Matemática - Plano numérico (conceptos básicos, ejercicios, ejemplos y algo mas) considero que es un excelente material y espero que sea de muchísima ayuda, acepto cualquier critica constructiva acerca de mi trabajo. ¡Feliz día! UPTAEB
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Plano numérico
Estudiante: Alejandra Calles
C.I.29.956.35
PNF: Contaduría Pública
Barquisimeto, 17 de Enero del 2021 Sección: 0104
2. Desarrollo
¿Qué es Plano numérico?
¿Cuál es la distancia en el plano numérico?
Es la unión de dos rectas perpendiculares que
dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta
horizontal se le llama eje de las ”x”, o, abscisas y a
la recta vertical se llama eje de las “y” u
ordenadas. Formando de esta manera cuatro
cuadrantes.
La distancia entre dos puntos equivale
a la longitud del segmento de recta
que los une, expresado
numéricamente.
3. ¿Qué es Punto medio?
¿Qué son Ecuaciones?
Es el punto que se encuentra a la misma distancia
de otros dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento. En ese caso, el punto medio es único y
equidista de los extremos del segmento.
1. Ecuación de la recta: Tiene la forma y = mx +
b ; donde m es la pendiente (ángulo de
inclinación de la recta con respecto al eje x) y b
es el intercepto donde la recta corta al eje y.
Cuando se tiene un línea recta que pasa por
dos puntos P (x1; y1) y Q (x2 ; y2), se cumple
que la pendiente m es constante, donde m se
define como:
2. Ecuación punto – pendiente: Si se conoce un
punto P (x1 ; y1) por el que pasa una recta y su
pendiente m, es factible definir la ecuación de la
recta.
Se puede calcular la pendiente de la recta en base
al punto conocido P(x1 ; y1) y al punto genérico
Q(x ; y):
m = (y - y1) / (x - x1) Ecuación Punto –Pendiente.
Otra forma de presentar la ecuación de la recta es:
y - y1 = m (x - x1) Ecuación Punto –Pendiente.
4. ¿Cuál es el trazado de circunferencia en el Plano numérico?
Para realizar este trazado vamos a tener en cuenta que la mediatriz de
cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el centro de esta. O dicho de
otro modo, la mediatriz del segmento que une dos puntos determina todos
los posibles centros de circunferencias que pasan por ambos puntos.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Teniendo tres puntos A, B y C de la circunferencia. Trazaremos dos
segmentos uniendo dichos puntos: AB y BC.
3. Las mediatrices de ambos segmentos se cortarán en un
punto. Ese es el centro de la circunferencia que queremos
hallar y su radio la distancia desde dicho punto a cualquiera
de los otros tres dados. Hacemos centro, abrimos el
compás hasta cualquiera de los puntos dados y dibujamos
la circunferencia. Esta deberá pasar por los otros dos
puntos dados en el problema y esa es la señal de que el
trazado se ha realizado correctamente.
.
.
2. Basándonos en que ambos segmentos serán cuerdas de la circunferencia que queremos hallar, trazaremos las
mediatrices de ambos.
5. ¿Qué es Parábola?
¿Que es Hipérbola?
Se denomina parábola al lugar geométrico de
los puntos de un plano que equidistan de una
recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado
foco.
Una hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos de un plano, tales que el valor absoluto de
la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos,
llamados focos, es igual a la distancia entre los
vértices, la cual es una constante positiva.
6. ¿Qué es Elipse?
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y)
del plano cartesiano cuya suma de
distancias de los puntos, llamados focos:
F1 y F2 es constante.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las
curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono
y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las
cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse,
parábola, hipérbola y circunferencia.
¿Como representar gráficamente las ecuaciones de las
Cónicas?
7. Representaciones:
1. Parábola
Ejercicio: Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0) y
B(2,0), pero con vértices distintos: (1,-5) y (1,-2).
La ecuación general de una parábola es
𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Sabemos que las dos parábolas pasan por los
puntos
0,0 , (2,0)
Luego dichos punto verifican la ecuación. Los
sustituimos en la ecuación general para
calcular los coeficientes de las parábolas:
0, 0 0 = 𝑎. 02
+ 𝑏. 0 + 𝑐 0 = 𝑐
2,0 0 = 𝑎. 22
+ 𝑏. 2 + 𝑐
0 = 4𝑎 + 2𝑏
−2 = 4𝑎
𝑏 =
4𝑎
−2
= −2𝑎.
Por tanto, las ecuaciones de ambas parábolas
son de la forma
𝑦 = 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥
El valor de a lo obtendremos a partir de los vértices, que son
1, −5 (1, −2)
Sustituimos el primer vértice en la ecuación:
(1, -5) −5 = 𝑎.12
−2𝑎 .1
−5 = 𝑎 − 2𝑎
−5 = −𝑎
𝑎 = 5
Por tanto, una de las parábolas es
𝑦 = 5𝑥2 − 10𝑥
Sustituimos el segundo vértice en la ecuación:
1, −2 − 2 = 𝑎 . 12 − 2𝑎 .1
−2 = 𝑎 − 2𝑎
−2 = −𝑎
𝑎 = 2
Luego la otra parábola es
𝐴 = 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥
10. 3. Elipse
Ejercicio: Determina los elementos y grafica la elipse, cuya ecuación es:16𝑥² + 25𝑦² – 400 = 0
Vamos a mover al −400 al segundo miembro, que
lógicamente pasará positivo.
