Instituto Tecnológico Superior de Uruapan
Alumno: Adrián Felipe Fombona Ponce no. Control 16040309
Profesor: Demian Venegas Salgado
Materia: Calculo Vectorial
Unidad 1
Ingeniería en Sistemas Computacionales Mixta
Ficha #1
1.1 Definición de un vector en el plano y en el espacio y su interpretación geométrica.
Definiciónde un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. Las cantidades físicas que
necesitandirecciónymagnitudparasuespecificación,talescomofuerzayvelocidadsonejemplosde vectores.Unvector
se representa por un segmentode línea recta con dirección y longitud dadas. En la figura, P1 es el punto i nicial y P2 el
punto terminal del vector, y la cabeza de la flecha indica la dirección del vector.
Un par ordenado de números reales (a1, a2) se puede usar para determinar el vector representado por el segmento
rectilíneoque une al origenconel punto(a1,a2) enunsistemade coordenadasrectangulares.El vectordeterminadopor
el par ordenado de números reales (a1, a2) tiene la propiedad de que, si partimos del punto inicial, recorremos una
distanciadirigidaa1 paralelaal eje x,y despuésrecorremosunadistanciadirigidaa2 paralelaal eje y, llegamosal punto
terminal.
Inversamente, supongamos que se da el vector BC. Al dibujar líneas paralelas a los ejes de coordenadas por el punto
inicial Bypor el porel puntoterminal C,podemos encontrarlaparejaordenada(a1,a2) que determinaelvector;a1 = c1
- b1, a2 = c2 - b2. P1 P2 3 Por tanto dado un punto P, hay una correspondencia biunívoca entre los vectores
bidimensionales (R2) con P como punto inicial y pares ordenados de números reales, y en consecuencia llamaremosa
una pareja de números reales.

VECTOR EN R2 Un vectora (de dos dimensiones) esunpar ordenadode números
reales (a1, a2), y la representación a = (a1, a2). La magnitud |a| de a está dada por
La dirección de a es la dirección del origen al punto (a1, a2) a lo largo de la recta que une estos puntos. Esta dirección
estádeterminadaporel menorángulopositivoθcuyoladoinicial eslaparte positivadel eje x ycuyo ladoterminal esel
segmento que une al origen con (a1, a2). Al referirnos a la siguiente figura vemos que
VECTORES EN R 3 Un vector de R 3 es una terna ordenada de números reales. Denotada de la siguiente manera:
Geométricamente aun vector de R 3 se representaenel espaciocomo un segmentode recta dirigido.Supongaque se
tienen los puntos
trazamos un segmento de recta dirigido desde P1 hacía P2 tenemos una representación del vector

Este vector puede tenermuchasotrasrepresentacionesequivalentesenel espacio.Unarepresentaciónequivalenteútil
es aquella que se realiza ubicando al vector con el origen como punto de partida.
Sea 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧).La magnitudonorma de 𝑣 denotada como |𝑣 |, se define como
Y para cualquiervectorenel espacio
La direcciónde 𝑣= 𝑥, 𝑦, 𝑧 estádefinidaporlamedidade losángulosque formalalínea de acción del segmentode recta
con los ejes x, y, z.
1.2 Álgebra vectorial y su geometría.
Existenenel Álgebravectorialbásicalasoperaciones de sumaydiferenciaentre vectores, asícomola multiplicación de
escalares porvectores, el productoescalaraproductopuntoyel producto vectorial se explicarán másadelante. Un
vectores unobjetomatemáticocondirección ymagnitud. Lapalabra vectores se refiere aloselementos de cualquierR
n
. En R1 = R el vectoresun punto, que llamamosescalar. EnR
2
el vector esde la formay en R3 el vector esde la formaEn R
2
Cuandoel resultado del procesode mediciónde unamagnitudesexpresablepormediode unnúmeroreal, dicha
magnitud se denominaescalar. Asíporejemplolamasa, latemperatura, laenergía, etc. sonescalares. Cuandouna
magnitud nopuede expresarsecompletamenteconsólounnúmeroreal, sinoque hade recurrirse paraelloa una
matrizde n filasyuna columna(concepto matemáticode vector), estamos ante unamagnitudvectorial (osimplemente
vectoren sentidofísico). Asíporejemplounavelocidad noquedacompletamentedeterminadadandosuvalor
numérico enlacorrespondienteunidad, sinoque hayque hayque especificarladirección del movimientoysusentido,
loque en el espacioeuclideoexige representardichamagnitudpormediode unvectorde 3 componentes. Al igual que
la velocidad, sonmagnitudes vectoriales el espacio, laaceleración, lacantidadde movimientoymuchasotras. Aúnhay
otras magnitudes cuyaexpresión máscomplicadayaque se precisahacerlopormediode unamatrizrectangularde n
filasym columnas;sonlas magnitudes tensoriales, que enel nivelde este cursonoseránconsideradas.

