Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.

組合せゲーム理論への招待

945 Aufrufe

Veröffentlicht am

『松森さん歓迎&数理学院立ち上げ記念セミナー』

Veröffentlicht in: Bildung
  • Als Erste(r) kommentieren

組合せゲーム理論への招待

  1. 1. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 2018 4 14 ( ) 2018 4 14 1 / 27
  2. 2. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ABUKU TOMOAKI 2 5 ( ) 2018 4 14 2 / 27
  3. 3. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (combinatorial game) ( ) 2018 4 14 3 / 27
  4. 4. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Impartial game Nim ( ) 2018 4 14 4 / 27
  5. 5. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim ( ) 2018 4 14 5 / 27
  6. 6. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ (Nim ) N0 m1, . . . , mn ∈ N0 2 Nim m1 ⊕ · · · ⊕ mn 3 ⊕ 5 = (011)2 ⊕ (101)2 = (110)2 = 6 ( ) 2018 4 14 6 / 27
  7. 7. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim (Bouton 1901) (m1, . . . , mn) Nim m1 ⊕ · · · ⊕ mn ̸= 0 ⇐⇒ (m1, . . . , mn) m1 ⊕ · · · ⊕ mn = 0 ⇐⇒ (m1, . . . , mn) ( ) 2018 4 14 7 / 27
  8. 8. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Nim Nim (7, 8, 10) Nim 7 ⊕ 8 ⊕ 10 = (0111)2 ⊕ (1000)2 ⊕ (1010)2 = (0101)2 = 5 ̸= 0 7 7 ⊕ 5 = 2 ( ) 2018 4 14 8 / 27
  9. 9. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy Grundy number, Grundy value) . Grundy ( minimum excluded number) N0 T N0 T mexT mexT = min(N0 T) mex{0, 1, 2, 4, 5, 7} = 3, mex{1, 2, 4, 5, 7} = 0, mex{∅} = 0 ( ) 2018 4 14 9 / 27
  10. 10. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy , G Grundy G(G) (Grundy ) G N0 E G {G′ 1, . . . , G′ n} G ∈ G G : G → N0 G(G) = 0 (G = E) mex{G(G′ 1), . . . , G(G′ n)} (G ̸= E) G(G) G Grundy ( ) 2018 4 14 10 / 27
  11. 11. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy (Spruge 1936,Grundy 1939) G G(G) ̸= 0⇐⇒ G G(G) = 0⇐⇒ G Grundy ( ) 2018 4 14 11 / 27
  12. 12. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Nim Grundy M m Nim G(M) = m Nim Grundy Nim Mk m k G(Mk) = n (mod k + 1) M = 31, k = 3 G(313) = 3 (mod 3 + 1) ( ) 2018 4 14 12 / 27
  13. 13. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy G H (G, H) G H Grundy G(G, H) = G(G) ⊕ G(H). (n Nim Grundy ) (m1, . . . , mn) Nim G(m1, . . . , mn) = m1 ⊕ . . . ⊕ mn (∵ G(mi ) = mi ) ( ) 2018 4 14 13 / 27
  14. 14. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy 0 1 • 3 • 5 6 7 • 9 . . . • • • 3 4 5 6 7 8 9 . . . ( ) 2018 4 14 14 / 27
  15. 15. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy 0 ≤ m1 ≤ · · · ≤ mr Grundy G(m1, . . . , mr ) = ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ (m2 − m1 − 1)⊕ · · · ⊕ (mr − mr−1 − 1) (r ) m1 ⊕ (m3 − m2 − 1)⊕ · · · ⊕ (mr − mr−1 − 1) (r ) (2, 4, 8) G(2, 4, 8) = 2 ⊕ (8 − 4 − 1) = 1 ( ) 2018 4 14 15 / 27
  16. 16. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Nim Nim Nim (m, n, r) −→ (m + k, n, r) −→ (m, n, r) Nim Nim . ( ) 2018 4 14 16 / 27
  17. 17. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy A B ( ) 2018 4 14 17 / 27
  18. 18. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Grundy Grundy n i mi (m1, . . . , mn) G(m1, . . . , mn) = m1 ⊕ . . . ⊕ mn (5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 5 ⊕ 5 ⊕ 1 ⊕ 0 ⊕ 1 ⊕ 5 ⊕ 1 ⊕ 1 ⊕ 3=6 ( ) 2018 4 14 18 / 27
  19. 19. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 3 3 Nim 313 (2, 4, 8) (5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) Grundy G(313) = 3,G(2, 4, 8) = 1,G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 6 Grundy G(313) ⊕ G(2, 4, 8) ⊕ G(5, 5, 1, 0, 1, 5, 1, 1, 3) = 3 ⊕ 1 ⊕ 6 = 4 6 ⊕ 4 = 2 Grundy 2 5 → 1 ( ) 2018 4 14 19 / 27
  20. 20. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Mis`ere game Grundy Grundy ( ) 2018 4 14 20 / 27
  21. 21. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Loopy game Loopy game Stopper Loopy game ( ) 2018 4 14 21 / 27
  22. 22. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Transfinite game Grundy ( ) 2018 4 14 22 / 27
  23. 23. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ Partizan game ( (Alice,Bob ) ( ) 2018 4 14 23 / 27
  24. 24. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 2 3 10 10 ( 1 1 1 3 1 3 ( ) 2018 4 14 24 / 27
  25. 25. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ 4 ( ) 2018 4 14 25 / 27
  26. 26. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ( ) 2018 4 14 26 / 27
  27. 27. ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ , , , 2014. , , , 2011. J. H. Conway, On Numbers And Games (second edition) A. K. Peters, 2001 E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy, Winning Ways for Your Mathematical Plays Vol 1-4, A. K. Peters, 2001-2004 A. N. Siegel, Combinatorial Game theory, American Mathematical Society, 2013 ( ) 2018 4 14 27 / 27

×