Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
Дискретные структуры
МФТИ, весна 2014
Александр Дайняк
www.dainiak.com
Одно обобщение деления многочленов
Утверждение.
Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены.
То...
Пример
Пусть 𝑃 ≔ 𝑥1
5
𝑥2
8
𝑥4 + 𝑥1
2
+ 𝑥1 𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1
2
+ 3𝑥1. Тогда
𝑃 = 𝑥1
3
𝑥2
8
𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 =
= 𝑥1
3...
Теорема Алона о нулях
Теорема.
Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 — произвольный полином,
и пусть 𝑥1
𝑡1
⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚
𝑡 𝑚
— моном старшей...
Доказательство теоремы Алона
Доказательство: индукция по deg 𝑃.
Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма:
𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 = 𝑐0 ...
Доказательство теоремы Алона
Пусть deg 𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение
теоремы выполнено.
Б.о.о. буде...
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅,
где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1
𝑅 < deg 𝑥1
(𝑥1 − 𝑠) = 1, т.е. 𝑅 не зависит от 𝑥1.
Если...
Доказательство теоремы Алона
𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅
Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg 𝑃 имеет вид 𝑥1
𝑡1
⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚
𝑡 𝑚
,
то ...
Аддитивная комбинаторика
Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств
натуральных чисел и абелевых групп при слож...
Теорема Коши—Давенпорта
Теорема (Cauchy, Davenport).
Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ 𝑝, где 𝑝 — простое число, то
𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1
Д...
Теорема Коши—Давенпорта
Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝.
Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию.
По предположению...
Теорема Коши—Давенпорта
𝑃 𝑥, 𝑦 ≔
𝑐∈𝐶
𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦
Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что
coef 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 𝑃 ...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме
одной, вершины куба?
Теор...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 .
𝑛 плоскостей достаточно — например, так...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие:
𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0...
Покрытие вершин куба гиперплоскостями
Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями:
𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0
⋮
𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0
По теореме Ал...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Общая постановка многих задач в теории графов:
в данном графе с известными свойств...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует
𝑘 − 1 -регулярный подграф?
Изве...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует
𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)?...
Регулярные подграфы в регулярных графах
Теорема (Алон, Фридланд, Калаи).
Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиг...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим
𝟙 𝑣,𝑒 ≔
1, если 𝑣 и ...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• 1
𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
𝑄
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥 𝑒
Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 ...
Доказательство теоремы А—Ф—К
𝑃 ≔
𝑣∈𝑉
1 −
𝑒∈𝐸
𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
−
𝑒∈𝐸
1 − 𝑥 𝑒
deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒
𝑃 = −1 𝐸 +1
≠ 0.
Значит,...
Доказательство теоремы А—Ф—К
• Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1
• 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒
𝑝−1
− 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒
Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸
, т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0,...
Доказательство теоремы А—Ф—К
По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′.
В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равн...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

Теорема Алона о нулях и её применения

1.006 Aufrufe

Veröffentlicht am

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

  • Gehören Sie zu den Ersten, denen das gefällt!

