пусть 퐴— множество цветов, использованных при раскраске
вершин верхней доли.
Тогда 퐴 ≥ 푘 (иначе в верхней доле графа 퐺 нашёлся бы список,
не содержащий ни одного элемента из 퐴).
…
…
1, … , 푘
1, … , 푘
푘, … , 2푘 − 1
푘, … , 2푘 − 1

Имеем 퐴 ≥ 푘.
Но тогда в нижней доле графа 퐺 есть вершина, список допустимых
цветов которой полностью содержится в 퐴. Следовательно,
правильную списочную раскраску 퐺 для заданных нами списков
построить нельзя. То есть 휒푙 퐺 > 푘.
…
…
1, … , 푘
1, … , 푘
푘, … , 2푘 − 1
푘, … , 2푘 − 1

Оценки хроматического числа
• 휒 퐶2푘 = 2, 휒 퐶2푘+1 = 3
• 휒 퐾푛 = 푛
• Если 퐻 — подграф 퐺, то 휒 퐺 ≥ 휒 퐻
• 휒 퐺 ≥ 휔 퐺
• 휒 퐺 ≥ 퐺
훼 퐺 , поскольку 퐺 ≤ 휒 퐺 ⋅ 훼 퐺

Утверждение. Для любого 퐺 выполнено
휒 퐺 ≤
1
2
1 + 1 + 8 ⋅ 퐺
Доказательство: Пусть 휒 퐺 = 휒.
Существует разбиение 푉 퐺 = 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉휒 , где 푉푖 — независимые
множества.
При этом ∀푖 ≠ 푗 между 푉푖 и 푉푗 есть хотя бы одно ребро.
Поэтому 퐺 ≥ 휒 휒−1
2 . Решая это неравенство относительно 휒,
получаем требуемое.

Утверждение.
Хроматическое число графа 퐺 равно
максимальному из хроматических чисел компонент связности 퐺.
Поэтому в теоремах об оценках хроматических чисел достаточно
рассматривать связные графы.

Хроматическое число связного графа 퐺 равно
максимальному из хроматических чисел блоков 퐺.
Доказательство: индукция по числу блоков.
Пусть в 퐺 более одного блока и утверждение верно для графов с
меньшим числом блоков.
Пусть 퐵 — концевой блок в 퐺, а 퐺′ — оставшаяся часть 퐺.
퐵 퐺′

Блок 퐵 «прикреплён» к 퐺′ единственной вершиной 푣. Пусть 푘 =
max 휒 퐺′ , 휒 퐵 .
Существуют правильные раскраски 퐵 и 퐺′ в цвета 1, … , 푘 . Тогда
существуют правильные раскраски 퐵 и 퐺′, в которых вершина 푣
имеет цвет 1. Совместив эти раскраски, получим раскраску всего
графа 퐺.
퐵 퐺′
퐵
1 퐺′
1

«Жадный» алгоритм раскраски
Упорядочиваем вершины графа: 푣1 , … , 푣 푉 .
for 푖 ≔ 1 to 푉 :
badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗 푣푖 ∈ 퐸
color 푣푖 ≔ min ℕ ∖ badColors
(Т.е. при раскраске очередной вершины используется первый по
счёту цвет, отсутствующий среди соседей вершины.)

badColors ≔ color 푣푗 ∣ 푗 < 푖 и 푣푗푣푖 ∈ 퐸
1 1
2
1
2
1
1
2
1
3
1
2
1
3 1
1
2
1
3 1
2
1
2
1
3 1
3
2
1
2
1
3 1
3
2
1
1
2
1
3 1
3
2
1
2

При любом упорядочении вершин графа указанный алгоритм
строит правильную раскраску в не более чем 1 + Δ 퐺 цветов.
(Т.к. всегда выполнено badColors ≤ Δ 퐺 .)

Утверждение-упражнение.
Качество раскраски, построенной алгоритмом, сильно зависит
от упорядочения вершин:
Всегда существует упорядочение, при котором алгоритм
использует ровно 휒 퐺 цветов.
Для любого 푘 можно предъявить двудольный граф 퐺 и такое
упорядочение его вершин, что раскраска, построенная
алгоритмом, будет задействовать более 푘 цветов.

