1. Unidad 3:
Medidas de posición
Las medias y sus propiedades
Mediana y moda
Medidas de posición no centrales; Cuartiles,
deciles y percentiles
Prof. Alejandra Camors

2. 2
 Es buena idea codificar las variables como
números para poder procesarlas con facilidad
 Es conveniente asignar “etiquetas” a los
valores de las variables para recordar qué
significan los códigos numéricos.
 Sexo (Cualit: Códigos arbitrarios)
 1 = Hombre
 2 = Mujer
 Raza (Cualit: Códigos arbitrarios)
 1 = Blanca
 2 = Negra,...
 Felicidad Ordinal: Respetar un orden al
codificar.
 1 = Muy feliz
 2 = Bastante feliz
 3 = No demasiado feliz
 Se pueden asignar códigos a respuestas
especiales como
 0 = No sabe
 99 = No contesta...
 Estas situaciones deberán ser tenidas en
cuentas en el análisis. Datos perdidos
(‘missing data’)

3. Tema 1: Introdución 3
 Aunque se codifiquen como números, debemos recordar siempre el
verdadero tipo de las variables y su significado cuando vayamos a usar
programas de cálculo estadístico.
 No todo está permitido con cualquier tipo de variable.

4. 4
ARREGLO ORDENADO
Una vez que los datos de la encuesta se encuentran listos, el
siguiente paso es organizar la información y ordenarla.
• Por cada variable se hace un ordenamiento simple.
• El determinar cual es el dato que tiene menor valor y
cual el de mayor valor es información vital para
empezar a trabajar con variables cuantitativas.

5. 5
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Sin importar si los datos están o no ordenados, siempre es
posible crear una distribución de frecuencias para los datos
de una variable en una muestra.
La distribución de frecuencias es una tabla de resumen en
la que los datos están organizados en clases o grupos
numéricamente ordenados.

6. 6
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Se organiza en filas y columnas para resumir la
información y poder realizar interpretaciones de
manera rápida y efectiva.
Seleccionar el número apropiado de agrupaciones o clases
para la tabla, determinando una amplitud conveniente de
las clases y estableciendo los límites de cada una para
evitar traslape.

7. 7
Amplitud de intervalo o clase
La Amplitud de cada intervalo o clase se calcula dividiendo el
rango entre el número de intervalos elegidos.
Se ha convenido que todos los intervalos tengan la misma
amplitud.
elegidosIntervalosdeNumero
Rango
Amplitud =

8. 8
Amplitud de un Intervalo o clase
La mayoría de las veces la amplitud de un intervalo es mejor
trabajarla con una anchura que sea un número entero (aplican
restricciones).
Si el resultado de la división es decimal, se redondea el
resultado de la siguiente manera.
• Si el resulta es menor de 0.5 se elimina la parte decimal.
• En caso contrario se pasa al próximo entero.

9. 9
Cálculo de la amplitud
Muestra de restaurantes citadinos
7
7/49
7
49
1463
=
=
=
=
−=
−=
Amplitud
Amplitud
Intervalos
Rango
Rango
DatoMenorDatoMayorRango

10. 10
Calcular el rango.
Elegir el número de intervalos
Calcular la anchura de cada intervalo
Generar los intervalos de clases (no deben menos de 5 ni más
de 15)
Determinar la frecuencia para cada intervalo.
Procedimiento para generar una
distribución de frecuencias

11. 11
FRECUENCIA ABSOLUTA
La información en cada intervalo debe ser
única.
Para determinar el número de intervalos para
una distribución, se calcula con la información
del valor del Rango.
Intervalos Frecuencia

