Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017

36.996 Aufrufe

Veröffentlicht am

حلول التمارين والامثلة الاثرائية والاسئلة الوزارية

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

ملزمة الرياضيات للسادس الادبي 2017

  1. 1. ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ : 07704516937 ‫المرسل‬‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 07703458937 ‫ملزمة‬‫الرياضيات‬ ‫االدبي‬ ‫السادس‬ 2017-2016 ‫مفصل‬ ‫شرح‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬ ‫الوزارية‬ ‫االسئلة‬ ‫حلول‬ ‫اثرائية‬ ‫امثلة‬
  2. 2. / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169372/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 :)‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫االول(مبرهنة‬ ‫الفصل‬ 1-‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬.......................................................................................................5 2-‫التمارين‬ ‫حلول‬1-1....................................................................................................7 3-‫العدد‬ ‫مضروب‬:.......................................................................................................8 4-‫التباديل‬:.................................................................................................................9 5-‫التمارين‬ ‫حلول‬2-1....................................................................................................10 6-‫التوافيق‬:................................................................................................................12 7-‫التمارين‬ ‫حلول‬3-1....................................................................................................14 8-:‫الحدين‬ ‫ذو‬ ‫مبرهنة‬....................................................................................................71 9-‫التمارين‬ ‫حلول‬4-1....................................................................................................20 ‫الثاني‬ ‫الفصل‬:)‫(الغاية‬ 1-:‫الغايات‬.................................................................................................................25 2-‫التمارين‬ ‫حلول‬1-2....................................................................................................30 3-:‫االستمرارية‬...........................................................................................................33 4-‫التمارين‬ ‫حلول‬2-2....................................................................................................35 ‫ال‬:)‫(المشتقة‬ ‫الثالث‬ ‫فصل‬ 1-‫المشتقة‬...................................................................................................................41 2-‫تمارين‬ ‫حلول‬1-3......................................................................................................44 3-‫االشتقاق‬ ‫مبادئ‬..........................................................................................................74 4-‫تمارين‬ ‫حلول‬2-3......................................................................................................84 5-:‫للمشتقة‬ ‫والفيزياوية‬ ‫الهندسية‬ ‫التطبيقات‬..............................................................................50 6-:‫االقتصاد‬ ‫في‬ ‫المشتقة‬ ‫تطبيقات‬ ‫بعض‬.................................................................................35 7-‫تمارين‬ ‫حلول‬3-3......................................................................................................35 8-‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬............................................................................................65 9-‫تمارين‬ ‫حلول‬4-3......................................................................................................95 10-:‫االنقالب‬ ‫ونقاط‬ ‫والتحدب‬ ‫التقعر‬....................................................................................26 11-‫تمارين‬ ‫حلول‬5-3....................................................................................................26 12-:‫الدوال‬ ‫رسم‬..........................................................................................................56 13-‫تمارين‬ ‫حلول‬6-3....................................................................................................76 14-:‫والصغرى‬ ‫العظمى‬ ‫النهايات‬ ‫على‬ ‫تطبيقات‬........................................................................71 15-‫تمارين‬ ‫حلول‬7-3....................................................................................................47 :)‫(التكامل‬ ‫الرابع‬ ‫الفصل‬ 1-:‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫التكامل‬....................................................................................................83 2-‫حل‬‫و‬‫تمارين‬ ‫ل‬1-4.......................................................................................................58 3-‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫للتكامل‬ ‫الهندسية‬ ‫التطبيقات‬................................................................................88 4-:‫المحدد‬ ‫غير‬ ‫للتكامل‬ ‫االقتصادية‬ ‫التطبيقات‬............................................................................19 5-‫تمارين‬ ‫حلول‬2-4.......................................................................................................29 6-:‫المحدد‬ ‫التكامل‬..........................................................................................................59 7-‫تمارين‬ ‫حلول‬3-4.......................................................................................................69 8-‫السينات‬ ‫ومحور‬ ‫المنحني‬ ‫بين‬ ‫المساحة‬..................................................................................001 9-‫المساحة‬‫دالتين‬ ‫منحني‬ ‫بين‬...............................................................................................021 10-‫تمارين‬ ‫حلول‬4-4....................................................................................................031 ‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬:..............................................................................................................061
  3. 3. / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169373/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ : 07704516937 ‫والنشر‬ ‫للطباعة‬ ‫المرسل‬ ‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 07703458937 ‫ملزمة‬‫الرياضيات‬ ‫االدبي‬ ‫السادس‬ 2017-2016 ‫الفصل‬‫االول‬ ‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬
  4. 4. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169374/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937
  5. 5. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169375/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 :)‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫االول(مبرهنة‬ ‫الفصل‬ 1-‫(مبد‬‫أ‬:)‫االساسي‬ ‫العد‬‫به‬ ‫ويقصد‬‫اساليب‬ ‫اتباع‬‫المعادالت‬ ‫استخدام‬ ‫بدون‬ ‫الحساب‬ ‫عمليات‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫االساسية‬ ‫العد‬: ‫مثال‬1/‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫زرقاء‬ ‫صناديق‬ ‫اربع‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫بداخل‬ ‫بيضاء‬ ‫صناديق‬ ‫ثالثة‬ ‫لدينا‬‫؟‬ /‫الحل‬‫خالل‬ ‫من‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدء‬‫ن‬‫قوم‬‫ب‬‫ابيض‬ ‫صندوق‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫بعدد‬ ‫البيضاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬ ‫ضرب‬‫و‬‫يساوي‬ ‫الناتج‬‫عدد‬ :‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الكلي‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫البيضاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عدد‬=3 ‫ابيض‬ ‫صندوق‬ ‫لكل‬ ‫الزرقاء‬ ‫الصناديق‬ ‫عد‬=4 ‫عدد‬‫الكلي‬ ‫الصناديق‬=3.4=12‫صندوق‬ ‫مثال‬2/‫للدر‬ ‫محل‬ ‫صاحب‬ ‫اعلن‬‫الدر‬ ‫من‬ ‫انواع‬ ‫خمسة‬ ‫لديه‬ ‫يوجد‬ ‫ان‬ ‫الهوائية‬ ‫اجات‬‫ثالثة‬ ‫يوجد‬ ‫نوع‬ ‫كل‬ ‫ومن‬ ‫اجات‬‫احجام‬ ‫در‬ ‫ست‬ ‫يوجد‬ ‫حجم‬ ‫كل‬ ‫ومن‬‫الدر‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫اجات‬.‫المحل‬ ‫في‬ ‫اجات‬ /‫الحل‬‫نوع‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫د‬‫ر‬‫در‬ ‫ستة‬ ‫يحوي‬ ‫حجم‬ ‫وكل‬ ‫احجام‬ ‫ثالثة‬ ‫يحوي‬ ‫اجات‬:‫فان‬ ‫اجات‬ ‫الدر‬ ‫انواع‬ ‫عدد‬‫اجات‬=5 ‫االحجام‬ ‫عدد‬‫نوع‬ ‫لكل‬=3‫الدر‬ ‫عدد‬‫الكلي‬ ‫اجات‬=5.3.6=90.‫اجة‬‫در‬ ‫حجم‬ ‫لكل‬ ‫الدراجات‬ ‫عدد‬=6 ‫مثال‬3/‫يحوي‬ ‫للمالبس‬ ‫محل‬5‫يوجد‬ ‫موديل‬ ‫كل‬ ‫وفي‬ ‫الرجالية‬ ‫البدالت‬ ‫من‬ ‫مختلفة‬ ‫موديالت‬10‫الوان‬ ‫سبعة‬ ‫ولديه‬ ‫قياسات‬ .‫الكلي‬ ‫الرجالية‬ ‫البدالت‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫قياس‬ ‫كل‬ ‫في‬ /‫الحل‬‫الموديالت‬ ‫عدد‬=5 ‫موديل‬ ‫لكل‬ ‫القياسات‬ ‫عدد‬=10‫الكلي‬ ‫البدالت‬ ‫عدد‬=5.10.7=350.