«Жадный» алгоритм списочной раскраски
Пусть каждой вершине 푣 присвоен список допустимых цветов 퐿푣.
Тогда алгоритм выглядит так:
if 퐿푣 ⊆ badColors:
error
else:
color 푣푖 ≔ min 퐿푣 ∖ badColors

Оценка списочного хроматического числа
Теорема.
Для любого графа 퐺 выполнено неравенство
휒푙 퐺 ≤ 1 + max
퐻⊆퐺
훿 퐻 .
Доказательство. Достаточно запустить жадный алгоритм на
графе 퐺, упорядочив вершины так:
• 푣 퐺 — любая из вершин минимальной степени в 퐺
• 푣 퐺 −1 — любая из вершин минимальной степени в 퐺 − 푣 퐺
• 푣 퐺 −2 — любая из вершин минимальной степени в 퐺 −

Оценка списочного хроматического числа
Теорема. Для любого графа 퐺 выполнено
휒푙 퐺 ≤ 1 + max
퐻⊆퐺
훿 퐻
Следствие 1. Для любого графа 퐺 имеем
휒푙 퐺 ≤ 1 + Δ 퐺
Следствие 2. Для любого связного нерегулярного графа 퐺
выполнено неравенство
휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺
(из нерегулярности 퐺 получаем 훿 퐺 ≤ Δ 퐺 − 1,
а связность 퐺 влечёт 훿 퐻 ≤ Δ 퐺 − 1 для любого порождённого
подграфа 퐻, отличного от 퐺)

Теорема Брукса
Теорема Брукса. (R. L. Brooks ’1941)
Для любого связного, не полного графа 퐺, имеющего Δ 퐺 ≥ 3,
выполнено неравенство
휒 퐺 ≤ Δ 퐺
Доказательство (L. Lovász ’1975):
Если 퐺 не регулярный, то 휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺 , так что достаточно
доказать теорему для регулярных графов.
Также б.о.о. можно считать 퐺 двусвязным.

Доказательство теоремы Брукса:
специальная тройка вершин
Далее считаем 퐺 двусвязным, не полным, 푘-регулярным графом
(푘 ≥ 3).
Докажем, что в 퐺 можно выбрать такую тройку вершин 푥, 푦, 푧, что
푥푧, 푦푧 ∈ 퐸 퐺 , 푥푦 ∉ 퐸 퐺 , и граф 퐺 − 푥, 푦 связный:
푥
푦
푧

Если 퐺 трёхсвязен, то 푧 выберем произвольно, а в качестве 푥 и 푦
возьмём любые две несмежные вершины из 푁 푣 (такие найдутся,
т.к. 퐺 регулярный и не полный).
Если 퐺 не трёхсвязный, то в качестве 푧 возьмём такую вершину, что
граф 퐺 − 푧 не двусвязный. Пусть 퐵′ и 퐵′′ — любая пара концевых
блоков в 퐺 − 푧 .
푧
퐵′ 퐵′′

Пусть 퐵′ и 퐵′′ «прикрепляются» к оставшейся части графа 퐺 − 푧
точками сочленения 푢′ и 푢′′ соответственно.
В блоке 퐵′ найдётся вершина 푥, отличная от 푢′ и смежная с 푧
(иначе 푢′ была бы точкой сочленения в 퐺). Аналогично, в 퐵′′ есть
вершина 푦, отличная от 푢′′ и смежная с 푧.
Тройка 푥, 푦, 푧 — искомая.
푧
퐵′ 퐵′′

аккуратная нумерация вершин
Итак, в 퐺 найдётся «специальная» тройка 푥, 푦, 푧.
푥
푦
푧
Обозначим 푛 ≔ 퐺 . Положим 푣1 ≔ 푥, 푣2 ≔ 푦.
Граф 퐺 − 푥, 푦 связный, поэтому можно занумеровать его
вершины 푣3, … , 푣푛 так, что 푣푛 = 푧 и
∀푖 < 푛 ∃푗 > 푖: 푣푖 푣푗 ∈ 퐸 퐺 .
(Например, обходом графа в ширину из вершины 푧.)

Доказательство теоремы Брукса: жадный
алгоритм на аккуратной нумерации вершин
Множество 푉 퐺 ∖ 푥, 푦 занумеровано 푣3 , 푣4 , … , 푣푛
так, что 푣푛 = 푧 и ∀푖 < 푛 ∃푗 > 푖: 푣푖푣푗 ∈ 퐸 퐺 .
Запустим на 퐺 жадный алгоритм раскраски.
• Вершины 푣1 , 푣2 окрасятся в цвет 1.
• Пусть окрашивается вершина 푣푖 , 3 ≤ 푖 ≤ 푛 − 1.
Так как 푣푖 смежна хотя бы с одной из вершин 푣푖+1 , … , 푣푛 ,
то 푣푖 смежна не более чем с 푘 − 1 вершинами из множества
푣1 , … , 푣푖−1 . Значит, 푣푖 будет окрашена в цвет ≤ 푘.
• Наконец, у 푣푛 степень 푘, но заведомо есть пара соседей,
окрашенных одним цветом. Поэтому 푣푛 получит цвет ≤ 푘.