12. 2-200812
Se sugiere que una distribución de frecuencias no
debe tener menos de 5 intervalos, ni más de 15.
Si no se sigue esta convención, la interpretación de
los datos puede ser demasiado condensada o muy
dispersa y en ambos casos los resultados aunque
están bien, no son objetivos. Y puede afectar la
toma de decisiones.
Intervalos
Frecuen
cia
Intervalo 1 Frec. 1
Intervalo 2 Frec. 2
Intervalo 3 Frec. 3
Intervalo 4 Frec. 4
Intervalo 5 Frec. 5
Intervalo 6 Frec. 6
FRECUENCIA ABSOLUTA

13. 13
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
Determinar el número de intervalos que sirva
a una muestra se basa en la experiencia o
sentido común de la persona que va a generar
la distribución de frecuencias.
Intervalos Frecuencia
Intervalo 1 Frec. 1
Intervalo 2 Frec. 2
Intervalo 3 Frec. 3
Intervalo 4 Frec. 4
Intervalo 5 Frec. 5
Intervalo 6 Frec. 6

14. 14
Frecuencia Acumulada
La frecuencia acumulada es la suma parcial
para cada intervalo, permite hacer
observaciones sobre los intervalos que están
por debajo de él.

15. 15
Cálculo de la frecuencia acumulada
Se suman todas las frecuencias
Se suma la frecuencia del intervalo con todas las
frecuencias anteriores.
La frecuencia acumulada de cada intervalo nunca es
menor que el valor del intervalo anterior.
El último intervalo debe tener como resultado la suma
de todas las frecuencias (tamaño de la muestra)

16. 2-200816
PRECIO POR PLATO Frecuencia
Frecuencia
Acumulada
14 pero menos de 21 1 1
21 pero menos de 28 5 6
28 pero menos de 35 7 13
35 pero menos de 42 16 29
42 pero menos de 49 10 39
49 pero menos de 56 9 48
56 pero menos de 63 1 49
63 pero menos de 70 1 50
Frecuencia Acumulada

17. 17
Frecuencia Porcentual
La frecuencia porcentual es la misma frecuencia
relativa pero en formato de % (porcentaje). El
total de la muestra siempre resulta ser 100%

18. 18
Frecuencia Porcentual
La frecuencia porcentual se puede
calcular para las frecuencias absolutas
o las acumuladas

19. 2-200819
PRECIO POR PLATO Frecuencia
Frecuencia
Porcentual
14 pero menos de 21 1 0.02*100 = 2
21 pero menos de 28 5 0.10 *100 = 10
28 pero menos de 35 7 0.14*100 = 14
35 pero menos de 42 16 0.32*100 = 32
42 pero menos de 49 10 0.20*100 = 20
49 pero menos de 56 9 0.18*100 = 18
56 pero menos de 63 1 0.02*100 = 2
63 pero menos de 70 1 0.02*100 = 2

20. 20
FrecuenciaFrecuencia: desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se: desde un conjunto de unidades, corresponde al Número o Porcentaje de veces que se
presenta una característica.presenta una característica.
DISCRETADISCRETA
CONTINUACONTINUA
ORDINALORDINAL
NOMINALNOMINAL
TIPO FRECUENCIATIPO FRECUENCIA
Frecuencia Absoluta (F)Frecuencia Absoluta (F) Frecuencia Relativa (f)Frecuencia Relativa (f)
Frecuencia Absoluta AcumuladaFrecuencia Absoluta Acumulada
(FAA)(FAA)
Frecuencia Relativa AcumuladaFrecuencia Relativa Acumulada
(fra)(fra)
DISCRETADISCRETA
CONTINUACONTINUANOMINALNOMINAL
ORDINALORDINAL
VariableVariable
CuantitativaCuantitativa
VariableVariable
CualitativaCualitativa
VariableVariable
CuantitativaCuantitativa
VariableVariable
CualitativaCualitativa