‫بدلة‬ ‫قياس‬ ‫لكل‬ ‫االلوان‬ ‫عدد‬=7 ‫مثال‬4/‫لديه‬ ‫ساعات‬ ‫محل‬ ‫صاحب‬10‫فيها‬ ‫ماركة‬ ‫وكل‬ ‫مختلفة‬ ‫ماركات‬5‫فيه‬ ‫حجم‬ ‫وكل‬ ‫احجام‬7‫في‬ ‫ساعة‬ ‫فكم‬ ‫الوان‬ ‫المحل‬‫(وزاري‬2012)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬‫عدد‬‫الماركات‬=10 ‫لكل‬ ‫االحجام‬ ‫عدد‬‫ماركة‬=5‫الكلي‬ ‫الساعات‬ ‫عدد‬=10.5.7=350‫ساعة‬ ‫عدد‬‫االلوان‬‫حجم‬ ‫لكل‬=7 : )‫(الطرق‬ ‫االختيارات‬‫مبد‬ ‫باستخدام‬‫أ‬‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫ايجاد‬ ‫يمكننا‬ ‫االساسي‬ ‫العد‬‫لتوزيع‬ ‫اتباعها‬ ‫الممكن‬‫العناصر‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫الخانات‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬. ‫مثال‬5/‫الرقمين‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬3‫و‬5.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬ /‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2 ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2 ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=2.2=4‫طرق‬[ ‫مثال‬6/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬ .‫نفسه‬ /‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.3=9‫طرق‬ ‫مثال‬7/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬ .‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ /‫الحل‬‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=5.5.5=125‫طريقة‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫تكرا‬ ‫عدم‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫منا‬ ‫طلب‬ ‫واذا‬ ‫خانة‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫نسمح‬ ‫كنا‬ ‫السابقة‬ ‫االمثلة‬ ‫في‬ ‫الحظ‬‫فاننا‬ ‫رقم‬ ‫اي‬ ‫ر‬‫واهم‬ ‫مختلف‬ ‫اسلوب‬ ‫نتبع‬ ‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫الدال‬ ‫حرف‬ ‫نحذف‬ ‫(بغداد‬ ‫المكررة‬ ‫العناصر‬ ‫حذف‬ ‫خطوة‬4‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫الزاء‬ ‫حرف‬ ‫نحذف‬ ‫زيزفون‬ ,5‫سلسبيل‬ , ‫االحرف‬ ‫عدد‬ ‫ليكون‬ ‫والالم‬ ‫السين‬ ‫محذف‬4)
  6. 6. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169376/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬8/‫الرقمين‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬3‫و‬5.‫رقم‬ ‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬ /‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2 ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=1 ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=2.1=2‫طريقة‬ ‫مثال‬9/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مرتبتين‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3.‫رقم‬ ‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬ /‫الحل‬‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=2 ‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.2=6‫طرق‬ ‫مثال‬10/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عدد‬ ‫لتكوين‬ ‫المتوفرة‬ ‫االختيارات‬ ‫هي‬ ‫ما‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫اي‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬ .‫رقم‬ /‫الحل‬‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4‫االختيارات‬ ‫عدد‬=5.4.3=60‫طريقة‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫مثال‬11/‫الحروف‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬(‫ز‬ , ‫هـ‬ , ‫د‬ , ‫ج‬ , ‫ب‬ , ‫أ‬)‫تتكون‬ ‫بحيث‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكننا‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫كلمة‬ ‫فكم‬ .‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫حروف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ /‫الحل‬‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.5.4.3=360‫كلمة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الرابع‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫مثال‬12/‫فتاة‬ ‫لدى‬ ‫كان‬ ‫اذا‬6‫و‬ ‫االلوان‬ ‫مختلفة‬ ‫قمصان‬7‫و‬ ‫االلوان‬ ‫مختلفة‬ ‫تنورات‬4‫مكون‬ ‫زي‬ ‫فبكم‬ ‫مختلفة‬ ‫احذية‬ ‫ازواج‬ .‫تستخدم‬ ‫ان‬ ‫للفتاة‬ ‫يمكن‬ ‫وحذاء‬ ‫وتنورة‬ ‫قميص‬ ‫من‬ ‫واحد‬ ‫خانة‬ ‫على‬ ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬ ‫توزيع‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ : ‫توضيح‬.‫المجموعة‬ ‫في‬ ‫العناصر‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫ة‬ /‫الحل‬‫القميص‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫التنورة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.7.4=168‫زي‬ ‫الحذاء‬ ‫زوج‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫مثال‬13/‫بفرض‬ ‫يستخدم‬ ‫ان‬ ‫يمكنه‬ ‫زي‬ ‫فكم‬ ‫احذية‬ ‫واربعة‬ ‫بنطلونات‬ ‫وخمسة‬ ‫تيشيرتات‬ ‫وثالثة‬ ‫قمصان‬ ‫اربعة‬ ‫لشاب‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ .‫شيرت‬ ‫تي‬ ‫او‬ ‫قميص‬ ‫اما‬ ‫يرتدي‬ ‫انه‬ /‫الحل‬‫تيشيرتات‬ ‫ومجموعة‬ ‫قمصان‬ ‫مجموعة‬ ‫لدينا‬ ‫المثال‬ ‫هذا‬ ‫في‬‫عدد‬ ‫مجموع‬ ‫يساوي‬ ‫الخانة‬ ‫هذه‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫لذلك‬ ‫الخانة‬ ‫نفس‬ ‫في‬ ‫تندرج‬ ‫والتيشيرتات‬ ‫القمصان‬ ‫عناصر‬: ‫والتيشيرتات‬ ‫القمصان‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3+4=7 ‫البنطلونات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=7.5.4=140‫زي‬ ‫االحذية‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫مثال‬14/‫من‬ ‫اقل‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫عددا‬ ‫تكوين‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬500‫االرقام‬ ‫باستخدام‬(1,2,3,4, 5,6,7):‫كان‬ ‫اذا‬ 1–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ 2–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫السؤال‬ : ‫توضيح‬‫يشترط‬‫من‬ ‫اقل‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬500‫و‬‫االرقام‬ ‫وضع‬ ‫نستطيع‬ ‫ال‬ ‫اننا‬ ‫يعني‬ ‫هذا‬7‫و‬6‫و‬5‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫وبذلك‬ ‫المئات‬ ‫خانة‬ ‫في‬ ‫وهي‬ ‫فقط‬ ‫ارقام‬ ‫اربعة‬ ‫هي‬ ‫المئات‬ ‫لخانة‬ ‫الممكنة‬ ‫االرقام‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4. /‫الحل‬‫أ‬–:‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫المئات‬=4 ‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫العشرات‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.7.7=196‫طريقة‬ ‫في‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬‫مرتبة‬‫االحاد‬=7 ‫ب‬–:‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫المئات‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫العشرات‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.5.6=120‫طريقة‬ ‫االحاد‬ ‫خانة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5
  7. 7. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االساسي‬ ‫العد‬ ‫مبدأ‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169377/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬15/‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رمزه‬ ‫مكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬(1,2,3,4,5,6,7):‫بحيث‬ a)‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫وتكرار‬ ‫زوجيا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬‫غير‬.‫به‬ ‫مسموح‬(‫تمهيدي‬2014) b).‫به‬ ‫مسموح‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫وتكرار‬ ‫فرديا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬‫(وزاري‬2013)‫ثاني‬ ‫دور‬ /‫الحل‬a)‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.6.5=90‫طريقة‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 / ‫مالحظة‬( ‫االرقام‬ ‫احد‬ ‫تحوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬2‫و‬4‫و‬6‫يساوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ )3. b)‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.7.7=196‫طريقة‬ / ‫مالحظة‬(‫االرقام‬ ‫احد‬ ‫تحوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬1‫و‬3‫و‬5‫و‬7‫يساوي‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ )4. ‫تمارين‬ ‫حلول‬1-1 1-‫احمد‬ ‫لدى‬5‫و‬ ‫مختلفة‬ ‫سترات‬6‫و‬ ‫مختلفة‬ ‫بنطلونات‬8‫سترة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫احمد‬ ‫به‬ ‫يظهر‬ ‫مختلف‬ ‫زي‬ ‫فبكم‬ ‫مختلفة‬ ‫قمصان‬ .‫وقميص‬ ‫وبنطلون‬(‫تمهيدي‬2013,‫وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬ /‫ج‬‫السترات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫البنطلونات‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الزي‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5.6.8=240‫ز‬‫ي‬ ‫القمصان‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=8 2-‫الحروف‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬(‫أ‬–‫ل‬–‫ع‬–‫ق‬–‫ك‬–) ‫ب‬‫هذه‬ ‫من‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫احرف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬ ‫الحروف‬‫ع‬.‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬ ‫ال‬ ‫ان‬ ‫لى‬ /‫ج‬‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫الثاني‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5‫الكلمات‬ ‫عدد‬=6.5.4.3=360‫كلمة‬ ‫الثالث‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫الرابع‬ ‫الحرف‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 3-‫وظائف‬ ‫ثالثة‬ ‫لشغل‬ ‫اشخاص‬ ‫عشرة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫اشخاص‬ ‫ثالث‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫معينة‬‫مختلفة‬. /‫ج‬‫االولى‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=10 ‫الثانية‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=9‫الوظائف‬ ‫شغل‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=10.9.8=720‫طريقة‬ ‫الثالثة‬ ‫الوظيفة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=8 4-‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫ارقام‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رمزه‬ ‫مكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬9,8,7,6,5,4,3 ‫أ‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬ ‫فرديا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫ب‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫والتكرار‬ ‫زوجيا‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ /‫ج‬‫أ‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=4.6.5=120‫طريقة‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫ب‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.7.7=147‫طريقة‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 5-‫االرقام‬ ‫باستخدام‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫يكون‬ ‫عددا‬ ‫كم‬1,2,3,4,5,6,7 ‫أ‬–‫اكبر‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬‫من‬500.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫والتكرار‬ ‫ب‬–‫من‬ ‫اصغر‬ ‫العدد‬ ‫يكون‬ ‫ان‬ ‫على‬400.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫للرقم‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬ /‫الحل‬ ‫أ‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.7.7=147‫عدد‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫ب‬-‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=3.6.5=90‫عدد‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3