Обобщения и усиления теоремы Брукса
• Теорема (B. Reed ’1999).
Если Δ 퐺 достаточно велико и 휔 퐺 < Δ 퐺 , то 휒 퐺 ≤ Δ 퐺 − 1.
• Существуют линейные по времени алгоритмы раскраски графов
в Δ 퐺 цветов.
• Теорема (В.Г. Визинг ’1976)
Для связного, не полного графа, не являющегося циклом,
휒푙 퐺 ≤ Δ 퐺

Оценка 휒푙 퐺 сверху через 휒 퐺
Теорема.
Для любого графа 퐺 выполнено неравенство
휒푙 퐺 ≤ 휒 퐺 ⋅ ln 퐺
Докажем эту теорему с помощью вероятностного метода.

Доказательство теоремы:
Пусть 퐺 — произвольный граф, и 휒 퐺 = 휒.
Пусть 푉1 ⊔ ⋯ ⊔ 푉휒 — разбиение 푉 퐺 на независимые множества.
Пусть для каждой 푣 ∈ 푉 퐺 задан список допустимых цветов 퐿푣,
где 퐿푣 = 휒 ln 퐺 .
Покажем, что можно правильно раскрасить 퐺 в цвета из списков.

Положим 퐿 ≔ 푣∈푉 퐺 퐿푣 .
Построим множества 퐿1 , … , 퐿휒 по правилу:
• Для каждого элемента 푙 ∈ 퐿 подбрасываем 휒-гранную кость,
и «кладём» 푙 в то из множеств 퐿1 , … , 퐿휒, номер которого выпал.
Получаем случайное разбиение:
퐿 = 퐿1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐿휒

Пусть 푣 ∈ 푉푖 — фиксированная вершина.
Вероятность того, что 퐿푣 ∩ 퐿푖 = ∅, равна
휒−1
휒
퐿푣
≤ 1 − 1
휒
휒⋅ln 퐺
< 푒− ln 퐺 = 1
퐺
Вероятность того, что хотя бы для одной вершины окажется
퐿푣 ∩ 퐿푖 = ∅, не превосходит
푣∈푉 퐺
휒−1
휒
퐿푣
<
푣∈푉 퐺
1
퐺 = 1

Итак, с положительной вероятностью при случайном разбиении
퐿 = 퐿1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐿휒 для всех 푖 = 1, … , 휒 и для всех вершин 푣 ∈ 푉푖
имеем
퐿푣 ∩ 퐿푖 ≠ ∅
Значит, существует разбиение с такими свойствами.
Зафиксируем его.
Теперь для каждого 푖 и каждой вершины 푣 ∈ 푉푖 выберем цвет этой
вершины из (непустого!) множества 퐿푣 ∩ 퐿푖 .

Для каждого 푖 и каждой вершины 푣 ∈ 푉푖 выберем цвет 푣 из
множества 퐿푣 ∩ 퐿푖 .
Так как этот цвет из 퐿푣, то он допустимый для данной вершины 푣.
При этом если вершины 푣′ и 푣′′ смежны в 퐺, то они принадлежат
разным множествам 푉푖 и 푉푗 , а значит их цвета будут выбраны из
непересекающихся множеств 퐿푖 и 퐿푗.

Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺
Теорема (N. Alon ’2000)
Для любого 퐺 при всех достаточно больших 훿 퐺 выполнено
휒푙 퐺 ≥ 1
4 ⋅ log2 훿 퐺
Доказательство:
Пусть 푠 ≔ 1
4 ⋅ log2 훿 , и пусть ℒ ≔ 1,2, … , 푠2 .
Построим множество 퐵 ⊆ 푉 퐺 по правилу:
• Каждая вершина 퐺 берётся в 퐵 с вероятностью 1 훿.
• Список допустимых цветов для 푢 ∈ 퐵 выбирается равновероятно
среди всех 푠-подмножеств в ℒ.