16𝑥2
+ 25𝑦2
= 400
Tenemos una expresión de la ecuación en su forma
ordinaria, vamos a dividir la igualdad entre 400.
16𝑥2 + 25𝑦2
400
=
400
400
Esto nos daría:
16𝑥2
400
+
25𝑦2
400
= 1
Simplificando las divisiones del primer miembro,
obtendremos la forma canónica de la elipse:
𝑥2
25
+
𝑦2
16
= 1
En el denominador mayor “25” se encuentra justo
debajo de la variable “x”, esta ecuación corresponde
a una elipse horizontal
Al tratarse de una elipse horizontal, podemos
asumir que:
𝑎2
= 25 𝑏2
= 16
Obteniendo la raíz cuadrada de “a” y “b”, obtenemos:
𝑎 = 5 𝑏 = 4
Para obtener el valor de “c” , basta con realizar el
siguiente cálculo:
𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2 = (5)2− 4 2 = 25 − 16 = 9 = 3
Por lo que c = 3
Teniendo en cuenta estos puntos, es muy fácil obtener
los elementos de la Elipse.
Obteniendo los Vértices: 𝑉1 5,0 𝑦 𝑉2(−5,0)
Obteniendo los Focos: 𝐹1 3,0 𝑦 𝐹2(−3,0)
Extremos del eje menor: 𝐵1 0,4 𝑦 𝐵2(0, −4)
Obteniendo el Lado Recto: 𝐿𝑅 =
2𝑏2
𝑎
=
2(4)2
5
=
32
5
Excentricidad: 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
5
3
= 0.6
11. Gráfica de la Elipse Horizontal
4. Circunferencia
Como el segmento 𝑃𝑄 es un diámetro, el centro es el punto
medio de este segmento. Y el radio es la mitad de la distancia
entre 𝑃𝑦𝑄:
𝐶 =
4 + −2
2
,
−3 + 7
2
= (1,2)
𝑃𝑄 = −6,10 𝑃𝑄 = 2 34
Radio = 34
Entonces ya tenemos las coordenadas del centro, y tenemos
el radio. Basta con reemplazar en la ecuación ordinaria para
obtener la ecuación de esta circunferencia:
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 34
Ejercicio: Encuentre la ecuación de una circunferencia si
los extremos de uno de sus diámetros son
𝑃 4,3 𝑦 𝑄 −2,7 .
12. La grafica es:
La ecuación general para cualquier sección cónica es 𝐴𝑥2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦2 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 =
0 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 𝑦 𝐹 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.
Circulo: (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 donde el centro es ℎ, 𝑘 , y el radio es 𝑟.
Elipse con el eje horizontal mayor:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 donde el centro es ℎ, 𝑘 , la longitud del eje
mayor es 2𝑎, la longitud del eje menor es2𝑏 y la distancia entre el centro y cualquier foco es 𝑐 con
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
, 𝑎 > 𝑏 > 0.
Elipse con el eje vertical mayor:
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1 donde el centro es (ℎ,𝑘), la longitud del eje
mayor es 2𝑎, la longitud del eje menor es es2𝑏 y la distancia entre el centro y cualquier foco es 𝑐 con
𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2, 𝑎 > 𝑏 > 0.
¿Cuáles son las ecuaciones de las Canónicas?
Hipérbola con el eje horizontal transversal:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1 donde el centro es ℎ, 𝑘 , la distancia
entre los vértices es 2𝑎 y la distancia entre los focos es 2𝑐 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
13. Hipérbola con el eje vertical transversal:
(𝑦−𝑘)2
𝑎2 −
(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1 donde el centro es (ℎ,𝑘), la distancia entre
los vértices es 2𝑎 y la distancia entre los focos es 2𝑐 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Parábola con el eje horizontal: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ , 𝑝 ≠ 0 donde el vértice es ℎ, 𝑘 , el foco es
ℎ + 𝑝, 𝑘 , la directrices la recta 𝑥 = ℎ − 𝑝 y el eje es la recta 𝑦 = k.
Parábola con el eje vertical: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 , 𝑝 ≠ 0 donde el vértice es ℎ, 𝑘 , el foco es
ℎ, 𝑘 + 𝑝 , la directrices la recta 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 y el eje es la recta 𝑥 = ℎ
Ejercicio resuelto
Ubicar los siguientes puntos en el plano A(1, 1) B(5,4) C(-3,-5) D(2,4) E(-2,-2) F(6,-3) G(3,5) H(-6,-5)
1 2 3 4 5 6−6 − 5 − 4 − 3 − 2 − 1
−1
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
6
5
4
3
2
1
A(1,1)
B(5,4)
C(-3,-5)
D(2,4)
E(-2,-2)
F(6,-3)
G(3,5)
H(-6,-5)
A
B
C
D
E
F
G
X
Y
H Ejercicio propuesto por: Ana María Méndez Pérez