  8. 8. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169378/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 2-)‫(المفكوك‬ ‫العدد‬ ‫مضروب‬:‫او‬ ! ‫بـ‬ ‫اما‬ ‫له‬ ‫ويرمز‬ ‫تسبقه‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫في‬ ‫العدد‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫هو‬L‫ان‬ ‫فرضنا‬ ‫واذا‬ n‫مفكوك‬ ‫فان‬ ‫طبيعي‬ ‫عدد‬n‫هو‬n!: ‫حيث‬ ‫او‬ n! = n . (n-1) . (n-2) . ……. . 1 ‫مثال‬1/‫العدد‬ ‫مفكوك‬ ‫جد‬4‫؟‬ /‫ج‬4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 ‫مثال‬2/‫االعداد‬ ‫مفكوك‬ ‫جد‬5,3‫؟‬ 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 3! = 3 . 2 . 1 = 6 ‫مثال‬3/‫التالية‬ ‫المعادلة‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ 9! 7! ‫؟‬ 9! 7! = 9 . 8 . 7! 7! = 𝟗 . 𝟖 = 𝟕𝟐 ‫مثال‬4/‫المعادلة‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬ 100! 99! ‫؟‬ 100! 99! = 100 .99! 99! = 𝟏𝟎𝟎 ‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬ n! (n−2)! = 6.‫(وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬:‫فان‬ ‫العدد‬ ‫مفكوك‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ n! = n . (n-1) . (n-2)! ‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نستعيض‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫بذلك‬n!:‫مبين‬ ‫كما‬ n . (n−1) . (n−2)! (n−2)! = 6 n(n-1)-6 = 0 ⟹ n2 – n - 6 = 0 ⟹ (n+2)(n-3) = 0 n = -2 ‫مفكوك‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫السالب‬ ‫العدد‬ ‫الن‬ ‫دائما‬ ‫تهمل‬ ∴ n = 3 ‫مثال‬6/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫المعادلة‬ ‫تحقق‬ ‫التي‬(n+1)! = 24 /‫الحل‬‫هو‬ ‫المعادلة‬ ‫طرفي‬ ‫احد‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫وليس‬ ‫عدد‬‫الرقم‬ ‫يساوي‬ ‫مفكوكه‬ ‫يكون‬ ‫الذي‬ ‫العدد‬ ‫نجد‬ ‫ان‬ ‫يجب‬ ‫فاننا‬ ‫مفكوك‬24‫الضرب‬ ‫خالل‬ ‫من‬ :‫العكسي‬ 1 . 2 = 2 2 . 3 = 6 6 . 4 = 24 ∴ 4! = 24 : ‫اذا‬(n+1)! = 4! n+1 = 4 ≫ ∴ n = 3 ‫قوانين‬:‫المفكوك‬ 1) 0! = 1 ‫يساوي‬ ‫الصفر‬ ‫مفكوك‬1 2) 1! = 1 ‫يساوي‬ ‫الواحد‬ ‫مفكوك‬1 3) 2! = 2 ‫يساوي‬ ‫االثنين‬ ‫مفكوك‬2 4) n! = n . (n-1)! = n . (n-1) . (n-2)! :‫ان‬ ‫اي‬ 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4! = 6 . 5 . 4 . 3! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2! : ‫التساوي‬ ‫قانون‬‫كان‬ ‫اذا‬n! = k!‫فان‬n‫تساوي‬k n
  9. 9. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬077045169379/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 3-:‫التباديل‬‫بشرط‬ ‫عناصر‬ ‫لمجموعة‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫التباديل‬ ‫معادلة‬ ‫تستخدم‬‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬‫و‬‫الترتيب‬ ‫بنظر‬ ‫مأخوذ‬‫االعتبار‬: ‫التباديل‬ ‫قانون‬:𝐏𝐫 𝐧 = 𝐧! ( 𝐧−𝐫)! ‫تباديل‬ ‫وتقرأ‬n‫مأخوذة‬r‫مرة‬ ‫كل‬ ‫في‬:‫حيث‬ Pr n = ‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ (rPn ) n = ‫عدد‬‫ال‬‫اكبر‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫عناصر‬ r = ‫عدد‬‫ال‬‫اقل‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫عناصر‬ ‫مثال‬1/‫النشاء‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬( ‫االرقام‬ ‫مجموعة‬ ‫باستخدام‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫رقم‬1‫و‬2‫و‬3‫و‬4‫و‬5‫تكرار‬ ‫عدم‬ ‫بشرط‬ ) .‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ /‫الحل‬n=5&r=3 𝐏𝟑 𝟓 = 𝟓! (𝟓−𝟑)! = 𝟓! 𝟐! = 𝟓.𝟒.𝟑.𝟐! 𝟐! = 60 ‫طريقة‬ ‫طريقة‬ 60 ‫يساوي‬ ‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫اذا‬ ‫مثال‬2/‫تكرار‬ ‫عدم‬ ‫بشرط‬ )‫هـ‬ , ‫د‬ , ‫ج‬ , ‫ب‬ , ‫(أ‬ ‫االحرف‬ ‫مجموعة‬ ‫باستخدام‬ ‫حروف‬ ‫اربعة‬ ‫من‬ ‫كلمة‬ ‫النشاء‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬ .‫نفسها‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ P4 5 = 5! (5−4)! = 5! 1! = 5.4.3.2 = 120 ‫كلمة‬ ‫مثال‬3/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫احسب‬P0 10 ,P4 4 ,P3 4 a) P0 10 = 10! (10−0)! = 10! 10! = 1 b) P4 4 = 4! (4−4)! = 4! 0! = 4! 1 = 4.3.2 = 24 c) P3 4 = 4! (4−3)! = 4! 1! = 4.3.2 1 = 24 d) P1 4 = 4! (4−1)! = 4! 3! = 4.3! 3! = 4 ‫مثال‬4/‫توزيع‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫ما‬5‫وظائف‬ ‫خمسة‬ ‫على‬ ‫اشخاص‬‫مختلفة‬.‫واحدة‬ ‫وظيفة‬ ‫شخص‬ ‫لكل‬ ‫بحيث‬ P5 5 = 𝟓! ( 𝟓−𝟓)! = 5! = 5.4.3.2 = 120 ‫طريقة‬ .‫مهم‬ ‫الترتيب‬ ‫فان‬ ‫مختلفون‬ ‫واالشخاص‬ ‫مختلفة‬ ‫الوظائف‬ ‫ان‬ ‫بما‬ /‫مالحظة‬ ‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫عندما‬P2 n = 42 /‫ج‬42𝐏𝟐 𝐧 = 𝐧! (𝐧−𝟐)! = 𝐧.(𝐧−𝟏).(𝐧−𝟐)! (𝐧−𝟐)! = n.(n-1) = 42 ⟹ n2 – n – 42 = 0 ⟹ (n +6) (n – 7) = 0 n = -6 ‫تهمل‬ ⟹ ∴ n = 7 ‫مثال‬6/‫قيمة‬ ‫جد‬r:‫عندما‬ a) P3 6 = P𝑟 6 b) P4 5 = P𝑟 5 /‫ج‬a)P3 6 = P𝑟 6 6! (6−3)! = 6! (6−r)! ⟹ (6 − 3)! = (6 − r)! ⟹ 6-3 = 6 – r ⟹ ∴ r = 3 b)P4 5 = P𝑟 5 5! (5−4)! = 5! (5−r)! ⟹ (5 − 4)! = (5 − r)! ⟹ 5 - 4 = 5 – r ⟹ ∴ r = 4
  10. 10. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693710/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬7/‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬P3 6 ,P5 8 ,P7 15 a) P3 6 = 6! (6−3)! = 6! 3! = 6.5.4.3! 3! = 120 b) P5 8 = 8! (8−5)! = 8! 3! = 8.76.5.4.3! 3! = 6720 c) P7 15 = 15! (15−7)! = 15.14.13.12.11.10.9.8! 8! = 32432400 ‫مثال‬8/‫االرقام‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫مأخوذة‬ ‫ارقام‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫رمز‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫عدد‬ ‫ما‬3,4,5,6,7,8:‫بشرط‬ ‫أ‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫دون‬ ‫ب‬–.‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬ ‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫يمكن‬ /‫الحل‬‫أ‬– P3 6 = 6! (6−3)! = 6.5.4.3! 3! = 120 ‫عدد‬ ‫ب‬- ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=6.6.6=216‫طريقة‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫التمارين‬ ‫حلول‬2-1 1-: ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫احسب‬ ‫أ‬– 7! 5! = 7.6.5! 5! = 42 ‫ب‬- = 10! 6! − 9! 5! = 10.9.8.7.6! 6! − 9.8.7.6.5! 5! = 5040 − 3024 = 2016 2-‫ج‬‫قيمة‬ ‫د‬n: ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫أ‬-n! = 5040 1 1 2 2 6 3 24 4 120 5 720 6 5040 7 ‫ب‬-P2 n = 72 P2 n = n! (n−2)! = n.(n−1).(n−2)! (n−2)! = n.(n-1) = n2 – n = 72 n2 – n – 72 = 0 ⟹ (n + 8)(n-9) = 0 ⟹ n = -8 ‫تهمل‬ , ∴ n = 9 7=n∴ ‫ق‬‫ان‬‫و‬:‫المساواة‬ ‫ن‬‫كان‬ ‫اذا‬Pr n =Pk n ‫فان‬r = K 10 9 56
  11. 11. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التباديل‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693711/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫ج‬-P5 n = 8 . P4 n ‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬(‫تمهيدي‬2014) P5 n = 8 . P4 n ⟹ n! (n−5)! = 8 . n! (n−4)! ⟹ (n – 4)! = 8 . (n - 5)! (n – 4) . (n - 5)! = 8 . (n - 5)! ⟹ n - 4 = 8 ⟹ ∴ n = 12 ‫د‬-= 30 (n+1)! (n−1)! ‫(وزاري‬2013‫دور‬‫ثاني‬) (n+1)! (n−1)! = (n+1) . (n+1−1) .(n+1−2)! (n−1)! = (n+1) . (n) .(n−1)! (n−1)! = n (n + 1) = 30 n2 + n - 30 = 0 ⟹ (n - 5)(n + 6) = 0 ⟹ n = -6 ‫تهمل‬ , ∴ n = 5 3-‫المجموعة‬ ‫لدينا‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬(7,6,5,4,3,2,1)=x‫تكوينه‬ ‫يمكن‬ ‫مراتب‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫عددا‬ ‫فكم‬ :‫كان‬ ‫اذا‬ a)‫بدون‬‫الرقم‬ ‫تكرار‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬‫عدد‬210= 7.6.5.4! 4! = 7! (7−3)! P3 7 = b)‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫يسمح‬‫العدد‬ ‫في‬‫نفسه‬‫؟‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=343‫عدد‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 c)‫من‬ ‫اصغر‬400‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=90‫عدد‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 d)‫من‬ ‫اكبر‬200‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=294‫عدد‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 e)‫الرقم‬ ‫تكرار‬ ‫بدون‬ ‫زوجيا‬ ‫عددا‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=3 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=6‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=90‫عدد‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=5 f)‫الرقم‬ ‫بتكرار‬ ‫ويسمح‬ ‫فرديا‬ ‫عددا‬‫نفسه‬ ‫العدد‬ ‫في‬‫؟‬ ‫المئات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=4 ‫العشرات‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7‫الكلية‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬=196‫عدد‬ ‫االحاد‬ ‫مرتبة‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=7 4-‫يجر‬‫ى‬‫انتخاب‬ ‫الصفوف‬ ‫احد‬ ‫في‬‫ا‬‫في‬ ‫مراكز‬ ‫ثالثة‬ ‫على‬‫الرئيس‬ ‫ونائب‬ ‫الرئيس‬ ‫هي‬ ‫الصف‬ ‫لجان‬ ‫احدى‬‫ما‬ ‫السر‬ ‫وامين‬ ‫اذا‬ ‫االنتخابات‬ ‫عنها‬ ‫تسفر‬ ‫التي‬ ‫النتائج‬ ‫عدد‬‫االنتخابات‬ ‫في‬ ‫المشاركين‬ ‫الطالب‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫علم‬‫طالب؟‬ ‫عشرة‬ /‫ج‬‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫والتكرار‬ ‫مهم‬ ‫الترتيب‬: P3 10 = 10! (10−3)! = 10.9.8.7! 7! = 720 ‫نتيجة‬ 5-‫كلمة‬ ‫كم‬‫الحروف‬ ‫مختلفة‬‫قار؟‬ ‫ذي‬ ‫كلمة‬ ‫حروف‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ /‫ج‬ P3 5 = 5! (5−3)! = 5.4.3.2! 2! = 60 ‫كلمة‬ 6-‫صف‬ ‫في‬ ‫طالب‬ ‫خمسة‬ ‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫من‬‫ثمانية‬‫كراسي‬‫؟‬ /‫ج‬‫وكذلك‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬‫ال‬‫ترتيب‬‫مهم‬: P5 8 = 8! (8−5)! = 8.7.6.5.4.3! 3! = 6720 ‫طريقة‬