Оценка 휒푙 퐺 снизу через 훿 퐺 :
находим много «сложных» вершин
4 ⋅ log2 훿 퐺 , ℒ ≔ 1,2, … , 푠2 .
• 푠 ≔ 1
• Каждая вершина 퐺 берётся в 퐵 с вероятностью 1 훿.
• Для 푢 ∈ 퐵 список 퐿푢 — случайное 푠-подмножество в ℒ.
Вершина 푣 ∈ 푉 퐺 ∖ 퐵 сложная, если для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что
퐿 ≥ 푠2 2, найдётся 푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵, такая, что 퐿푢 ⊆ 퐿.
Для фиксированной 푣 ∈ 푉 퐺 имеем
Pr 푣 не сложная ≤ 1
훿
+ 1 − 1
훿
푠2
푠2 2 ⋅ 1 −
1
훿
⋅
푠2 2
푠
푠2
푠
훿

В силу неравенства 1 − 푥 ≥ 4−푥 при 푥 ≤ 1 2, получаем
푠2 2
푠
푠2
푠
=
푠−1
푘=0
푠2 2 − 푘
푠2 − 푘
= 2−푠 ⋅
푠−1
푘=0
1 −
푘
푠2 − 푘
≥ 2−푠 ⋅ 2
푠−1 −2푘
푘=0
푠2−푘
≥ 2−푠 ⋅ 2
푠−1 −2푘
푘=0
푠2−푠 = 2−푠−1

푠2 2
푠
푠2
푠
≥ 2−푠−1
Поэтому, пользуясь неравенством 1 − 푥 ≤ 푒−푥 , получаем
1 −
1
훿
⋅
푠2 2
푠
푠2
푠
훿
≤ 1 − 2−푠−1 ⋅ 훿−1 2 훿
< 푒−훿 1 22−푠−1
≤ 푒−훿 1 4 2
Отсюда
Pr 푣 не сложная < 1
훿
+ 푒푠2
⋅ 푒−훿 1 4 2 < 1
훿
+ 푒
log2 훿
4
2
−
훿1 4
2 <
1
4

Для любой фиксированной 푣 ∈ 푉 퐺 выполнено неравенство
Pr 푣 не сложная < 1 4
Отсюда
피 #несложных вершин < 퐺 4
По неравенству Маркова,
Pr менее половины вершин графа сложные < 1 2

Каждая вершина попадает в 퐵 с вероятностью 1 훿.
Отсюда 피 퐵 = 퐺 훿 и по неравенству Маркова,
Pr 퐵 > 2 ⋅ 퐺 훿 <
1
2
Значит, с вероятностью > 0 выполнены два условия:
• более половины вершин графа сложные,
• 퐵 < 2 ⋅ 퐺 훿
Зафиксируем такие 퐵, множество списков цветов для вершин 퐵,
и множество сложных вершин 퐴, где 퐴 ≥ 퐺 2.

Зафиксируем до самого конца доказательства теоремы
такие 퐴, 퐵 ⊆ 푉 퐺 и 퐿푢 푢∈퐵, для которых
• 퐴 ≥ 퐺 2
• 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿
• Для любой 푣 ∈ 퐴 и для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что 퐿 ≥ 푠2 2, найдётся
푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵, такая, что 퐿푢 ⊆ 퐿.
Теперь случайно выберем для каждой 푣 ∈ 퐴 список 퐿푣 равновероятно
среди всех 푠-подмножеств в ℒ.
Покажем, что с положительной вероятностью граф 퐺 퐴∪퐵 не может быть
правильно раскрашен в цвета из списков.

• 퐴 ≥ 퐺 2, 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿
• ∀푣 ∈ 퐴 и ∀퐿 ⊂ ℒ если 퐿 ≥ 푠2 2, то ∃푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵: 퐿푢 ⊆ 퐿.
Зафиксируем временно произвольные допустимые цвета вершин из 퐵.
Пусть 푣 ∈ 퐴 и пусть 퐿푁 푣 — множество всех цветов, встречающихся
у соседей 푣 в 퐵.
Так как 푣 сложная, то для любого 퐿 ⊂ ℒ, такого, что 퐿 ≥ 푠2 2, имеем
퐿푁 푣 ∩ 퐿 ≠ ∅. Отсюда 퐿푁 푣 ≥ 푠2 2.
Поэтому
Pr можно выбрать цвет для 푣 из 퐿푣 ≤ 1 −
푠2 2
푠
푠2
푠
≤ 1 − 2−푠−1