1.3 Producto escalar y vectorial.
El producto escalar es una operación donde al multiplicar dos vectores se obtiene un escalar.
Observa que cuando los vectores son perpendiculares,el ángulo entre ellos es de 90°, su producto escalar es cero.
El producto vectorial esunaoperacióndonde al multiplicardosvectoresse obtiene otrovector,conla característica de
ser perpendicular a ambos. Este producto sólo está definido para vectores en un espacio de tres dimensiones.
En coordenadascartesianas,el productovectorial se define como:
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆuxvxjˆuyvykˆuzvz∣∣∣∣∣=(uyvz−vyuz)i^−(uxvz−vxuz)j^+(uxvy−vxuy)k^
Observación: una aplicación del producto vectorial es que su magnitudnuméricamente igual al área del paralelogramo
definido por los vectores (observa el área sombreada en la imagen).
Ejemplo:
Considera los vectores: U⃗ =(3,2,−1), V⃗ =(−2,4,0), encuentra su producto vectorial.
U⃗ ×V⃗ =∣∣∣∣∣iˆ3−2jˆ24kˆ−10∣∣∣∣∣
=iˆ[(2)(0)−(4)(−1)]−jˆ[(3)(0)−(−2)(−1)]+kˆ[(3)(4)−(−2)(2)]=4iˆ+2jˆ+16kˆ=(4,2,16)
1.4 Ecuación de la recta.
La ideade línearecta esunode losconceptosintuitivosde laGeometría(comosontambiénel puntoyel plano).Larecta
se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano,una recta
puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).
La líneade laderechapodemosverla,peroapartirde losdatos que nosentregalamismalínea (parde coordenadaspara
A ypar de coordenadasparaB en el planocartesiano) esque podemosencontrarunaexpresiónalgebraica(unafunción)

que determineaesamismarecta. El nombreque recibe laexpresiónalgebraica(función) quedetermineaunarectadada
se denomina Ecuación de la Recta.
Esta ecuaciónde la recta varía su formulaciónde acuerdocon los datosque se conozcan de la línearecta que se quiere
representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.
Ecuación general de la recta
Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.
De acuerdoaunode lospostuladosde laGeometríaEuclidiana,paradeterminarunalínearectasóloesnecesarioconocer
dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).
Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Planocartesianopues la Ecuación de la recta no
tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.
Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación
Ax + By + C = 0
Que también puede escribirse como
ax + by + c = 0
y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:
Teorema
La ecuacióngeneral de primergrado Ax + By + C = 0 , donde A, B, C pertenecenalos númerosreales ( ); y enqué
A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.
Ecuación principal de la recta
Esta es otra de lasformas de representarlaecuaciónde larecta. Pero antesde entraren laecuaciónprincipal de la
recta conviene recordarlosiguiente:
Cada punto(x,y) que pertenece auna rectase puede representarenunsistemade coordenadas,siendo x el valorde la
abscisa(horizontal) e yel valorde la ordenada(vertical).
(x, y) = (Abscisa , Ordenada)
Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.
Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.
Ejemplo:El punto( 7, 2 ) (el 7 enla abscisax yel 2 enla ordenaday ) satisface laecuación y= x – 5 ,ya que al reemplazar
queda
2 = 7 – 5 loque resultaverdadero.
Recordadoloanterior,veamosahorala ecuaciónde larecta que pasa solopor un puntoconocidoycuya pendiente (de
la recta) tambiénse conoce,que se obtiene conlafórmula
y = mx + n
que consideralassiguientesvariables:unpunto( x,y ),la pendiente( m) y el puntode intercepciónenlaordenada( n),
y esconocidacomo ecuaciónprincipal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representarlaecuaciónde larectaensuformaprincipal vemosque aparecierondosnuevasvariables:la myla n,esto
agrega a nuestraecuaciónde la recta dos nuevoselementosque debenconsiderase al analizarorepresentarunarecta:
la pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto ) en el eje de las ordenadas (y) .
Forma simplificadade laecuaciónde larecta
Si se conoce la pendiente m,y el puntodonde larecta corta al eje de ordenadases( 0, b ) (corresponde anen la
fórmulaprincipal yavista),podemosdeducir,partiendode laecuaciónde larecta de la forma
y − y 1 = m(x − x 1 )
y – b = m(x – 0)
y – b = mx
y = mx + b
Esta es unasegundaformade la ecuaciónprincipal de larecta (se lallamatambién formaexplícitade laecuación) yse
utilizacuandose conocenlapendiente ylaordenadaal origen(ointercepto),que llamaremos b(noolvidemosque
corresponde ala n enla primeraformade la ecuaciónprincipal).Tambiénse puedeutilizarestaecuaciónparaconocer
la pendiente ylaordenadaal origena partirde una ecuacióndada.
Ejemplo:Laecuación y = 4x + 7 tiene pendiente4y coeficiente de posición7,locual indicaque interceptaráal eje yen
el punto(0, 7).
Conocidalafórmulade la ecuaciónprincipal (simplificadaoexplícita,comoquieranllamarla) de larectaesposible
obtenerlaecuaciónde cualquierrectasiempre que se nosdenal menosdosvariablesde ella:puede serlapendiente,
puede serunpuntoo puede serel intercepto.
Esto significaque si te danesa informaciónse puedeconseguirunaecuaciónde laforma y = mx + b que cumple con
esascondicionesdadas.Nóteseque laecuación y= mx + b es laforma generalizadade laformaprincipal y= mx + n;por
lotanto, lab corresponde al valorde n (el interceptoenlaordenaday).
Respectoa esto,enel gráficode arriba, m representalapendiente de larectay permite obtenersugradode
inclinación (enrelaciónalahorizontal oabscisa), yn es el coeficiente de posición, el númeroque señalael punto
donde larecta interceptaráal eje de las ordenadas(y).