21. 21
VariablesVariables
- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (- Tipo de Industria: se clasifica en industria tipo A, B, C o D. (cualitativa nominalcualitativa nominal))
- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (- Nº de Empleados: se refiere al número de empleados en las líneas de producción. (cuantitativa discretacuantitativa discreta))
- Superficie: se refiere a los- Superficie: se refiere a los metros cuadradosmetros cuadrados ((unidad de medidaunidad de medida) disponibles para las áreas de) disponibles para las áreas de
producción. (producción. (cuantitativa continuacuantitativa continua))
- Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares- Calificación: calificación realizada por una institución pública sobre cumplimiento de ciertos estándares
(Muy Bien, Bien, Regular, Mal). ((Muy Bien, Bien, Regular, Mal). (cualitativa ordinalcualitativa ordinal))
Industria nº Tipo Nº Empleados Superficie Calificación
1 A 100 1000,6 Muy Bien
2 B 150 1200,4 Bien
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
299 D 250 800,3 Mal
300 C 300 4000,2 Regular
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias deProblema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de
conserva en función de algunas características.conserva en función de algunas características.
Unidad de Análisis: Industria de ConservaUnidad de Análisis: Industria de Conserva
Población: Industrias de Conservas del paísPoblación: Industrias de Conservas del país
DatosDatos
EJEMPLOEJEMPLO

22. 22
EJEMPLOEJEMPLO
TABLAS DETABLAS DE
FRECUENCIAFRECUENCIA
Tipo de
Industria
Frecuencia
Absoluta (Fj)
Frecuencia
Relativa (fj)
Porcentaje
(%)
A
B
C
D
Total 300 1 100
Calificación
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
Muy Bien
Bien
Regular
Mal 300 1 (o 100)
Total 300 1 (o 100)
Numero de
Empleados
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
<100
[100-150[
.
.
[950-1000] 300 1 (o 100%)
Total 300 1 (o 100%)
Superficie
(mt2
)
Frec.
Absoluta (Fj)
Frec.Relativa
(fj) o %
Frec. Absol.
Acum. (FAAj)
Frec. Relat.
Acum. (fraj) o %
<200
[200-400[
.
.
[50000-5200] 300 1 (o 100%)
Total 300 1 (o 100%)
(1)(1)
(2)(2)
(3)(3)
(4)(4)
Problema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva enProblema de Investigación: Se quiere establecer el perfil de las industrias de conserva en
función de algunas características.función de algunas características.
Unidad de Análisis: Industria de ConservaUnidad de Análisis: Industria de Conserva
Población: Industrias de Conservas del paísPoblación: Industrias de Conservas del país
SE CONSTRUYE UNA TABLA de DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA POR
CADA VARIABLE

23. 23
Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)Elementos de una tabla de frecuencia cuando la variable es continua (x)
Intervalo
Centro
de clase Amplitud F f FAA fra
I1 c1 a1
I2 c2 a2
.
.
Ik ck ak n 1
Total n 1
[LI1 ; LS1 [
[LI2 ; LS2 [
[LIk ; LSk]
aj = (LSj – LIj))cj = (LIj) + LSj )/2
Estadística

24. 24
En síntesis, para la presentación ordenada de datos
0
1
2
3
4
5
6
7
Hombre Mujer
Las tablas de frecuencias y las representaciones gráficas son dos
maneras equivalentes de presentar la información. Las dos
exponen ordenadamente la información recogida en una
muestra.
Género Frec.
Hombre 4
Mujer 6

25. Tema 1: Introdución25ersitario Gastón Dachary
Datos desordenados y ordenados en tablas
Variable: Género
Modalidades:
H = Hombre
M = Mujer
Muestra:
M H H M M H M M M H
equivale a
HHHH MMMMMM
Género Frec.
Absoluta
Frec. Relat.
porcentaje
Hombre 4 4/10=0,4=40%
Mujer 6 6/10=0,6=60%
10 = tamaño
muestral