• 퐴 ≥ 퐺 2, 퐵 ≤ 2 ⋅ 퐺 훿
• ∀푣 ∈ 퐴 и ∀퐿 ⊂ ℒ если 퐿 ≥ 푠2 2, то ∃푢 ∈ 푁 푣 ∩ 퐵: 퐿푢 ⊆ 퐿.
При фиксированной раскраске вершин из 퐵 для любой 푣 ∈ 퐴
Pr можно выбрать цвет для 푣 из 퐿푣 ≤ 1 − 2−푠−1
Отсюда при фиксированной раскраске вершин из 퐵 имеем
Pr ∃докраска для 퐴 ≤ 1 − 2−푠−1 퐺 2 ≤ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2
Значит,
Pr ∃раскраска 퐵 такая, что ∃докраска для 퐴 ≤ 푠 퐵 ⋅ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2
≤ 푒 2⋅ 퐺 훿 ⋅ln 푠 ⋅ 푒− 퐺 ⋅2−푠−2
< 푒
퐺 ⋅
2 ln ln 훿
훿
−훿1 4 4
< 1

Оценки хроматического индекса
• 휒′ 퐶2푘 = 2, 휒′ 퐶2푘+1 = 3
• Если 퐻 — подграф 퐺, то 휒′ 퐺 ≥ 휒′ 퐻
• 휒′ 퐺 ≥ Δ 퐺
• 휒′ 퐺 ≥ 퐺
훼′ 퐺 , где 훼′ 퐺 — размер наибольшего паросочетания в 퐺

Теоремы Визинга и Кёнига
Теорема. (В.Г. Визинг ’1964)
휒′ 퐺 ≤ Δ 퐺 + 1 для любого 퐺.
Теорема. (D. Kőnig ’1916)
휒′ 퐺 = Δ 퐺 для любого двудольного 퐺.

Полезные определения
Вместо «правильная рёберная раскраска графа» будем говорить
просто «раскраска».
Будем говорить, что цвет 훼 присутствует в вершине 푣 ∈ 푉 퐺 ,
если некоторое инцидентное 푣 ребро имеет цвет 훼.
Будем говорить, что цвет 훼 отсутствует в 푣,
если 훼 в 푣 не присутствует.

Чередующиеся 훼 훽-цепи
Если в раскраске графа цвет 훼 присутствует в 푣, а 훽 отсутствует в 푣,
то однозначно определена максимальная цепь, начинающаяся в 푣,
рёбра которой имеют цвета 훼 и 훽 попеременно:
푣
훼 훽 훼 훽
Такую цепь будем называть 훼 훽-цепью из 푣.
Если в раскраске цвета рёбер любой 훼 훽-цепи поменять
друг с другом, раскраска останется правильной.

Доказательство теоремы Кёнига
Теорема. (D. Kőnig’1916)
휒′ 퐺 = Δ 퐺 для любого двудольного 퐺.
Доказательство: индукция по 퐺 .
Пусть 퐺 — двудольный граф, 퐺 > 1.
Пусть 푥푦 — произвольное ребро в 퐺.
По предположению, найдётся раскраска 휓 рёбер графа 퐺′ = 퐺 − 푥푦
в Δ 퐺 цветов.
Т.к. 푑퐺′ 푥 < Δ 퐺 , то в раскраске 휓 в вершине 푥 отсутствует некоторый
цвет 훼.
Если 훼 отсутствует и в 푦, то покрасим 푥푦 в цвет 훼, тем самым получим
раскраску 퐺.

Доказательство теоремы Кёнига
В раскраске 휓 в вершине 푥 отсутствует некоторый цвета 훼.
Если 훼 присутствует в 푦, рассмотрим цвет 훽, отсутствующий в 푦 и
рассмотрим 훼 훽-цепь из 푦 в графе 퐺′.
Эта цепь не содержит 푥 в силу двудольности 퐺:
푥
푦
훼 훽 훼
Поменяв на этой цепи цвета 훼 и 훽 местами, получим раскраску
퐺′, в которой цвет 훼 отсутствует в 푥 и 푦.
И теперь можно покрасить ребро 푥푦 в цвет 훼.