1.5 Ecuación del plano.
Un planodel espacioquedadeterminadocuandoconocemosunpuntoPdel mismoydosvectores uyv, no
nulos y linealmente independientes contenidosenel plano,llamadosvectoresdirectoresdel mismo.
Seaun planoπ que tiene comovectoresdirectores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) ypasapor un puntoP0(x0,y0,z0),si
P(x,y,z) esunpuntocualquieradel plano: OP=OP0+tu+sv.
 Que expresadaen
coordenadas: (x,y,z)=(x0,y0,z0)+t·(u1,u2,u3)+s·(v1,v2,v3)
ECUACIÓN
VECTORIAL
 A partirde aquí podemos
escribir:
x=x0+t·u1+s·v1
y=y0+t·u2+s·v2
z=z0+t·u3+s·v3
ECUACIONES
PARAMÉTRICA
S
 Los vectores PP0, u y v son
dependientes:
x-x0=t·u1+s·v1
y-y0=t·u2+s·v2
z-z0=t·u3+s·v3
desarrollando: Ax+By+Cz=D
ECUACIÓN
GENERAL
 Si n=(A,B,C) esunvector
normal al plano
y P0(x0,y0,z0) unpuntodel
mismo
A·(x-x0)+B·(y-y0)+C·(z-z0)=0
ECUACIÓN
NORMAL
1.6 Aplicaciones.
PRODUCTO ESCALAR
Aplicacionesfísicas
Trabajo:
Aplicacionesgeométricas:
*Cálculode la proyecciónde unvectorsobre otro:

- Cálculodel ánguloque formandosvectores:
- Sabersi dos vectoressonperpendiculares:
PRODUCTO VECTORIAL
Aplicacionesfísicas:
- Momentoangularo momentocinético:
- Momentode la fuerza:
- Velocidadtangencial conrespectoalavelocidadangularenunmovimientocircular:
APLICACIONESGEOMÉTRICAS
- Hallarun vectorperpendicularaotros dos.Cuandose quiere hallarunvectorque esperpendicularaotrosdos al
mismotiempo,unmodomuysencillode hacerloutilizael productovectorial.Dadoque en3 dimensionessóloexiste
una recta perpendicularadosvectoresnoparalelosal mismotiempo,si hallamosel vectorunitariodel producto
vectorial de losdosvectores,hallaremosel vectorunitariode esadirección.Porúltimo,bastaconmultiplicarel vector
unitarioporel módulodel vectorque pretendemoscalcularparaobtenerlascoordenadasdel vector.

- Hallarel área del paralelogramodelimitadopordosvectores:
Podemosobservarcómolabase del paralelogramose correspondeconel módulode unvectory la alturacon el
módulodel otrovectormultiplicadoporel valorabsolutodel senodel ánguloque forman,de tal maneraque
conociendoel áreade un paralelogramo:
Conclusión:
Observandolasmagnitudesfísicasvectoriales
nos damoscuentaque se utilizan
herramientasde otrostiposde cálculo,los
vectoressonsegmentosorientadosóseaque
se caracterizanpor su numéricoomodulo,
direcciónysentido.
Referencias:
https://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%201.pdf
http://fisicap4.org/fisica/vectores/provec.html
http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html
http://matematicasblecua.ftp.catedu.es/bacmat/temario
/bac2/mat2_06rectasyplanos_t2.htm
http://vectoramarillo.blogspot.com/2015/02/aplicaciones-de-los-
vectores-en-la.html