26. 26
Número de hijos
419 27,8 27,8
255 16,9 44,7
375 24,9 69,5
215 14,2 83,8
127 8,4 92,2
54 3,6 95,8
24 1,6 97,3
23 1,5 98,9
17 1,1 100,0
1509 100,0
0
1
2
3
4
5
6
7
Ocho+
Total
Frec.
Porcent.
(válido)
Porcent.
acum.
Ejemplo
 ¿Cuántos individuos tienen menos
de 2 hijos?
frec. indiv. sin hijos
+
frec. indiv. con 1 hijo
= 419 + 255
= 674 individuos
 ¿Qué porcentaje de individuos tiene
6 hijos o menos?
97,3%
 ¿Qué cantidad de hijos es tal que al
menos el 50% de la población tiene
una cantidad inferior o igual?
2 hijos
≥50%

27. Media aritmética
Media aritmética
La media aritmética es la suma de todos los valores de la
distribución dividida por el número total de datos.
Para el caso de En el caso contrario
frecuencias unitarias;
N
x
N
xxx
x
N
i
i
n
∑=
=
+++
= 121 ...
∑=
=
+++
=
n
i
iinn
N
nx
N
nxnxnx
x
1
2211 ...

28. Media aritmética
Si tenemos datos agrupados en intervalos, se puede usar la
marca de clase representando el valor medio de dicha clase.
Media aritmética ponderada es la media cuando cado valor tiene
una ponderación
∑
∑
=
i
i
i
iix
x
ω
ω

29. La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma
de todos los datos y el número de estos.
Ejemplo: las notas de Juan el año pasado fueron:
5, 6, 4, 7, 8, 4, 6
La nota media de Juan es:
Nota media = 7,5
7
40
7
6487465
==
++++++
que suman 40
Hay 7 datos
Media aritmética (I)

30. Media aritmética
Ventajas…
 Consideración de todos los valores
 Calculable
 Única
 Es el centro de gravedad (primera propiedad).
…e inconvenientes…
 Si la variable tiene valores anormalmente extremos, la media aritmética puede
distorsionarse, haciéndola incluso poco representativa. (La mediana, que vamos
a estudiar más tarde, no tiene este inconveniente.)
Uso: distribuciones en escala de intervalos o de proporción.

31. Cálculo de la media aritmética cuando los datos se repiten.
Ejemplo. Las notas de un grupo de alumnos fueron:
Notas Frecuencia
absoluta
Notas x
F. absoluta
3 5 15
5 8 40
6 10 60
7 2 14
Total 25 129
1,5
25
129
Media ==
Datos por frecuencias
Total de datos
1º. Se multiplican los datos por sus frecuencias absolutas respectivas, y
se suman.
2º. El resultado se divide por el total de datos.
Media aritmética (II)

33. Mediana
Definición:
Aquel valor de la distribución, supuesta ésta ordenada de menor
a mayor, que deja a su izquierda y a su derecha el mismo
número de frecuencias, es decir el valor que ocupa el lugar
central, supuesto un número impar de datos. Si el número de
datos fuese par puede decirse que hay dos valores medianos, y
se toma la media aritmética entre ellos como valor mediano.

34. La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de
datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.
1º. Ordenamos los
datos:
56,57, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2º. El dato que queda en el centro es:
63 y 65
La mediana vale 65.
Si el número de datos fuese par, la mediana es la
media aritmética de los dos valores centrales.
la mediana es: 64
2
6563
=
+
Número par de valores
2
1
22






+





+
=
nn
xx
Me

35. La mediana de un conjunto de datos es un valor del mismo tal que el número de
datos menores que él es igual al número de datos mayores que él.
Los pesos, en kilogramos, de 7 jugadores de un
equipo de fútbol son:
Ejemplo:
72, 65, 71, 56, 59, 63, 72
1º. Ordenamos los
datos:
56, 59, 63, 65, 71, 72, 72
2º. El dato que queda en el centro es 65.
La mediana vale 65.
Número impar de valores