Доказательство теоремы Визинга
Теорема Визинга. (В.Г. Визинг ’1964)
휒′ 퐺 ≤ Δ 퐺 + 1 для любого 퐺.
Доказательство: индукция по 퐺 .
Если 퐺 = 0, то утверждение очевидно.
Пусть 퐺 > 0 и теорема выполнена для всех графов, число рёбер
в которых меньше 퐺 .
По предположению, для любого 푒 ∈ 퐸 퐺 рёбра графа 퐺 − 푒
можно правильно раскрасить в цвета 1, … , Δ + 1 , где Δ = Δ 퐺 .
При этом в каждой вершине будет отсутствовать хотя бы один из
цветов 1, … , Δ + 1.

Докажем от противного, что у 퐺 есть раскраска.
Допустим, что это не так.
Тогда для любого ребра 푥푦 ∈ 퐸 퐺 в раскраске графа 퐺 − 푥푦
никакой цвет не может отсутствовать в 푥 и 푦 одновременно (иначе
ребро 푥푦 можно окрасить в этот цвет и получить раскраску 퐺).

Также, если цвет 훽 отсутствует в 푥, а цвет 훼 отсутствует в 푦,
то 훼 훽-цепь из 푥 заканчивается в вершине 푦.
Иначе мы могли бы поменять цвета на 훼 훽-цепи местами
и покрасить 푥푦 в цвет 훼:
푥
훼 훽 훼 훽
푦
푥
훽 훼 훽 훼
푦
훼

Пусть 푥 — произвольная вершина графа 퐺, и пусть 푦0 — любой
сосед 푥.
По предположению индукции, существует раскраска 휓0
графа 퐺0 = 퐺 − 푥푦0.
Пусть 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 — максимальная последовательность соседей 푥,
обладающая свойством: «при всех 푖 = 1, … , 푘 цвет 휓0 푥푦푖
отсутствует в вершине 푦푖−1».

Доказательство теоремы Визинга:
последовательность специальных раскрасок
Пусть 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 — максимальная последовательность соседей 푥,
обладающая свойством: «при всех 푖 = 1, … , 푘 цвет 휓0 푥푦푖
отсутствует в вершине 푦푖−1».
По раскраске 휓0 графа 퐺0 можно построить раскраски 휓푖 графов
퐺푖 = 퐺 − 푥푦푖 по правилу:
휓푖 푒 =
휓0 푥푦푗+1 , если 푒 = 푥푦푗 и 푗 < 푖
휓0 푒 для остальных рёбер

последовательность специальных раскрасок
휓푖 푒 =
휓0 푥푦푗+1 , если 푒 = 푥푦푗 и 푗 < 푖
휓0 푒 для остальных рёбер
휓0 — раскраска 퐺0:
푥
푦0
푦2
푦1
푦3
푥
푦0
푦2
푦1
푦3
푥
푦0
푦2
푦1
푦3
푥
푦0
푦2
푦1
푦3
Цвета, отсутствующие в 푥 в раскраске 휓0, будут отсутствовать и в
раскраске 휓푖 . То же верно и для вершин 푦푖, … , 푦푘.

вывод противоречия
Пусть 훼 и 훽 — какие-нибудь цвета, отсутствующие соответственно
в 푥 и 푦푘 в раскраске 휓0 (а значит, и в любой 휓푖).
Тогда в раскраске 휓푘 графа 퐺푘 훼 훽-цепь из 푦푘 заканчивается
в вершине 푥 на ребре цвета 훽.
Из максимальности последовательности 푦0 , 푦1 , … , 푦푘 следует, что
найдётся индекс 푠 ∈ {0, … , 푘 − 1}, для которого 휓푘 푥푦푠 = 훽.
푥
푦푠+1
푦푠
푦푘
⋮
⋮
отсутствует 훼
훽
푦0
훼
отсутствует 훽

вывод противоречия
В раскраске 휓푘 графа 퐺푘 훼 훽-цепь из 푦푘 заканчивается в вершине
푥 на ребре 푥푦푠 цвета 훽:
푥
푦푠+1
푦푠
푦푘
⋮
⋮
훽
푦0
훼
Но тогда в раскраске 휓푠 графа 퐺푠 훼 훽-цепь из 푦푠
заканчивается в вершине 푦푘 , не доходя до 푥. Противоречие.
푥
푦푠+1
푦푠
푦푘
⋮
⋮
훽
푦0
훼

Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (19)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (10)

Ähnlich wie Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски

Ähnlich wie Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски (12)

Mehr von Alex Dainiak

Mehr von Alex Dainiak (13)

Основы теории графов 08: раскраски и списочные раскраски