  12. 12. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693712/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 4-: ‫التوافيق‬‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫حساب‬ ‫في‬ ‫التوافيق‬ ‫معادلة‬ ‫تستخدم‬‫ترتيب‬:‫بشرط‬ ‫عناصر‬ ‫مجموعة‬ 1-.‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬ 2-.‫االعتبار‬ ‫بنظر‬ ‫مأخوذ‬ ‫غير‬ ‫الترتيب‬ ‫التوافيق‬ ‫قانون‬𝐂 𝐫 𝐧 = 𝐧! 𝐫! . (𝐧−𝐫)! ‫توافيق‬ ‫وتقرأ‬n‫مأخوذة‬r‫مرة‬ ‫كل‬ ‫في‬ Cr n ‫الكلي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬= n = ‫عدد‬ ‫او‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬‫اكبر‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ r = ‫اقل‬ ‫ايهما‬ ‫المراتب‬ ‫عدد‬ ‫او‬ ‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫عدد‬ :‫مبين‬ ‫كما‬ ‫التوافيق‬ ‫رمز‬ ‫كتابة‬ ‫ويمكن‬ ( n r ) ‫أو‬ C(n, r) ‫مثال‬1/‫االمتحانية‬ ‫الورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬8‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬6‫االسئلة؟‬ ‫حل‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫فكم‬ ‫فقط‬ ‫اسئلة‬ /‫ج‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫التوافيق‬ ‫قانون‬ ‫نستخدم‬ ‫فاننا‬ ‫االمتحاني‬ ‫الدفتر‬ ‫في‬ ‫سؤال‬ ‫اي‬ ‫حل‬ ‫تكرار‬ ‫يمكن‬ ‫وال‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫االسئلة‬ ‫حل‬ ‫ترتيب‬ ‫ان‬ ‫بما‬ n = 8 & r = 6 C6 8 = 8! 6! . (8−6)! = 8.7.6! 6! . 2! = 28‫طريقة‬ ‫مثال‬2/‫فيها‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫بنقطتين‬ ‫تحديدها‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫المستقيم‬ ‫قطع‬ ‫عدد‬ ‫كم‬6‫استقامة‬ ‫على‬ ‫نقاط‬ ‫ثالث‬ ‫توجد‬ ‫وال‬ ‫نقاط‬ ‫واحدة؟‬‫(تمهيدي‬2005) /‫ج‬ C2 6 = 6! 2! . (6−2)! = 6.5.4! 2 . 4! = 15 ‫مثال‬3/‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬C12 15 ,C3 15 ,C0 8 ,C4 5 ,C5 5 a) C12 15 = 15! 12! . (15−12)! = 15.14.13.12! 12! . 3! = 15.14.13 3.2 = 5.7.13 = 455 b) C3 15 = 15! 3! . (15−3)! = 15.14.13.12! 3! . 12! = 15.14.13 3.2 = 5.7.13 = 455 c)C0 8 = 8! 0! . (8−0)! = 8! 1 . 8! = 1 d) C4 5 = 5! 4! . (5−4)! = 5 .4! 4! . 1! = 5 e) C5 5 = 5! 5! . (5−5)! = 5! 5! . 0! = 5! 5! . 1 = 1 ‫مثال‬4/‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫احسب‬C5 13 ,C0 10 ,C20 20 /‫ج‬ a) C5 13 = 13! 5! . (13−5)! = 13.12.11.10.9.8! 5! . 8! = 13.12.11.10.9 5.4.3.2 = 13.11.9 = 1287 b) C0 10 = 10! 0! . (10−0)! = 1 c) C20 20 = 20! 20! . (20−20)! = 1 ‫قانو‬:‫التوافيق‬ ‫ن‬𝐂 𝐧−𝐫 𝐧 =𝐂 𝐫 𝐧
  13. 13. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693713/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬5/‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬(n+1 3 )=2(n 2 )‫؟‬(‫وزاري‬2012‫اول‬ ‫دور‬) 2(n 2 ) = (n+1 3 ) ⟹ 2. n! 2! . (n−2)! = (n+1)! 3! . ((n+1)−3)! 2. n! 2! . (n−2)! = (n+1).(n+1−1)! 3! . (n−2)! ⟹ 1 = (n+1) 3.2 ⟹ (n + 1) = 6 n = 6 - 1 ⟹ ∴ n = 5 ‫مثال‬6/‫من‬ ‫مكونة‬ ‫لجنة‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬5‫و‬ ‫طالبات‬7‫من‬ ‫مكونة‬ ‫مجموعة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫طالب‬8‫و‬ ‫طالبات‬10‫طالب؟‬ /‫ج‬‫خمس‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫طالبات‬‫ثمانية‬ ‫من‬=C5 8 ‫سبع‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫طالب‬‫عشرة‬ ‫من‬=C7 10 C5 8 . C7 10 = 8! 5! . (8−5)! . 10! 7! . (10−7)! = 8.7.6.5! 5! . (3)! . 10.9.8.7! 7! . (3)! = 8.7.6.5! 5! . (3)! . 10.9.8.7! 7! . 3 .2 = 8.7.10.3.4 = 6720‫طريقة‬ ‫مثال‬7/‫يحوي‬ ‫صندوق‬6‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬4)‫(اختيار‬ ‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬5‫تكون‬ ‫ان‬ ‫بشرط‬ ‫كرات‬3‫كرات‬‫منها‬ ‫فقط‬ ‫حمراء‬,‫السحب؟‬ ‫اجراء‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬‫(تمهيدي‬2013) /‫ج‬‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬3‫من‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬6‫كرات‬=C3 6 ‫ا‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫كرتين‬ ‫ختيار‬4‫كرات‬=C2 4 C3 6 . C2 4 = 6! 3! . (6−3)! . 4! 2! . (4−2)! = 6.5.4.3! 3! . 3.2 . 4.3.2! 2! . 2! = 5 . 4 . 2 . 3 = 120 ‫مثال‬8/‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬ , ‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫وخمسة‬ ‫الشاي‬ ‫من‬ ‫علب‬ ‫واربع‬ ‫الحليب‬ ‫مادة‬ ‫من‬ ‫علب‬ ‫ستة‬ ‫يوجد‬ ‫المخازن‬ ‫احد‬ ‫في‬ ‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫واربعة‬ ‫شاي‬ ‫علب‬ ‫وثالث‬ ‫حليب‬ ‫علبتي‬ ‫تحوي‬ ‫طلبية‬ ‫تجهيز‬‫؟‬ /‫الحل‬‫ستة‬ ‫من‬ ‫حليب‬ ‫علبتي‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=C2 6 ‫اربع‬ ‫من‬ ‫شاي‬ ‫علب‬ ‫ثالث‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬=C3 4 ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫خمسة‬ ‫من‬ ‫سكر‬ ‫اكياس‬ ‫اربع‬=C4 5 C2 6 . C3 4 . C4 5 = 6! 2! . (6−2)! . 4! 3! . (4−3)! . 5! 4! . (5−4)! = 15 . 4 . 5 = 300 ‫طريقة‬ ‫مثال‬9/‫يحوي‬ ‫صندوق‬6‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬4)‫(اختيار‬ ‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬5‫ت‬ ‫ان‬ ‫بشرط‬ ‫كرات‬‫ح‬‫و‬‫ي‬‫االقل‬ ‫على‬3 ‫فقط‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬,‫السحب؟‬ ‫اجراء‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬ /‫ج‬‫األقل‬ ‫على‬3‫من‬ ‫(نبدء‬ ‫حمراء‬3‫ونزيد‬) 1)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫ثالث‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫اثنان‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟑 𝟔 𝐂 𝟐 𝟒 2)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫اربع‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫واحدة‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟒 𝟔 𝐂 𝟏 𝟒 3)]‫من‬ ‫حمراء‬ ‫خمسة‬‫ستة‬[‫و‬]‫من‬ ‫بيضاء‬ ‫صفر‬‫اربعة‬[=. 𝐂 𝟓 𝟔 𝐂 𝟎 𝟒 C3 6 . C2 4 + C4 6 . C1 4 + C5 6 . C0 4 = 6! 3! . (6−3)! . 4! 2! . (4−2)! + 6! 4! . (6−4)! . 4! 1! . (4−1)! + 6! 5! . (6−5)! . 4! 0! . (4−0)! = 6.5.4.3! 3! . 3.2 . 4.3.2 2 .2 + 6.5.4! 4! . 2 . 4.3! 3! + 6.5! 5! . 4! 4! = 20 . 6 + 15 . 4+ 6*1 = 120 + 60+6 = 186 ‫طريقة‬ ‫المجموع‬=5( ‫البيضاء‬4)( ‫الحمراء‬6) 523 514 505 2
  14. 14. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693714/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬10/‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫تحوي‬ ‫مجموعة‬‫ثالث‬‫و‬ ‫سيارات‬‫تحوي‬ ‫مجموعة‬‫خمسة‬‫دراجات‬‫كم‬ ,‫مجموعة‬‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫رباعية‬ ‫المجموعتين‬ ‫عناصر‬ ‫من‬‫ان‬ ‫بشرط‬‫االكثر‬ ‫على‬ ‫تحوي‬‫دراجتين‬‫؟‬ /‫الحل‬‫االكثر‬ ‫على‬2‫دراجة‬‫من‬ ‫(نبدء‬2)‫وننزل‬ 1)]‫من‬ ‫سيارتين‬3[‫و‬]‫من‬ ‫دراجتين‬5[=. C2 3 C2 5 2)]‫ثال‬‫ث‬‫سيار‬‫ات‬‫من‬3[‫و‬]‫دراجة‬‫من‬5[=. C3 3 C1 5 3)‫فقط‬ ‫ثالثة‬ ‫عددها‬ ‫الن‬ ‫سيارات‬ ‫ثالث‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫ال‬ C2 5 . C2 3 + C1 5 . C3 3 = 5! 2! . (5−2)! . 3! 2! . (3−2)! + 5! 1! . (5−1)! . 3! 3! . (3−3)! = 5.4.3! 2 . 3! . 3.2 2 + 5.4! 4! . 3! 3! = 10 . 3 + 5 . 1 = 30 + 5 = 35 ‫مجموعة‬ ‫ح‬‫تمارين‬ ‫لول‬3-1 1-: ‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ a) C5 11 = 11! 5! . (11−5)! = 11.10.9.8.7.6! 5.4.3.2! . 6! =11.3.2.7=462 b) C(18,18) = 18! 18! . (18−18)! = 1 c) (7 0 ) = 7! 0! . (7−0)! = 1 d) 1 210 [P3 7 + P4 7 ] = 1 210 [ 7! (7−3)! + 7! (7−4)! ] = 1 210 [ 7.6.5.4! 4! + 7.6.5.4.3! 3! ] = 1 210 [210 + 840] = 1050 210 = 5 2-‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬C20 n = C35 n (2012‫دور‬3) /‫ج‬‫ان‬ ‫بما‬Cr n = Cn−r n :‫اذا‬ ∵ r = 20 , n – r = 35 , n – 20 = 35 ∴ n = 35 + 20 = 55 3-:‫خاطئة‬ ‫منها‬ ‫واي‬ ‫صائبة‬ ‫االتية‬ ‫العبارات‬ ‫اي‬ a) C6 16 = C4 10 C6 16 = 16! 6! . (16−6)! = 16.15.14.13.12.11.10! 6.5.4.3.2 . 10! = 8.7.13.11 = 8008 C4 10 = 10! 4! . 6! = 10.9.8.7.6! 4.3.2 . 6! = 10.3.7 = 210 ⟹ ∴ C6 16 ≠ C4 10 ‫خاطئة‬ ‫العبارة‬ b) C23 25 = P2 25 2! (‫تمهيدي‬2005) 𝟐𝟓! 𝟐𝟑! .(𝟐𝟓−𝟐𝟑)! = 𝟐𝟓! (𝟐𝟓−𝟐)! . 𝟏 𝟐! ⟹ 𝟐𝟓! 𝟐𝟑! . 𝟐! = 𝟐𝟓! 𝟐𝟑! . 𝟏 𝟐! ‫صائبة‬ ‫العبارة‬ c) (n 4 ) = (n 6 ) ∴ n = 10 ‫ان‬ ‫بما‬Cr n = Cn−r n :‫اذا‬ ∵ r = 4 , n - 6 = 4 , n = 4+ 6 ∴ n = 10 ‫صائبة‬ ‫العبارة‬ ‫المجموع‬=4‫سيارات‬(3)‫دراجات‬(5) 422 431 4‫تهمل‬0‫تهمل‬