 +
=
2
1n
xMe

36. Mediana
En distribuciones agrupadas en intervalos:
Busca el valor que ocupa el lugar
Encontramos un intervalo mediano. Suponemos que todos los
valores dentro del intervalo mediano se encuentran
distribuidos uniformemente a lo largo de él. Vamos a
considerar la poligonal de frecuencias acumuladas
correspondiente al intervalo mediano y a sus dos contiguos, y
determinamos gráficamente la mediana.
2/N
i
i
i
i c
n
N
N
LMe












−
+=
−
−
1
1
2

37. Test sobre satisfacción en el trabajo: N=88
Clases fi Fi
[38-44)
[44-50)
[50-56)
[56-62)
[62-68)
[68-74)
[74-80)
7
8
15
25
18
9
6
7
15
30 < 44
55 > 44
73
82
88
Aplicando la fórmula:
Li = 56
c = 6
N/2 = 44
Fi-1 = 30
fi = 25
36.59
25
3044
656 =
−
⋅+=M
i
i
i
f
F
N
cLM
1
2.
−−
+=
Li = Límite inferior de la clase modal
c = amplitud de los intervalos
N = Número total de datos
Fi-1 = Frecuencia absoluta acumulada de la
clase anterior a la clase mediana.
Fi = frecuencia absoluta de la clase
mediana.
88/2= 44

39. Mediana
La mediana no es sensible como la media aritmética a los valores
extremos. En estos casos, la mediana puede dar un resumen más
representativo.
La mediana de un variable discreta es siempre un valor de la
variable. (Ej. Numero de hijos.).

40. Moda
El valor de la variable que más veces se repite; en una
distribución de frecuencias, es decir, es el valor que tiene la
frecuencia más alta.

41. La moda de un conjunto de datos es el dato que más se repite.
Una zapatería ha vendido en una semana los zapatos
que se reflejan en la tabla:
Ejemplo.
La moda es 41.
Nº de calzado 38 39 40 41 42 43 44 45
Nº de personas 16 21 30 35 29 18 10 7
El número de zapato más
vendido, el dato con mayor
frecuencia absoluta, es el 41.
Lo compran 35 personas

42. Moda
a) Distribuciones no agrupadas en intervalos.
observa la columna de las frecuencias absolutas, el valor
que tiene la mayor frecuencia es la moda.
Una distribución puede tener una moda relativa y una
moda absoluta.
Una distribución también puede tener más que una
moda.

43. Moda
 b) Distribuciones agrupadas en intervalos
B1: intervalos de la misma amplitud
El intervalo que tiene la mayor frecuencia da un intervalo modal. Dentro este intervalo
podemos encontrar el valor modal, usando diferentes criterios;
 Tomar como valor modal el extremo inferior del intervalo. .
 Considerar como valor modal el extremo superior. .
 Hacer la moda igual a la marca de clase. .
 Suponiendo que:
1) Todos los valores del intervalo están distribuidos uniformemente dentro de él.
2) La moda estará más cerca de aquel intervalo contiguo cuya frecuencia sea mayor.
1−= iLMo
iLMo =
ixMo =

44. Claramente la
frecuencia mayor la
encontramos en 8.
Entonces, la moda de
las notas de este curso
corresponde a un 4,0.
Ejemplo 1
Nota Frecuencia
2,5 1
3,0 2
3,5 7
4,0 8
4,5 6
5,0 2
5,5 6
6,0 5
6,5 2
7,0 2

45. Encontramos que hay
dos frecuencias que son
igualmente altas.
Ambas corresponden a
4.
Entonces, esta es una
distribución bimodal,
que corresponde a las
edades de 23 y 25.
Ejemplo 2
Edad Frecuencia
22 2
23 4
25 4
26 3
28 3
30 1
31 2
35 1