Теорема Алона о нулях и её применения

  1. 1. Дискретные структуры МФТИ, весна 2014 Александр Дайняк www.dainiak.com
  2. 2. Одно обобщение деления многочленов Утверждение. Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 и 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥𝑖 — произвольные ненулевые многочлены. Тогда существуют 𝑄, 𝑅 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 , такие, что 𝑃 = 𝑃 ⋅ 𝑄 + 𝑅, и deg 𝑥 𝑖 𝑅 < deg 𝑥 𝑖 𝑃. Доказательство: во всех мономах 𝑃, куда 𝑥𝑖 входит в степени больше deg 𝑥 𝑖 𝑅, заменяем эту степень, выразив её через 𝑃. По сути, это «деление столбиком», в котором мы рассматриваем 𝑃 как многочлен от 𝑥𝑖 с коэффициентами из 𝔽 𝑥1, … , 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1, … , 𝑥 𝑚 .
  3. 3. Пример Пусть 𝑃 ≔ 𝑥1 5 𝑥2 8 𝑥4 + 𝑥1 2 + 𝑥1 𝑥3 и 𝑃 ≔ 𝑥1 2 + 3𝑥1. Тогда 𝑃 = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑃 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 4 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 − 3𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = 𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 + 1 ⋅ 𝑃 + 9𝑥1 3 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 + 9𝑥1 𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 − 27𝑥1 2 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … ⋅ 𝑃 − 27𝑥2 8 𝑥4 𝑃 − 3𝑥1 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 = = … 𝑄 ⋅ 𝑃 + 81𝑥1 𝑥2 8 𝑥4 − 3𝑥1 + 𝑥1 𝑥3 𝑅
  4. 4. Теорема Алона о нулях Теорема. Пусть 𝑃 ∈ 𝔽 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 — произвольный полином, и пусть 𝑥1 𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 — моном старшей степени, то есть 𝑖 𝑡𝑖 = deg 𝑃. Пусть 𝑆1, … , 𝑆 𝑚 ⊆ 𝔽 — произвольные множества, такие, что 𝑆𝑖 ≥ 𝑡𝑖 + 1 для всех 𝑖. Тогда найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, что 𝑃 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0
  5. 5. Доказательство теоремы Алона Доказательство: индукция по deg 𝑃. Если deg 𝑃 = 1, то 𝑃 — линейная форма: 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑚 = 𝑐0 + 𝑖 𝑐𝑖 𝑥𝑖 Если, например, 𝑐1 ≠ 0, то 𝑆1 ≥ 2 и, как бы ни были фиксированы 𝑥2 ← 𝑠2, … , 𝑥 𝑚 ← 𝑠 𝑚, уравнение 𝑃 𝑥1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 = 0 имеет не более одного корня. Значит, найдётся 𝑠1 ∈ 𝑆1, для которого 𝑃 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0.
  6. 6. Доказательство теоремы Алона Пусть deg 𝑃 > 1, и для многочленов меньшей степени утверждение теоремы выполнено. Б.о.о. будем считать, что 𝑡1 > 0. Зафиксируем произвольное 𝑠 ∈ 𝑆1 и поделим с остатком 𝑃 на 𝑥1 − 𝑠 : 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅, где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1 𝑅 < deg 𝑥1 𝑥1 − 𝑠 = 1, то есть 𝑅 не зависит от 𝑥1.
  7. 7. Доказательство теоремы Алона 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅, где 𝑄 ≢ 0 и deg 𝑥1 𝑅 < deg 𝑥1 (𝑥1 − 𝑠) = 1, т.е. 𝑅 не зависит от 𝑥1. Если найдётся набор 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, такой, что 𝑅 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0, то 𝑃 𝑠, 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0, что и требовалось. Остаётся разобрать случай, когда ∀𝑠2 ∈ 𝑆2, … , ∀𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚 𝑅 𝑠2, … , 𝑠 𝑚 = 0.
  8. 8. Доказательство теоремы Алона 𝑃 = 𝑥1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 + 𝑅 Т.к. в 𝑃 один из мономов степени deg 𝑃 имеет вид 𝑥1 𝑡1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 , то в 𝑄 один из мономов степени deg 𝑄 имеет вид 𝑥1 𝑡1−1 ⋅ … ⋅ 𝑥 𝑚 𝑡 𝑚 . По предположению индукции, найдутся такие 𝑠1 ∈ 𝑆1 ∖ 𝑠 , 𝑠2 ∈ 𝑆2, … , 𝑠 𝑚 ∈ 𝑆 𝑚, для которых 𝑄 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0. Для таких 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 получаем 𝑃 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 = 𝑠1 − 𝑠 ⋅ 𝑄 𝑠1, … , 𝑠 𝑚 ≠ 0