  15. 15. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693715/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 d)‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬ ‫عناصر‬ ‫ثالثة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ‫التي‬ ‫الجزئية‬ ‫المجموعات‬ ‫عدد‬‫عناصرها‬ ‫عدد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬10‫هو‬C3 10 ‫صائبة‬ ‫العبارة‬ e)‫هو‬ ‫منهم‬ ‫ثالثة‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫يكون‬ ‫متمايزين‬ ‫غير‬ ‫اشخاص‬ ‫سبعة‬P3 7 ‫خاطئة‬ ‫العبارة‬ : ‫مالحظة‬‫متمايزين‬ ‫غير‬ ‫اشخاص‬ ‫تحوي‬ ‫الفرعية‬ ‫المجموعة‬ ‫الن‬)‫(متشابهين‬‫غير‬ ‫الترتيب‬ ‫اذا‬‫ض‬.‫بالتوافيق‬ ‫والحل‬ ‫روري‬ f)‫بين‬ ‫من‬ ‫شخصين‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫يساوي‬ ‫االختيار‬ ‫عند‬ ‫الترتيب‬ ‫مراعاة‬ ‫دون‬ ‫اشخاص‬ ‫ستة‬15.‫طريقة‬ C2 6 = 6! 2! . (6−2)! = 6.5.4! 2! . 4! = 15 ‫صائبة‬ ‫العبارة‬ g) P0 3 − 2 = -1 R.H.S = P0 3 − 2 = 𝟑! (𝟑−𝟎)! - 2 . 0! = 𝟑! 𝟑! – 2 . 1 = 1-2 = -1 = L.H.S ‫صائبة‬ ‫العبارة‬ h)‫لكل‬Nn , r ∈‫كان‬ ‫اذا‬Pr 5 = Pn 5 ‫فان‬n = r Pr 5 = Pn 5 𝟓! ( 𝟓−𝐫)! = 𝟓! ( 𝟓−𝐧)! ( 𝟓 − 𝐫)! = ( 𝟓 − 𝐧)! ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬ ( 𝟓 − 𝐫) = ( 𝟓 − 𝐧) ⟹ 𝟓 − r = 5 − n ∴ r = n‫صائبة‬ ‫العبارة‬ 4-:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫في‬ ‫الصحيحة‬ ‫االجابة‬ ‫اختر‬ a)‫عشرة‬ ‫بين‬ ‫من‬ ‫ثالثية‬ ‫لجنة‬ ‫اختيار‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬‫يساوي‬ ‫اشخاص‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬𝐂 𝟑 𝟏𝟎 ‫اي‬‫رقم‬2 b)‫كان‬ ‫اذا‬n‫عناصرها‬ ‫عدد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫الثنائية‬ ‫الجزئية‬ ‫المجموعات‬ ‫عدد‬6‫فان‬n: ‫يساوي‬ 𝐂 𝟐 𝟔 = 𝟔! 𝟐! . (𝟔−𝟐)! = 𝟔.𝟓.𝟒! 𝟐! . 𝟒! = 15 1 ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬ c)‫يساوي‬ ‫سداسي‬ ‫مضلع‬ ‫رؤوس‬ ‫من‬ ‫رأسين‬ ‫بين‬ ‫تصل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫التي‬ ‫المستقيمة‬ ‫القطع‬ ‫عدد‬ ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬2𝐂 𝟐 𝟔 d) ( 𝟔𝟖 𝟖 ) ÷ 𝐂 𝟔𝟎 𝟔𝟖 = 𝐂 𝟖 𝟔𝟖 ÷ 𝐂 𝟔𝟎 𝟔𝟖 = 𝟏 ‫ان‬ ‫بما‬Cr n = Cn−r n ‫فان‬C8 68 = C60 68 ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫الجواب‬3 e)‫االرقام‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬1,2,3,4,5,6,7,8,9‫فان‬‫من‬ ‫رمزها‬ ‫المكون‬ ‫االعداد‬ ‫عدد‬‫اربعة‬‫ارقام‬‫مختلفة‬‫هذه‬ ‫بين‬ ‫من‬ : ‫هو‬ ‫االرقام‬ P4 9 = 9! (9−4)! = 9.8.7.6.5! 5! = 9.8.7.6 = 3024 ‫رقم‬ ‫الصحيح‬ ‫4الجواب‬ 5-‫بين‬ ‫من‬ ‫اعضاء‬ ‫ستة‬ ‫من‬ ‫لجنة‬ ‫تشكيل‬ ‫يراد‬5‫و‬ ‫طالب‬8‫على‬ ‫محتوية‬ ‫اللجنة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫مدرسين‬ ‫اثنين‬ ‫مدرسين‬‫فقط‬‫؟‬(2013‫اول‬ ‫دور‬) C2 8 . C4 5 = 8! 2! . (8−2)! . 5 = 8.7.6! 2! . 6! . 5 = 8.7 2 . 5 = 4 . 7 . 5 = 140‫يقة‬‫طر‬ 4 0 0
  16. 16. ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫التوافيق‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693716/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 6-‫يحوي‬ ‫صندوق‬4‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬8‫كرات‬ ‫ثالث‬ ‫سحبت‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬‫معا‬‫سحب‬ ‫طرق‬ ‫عدد‬ ‫جد‬:(2012)‫اول‬ ‫دور‬ 1).‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫اثنتان‬ 2).‫حمراء‬ ‫اثنتان‬ ‫االقل‬ ‫على‬ /‫ج‬1)‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫اثنتان‬:‫والحمراء‬ ‫البيضاء‬ ‫بين‬ ‫مهم‬ ‫غير‬ ‫الترتيب‬ ‫اي‬ ‫معا‬ ‫تسحب‬ ‫الكرات‬ ‫ان‬ ‫بما‬ 1) 𝐂 𝟐 𝟒 . 𝐂 𝟏 𝟖 = 𝟒! 𝟐! . (𝟒−𝟐)! . 𝟖 = 𝟒.𝟑.𝟐! 𝟐! . 𝟐! . 8 = 2.3.8 = 48 2)‫حمراء‬ ‫اثنتان‬ ‫االقل‬ ‫على‬ ‫ا‬: ‫بيضاء‬ ‫وواحدة‬ ‫حمراء‬ ‫ثنتان‬C2 4 . C1 8 ‫بيضاء‬ ‫كرات‬ ‫بدون‬ ‫فقط‬ ‫حمراء‬ ‫ثالثة‬:C3 4 . C0 8 C2 4 . C1 8 + C3 4 . C0 8 = 6 . 8 + 4 . 1 = 48 + 4 = 52 ‫طريقة‬ 7-‫هو‬ ‫ما‬ ‫مادة‬ ‫امتحان‬ ‫اسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬10‫حل‬ ‫المطلوب‬ ‫وكان‬ ‫اسئلة‬7‫نختار‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫منها‬ ‫اسئلة‬4‫االولى‬ ‫الخمسة‬ ‫من‬ ‫االجابة؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ , /‫ج‬ C4 5 . C3 5 = 5 . 5! 3! . (5−3)! = 5 . 5.4.3! 3! . 2! = 50‫طريقة‬ 2
  17. 17. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693717/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 3-‫ذ‬ ‫مبرهنة‬‫ات‬:‫الحدين‬‫تح‬ ‫في‬ ‫المبرهنة‬ ‫هذه‬ ‫تستخدم‬‫من‬ ‫تتكون‬ ‫التي‬ ‫المعادالت‬ ‫ليل‬‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬‫الي‬ ‫مرفوعين‬ ‫حدين‬ ‫قوة‬n y)±(x‫وقانونها‬:‫هو‬ (x + y)n = ∑ Ci n . x(n−i) . y(i)n i=0 ‫مثال‬1/‫مفكوك‬ ‫جد‬2 )x+y(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ (x+y)2 = C0 2 . x(2−0) . y(0) + C1 2 . x(2−1) . y(1) + C2 2 . x(2−2) . y(2) (x+y)2 = x2 +2 x . y + y2 ‫مثال‬2/‫مفكوك‬ ‫جد‬2 )y-x(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ (x-y)2 = (𝐱 + (−𝐲)) 𝟐 = 𝐂 𝟎 𝟐 . 𝐱(𝟐−𝟎) . (−𝐲)(𝟎) + 𝐂 𝟏 𝟐 . 𝐱(𝟐−𝟏) . (−𝐲)(𝟏) + 𝐂 𝟐 𝟐 . 𝐱(𝟐−𝟐) . (−𝐲)(𝟐) (x-y)2 = 𝐱 𝟐 - 𝟐 𝐱 . 𝐲 + 𝐲 𝟐 ‫اذا‬ / ‫مالحظة‬.‫وهكذا‬ ‫سالب‬ ‫حد‬ ‫ويليه‬ ‫موجب‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫فان‬ ‫طرح‬ ‫االقواس‬ ‫داخل‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬ ‫موجبة‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫فكل‬ ‫جمع‬ ‫االقواس‬ ‫داخل‬ ‫كان‬ ‫مثال‬3/‫مفكوك‬ ‫جد‬4 )x+y(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ (x+y)4 = C0 4 . x4 + C1 4 . x3 . y + C2 4 . x2 . y2 + C3 4 . x . y3 + C4 4 . y4 (x+y)4 = x4 + 4 . x3 . y +6 . x2 . y2 + 4 . x . y3 + y4 ‫مثال‬4/‫مفكوك‬ ‫جد‬4 )y-x(:‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ (x-y)4 = C0 4 . x4 - C1 4 . x3 . y + C2 4 . x2 . y2 − C3 4 . x . y3 + C4 4 . y4 (x-y)4 = x4 - 4 . x3 . y +6 . x2 . y2 − 4 . x . y3 + y4 ‫مثال‬5/‫مفكوك‬ ‫جد‬3 )y-x(‫الحدين‬ ‫ذات‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ (x-y)3 = C0 3 . x3 - C1 3 . x2 . y + C2 3 . x . y2 − C3 3 . y3 (x-y)3 = x3 - 3 . x2 . y + 3 . x . y2 − y3 :‫مالحظات‬‫الخطوات‬ ‫من‬ ‫العديد‬ ‫نختصر‬ ‫ان‬ ‫يمكننا‬ ‫التالية‬ ‫المالحظات‬ ‫خالل‬ ‫من‬: 1-‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬n+1. 2-‫اسس‬ ‫مجموع‬x‫و‬y‫يساوي‬ ‫حد‬ ‫كل‬ ‫في‬n. 3-‫االول‬ ‫المتغير‬ ‫اس‬ ‫يكون‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫في‬x‫يساوي‬n.‫حد‬ ‫اخر‬ ‫في‬ ‫صفر‬ ‫اسه‬ ‫ليصبح‬ ‫التالية‬ ‫الحدود‬ ‫في‬ ‫تدريجيا‬ ‫ويتناقص‬ 4-‫المتغير‬ ‫اس‬ ‫يكون‬ ‫حد‬ ‫اول‬ ‫في‬y‫يساوي‬ ‫اسه‬ ‫ليصبح‬ ‫تدريجيا‬ ‫ويتزايد‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬n.‫حد‬ ‫اخر‬ ‫في‬ 5-‫والح‬ ‫موجبة‬ ‫دائما‬ ‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫فان‬ ‫طرح‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬.‫سالبة‬ ‫دوما‬ ‫الزوجية‬ ‫دود‬ 6-‫التوافقيات‬ ‫قيم‬‫الحد‬ ‫حول‬‫ود‬‫الوسطي‬‫ة‬.‫متساوية‬ 7-‫توافقية‬ ‫واخر‬ ‫توافقية‬ ‫اول‬=1 8-‫االخير‬ ‫قبل‬ ‫وما‬ ‫الثاني‬ ‫الحد‬ ‫توافقية‬ ‫قيمة‬=n :‫مبين‬ ‫كما‬ (x+y)4 = C0 4 . x4 + C1 4 . x3 . y + C2 4 . x2 . y2 + C3 4 . x . y3 + C4 4 . y4 ‫مثال‬6/‫مفكوك‬ ‫جد‬5 )y-x(. (x - y)5 = C0 5 . x5 - C1 5 . x4 . y + C2 5 . x3 . y2 − C3 5 . x2 . y3 + C4 5 . x . y4 - C5 5 . y5 = x5 - 5 . x4 . y + 10 . x3 . y2 − 10 . x2 . y3 + 5 . x . y4 - y5 ‫مثال‬7/‫مفكوك‬ ‫جد‬4 )3a + b(. (3a + b)4 = C0 4 . (3a)4 + C1 4 . (3a)3 . b+ C2 4 . (3a)2 . b2 + C3 4 . 3a . b3 + C4 4 . b4 = 81 a4 + 4 . 27 a3 . b+ 6 . 9 a2 . b2 + 4 . 3a . b3 + b4 = 81 a4 + 108 a3 . b + 54 . a2 . b2 + 12 . a . b3 + b4 ‫اس‬x‫يساوي‬n‫واس‬y ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫اس‬x‫واحد‬ ‫ينقص‬ ‫واس‬y‫واحد‬ ‫يزداد‬ ‫اس‬x‫يساوي‬0‫واس‬y ‫يساوي‬n
  18. 18. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693718/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫مثال‬8/‫قيمة‬ ‫جد‬3 )101( /‫ج‬:‫ليصبح‬ ‫المقدار‬ ‫بتبسيط‬ ‫نقوم‬ (101)3 = (100 + 1)3 = C0 3 . 1003 + C1 3 . 1002 . 1 + C2 3 . 100 . 12 + C3 3 . 13 = 1003 + 3 . 1002 + 3 . 100 + 1= 1000000 + 30000 + 300 + 1= 1030301 ‫مثال‬9/‫قيمة‬ ‫جد‬5 )0.99( (0.99)5 = ( 99 100 )5 = 995 1005 = (100−1)5 1005 ‫مفكوك‬ ‫ايجاد‬:‫البسط‬ (100 − 1)5 = 1005 - 5.1004 + 10.1003 - 10.1002 + 5.100-1 = 9509900499 ∴ (0.99)5 = 9509900499 1005 = 0. 9509900499 :‫العام‬ ‫الحد‬ ‫قانون‬‫المفكوك‬ ‫في‬ ‫معين‬ ‫حد‬ ‫اليجاد‬ ‫يستخدم‬ ‫قانون‬ ‫وهو‬‫و‬‫اذا‬‫فرضنا‬‫هو‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫ان‬r‫فيرمز‬‫الحد‬ ‫لذلك‬ ‫بالرمز‬𝐏𝐫:‫هي‬ ‫ومعادلته‬ 𝐏𝐫 = 𝐂 𝐫−𝟏 𝐧 . 𝐱(𝐧−𝐫+𝟏) . 𝐲(𝐫−𝟏) ‫حيث‬r‫و‬ ‫المفكوك‬ ‫في‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫تمثل‬n‫المفكوك‬ ‫اس‬ ‫تمثل‬‫تسلسله‬ ‫حد‬ ‫اول‬ (1‫تسلسله‬ ‫حد‬ ‫واخر‬n+1) ‫مثال‬10/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫جد‬5 )2x +( P3 = C3−1 5 . x(5−3+1) . 2(3−1) = C2 5 . x3 . 22 = 10 . x3 . 4 = 40 x3 ‫مثال‬11/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثاني‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4 )3-a( P2 = C2−1 4 . a(4−2+1) . (−3)(2−1) C1 4 . a3 . (−3)1 = 4 . a3 . (−3) = -12 a3 ‫مثال‬12/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8 )x-2( P5 = C5−1 8 . 2(8−5+1) . (−x)(5−1) = C4 8 . 24 . (−x)4 = 8.7.6.5.4! 4.3.2! . 4! . 16 . x4 = 70 . 