47. 47
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
-Media Aritmética (Promedio)Media Aritmética (Promedio)
-MedianaMediana
-ModaModa
n
x
x
n
i
i∑
=
= 1
Media Aritmética o PromedioMedia Aritmética o Promedio
MedianaMediana
)(EM kx=
2
M
)1()(
E
++
=
kk xx
x
1x
2x

nx
Datos CuantitativosDatos Cuantitativos
x
)1(x
)2(x

)(nx
Datos Cuantitativos ordenados de menor a mayorDatos Cuantitativos ordenados de menor a mayor
SiSi nn es pares par
SiSi nn es impares impar
centrodeldato)( =kx
repite"semásquedatoel"Mo =
ModaModaDatosDatos
Cualitativos y CuantitativosCualitativos y Cuantitativos
Estadística

48. 2-2008
48
Cuantiles
Cuartiles
Deciles
Percentiles
Los cuantiles son medidas de posición “no
central” que se utilizan con mayor frecuencia y
se emplean sobre todo para resumir o describir
las propiedades de conjuntos grandes de datos
numéricos.

49. Medidas de posición no centrales
Los cuartiles; tres valores que dividen la distribución en cuatro
partes iguales. 25 por ciento están incluidos en cada uno de los
cuatro intervalos.
Los deciles; nueve valores que dividen la distribución en diez partes
iguales. 10 por ciento están incluidos en cada uno de los diez
intervalos.
Los percentiles; noventa y nueve valores que dividen la distribución
en cien partes iguales. 1 por ciento están incluidos en cada uno de
los cien intervalos.

50. Cuartiles
De la misma manera que la mediana divide un
conjunto de datos en dos grupos iguales, los
cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.
Cada grupo está formado por 25% de los datos
de la muestra y se denotan por C1, C2 y C3
respectivamente
25% 25% 25% 25%
C1 C2 C3

51. 51
Cuartiles
)
4
)1(3
(
)
4
)1(2
(
)
4
1
(
3
2
1
+
=
+
=
+
=
n
iónValorPosicQ
n
iónValorPosicQ
n
iónValorPosicQ
La obtención de los cuartiles depende del número de datos
de la muestra; se utilizan los mismo conceptos del cálculo
de la mediana. Las fórmulas para cada los cuartiles 1 y al
vienen a ser:

52. 52
Se define en minutos el tiempo que le lleva arreglarse, desde que se
levanta hasta que sale de casa. A lo largo de 10 días hábiles
consecutivos, Usted recaba los tiempos (redondeados a minutos) que se
muestras a continuación
39 29 43 52 39
44 40 31 44 35

53. 53
Tamaño de la muestra N=10
35
)3(
)75.2(
)
4
110
(
)
4
1
(
1
1
1
1
1
=
=
=
+
=
+
=
Q
VPQ
VPQ
VPQ
n
VPQ
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Cuartil 1
33

54. 54
Tamaño de la muestra N=10
5.39
2
4039
)5.5(
)
4
)110(2
(
)
4
1
(
2
2
2
2
1
=
+
=
=
+
=
+
=
Q
Q
VPQ
VPQ
n
VPQ
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Cuartil 2
5.55.5

55. 55
Tamaño de la muestra N=10
44
)8(
)25.8(
)
4
)110(3
(
)
4
1
(
3
3
3
3
1
=
=
=
+
=
+
=
Q
VPQ
VPQ
VPQ
n
VPQ
29
31
35
39
39
40
43
44
44
52
Cuartil 3
88

56. 56
Deciles
Los deciles dividen una muestra en 10 grupos
iguales y cada decil acumula el 10% de los
datos.
Se trabajan igual que los cuartiles
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

57. Medidas de posición no centrales
Deciles:
es el valor que ocupe el lugar .
es el valor que ocupe el lugar .
…etc…
es el valor que ocupe el lugar .

58. 58
Percentiles
Los percentiles dividen una muestra en 100
grupos iguales y cada percentil acumula el 1%
de los datos.
Se trabajan igual que los cuartiles y deciles
1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%

59. Medidas de posición no centrales
Perceciles:
es el valor que ocupe el lugar .
es el valor que ocupe el lugar .
…etc…
es el valor que ocupe el lugar .