  9. 9. Аддитивная комбинаторика Аддитивная комбинаторика изучает свойства подмножеств натуральных чисел и абелевых групп при сложении. Пусть 𝐴, 𝐵 ⊆ 𝐺, где 𝐺 — абелева группа. Обозначим 𝐴 + 𝐵 ≔ 𝑎 + 𝑏 ∣ 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 Вопрос: как можно оценить 𝐴 + 𝐵 , если известны 𝐴 и 𝐵 ? Пример простой оценки сверху: 𝐴 + 𝐵 ≤ min 𝐺 , 𝐴 ⋅ 𝐵
  10. 10. Теорема Коши—Давенпорта Теорема (Cauchy, Davenport). Если 𝐴, 𝐵 ⊆ ℤ 𝑝, где 𝑝 — простое число, то 𝐴 + 𝐵 ≥ min 𝑝, 𝐴 + 𝐵 − 1 Доказательство: Сначала рассмотрим лёгкий случай 𝐴 + 𝐵 > 𝑝. Для любого 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 имеем 𝐴 + 𝑐 − 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 > 𝑝 а значит 𝐴 ∩ 𝑐 − 𝐵 ≠ ∅, и найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑎 = 𝑐 − 𝑏. Отсюда 𝑐 ∈ 𝐴 + 𝐵. Т.к. 𝑐 брался произвольным, получаем 𝐴 + 𝐵 = ℤ 𝑝.
  11. 11. Теорема Коши—Давенпорта Пусть теперь 𝐴 + 𝐵 ≤ 𝑝. Допустим, что 𝐴 + 𝐵 < 𝐴 + 𝐵 − 1, и придём к противоречию. По предположению, найдётся 𝐶 ⊂ ℤ 𝑝, такое, что 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 − 2 и 𝐴 + 𝐵 ⊆ 𝐶. Рассмотрим многочлен 𝑃 𝑥, 𝑦 ≔ 𝑐∈𝐶 𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦 Заметим, что 𝑃 𝑥, 𝑦 = 0 для любых 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵.
  12. 12. Теорема Коши—Давенпорта 𝑃 𝑥, 𝑦 ≔ 𝑐∈𝐶 𝑥 + 𝑦 − 𝑐 ∈ ℤ 𝑝 𝑥, 𝑦 Раскрыв скобки в определении 𝑃, видим, что coef 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 𝑃 = 𝐴 + 𝐵 −2 ! 𝐴 −1 ! 𝐵 −1 ! mod 𝑝 ≠ 0 то есть моном 𝑥 𝐴 −1 𝑦 𝐵 −1 реально входит в многочлен. По теореме Алона, найдутся 𝑎 ∈ 𝐴 и 𝑏 ∈ 𝐵, такие, что 𝑃 𝑎, 𝑏 ≠ 0. Но такого не может быть по определению 𝑃.
  13. 13. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Вопрос: сколько плоскостей нужно, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба? Теорема (Алон, Фюреди). Наименьшее число плоскостей, достаточное, чтобы покрыть все, кроме одной, вершины куба в ℝ 𝑛, равно 𝑛. Доказательство: Б.о.о. будем считать, что у нас куб 0,1 𝑛, и что вершина, которую мы не покрываем 0,0, … , 0 .
  14. 14. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Куб 0,1 𝑛, не покрываем вершину 0,0, … , 0 . 𝑛 плоскостей достаточно — например, такие: • 𝑥1 − 1 = 0 • 𝑥2 − 1 = 0 • … • 𝑥 𝑛 − 1 = 0 Сложная часть — доказать, что меньшим числом плоскостей не обойтись. Докажем это от противного…
  15. 15. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями, 𝑚 < 𝑛. Пусть их уравнения такие: 𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0 ⋮ 𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0 При этом 𝑏1, … , 𝑏 𝑚 ≠ 0, т.к. ни одна из плоскостей не должна покрывать точку 0,0, … , 0 . Рассмотрим многочлен: 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ≔ 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗, 𝒙 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑥𝑖 Имеем deg 𝑃 = 𝑛, и coef 𝑥1⋅𝑥2⋅…⋅𝑥 𝑛 𝑃 = −1 𝑛+1 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ≠ 0. По теореме Алона, найдутся 𝛼1 ∈ 0,1 , … , 𝛼 𝑛 ∈ 0,1 , для которых 𝑃 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 ≠ 0.