16 . x4 = 1120 x4 ‫مثال‬13/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬6 )x+3( / ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬7‫الرابع‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬: P4 = C4−1 6 . x(6−4+1) . (3)(4−1) = C3 6 . x3 . 27 = 20 . 27 . x3 = 540 x3 ‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬n‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫تسلسل‬ ‫فان‬ ‫زوجي‬ ‫عدد‬ 𝐧+𝟏 𝟐 ‫مثال‬14/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬6 )3-x( / ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬7‫الرابع‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬: P4 = C4−1 6 . x(6−4+1) . (−3)(4−1) = C3 6 . x3 . (−27) = − 20 . 27 . x3 = - 540 x3 ‫مثال‬15/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬7 )3x+( / ‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬ ‫ان‬ ‫بما‬n+1‫اي‬8‫والخامس‬ ‫الرابع‬ ‫الحدين‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫فان‬: P4 = C4−1 7 . x(7−4+1) . (3)(4−1) = C3 7 . x4 . (27) = 7.6.5.4! 3.2! . 4! . 27 . x4 = 35 . 27 . x4 = 945 x4 P5 = C5−1 7 . x(7−5+1) . (3)(5−1) = C4 7 . x3 . (81) = 7! 4! . 3! . 81. x3 = 7.6.5.4! 4! . 3! .81. x3 = 35 . 81 . x3 = 2835x3 ‫مثال‬16/‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4 x‫مفكوك‬ ‫في‬6 )3x+( / ‫ج‬‫ان‬ ‫نفرض‬‫تسلسل‬‫تسلسله‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬=r:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫المعادلة‬ ‫ونكتب‬ Pr = Cr−1 6 . x(6−r+1) . (3)(r−1)
  19. 19. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693719/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫المتغير‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬4 x: ‫فان‬ x(6−r+1) = x4 6 − r + 1 = 4 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫كميتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ ∴ r = 6 + 1 - 4 = 3 ‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬4x‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫هو‬:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الحد‬ ‫هذا‬ ‫بايجاد‬ ‫االن‬ ‫ونقوم‬ P3 = C3−1 6 . x(6−3+1) . (3)(3−1) = C2 6 . x4 . (3)2) = 15 . x4 . 9 = 135 x4 ‫مثال‬17/‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8 a‫مفكوك‬ ‫في‬8 )2 a+3(.‫معامله‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫(وزاري‬2012)‫ثالث‬ ‫دور‬ / ‫ج‬ Pr = Cr−1 8 . 3(8−r+1) . (a2 )(r−1) ‫المتغير‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬8 a: ‫فان‬ (a2 )(r−1) = a8 ⟹ (a)2(r−1) = a8 2(r − 1) = 8 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫كميتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ r − 1 = 4 ⟹ ∴ r = 5 ‫المتغير‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬8 a‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫هو‬‫هو‬ ‫ومعامله‬Cr−1 8 . 3(8−r+1) C5−1 8 . 3(8−5+1) = C4 8 . 34 = 8.7.6.5.4! 4.3.2! . 4! . 81 = 70 . 81 = 5670 ‫الخامس‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫مثال‬18/‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬15 )x2 − 1 x (.‫(وزاري‬2013‫دور‬)‫ثاني‬ / ‫ج‬ Pr = Cr−1 15 . (x2 )(15−r+1) . (− 1 x )(r−1) = Cr−1 15 (x)2(16−r) .(−1)(r−1) (x)−(r−1) = Cr−1 15 . x(32−2r)−(r−1) . (−1)(r−1) = Cr−1 15 . x(33−3r) . (−1)(r−1) ‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫اس‬ ‫فان‬x:‫ان‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ x(33−3r) = x0 33 - 3r = 0 ‫تساوت‬ ‫اذا‬‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬‫االسس‬ ‫تساوت‬ ∴ r = 11 ‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫اذا‬x‫عشر‬ ‫الحادي‬ ‫الحد‬ ‫هو‬ 𝐏𝟏𝟏 = 𝐂 𝟏𝟏−𝟏 𝟏𝟓 . (𝐱 𝟐 )(𝟏𝟓−𝟏𝟏+𝟏) .(− 𝟏 𝐱 )(𝟏𝟏−𝟏) = C10 15 .(x2) 5 . (− 1 x )10 P11 = 15.14.13.12.11.10! 10! . 5.4.3.2 . x10 . ( 1 x10) = 15.14.13.12.11 5.4.3.2 = 3003 ‫عشر‬ ‫الحادي‬ ‫الحد‬ ‫معامل‬ ‫مثال‬19/‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬8 )3-x(‫(وزاري‬2011‫دور‬‫اول‬) /‫ج‬‫الخامس‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ P5 = C4 8 . x4 . (−3)4 = 8.7.6.5.4! 4.3.2! . 4! .81. x4 = 70. 81. x4 = 5670 x4 ‫مثال‬20/‫المقدار‬ ‫بسط‬4 a)-+ (24 (2+a)‫عندما‬ ‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫الى‬a = √3. /‫ج‬‫قوسين‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫من‬ ‫مكون‬ ‫المقدار‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫مترافقين‬2 + a‫و‬2 - a‫االس‬ ‫لنفس‬ ‫مرفوعين‬‫قوس‬ ‫كل‬ ‫حدود‬ ‫فان‬ ‫باالشارة‬ ‫ويختلفان‬ :‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االشارات‬ ‫تختلف‬ ‫ولكن‬ ‫االخر‬ ‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫تساوي‬ (2+a)4 = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 (2-a)4 = P1 - P2 + P3 - P4 + P5 ‫بالجمع‬:5P2+3P2+1P2=4 a)-2+ (4 +a)2( = 2(P1 + P3 + P5) ‫والخامس‬ ‫والثالث‬ ‫االول‬ ‫الحدود‬ ‫قيمة‬ ‫بايجاد‬ ‫نقوم‬ ‫االن‬‫فقط‬‫ال‬ ‫من‬‫مقدار‬4)a+2(:‫مبين‬ ‫كما‬
  20. 20. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693720/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 P1 = C1−1 4 . 2(4−1+1) . a(1−1) = C0 4 . 24 . a0 = 16 P3 = C3−1 4 . 2(4−3+1) . a(3−1) = C2 4 . 22 . a2 = 24 a2 P5 = C5−1 4 . 2(4−5+1) . a(5−1) = C4 4 . 20 . a4 = a4 ∴ (2+a)4 + (2-a)4 = 2(16 + 24 a2 + a4 ) ‫عندما‬a = √3:‫تساوي‬ ‫المقدار‬ ‫قيمة‬ ‫فان‬ 2(16 + 24 (√3)2 + (√3)4 ) = 2(16 + 24 . 3 + 9) = 2(97) = 194 ‫فردي‬ ‫الزوجية(الجمع‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫وناتج‬ ‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫ناتج‬ /‫مالحظة‬.)‫زوجي‬ ‫والطرح‬ ‫مثال‬21/‫المقدار‬ ‫بسط‬5 ) 1 a -a(-5 ) 1 a +a(‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫الى‬. /‫ج‬:‫الزوجية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫ناتج‬ (a + 1 a )5 - (a - 1 a )5 = 2(P2+P4+P6) P2 = 𝐂 𝟐−𝟏 𝟓 . a(𝟓−𝟐+𝟏) . ( 1 a )(𝟐−𝟏) = C1 5 . a4 . a−1 = 5 a3 P4 = C4−1 5 . a(5−4+1) . ( 1 a )(4−1) = C3 5 . a2 . a−3 = 10 a-1 = 10 a P6 = C6−1 5 . a(5−6+1) . ( 1 a )(6−1) = C5 5 . a−5 = a-5 = 1 a5 (a + 1 a )5 - (a - 1 a )5 = 2 (5 a3 + 10 a + 1 a5) 1 – 4 ‫تمارين‬ ‫حلول‬ 1-‫جد‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫مفكوك‬ a) (3a –b)4 = C0 4 . (3a)4 - C1 4 . (3a)3 . b + C2 4 . (3a)2 . b2 − C3 4 . (3a). b3 + C4 4 . b4 = 1 . 81a4 - 4 . 27 a3 . b + 6 . 9a2 . b2 − 4 . 3a . b3 + 1 . b4 = 81a4 - 108 a3 . b + 54 a2 . b2 − 12a . b3 + b4 b) (3x2 + 2y)3 = C0 3 . (3x2 )3 + C1 3 . (3x2 )2 . 2y + C2 3 . (3x2). (2y)2 + C3 3 . (2y)3 = 27 x6 + 3 . 9x4 . 2y + 3 . 3x2 . 4y2 + 8y3 = 𝟐𝟕 𝐱 𝟔 + 𝟓𝟒𝐱 𝟒 . 𝐲 + 𝟑𝟔𝐱 𝟐 . 𝐲 𝟐 + 𝟖𝐲 𝟑 c) (2x – 1 2x ) 6 = C0 6 . (2x)6 - C1 6 . (2x)5 . ( 1 2x ) + C2 6 . (2x)4 . ( 1 2x )2 − C3 6 . (2x)3 . ( 1 2x )3 + C4 6 . (2x)2 . ( 1 2x )4 - C5 6 . 2x. ( 1 2x )5 + C6 6 . ( 1 2x )6 = 64x6 – 6. 32x5 . ( 1 2x ) + 15 . 16x4 . 1 4x2 − 20 . 8x3 . 1 8x3 + 15 . 4x2 . 1 16x4 - 6 . 2x. 1 32x5 + 1 64x6 = 64x6 –96 x4 +60 x2 − 20 + 15 4x2 - 6 16x4 + 1 64x6 2-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫جد‬7 )2 3y-x(.‫(تمهيدي‬2013)(‫تمهيدي‬4201) /‫ج‬ P3 = C2 7 . x5 . (−3y2 )2 = 21 .x5 . 9y4 = 189 . x5 . y4 16x4
  21. 21. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693721/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 3-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫السادس‬ ‫الحد‬ ‫جد‬( x2 2 − x 3 )8 /‫ج‬ P6 = C5 8 . ( x2 2 )3 . (− x 3 )5 = 56 . x6 8 . −x5 243 = −7 243 . x11 4-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫جد‬( a − 2 a )12 .‫(وزاري‬2012‫دور‬2) /‫ج‬‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬13‫الحد‬ ‫هو‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫اي‬‫السابع‬: P7 = C6 12 . a6 . (− 2 a )6 = 12.11.10.9.8.7.6! 6.5.4.3.2 .6! . a6 . 64 a6 = 11.2.3.2.7 . 64 = 59136 5-‫مفكوك‬ ‫في‬ ‫االوسطين‬ ‫الحدين‬ ‫جد‬(2a − 1)7 ‫(وزاري‬2015)‫اول‬ ‫دور‬ /‫ج‬‫االول‬ ‫االوسط‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫ثمانية‬ ‫يساوي‬ ‫المفكوك‬ ‫حدود‬ ‫عدد‬4‫والثاني‬5: P4 = C3 7 . (2a)4 . (−1)3 = 35 . 16 a 4 . (−1) = -560 . a4 P5 = C4 7 . (2a)3 . (−1)4 = 35 . 8 a 3 . (+1) = 280 . a3 6-‫على‬ ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬4 x‫مفكوك‬ ‫في‬(1 + x2 )6 .‫معامله‬ ‫جد‬ ‫ثم‬‫(وزاري‬2012)‫ثاني‬ ‫دور‬ /‫ج‬ Pr = Cr−1 6 . 1(6−r+1) . (x2 )(r−1) = Cr−1 6 . 1(6−r+1) . (x)2(r−1) (x)2(r−1) = x4 ‫اذا‬.‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫تساوت‬ 2(r − 1) = 4 ⟹ r − 1 = 2 ⟹ ∴ r = 3 :‫المعامل‬ ‫ايجاد‬ P3 = C2 6 . 14 . x4 = 15 x4 7-‫معامل‬ ‫جد‬2 x‫مفكوك‬ ‫في‬( x3 + 2 x2)9 .‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬‫(وزاري‬5201)‫اول‬ ‫دور‬ /‫ج‬ Pr = Cr−1 9 . (x3 )(9−r+1) . ( 2 x2)(r−1) = Cr−1 9 . (x)3(10−r) . 2(r−1) x2(r−1) = Cr−1 9 . (x)(30−3r) .(2)(r−1) . x(2−2r) = Cr−1 9 . (x)(30−3r)+(2−2r) . 2(r−1) (x)(30−3r)+(2−2r) = x2 x2 ‫يحوي‬ ‫الذي‬ ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬ ‫ان‬ ‫بما‬ (30 − 3r) + (2 − 2r) = 2 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ 32 – 5r = 2 ⟹ 5r = 30 ⟹ ∴ r = 6 :‫المعامل‬ ‫ايجاد‬ P6 = C5 9 . (x3 )4 . ( 2 x2)5 = 9.8.7.6.5! 5! . 4.3.2 . x12 . 32 x10 = 3.7.6 . x2 . (32) = 4032 . x2 ‫المعامل‬=4032
  22. 22. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693722/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 8-‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬( x2 + 2 x3)10 /‫ج‬ Pr = Cr−1 10 . (x2 )(10−r+1) . ( 2 x3)(r−1) = Cr−1 10 . (x)2(11−r) . 2(r−1) x3(r−1) Pr = Cr−1 10 . (x)2(11−r) . x−3(r−1) . (2)(r−1) = Cr−1 10 . (x)(22−2r) . x(3−3r).(2)(r−1) Pr = Cr−1 10 . (x) (22−2r)+(3−3r) . (2)(r−1) (x)(22−2r)+(3−3r) = x0 x0 ‫اي‬ x ‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫الحد‬‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ (22 − 2r) + (3 − 3r) = 0 ‫االسس‬ ‫تساوت‬ ‫االساسات‬ ‫وتساوت‬ ‫قيمتان‬ ‫تساوت‬ ‫اذا‬ 25 – 5r = 0 ⟹ 5r = 25 ⟹ ∴ r = 5 P5 = C5−1 10 . (x)2(11−5) . 2(5−1) x3(5−1) = C4 10 . (x)12 . 24 x12 = 10.9.8.7.6! 4.3.2 . 6! . 16 = 10.3.7 . 16 = 3360 9-‫قيمة‬ ‫جد‬4 )99(.‫الحدين‬ ‫ذي‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ /‫ج‬ (99)4 = (100 -1)4 = C0 4 . 1004 + C1 4 . 1003 . (−1)+ C2 4 . 1002 . (−1)2 + C3 4 . 100 . (−1)3 +C4 4 . (−1)4 = 1004 - 4 . 1003 + 6 . 1002 − 4 . 100 + 1 = 100000000 – 4000000 + 60000 − 400 +1 ∴ (99)4 = 96059601 10-‫قيمة‬ ‫جد‬4 )98(–4 )102( /‫ج‬ (102)4 – (98)4 = (100+2)4 – (100-2)4 (100+2)4 – (100-2)4 = 2P4 + 2P2 ‫الزوجية‬ ‫الحدود‬ ‫مجموع‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الطرح‬ ‫ناتج‬ P2 = C1 4 . 1003 . 2 = 4 . 1003 . 2 = 8000000 P4 = C3 4 . 100 . 23 = 4 . 100 . 8 = 3200 (102)4 – (98)4 = 2(8000000+3200) = 2(8003200) = 16006400 11-‫قيمة‬ ‫جد‬+ (2 − √3)7 (2 + √3)7 /‫ج‬‫الفردية‬ ‫الحدود‬ ‫ضعف‬ ‫هو‬ ‫الجمع‬ ‫ناتج‬ (2 + √3)7 + (2 − √3)7 = 2(P1+P3+P5+P7) P1 = C0 7 . 27 . (√3)0 = 128 P3 = C2 7 . 25 . (√3) 2 = 21 .32 .3 = 2016 P5 = C4 7 . 23 . (√3) 4 = 7.6.5.4! 4! . 3.2 . 8 .9 = 35 . 72 = 2520 P7 = C6 7 . 2 . (√3) 6 = 7.2 .27 = 378 (2 + √3)7 + (2 − √3)7 = 2(128 + 2016 + 2520 + 378) = 10084
  23. 23. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693723/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 ‫الوزارية‬ ‫االسئلة‬ 1)‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬10.‫فقط‬ ‫مقاعد‬ ‫اربع‬ ‫في‬ ‫طالب‬2012-2 2)‫بتكرار‬ ‫السماح‬ ‫دون‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫زيزفون‬ ‫كلمة‬ ‫احرف‬ ‫من‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬ .‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحروف‬2013-3 3)‫بدون‬ )‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫(بمعنى‬ ‫بغداد‬ ‫كلمة‬ ‫حروف‬ ‫من‬ ‫انشائها‬ ‫يمكن‬ ‫والتي‬ ‫احرف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫المكونة‬ ‫الكلمات‬ ‫عدد‬ ‫كم‬ .‫الواحدة‬ ‫الكلمة‬ ‫في‬ ‫الحرف‬ ‫تكرار‬ 4)‫يجلس‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬10.‫فقط‬ ‫مقاعد‬ ‫اربع‬ ‫في‬ ‫طالب‬2012-2 5)‫االمتحان‬ ‫ورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬ ‫اذا‬6‫خم‬ ‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬ ‫اسئلة‬‫ذلك؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫اسئلة‬ ‫سة‬2012-3 6)‫يحوي‬ ‫صندوق‬10‫و‬ ‫حمراء‬ ‫كرات‬5‫سحب‬ ‫يراد‬ ‫بيضاء‬ ‫كرات‬ ‫وثالث‬ ‫خضراء‬ ‫كرات‬5‫ضمن‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫كرات‬ ‫لذلك؟‬ ‫طريقة‬ ‫فكم‬ ‫خضراء‬ ‫واحدة‬ ‫وكرة‬ ‫حمراء‬ ‫كرتين‬ ‫السحبة‬2012-2 7)‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬( 𝐧+𝟏 𝟒 )=6( 𝐧 𝟑 )‫؟‬2012-2 8)‫اذا‬‫االمتحان‬ ‫ورقة‬ ‫في‬ ‫االسئلة‬ ‫عدد‬ ‫كان‬6‫ذلك؟‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ‫اسئلة‬ ‫خمسة‬ ‫عن‬ ‫االجابة‬ ‫والمطلوب‬ ‫اسئلة‬2012-3 9)‫ك‬‫م‬‫كلمة‬‫يمكن‬‫تكوينها‬‫مكونة‬‫من‬‫اربعة‬‫حروف‬‫مختلفة‬‫من‬‫كلمة‬)‫سنكفيكهم‬(2014-‫ت‬ 10)‫كم‬‫كلمة‬‫بمعنى‬‫او‬‫بدون‬‫معنى‬‫يمكن‬‫تكوينها‬‫من‬‫كلمة‬)‫سنكفيكهم‬(‫مكونة‬‫من‬‫اربع‬‫أحرف‬‫على‬‫ان‬‫ال‬‫يسمح‬‫بتكرار‬ ‫الحرف‬‫في‬‫الكلمة‬‫نفسها؟‬2015-2 11)‫بكم‬‫طريقة‬‫يمكن‬‫اختيار‬‫اربعة‬‫اشخاص‬‫من‬‫بين‬‫عشرة‬‫اشخاص‬‫لشغل‬‫اربعة‬‫وظائف‬‫معينة‬‫مختلفة‬2014-1 12)‫كم‬‫قطعة‬‫مستقيم‬‫يمكن‬‫تحديدها‬‫بنقطتين‬‫من‬‫مجموعة‬‫فيها‬7‫نقاط‬‫وال‬‫توجد‬‫ثالث‬‫نقاط‬‫على‬‫استقامة‬‫واحدة‬2014-1 13)‫اذا‬‫كان‬‫لدى‬‫فتاة‬7‫قمصان‬‫مختلفة‬‫االلوان‬‫و‬5‫تنورات‬‫مختلفة‬‫االلوان‬‫و‬3‫احذية‬‫مختلفة‬‫فبكم‬‫زي‬‫مكون‬‫من‬‫قميص‬ ‫وتنورة‬‫وحذاء‬‫يمكن‬‫تظهر‬‫به‬‫الفتاة‬.2014-2 14)‫كيس‬‫فيه‬10‫كرات‬‫حمراء‬‫و‬6‫بيضاء‬‫سحبت‬‫منه‬4‫كرات‬‫معا‬‫دون‬‫ارجاع‬,‫ما‬‫عدد‬‫الطرق‬‫التي‬‫تكون‬‫فيها‬‫الكرات‬ ‫المسحوبة‬‫من‬‫نفس‬‫اللون‬2015-1 15)‫كم‬‫عدد‬‫رمزه‬‫مكون‬‫من‬3‫ارقام‬‫يمكن‬‫تكوينه‬‫باستخدام‬‫االرقام‬2,3,4,5,6,7,8,9‫على‬‫ان‬‫يكون‬‫العدد‬‫فرديا‬ ‫والتكرار‬‫غير‬‫مسموح‬‫فيه‬‫للرقم‬2015-1 16)‫بكم‬‫طريقة‬‫يمكن‬‫اختيار‬‫لجنة‬‫مكونة‬‫من‬3‫موظفين‬‫وموظفتين‬‫من‬‫بين‬10‫موظفين‬‫وخمسة‬‫موظفات‬2015-2 17)‫كم‬‫عدد‬‫ا‬‫زوجيا‬‫مكون‬‫من‬4‫مراتب‬‫يمكن‬‫تكوينه‬‫من‬‫االرقام‬( 0,1,2,3,4,5,6,7)‫مع‬‫عدم‬‫السماح‬‫بتكرار‬‫الرقم‬. 18)‫اذا‬‫كان‬3(n!) = 360‫جد‬‫قيمة‬n‫؟‬2015-3 19)‫ما‬‫عدد‬‫طرق‬‫اختيار‬‫وفد‬‫من‬4‫اشخاص‬‫نختارهم‬‫من‬‫بين‬6‫رجال‬‫و‬7‫نساء‬‫علما‬‫ان‬‫الوفد‬‫مناصفة‬‫من‬‫كل‬‫جنس‬ 2015-3 20)‫جد‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫كان‬n! = 6(n-2)!2014-1 21)‫جد‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫علمت‬‫ان‬2P2 n =C3 𝑛+1 2015-3 22)‫ج‬‫د‬‫قيمة‬n‫اذا‬‫علمت‬‫ان‬= 2P2 3 n! (n−2)! 2015-1 23)‫جد‬‫قيمة‬[P2 8 + P3 8 ] 1 56 2014-2 24)‫جد‬‫مفكوك‬8 )2y–2 3x(2014-1 25)‫هل‬‫يوجد‬‫حد‬‫خالي‬‫من‬x‫في‬‫مفكوك‬15)− 1 x2 2x(‫بين‬‫ذلك‬.2014-2‫الحل‬‫مثال‬18‫صفحة‬19 26)‫جد‬‫الحدين‬‫االوسطين‬‫في‬‫مفكوك‬(2 − x 2 ) 9 2015-3 27)‫من‬ ‫مكونة‬ ‫الطالب‬ ‫من‬ ‫مجموعة‬10‫و‬ ‫طالب‬8‫من‬ ‫مؤلفة‬ ‫لجنة‬ ‫تشكيل‬ ‫يراد‬ ‫طالبات‬7‫االنشطة‬ ‫الدارة‬ ‫اعضاء‬ ‫من‬ ‫تكونت‬ ‫اذا‬ ‫اللجنة‬ ‫اختيار‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫بكم‬ , ‫الطالبية‬4‫و‬ ‫طالب‬3.‫طالبات‬2016-1 28)‫من‬ ‫مكون‬ ‫رمزه‬ ‫عدد‬ ‫كم‬3‫واكبر‬ ‫مراتب‬‫من‬600‫االرقام‬ ‫من‬ ‫تكوينه‬ ‫يمكن‬4,5,6,7,8:‫كان‬ ‫اذا‬ ‫به‬ ‫مسموح‬ ‫التكرار‬‫به‬ ‫مسموح‬ ‫غير‬ ‫التكرار‬2016-1 29)‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫جد‬x‫مفكوك‬ ‫في‬( x + 2 x2)6 .2016-1
  24. 24. ‫ادبي‬ ‫سادس‬‫االول‬ ‫الفصل‬‫االثرائية‬ ‫االمثلة‬ / ‫الشمري‬ ‫احمد‬ ‫األستاذ‬0770451693724/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬07703458937 30)( ‫لجنة‬ ‫فيها‬ ‫تكون‬ ‫التي‬ ‫الطرق‬ ‫عدد‬ ‫ما‬4‫بين‬ ‫من‬ ‫نختارهم‬ )‫اشخاص‬10‫و‬ ‫رجال‬6‫من‬ ‫اللجنة‬ ‫تتكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ ‫نساء‬ ‫واحد؟‬ ‫جنس‬2016-‫ت‬ 31)‫كان‬ ‫اذا‬2C2 n+1 = C3 n+2 ‫قيمة‬ ‫فجد‬n.2016-‫ت‬ 32)‫(ستنتصرون)؟‬ ‫كلمة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫مختلفة‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬2016-2 33)‫اذا‬( ‫هنالك‬ ‫كان‬7( ‫سوى‬ ‫يجدوا‬ ‫ولم‬ ‫يتوظفوا‬ ‫ان‬ ‫يريدون‬ ‫خريجين‬ )3‫الوظائف؟‬ ‫اشغال‬ ‫يمكن‬ ‫طريقة‬ ‫فبكم‬ ،‫وظائف‬ ) 2016-2 34)‫قيمة‬ ‫جد‬n:‫حيث‬P3 n+1 =7 P2 n 2016-2 35)‫الحروف‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫على‬ )‫(فأسقيناكموه‬ ‫كلمة‬ ‫من‬ ‫تكوينها‬ ‫يمكن‬ ‫حروف‬ ‫ثالثة‬ ‫من‬ ‫مكونة‬ ‫معنى‬ ‫بدون‬ ‫او‬ ‫بمعنى‬ ‫كلمة‬ ‫كم‬ ‫مختلفة؟‬2016-3 36)‫جد‬‫الحد‬‫االوسط‬‫من‬‫مفكوك‬(m − 1 m ) 14 2016-3 37)‫قيمة‬ ‫جد‬n‫كان‬ ‫اذا‬( 𝐧+𝟏 𝟒 )=3( 𝐧 𝟑 )‫؟‬2016-3
  25. 25. 1 ‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫أحمد‬ : 07704516937 ‫المرسل‬‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المنصور‬–‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬ 07703458937 ‫ملزمة‬‫الرياضيات‬ ‫االدبي‬ ‫السادس‬ 2017-2016 ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫واالستمرارية‬ ‫الغايات‬
  26. 26. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 26
  27. 27. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 27 :)‫واالستمرارية‬ ‫الثاني(الغايات‬ ‫الفصل‬ (‫الغاية‬:)‫الغاية‬‫الدالة‬ ‫ناتج‬ ‫قيمة‬ ‫يمثل‬ ‫رياضي‬ ‫تعبير‬f(x)‫متغيرها‬ ‫يقترب‬ ‫عندما‬‫المستقل‬x‫معين‬ ‫مقدار‬ ‫من‬a‫وتكتب‬ :‫التالية‬ ‫بالصيغة‬ 𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝐚 f(x) ‫غاية‬ ‫وتقرأ‬f(x)‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬a ‫مثال‬1/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬2x + 1–2 x‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬1. /‫ج‬‫قيمة‬ ‫نعوض‬x‫بواحد‬:‫مبين‬ ‫كما‬lim x→1 (x2 − 2x + 1) = 1 − 2 + 1 = 0 ‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫ان‬ ‫اي‬x‫من‬ ‫تقترب‬1‫قيمة‬ ‫وهي‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫عندما‬ ‫للغاية‬ ‫اخرى‬ ‫قيمة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫اي‬ ‫وحيدة‬x → 1:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫مثال‬2/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ 1 x2+ 1 ‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1. /‫الحل‬‫المتغير‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫عندما‬ ‫للدالة‬ ‫فحص‬ ‫عمل‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫فاننا‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1 lim x→−1 1 x2 + 1 = 1 (−1)2 + 1 = 1 2 ‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫ان‬ ‫نقول‬ ‫اذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1‫وتساوي‬ ‫موجودة‬ 𝟏 𝟐 . ‫مثال‬3/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ x2−x x ‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬0. /‫الحل‬‫عندما‬x‫الى‬ ‫ننتقل‬ ‫لذلك‬ ‫معرف‬ ‫غير‬ ‫عدد‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫فان‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬‫التبسيط‬‫مبين‬ ‫كما‬: lim x→0 x2−x x = x(x−1) x = lim x→0 (x − 1) = 0 − 1 = −1 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫اذا‬x → 0‫وتساوي‬-1:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫مثال‬4/‫قيمة‬ ‫جد‬(x3 + 2x + 3)lim x→−2 .‫(وزاري‬2012)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬ lim x→−2 (x3 + 2x + 3) = (-2)3 + 2 . (-2) + 3 = -8 – 4 + 3 = -9 :‫معرفة‬ ‫الغير‬ ‫القيم‬ 1–‫مثل‬ ‫صفر‬ ‫على‬ ‫القسمة‬ 𝐱 𝟎 ‫و‬ 𝟎 𝟎 . 2–‫سالبة‬ ‫لقيمة‬ ‫الزوجي‬ ‫الجذر‬√−5 4 . ‫ناتج‬ ‫من‬ ‫اكثر‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ : ‫الغاية‬ ‫وحدانية‬‫معين‬ ‫عدد‬ ‫عند‬ ‫الغاية‬ ‫لقيمة‬ ‫واحد‬