  16. 16. Покрытие вершин куба гиперплоскостями Допустим, мы обошлись 𝑚 плоскостями: 𝒂1, 𝒙 − 𝑏1 = 0 ⋮ 𝒂 𝑚, 𝒙 − 𝑏 𝑚 = 0 По теореме Алона, найдётся точка из 0,1 𝑛, на которой многочлен 𝑃 𝑥1, … , 𝑥 𝑛 ≔ 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝒂𝑗, 𝒙 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 − 𝑥𝑖 не равен нулю. Но это невозможно: • 𝑃 0, … , 0 = 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 𝑖=1 𝑛 1 = 0 • Для любой точки 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 ∈ 0,1 𝑛 ∖ 0, … , 0 имеем 𝑃 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 = 𝑗=1 𝑚 0 − 𝑗=1 𝑚 𝑏𝑗 ⋅ 0 = 0
  17. 17. Регулярные подграфы в регулярных графах Общая постановка многих задач в теории графов: в данном графе с известными свойствами выделить подграф с требуемыми свойствами. Например: • В заданном графе найти максимальную клику • В заданном несвязном графе найти компоненту связности с максимальным числом вершин. • …
  18. 18. Регулярные подграфы в регулярных графах Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘 − 1 -регулярный подграф? Известно следующее: • Это так для 𝑘 ≤ 3 — простое упражнение. • Это так для 𝑘 = 4 — и это трудная теорема (В.А. Ташкинов ’1984) • Это в общем случае не верно для 𝑘 ≥ 6
  19. 19. Регулярные подграфы в регулярных графах Вопрос: во всяком ли 𝑘-регулярном графе существует 𝑘′-регулярный подграф (𝑘′ < 𝑘)? Известно, например, что для любых нечётных 𝑘 и 𝑘′ ответ на вопрос положительный. Если ослабить условие «строгой» регулярности и рассматривать «почти регулярные» графы (у которых степени вершин близки, но необязательно равны) — тоже можно доказать кое-что интересное…
  20. 20. Регулярные подграфы в регулярных графах Теорема (Алон, Фридланд, Калаи). Пусть 𝑝 — простое число. Пусть 𝐺 = 𝑉, 𝐸 — мультиграф (без петель), удовлетворяющий условиям • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, • 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2. Тогда в 𝐺 есть 𝑝-регулярный подграф.
  21. 21. Доказательство теоремы А—Ф—К • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1, и 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 Для каждого 𝑣 ∈ 𝑉 и 𝑒 ∈ 𝐸 положим 𝟙 𝑣,𝑒 ≔ 1, если 𝑣 и 𝑒 инцидентны 0, иначе Каждому 𝑒 ∈ 𝐸 сопоставим переменную 𝑥 𝑒. Рассмотрим многочлен от переменных 𝑥 𝑒 𝑒∈𝐸 с коэффициентами в ℤ 𝑝: 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒
  22. 22. Доказательство теоремы А—Ф—К • 1 𝑉 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 𝑄 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 Из условия, 2 ⋅ 𝐸 = 𝑣∈𝑉 𝑑 𝑣 > 2𝑝 − 2 ⋅ 𝑉 , отсюда deg 𝑄 ≤ 𝑝 − 1 ⋅ 𝑉 < 𝐸 . Следовательно, deg 𝑃 = 𝐸 . При этом, coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0.
  23. 23. Доказательство теоремы А—Ф—К 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 deg 𝑃 = 𝐸 и coef 𝑒∈𝐸 𝑥 𝑒 𝑃 = −1 𝐸 +1 ≠ 0. Значит, по теореме Алона, найдётся набор значений 𝜶 = 𝛼 𝑒 𝑒∈𝐸 ∈ 0,1 𝐸 , такой, что 𝑃 𝜶 ≠ 0. При этом для любого 𝑣 ∈ 𝑉 имеем 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0, иначе, по м. т. Ферма, получилось бы 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 𝑝−1 = 𝑝 1 ⇒ 𝑃 𝜶 = 0 (в ℤ 𝑝).
  24. 24. Доказательство теоремы А—Ф—К • Δ 𝐺 ≤ 2𝑝 − 1 • 𝑃 ≔ 𝑣∈𝑉 1 − 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝑥 𝑒 𝑝−1 − 𝑒∈𝐸 1 − 𝑥 𝑒 Нашли 𝜶 ∈ 0,1 𝐸 , т. ч. 𝑃 𝜶 ≠ 0, и ∀𝑣 ∈ 𝑉 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0 Кроме того, видно, что 𝜶 ≠ 𝟎. Взяв те рёбра 𝐺, для которых 𝛼 𝑒 = 1, и все вершины 𝐺, получим непустой остовный подграф 𝐺′. В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины 𝑣 равна 𝑒∈𝐸 𝟙 𝑣,𝑒 𝛼 𝑒 = 𝑝 0, а значит, эта степень равна нулю либо 𝑝.
  25. 25. Доказательство теоремы А—Ф—К По набору 𝜶 построили непустой остовный подграф 𝐺′. В подграфе 𝐺′ степень каждой вершины равна нулю или 𝑝. Выбросив из 𝐺′ вершины нулевой степени, получим искомый 𝑝-регулярный подграф.

×