  28. 28. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 28 ‫مثال‬5/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ x−1 x2− 1 ‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬1. /‫الحل‬‫المتغير‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬ ‫تحوي‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫عندما‬ ‫للدالة‬ ‫فحص‬ ‫عمل‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫فاننا‬x‫من‬ ‫تقترب‬1 lim x→1 x − 1 x2 − 1 = 0 1 − 1 = 0 0 ‫الدالة‬ ‫تحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ ‫فاننا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يمثل‬ ‫ال‬ ‫المقدار‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫على‬ ‫قسمة‬ ‫يحوي‬ ‫الناتج‬ ‫ان‬ ‫بما‬: lim x→1 x−1 (x− 1)(x+ 1) = 1 x+ 1 = 1 2 ‫مثال‬6/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ x2−4 x− 2 ‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬2.‫(وزاري‬2014)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬2:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ lim x→2 x2−4 x− 2 = (x−2)(x+2) x− 2 = lim x→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4 ‫منها‬ ‫تقترب‬ ‫قيمة‬ ‫اي‬ ‫عند‬ ‫الثابتة‬ ‫القيمة‬ ‫غاية‬ /‫مالحظة‬x:‫الثابتة‬ ‫القيمة‬ ‫تساوي‬ lim x→a c = c a , c ∈ R lim x→0 5 = 5 lim x→2 1 = 1 ‫مثال‬7/‫جد‬‫قيمة‬lim x→2 x3− 8 x2−4 :‫(تمهيدي‬2013) /‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬2:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ lim x→2 x3− 8 x2−4 = lim x→2 x3− 23 x2−22 = lim x→2 (x−2)(x2+2x+4) (x−2)(x+2) = lim x→2 x2+2x+4 x+2 = 4+4+4 4 = 3 ‫مثال‬8/‫قيمة‬ ‫جد‬lim x→0 √x+2 −√2 x : /‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬0:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ :‫البسط‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ lim x→0 √x+2 −√2 x . √x+2 +√2 √x+2 +√2 lim x→0 (x+2)−2 x .(√x+2 +√2) = lim x→0 x x .(√x+2 +√2 ) = lim x→0 1 √x+2 +√2 = 1 √2 +√2 = 1 2√2 ‫مثال‬9/‫جد‬‫قيمة‬lim x→3 √x+1 −2 x−3 :‫(وزاري‬2013‫ثاني‬ ‫دور‬2012)‫ثالث‬ ‫دور‬ /‫الحل‬‫عندما‬ ‫صفر‬ ‫يساوي‬ ‫المقام‬ ‫ان‬ ‫بما‬x‫تساوي‬3:‫التحليل‬ ‫الى‬ ‫ننتقل‬ :‫البسط‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬ lim x→3 √x + 1 − 2 x − 3 . √x + 1 + 2 √x + 1 + 2 = lim x→3 (x + 1) − 4 (x − 3). (√x + 1 + 2) = lim x→3 x−3 (x−3).(√x+1 +2) = lim x→3 1 √x+1 +2 = 1 √4 +2 = 1 4
  29. 29. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 29 ‫مثال‬10/‫قيمة‬ ‫جد‬lim x→3 x3 −27 x2+2x−15 .‫(وزاري‬2011)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬‫مكعبين‬ ‫بين‬ ‫فرق‬ ‫البسط‬ ‫نحلل‬ lim x→3 x3 −27 x2+2x−15 = lim x→3 (x −3)(x2 + 3x+9) (x−3)(x+5) = lim x→3 x2 + 3x+9 x+5 = 9+ 9+9 3+5 = 27 8 ‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬lim x→1 x − 1 √x − 1 .(2005) /‫الحل‬:‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫فرق‬ ‫البسط‬ ‫نحلل‬ lim x→1 x − 1 √x − 1 = lim x→1 (√x – 1)(√x + 1) √x − 1 = lim x→1 √x + 1 = 1 + 1 = 2 ‫مثال‬12/‫كانت‬ ‫اذا‬lim x→1 (x2 − 2x + a)‫تساوي‬4‫جد‬‫قيمة‬a. /‫الحل‬ lim x→1 (x2 − 2x + a) = 4 1-2+a = 4 ⟹ -1 + a = 4 ⟹ a = 5 ‫مثال‬13/‫كانت‬ ‫اذا‬lim x→1 a(x−1) x2− 1 ‫تساوي‬1‫جد‬‫قيمة‬a‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬x‫من‬ ‫تقترب‬2. /‫الحل‬ lim x→1 a(x−1) x2− 1 = lim x→1 a(x−1) (x−1)(x+1) = lim x→1 a x+1 = 1 a (1+1) = 1 ⟹ a = 2 ‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬x‫من‬ ‫يقترب‬2:‫هي‬ lim x→2 2 x+1 = 2 2+1 = 2 3 ‫مثال‬14/‫كانت‬ ‫اذا‬f(x) = ax2 + bx x ‫وكانت‬lim x→0 f(x) = 4‫و‬lim x→1 f(x) = 5‫قيمتي‬ ‫جد‬a‫و‬b .‫الحقيقيتين‬ /‫الحل‬ lim x→0 ax2 + bx x = 4 ⟹ lim x→0 x(ax + b) x = 4 ⟹ lim x→0 (ax+b) = 4 a(0) + b = 4 ⟹ ∴ b = 4 lim x→1 ax2 + bx x = 5 ⟹ lim x→1 (ax+b) = 5 ⟹ a(1) + b = 5 ⟹ a + 4 = 5 ∴ a = 1 ‫مثال‬15/‫كانت‬ ‫اذا‬= 2a + 3lim x→1 x2+3x−1 x+2 ‫جد‬‫قيمة‬a.‫(وزاري‬2013)‫اول‬ ‫دور‬ /‫الحل‬ lim x→1 x2+3x−1 x+2 = 1+3−1 1+2 = 1 2a +3 = 1 ⟹ 2a = 1 -3 = -2 ⟹ a = −2 2 = -1
  30. 30. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 30 ‫مثال‬16/‫كانت‬ ‫اذا‬f(x) = 6x2 + ax + b‫وكانت‬lim x→1 f(x) = 6‫و‬lim x→2 f(x) = 29‫جد‬‫قيمة‬a‫و‬b. /‫الحل‬‫(تمهيدي‬2005) lim x→1 (6x2 + ax + b) = 6 ⟹ 6 + a + b = 6 ⟹ b + a = 0 …… lim x→2 (6x2 + ax + b) = 29 ⟹ 24 + 2a + b = 29 ⟹ 2a + b = 5 …… ‫معادلة‬ ‫نطرح‬‫من‬ 2a + b = 5 a + b = 0 a = 5 ‫بالطرح‬ ‫قيمة‬ ‫نعوض‬a‫المعادلة‬ ‫في‬: b + a= 0 ⟹ b + 5 = 0 ⟹ b = -5 :‫المركبة‬ ‫الدوال‬‫باقي‬ ‫عن‬ ‫مستقل‬ ‫مجال‬ ‫يملك‬ ‫منها‬ ‫كل‬ ‫اقسام‬ ‫عدة‬ ‫من‬ ‫تتكون‬ ‫التي‬ ‫الدوال‬ ‫وهي‬:‫االخرى‬ ‫الدوال‬ ‫مجاالت‬ ‫مثال‬17/‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬f(x) = { x2 x ≤ 1 x x > 1 ‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬3,0,1-. 1-‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬3‫نستخدم‬:‫الثانية‬ ‫الدالة‬lim x→3 f(x) = lim x→3 x = 3 2-‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬0‫نستخدم‬:‫االولى‬ ‫الدالة‬lim x→0 f(x) = lim x→0 x2 = 0 3-‫عندما‬x‫من‬ ‫تقترب‬-1‫نستخدم‬:‫االولى‬ ‫الدالة‬lim x→−1 f(x) = lim x→−1 x2 = 1 ‫اليسار‬ ‫وغاية‬ ‫اليمين‬ ‫غاية‬:‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬‫من‬ ‫مركبة‬ ‫دالة‬‫تكون‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬ ‫دالتين‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫وفي‬ ‫متساويتين‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬ ‫عند‬ ‫الدالتين‬ ‫غاية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫موجودة‬x‫غاية‬ ‫تسمى‬ ‫الدالة‬ ‫وغاية‬ ‫اليمين‬2 x‫هي‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫ونقطة‬ ‫اليسار‬ ‫غاية‬ ‫تسمى‬0: L1 = lim x→0+ x = 0 ‫اليمين‬ ‫غاية‬ L2 = lim x→0− x2 = 0 = L1 ‫اليسار‬ ‫غاية‬ ‫ان‬ ‫بما‬1L=2L‫عندما‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫فان‬x.‫موجودة‬ ‫الغاية‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الصفر‬ ‫من‬ ‫تقترب‬ ‫مثال‬2/‫لتكن‬f(x) = { x2 + 1 x ≥ 1 2x − 1 x < 1 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬1. /‫الحل‬‫عند‬ ‫االفتراضية‬ ‫االلتقاء‬ ‫نقطة‬1‫لذا‬.‫اليسار‬ ‫ودالة‬ ‫اليمين‬ ‫دالة‬ ‫نحسب‬ L1 = lim x→1+ (x2 + 1) = 1 +1 = 2 L2 = lim x→1− (2x − 1) = 2 - 1 = 1 ≠ L1 ‫من‬ ‫يقترب‬1 x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫تملك‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫ان‬ ‫مثال‬3/‫للدالة‬ ‫هل‬f(x) = { x2 + 1 x ≥ 1 2x x < 1 ‫عندما‬ ‫غاية‬x → 1: /‫الحل‬ L1 = lim x→1+ ( x2 + 1) = 1 +1 = 2 L2 = lim x→1− 2x = 2 = L1 x → 1 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫تملك‬ ‫الدالة‬
  31. 31. ‫الثاني‬ ‫الفصل‬ ‫أدبي‬ ‫سادس‬‫الغاية‬ 31 ‫مثال‬4/‫لتكن‬f(x) = { x2 + 2 x > 1 2x + a x ≤ 1 ‫وان‬lim x→1 f(x)‫موجودة‬‫قيمة‬ ‫جد‬a‫حيث‬R∈a. /‫الحل‬‫موجودة‬ ‫الغاية‬ ‫ان‬ ‫بما‬‫عندما‬x = 1‫فان‬:‫ان‬ ‫اي‬ ‫اليسار‬ ‫غاية‬ ‫تساوي‬ ‫اليمين‬ ‫غاية‬ lim x→1+ ( x2 + 2) = lim x→1− (2x + a) 12 + 2 = 2 . 1 + a ⟹ 3 = 2 + a ⟹ a = 3 -2 = 1 ‫مثال‬5/‫لتكن‬f(x) = { x2 + a x > 1 b − 2x x ≤ 1 ‫وكانت‬lim x→1 f(x)‫وان‬ ‫موجودة‬lim x→−1 f(x) = 5‫قيمتي‬ ‫جد‬ R∈a‫و‬b. /‫الحل‬ lim x→−1 f(x) = lim x→−1 (b − 2x) = 5 ‫قيمة‬ ‫نعوض‬x = -1‫لـ‬ ‫جذر‬ ‫او‬ ‫قسمة‬ ‫تحوي‬ ‫ال‬ ‫الدالة‬ ‫كون‬x (b − 2 . (−1)) = 5 ⟹ b + 2 = 5 ⟹ b = 3 lim x→1+ (x2 + a) = lim x→1− (3 − 2x) ⟹ 1 + a = 3 − 2 ⟹ a = 1 – 1 = 0 ‫مثال‬6/‫لتكن‬f(x) = { 6 − x x < 1 x 2 x ≥ 1 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬1.‫(تمهيدي‬2005) /‫الحل‬ L1 = lim x→1+ (6 − x) = 6 – 1 = 5 L2 = lim x→1− x 2 = 1 ≠ L1 1 ‫من‬ ‫يقترب‬ x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫ليس‬ ‫مثال‬7/‫لتكن‬f(x) = { x − 2 x < 3 x 2 − 8 x ≥ 3 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬0,3,5. /‫الحل‬ ‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬0: lim x→0 (x − 2) = -2 ‫للدالة‬ ‫غاية‬ ‫يوجد‬ ‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬3: L1 = lim x→3+ (x 2 − 8) = 9 - 8 = 1 L2 = lim x→3− (x − 2) = 3 − 2 =1 = L1 3 ‫من‬ ‫يقترب‬ x ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫عندما‬x‫من‬ ‫يقترب‬5: lim x→5 (x 2 − 8) = 25 – 8 = 17 ‫مثال‬8/‫لتكن‬f(x) = { 1 − x x < 2 x + 1 x ≥ 2 ‫عندما‬ ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫هل‬x‫من‬ ‫يقترب‬2‫عند‬ ‫الدالة‬ ‫غاية‬ ‫جد‬ ‫ثم‬x → −1 ‫عند‬ ‫و‬x→4 . /‫الحل‬‫أ‬- L1 = lim x→2+ (1 − x) = 1 - 2 = -1 L2 = lim x→2− (x + 1) = 2 + 1 = 3 ≠ L1 ‫غاية‬ ‫للدالة‬ ‫ليس‬∴ ‫ب‬-‫عندما‬ ‫الغاية‬x→−1 :lim x→−1 (1 − x) = 1 + 1 = 2 ‫ج‬-‫عندما‬ ‫الغاية‬x→4 :lim x→4 (x + 1) = 4 + 1 = 5

×